Metode Branch And Bound Untuk Penjadwalan Proyek Dengan Generalized Precedence Relations

(1)

METODE

BRANCH AND BOUND

UNTUK PENJADWALAN

PROYEK DENGAN

GENERALIZED

PRECEDENCE RELATIONS

SKRIPSI

JENNI PARULIANA

070803029

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

(2)

METODE BRANCH AND BOUND UNTUK PENJADWALAN

PROYEK DENGAN GENERALIZED

PRECEDENCE RELATIONS

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

JENNI PARULIANA 070803029

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PERSETUJUAN

Judul : METODE BRANCH AND BOUND UNTUK PENJADWALAN PROYEK DENGAN GENERALIZED PRECEDENCE RELATIONS

i Kategori : SKRIPSI

Nama : JENNI PARULIANA

Nomor Induk Mahasiswa : 070803029

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Dra. Elly Rosmaini, M.Si Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si NIP 19600520 198503 2 002 NIP 19460404 197107 1 001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

(4)

PERNYATAAN

METODE BRANCH AND BOUND UNTUK PENJADWALAN PROYEK DENGAN GENERALIZED

PRECEDENCE RELATIONS

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 2011

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan karunia-Nya, sehingga penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini dalam waktu yang telah ditetapkan. Dalam kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini, ucapan terima kasih dan penghargaan penulis sampaikan kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si. selaku pembimbing 1 dan Ibu Dra. Elly Rosmaini, M.Si. selaku pembimbing 2 yang telah memberikan bimbingan dan kepercayaan kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.

2. Bapak Prof. Dr. Drs. Herman Mawengkang dan Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si. selaku dosen pembanding/penguji penulis.

3. Bapak Syahril Efendi, S.Si., M.IT. selaku dosen wali penulis selama mengikuti perkuliahan.

4. Bapak Prof. Drs. Tulus, M.Si. dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si. selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

5. Dekan dan Pembantu Dekan FMIPA USU.

6. Semua Dosen di Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan rekan-rekan kuliah yang selama ini telah memberikan semangat, kritik, dan saran dalam pengerjaan skripsi ini.

7. Khususnya kepada kedua orang tua penulis yang tercinta Bapak Daniel dan Ibu Yasinta, saudara laki-laki Jonni Parulian dan Jonatan Parulian, serta saudara perempuan Juliana Parulian yang selalu memberikan doa, bimbingan, dan pengorbanan baik moril maupun materil kepada penulis selama masa perkuliahan hingga selesainya skripsi ini.

Semoga budi baik dan bantuan beliau-beliau mendapat balasan dari Tuhan Yang Maha Esa. Amin.

Medan, Maret 2011 Penulis

(6)

ABSTRAK

(7)

BRANCH AND BOUND METHOD FOR PROJECT SCHEDULING WITH GENERALIZED

ABSTRACT

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

BAB 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Identifikasi Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Kontribusi Penelitian 3

1.6 Metode Penelitian 3

1.7 Tinjauan Pustaka 3

BAB 2 Landasan Teori 6

2.1 Konsep Penjadwalan Proyek 6 2.2 Jaringan Kerja (Network) 7 2.2.1 Critical Path Method (CPM) 9 2.2.2 Program Evaluation and Review Technique (PERT) 9

2.2.3 Lintasan Kritis 9

2.3. Model Penjadwalan Proyek dengan GPR 10

2.4 Matriks dan Operasi Matriks 14

2.4.1 Definisi Matriks 14

2.4.2 Operasi Matriks 15

2.4.2.1 Penjumlahan Matriks 15 2.4.2.2 Perkalian Matriks dengan Skalar 16

2.4.2.3 Perkalian Matriks 16

BAB 3 Pembahasan 18

3.1 Metode Branch and Bound 18

3.1.1 Algoritma Dasar 18

3.1.1.1 Breadht First Search (BFS) 18 3.1.1.2 Depth First Search (DFS) 19

3.1.2 Jadwal Awal 19

(9)

BAB 4 Kesimpulan dan Saran 59

4.1 Kesimpulan 59

4.2 Saran 59

(10)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Notasi yang digunakan dalam kendala GPR 10

Tabel 3.1 Data proyek 26

Tabel 3.2 Data dan 26

(11)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Simbol GPR 8

Gambar 2.2 Simbol kegiatan 8

Gambar 2.3 Simbol kegiatan dummy 8

Gambar 2.4 Hubungan antara kegiatan dengan kejadian 8

Gambar 2.5 Kendala 11

Gambar 3.1 Conflict set jenis I 22

Gambar 3.2 Conflict set jenis II 22

Gambar 3.3 Conflict set jenis III 23

Gambar 3.4 Diagram pohon metode Branch and Bound 24 Gambar 3.5 Jaringan kerja proyek dengan GPR 25 Gambar 3.6 Jaringan kerja standar proyek 25 Gambar 3.7 Gantt Chart untuk jadwal awal 27 Gambar 3.8 Gambaran kondisi pohon pada node 1 29 Gambar 3.9 Gambaran kondisi pohon pada node 2 31

Gambar 3.10 Gantt Chart untuk node 2 31

(12)

ABSTRAK

(13)

BRANCH AND BOUND METHOD FOR PROJECT SCHEDULING WITH GENERALIZED

ABSTRACT

(14)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Suatu proyek dapat dikatakan sebagai suatu rangkaian kegiatan-kegiatan yang

mempunyai saat awal dilaksanakan serta diselesaikan dalam jangka waktu tertentu

untuk mencapai suatu tujuan (P. Siagian, 1987, hal: 287). Proyek akan dikatakan

selesai apabila seluruh kegiatan yang merangkai proyek tersebut selesai.

Kegiatan-kegiatan yang mengisi suatu proyek memiliki keterikatan. Hal ini memungkinkan

suatu kegiatan harus diselesaikan lebih dulu sebelum kegiatan yang lain dimulai.

Suatu kegiatan dalam suatu proyek biasanya dipandang sebagai suatu

pekerjaan (job) yang dalam penyelesaiannya memerlukan sumber daya seperti waktu,

tenaga, dan biaya (J. Supranto, 1988, hal: 232). Pada perusahaan produksi, semua

sumber daya yang diperlukan untuk menyelesaikan proses produksi harus tersedia.

Kadang kala sumber daya tersebut memiliki kuantitas dan kualitas yang terbatas

sehingga perusahaan dituntut untuk bisa mengalokasikan sumber daya yang ada

(terbatas) supaya proses produksi tetap berjalan lancar tanpa mengurangi keuntungan.

Solusi untuk mengatasi masalah tersebut adalah penjadwalan. Dalam penjadwalan,

jika ada kegiatan yang akan melewati proses pada mesin maka terdapat

kombinasi jadwal. Dari kombinasi jadwal tersebut akan dipilih jadwal yang optimal.

Penjadwalan berkaitan dengan penugasan (assignment) mesin-mesin yang digunakan

untuk menyelesaikan setiap operasi dimana setiap mesin mempunyai sejumlah

kegiatan yang menunggu untuk diproses sesuai dengan urutan prosesnya. Konsep

penjadwalan yang baik akan mampu memberikan petunjuk dan sekaligus menjadi

kendali di dalam pelaksanaan proyek produksi. Sistem penjadwalan yang terbentuk

(15)

setiap mesin, kapan seharusnya masing-masing kegiatan start dan finish, serta kapan

seharusnya keseluruhan proyek produksi selesai dikerjakan. Dengan demikian sistem

penjadwalan sangat berperan dalam pelaksanaan proyek agar proses produksi dapat

berjalan dengan efektif dan efisien.

Metode Branch and Bound merupakan salah satu metode yang dapat

digunakan untuk menentukan penjadwalan proyek dengan Generalized Precedence

Relations yang optimal. Metode ini mula-mula dipakai oleh A. H. Land dan A. G.

Doig pada 1960. Baik program linier maupun program nonlinier dapat diselesaikan

dengan metode Branch and Bound.

Berdasarkan permasalahan dari uraian di atas, penulis memberi judul tulisan

ini dengan “Metode Branch and Bound untuk Penjadwalan Proyek dengan Generalized Precedence Relations”.

1.2 Identifikasi Masalah

Permasalahan yang akan dibahas adalah bagaimana metode Branch and Bound dalam

menentukan penjadwalan proyek dengan Generalized Precedence Relations yang

optimal.

1.3 Batasan Masalah

Agar tulisan ini terfokus dan tidak menyimpang dari tujuannya, maka diadakan

pembatasan masalah, yaitu:

1. Masalah yang dibahas adalah penjadwalan proyek dengan kendala Generalized

Precedence Relations dengan bobot kecepatan-keterlambatan.

2. Hasil akhir yang akan dicapai adalah solusi optimal penjadwalan proyek dengan

Generalized Precedence Relations menggunakan metode Branch and Bound

(16)

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui bagaimana metode Branch and Bound

dalam mengoptimalkan penjadwalan proyek dengan Generalized Precedence

Relations.

1.5 Kontribusi Penelitian

Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah menambah referensi yang

berhubungan dengan problem penjadwalan yang diharapkan dapat membantu para

pengambil keputusan dalam mengatasi problem penjadwalan proyek.

1.6 Metode Penelitian

Penelitian ini bersifat literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka dengan

langkah-langkah sebagai berikut:

1. Menjelaskan proyek dan penjadwalan proyek dengan Generalized Precedence

Relations.

2. Menjelaskan metode Branch and Bound untuk pencarian solusi.

3. Membahas masalah penjadwalan proyek dengan Generalized Precedence

Relations untuk mendapatkan solusi optimal.

4. Menarik kesimpulan dan saran.

1.7 Tinjauan Pustaka

Karena tulisan ini adalah studi literatur, maka tinjauan kepustakaan merupakan tolak

ukur yang utama untuk menyelesaikan tulisan ini. Beberapa literatur yang mendukung

(17)

P. K. Gupta dan D. S. Hira (2007) dalam bukunya menguraikan tentang

jaringan kerja dan analisisnya dalam suatu proyek. Suatu proyek terdiri dari tiga

bagian utama, yaitu: perencanaan, penjadwalan, dan pengendalian proyek. Jaringan

kerja menyangkut dua teknik, yaitu: Critical Path Method dan Programm Evaluation

and Review Technique.

F. S. Hillier dan G. J. Lieberman (2005) dalam bukunya menguraikan

tentang konsep utama metode Branch and Bound adalah dengan membagi dan

menyelesaikan. Pembagian atau percabangan dilakukan dengan membagi keseluruhan

penyelesaian layak dari suatu masalah optimasi menjadi beberapa submasalah yang

lebih kecil. Penyelesaian atau pembatasan dilakukan dengan memberi batasan

terhadap penyelesaian optimal pada suatu anak percabangan (node).

B. A. Nadjafi dan S. Shadrokh (2008) dalam jurnalnya menguraikan masalah

penjadwalan proyek dengan bobot kecepatan-keterlambatan sebagai pengembangan

bentuk di mana nilai waktu dari uang dihitung berdasarkan tingkat diskonto dari aliran

kas yang kontinu. Masalah penjadwalan yang dibahas memuat kendala General

Precedence Relation dan penyelesaiannya menggunakan metode Branch and Bound.

Secara matematis fungsi tujuan dari masalah penjadwalan tersebut dapat

diformulasikan sebagai berikut:

∑ ∑

∑

dengan kendala:

P. Siagian (1987) dalam bukunya menguraikan tentang program bilangan

cacah dan teori jaringan kerja. Metode Branch and Bound pertama kali dipakai oleh

A. H. Land dan A. G. Doig untuk menyelesaikan program bilangan cacah. Ternyata

Branch and Bound tidak hanya digunakan untuk program bilangan cacah, tetapi juga

(18)

merupakan akhir dari suatu jaringan kerja. Jadwal ini berupa diagram waktu yang

dituangkan menjadi satu kalender yang sangat dibutuhkan oleh para palaksana.

Wikipedia (2011) dalam situsnya menjelaskan faktor diskonto, , adalah

faktor yang dikalikan dengan suatu aliran kas yang akan datang untuk mendapatkan

nilai sekarang. Secara diskrit dirumuskan faktor diskonto sebagai berikut:

dan secara kontinu dirumuskan sebagai:

(19)

BAB 2

LANDASAN TEORI

Di dalam bab 2 ini akan diuraikan mengenai landasan teori berdasarkan tinjauan

kepustakaan yang berhubungan dengan persoalan penjadwalan proyek dengan GPR.

2. 1 Konsep Penjadwalan Proyek

Suatu proyek dapat dikatakan sebagai suatu rangkaian kegiatan-kegiatan yang

mempunyai saat awal dilaksanakan serta diselesaikan dalam jangka waktu tertentu

untuk mencapai suatu tujuan (P. Siagian, 1987, hal: 287). Proyek akan dikatakan

selesai apabila seluruh kegiatan yang merangkai proyek tersebut selesai.

Kegiatan-kegiatan yang mengisi suatu proyek memiliki keterikatan. Hal ini memungkinkan

suatu kegiatan harus diselesaikan lebih dulu sebelum kegiatan yang lain dimulai.

Kegiatan yang harus diselesaikan lebih dulu dari kegiatan lain disebut predecessor

dan kegiatan yang diselesaikan setelah kegiatan sebelumnya disebut successor. Suatu

kegiatan dalam suatu proyek biasanya dipandang sebagai suatu pekerjaan (job) yang

dalam penyelesaiannya memerlukan waktu, tenaga, dan biaya. Proyek memerlukan

tiga tahapan, yaitu:

1. Perencanaan (Planning), meliputi penetapan sasaran dan strategi, pendefinisian

proyek dan ketentuan organisasi.

2. Penjadwalan (Scheduling), meliputi pengalokasian sumber daya.

3. Pengendalian (Controlling), meliputi pengawasan sumber daya, biaya, kualitas,

dan budget.

Tahap pertama dan kedua dilakukan sebelum proyek dimulai dan tahap ketiga

(20)

Penjadwalan merupakan proses pengalokasian sumber-sumber yang dimiliki

suatu pabrik dalam menyelesaikan suatu pekerjaan. Di samping itu, penjadwalan juga

merupakan suatu teori yang berisi prinsip-prinsip dasar, model, teknik dan kesimpulan

logis dalam pengambilan keputusan. Persoalan penjadwalan muncul ketika jumlah

kegiatan yang dapat dikerjakan secara bersama lebih besar dibandingkan dengan

jumlah peralatan yang ada. Penjadwalan terdiri dari dua unsur yang penting, yaitu

kegiatan (job) dan sumber daya seperti mesin, waktu, tenaga, dan biaya. Secara

ringkas pokok-pokok penjadwalan adalah sebagai berikut (J. Supranto, 1988, hal:

234):

1. Menentukan target, tanpa adanya target sukar untuk membuat evaluasi.

2. Kegiatan-kegiatan yang harus dilakukan.

3. Urutan kegiatan.

4. Jangka waktu yang diperlukan oleh masing-masing kegiatan.

5. Tersedianya alat ukuran/standar.

6. Memperhatikan contingency factor.

2. 2 Jaringan Kerja (Network)

Jaringan kerja (network) merupakan salah satu teknik penjadwalan selain teknik Gantt

Chart. Teknik Gantt Chart adalah teknik perencanaan yang paling sederhana untuk

penjadwalan proyek. Gantt Chart bersifat dinamis dengan penampilan yang selalu

berubah-ubah. Kelebihannya adalah Gantt Chart mempergunakan skala waktu dan

kekurangannya adalah Gantt Chart tidak dapat menunjukkan relasi antara

kegiatan-kegiatan dalam suatu rencana penjadwalan. Sedangkan kelebihan teknik jaringan kerja

adalah mampu mengatasi kelemahan Gantt Chart dalam hal menunjukkan relasi

antara kegiatan-kegiatan dalam suatu rencana penjadwalan. Kekurangan jaringan kerja

adalah tidak memiliki skala waktu. Teknik jaringan kerja dan teknik Gantt Chart

dapat dikolaborasikan untuk pencapaian yang optimal. Jaringan kerja digunakan untuk

melihat relasi antara kegiatan-kegiatan dalam suatu rencana penjadwalan dan Gantt

Chart digunakan untuk melihat posisi kegiatan-kegiatan dalam rencana penjadwalan

(21)

Penjadwalan merupakan bagian terakhir dari suatu rencana jaringan kerja.

Penjadwalan proyek dapat digambarkan dengan diagram jaringan kerja dengan

menggunakan beberapa simbol, yaitu:

1. Anak panah (Edge), menyatakan hubungan GPR antara dua kegiatan yang

berpasangan. edge dapat berbentuk horizontal, diagonal, dan lengkungan.

Panjang edge tidak berpengaruh dengan besarnya GPR. Pada umumnya GPR

dicantumkan di atas, di bawah, atau di samping anak panah. Pangkal anak panah

menandakan kegiatan predecessor dan ujung anak panah menandakan kegiatan

successor. Untuk jaringan kerja standar proyek, GPR diganti dengan .

Gambar 2.1 Simbol GPR

2. Lingkaran (Node), menyatakan kegiatan yang dalam penyelesaiannya

memerlukan waktu, tenaga, dan biaya. Pada umumnya nomor urut kegiatan

dibubuhkan di dalam node. Di atas node biasanya dicantumkan durasi kegiatan.

Gambar 2.2 Simbol kegiatan

3. Lingkaran terputus-putus, menyatakan kegiatan boneka (Dummy) yang pada

penyelesaiannya tidak memerlukan waktu, tenaga, dan biaya. Tujuan dari

menggunakan dummy adalah untuk menghindari keraguan dalam hal

pengindikasian dan menunjukkan gambaran urutan logika yang benar. Dalam

penelitian ini, dummy ditempatkan di awal dan di akhir jaringan kerja proyek.

Gambar 2.3 Simbol kegiatan dummy

Hubungan antara dua kegiatan dengan GPR dapat dilihat pada Gambar 2.4.

(22)

Dalam analisis jaringan kerja dikenal dua metode, yaitu Critical Path Method

dan Program Evaluation and Review Technique. Kedua teknik tersebut dikembangkan

oleh kelompok yang berbeda secara simultan pada waktu yang bersamaan.

2.2.1 Critical Path Method (CPM)

Pada awalnya CPM dikenal dengan sebutan William-Kelly Method. Pada tahun 1956

Morgan Walker dari E.I. du Pont de Nemours Company bekerjasama dengan James E.

Kelly dari kelompok perencanaan proyek konstruksi internal Remington Rand dalam

menggunakan komputer Univac untuk melakukan penjadwalan konstruksi yang

menghasilkan metode yang rasional, tertib, dan mudah untuk menggambarkan proyek

dalam komputer. Kemudian CPM dilanjutkan oleh Mauchly Associates. Karakteristik

khusus dari CPM adalah memperkirakan waktu dengan pasti (Deterministik).

2.2.2 Program Evaluation and Review Technique (PERT)

PERT pertama kali dikembangkan oleh U. S. Navy dari Special Project Office yaitu

Biro Proyek Khusus Angkatan Laut Amerika Serikat bekerja sama dengan Allen dan

Hamilton dari perusahaan jasa konsultasi manajemen Booz untuk jadwal penelitian

dan pengembangan kegiatan program peluru kendali Polaris. Teknik ini bersifat

probabilistik yaitu memperkirakan waktu dengan kemungkinan.

2.2.3 Lintasan Kritis

Lintasan kritis adalah lintasan di mana setiap kejadian pada lintasan tersebut (kegiatan

kritis) mempunyai waktu kejadian paling cepat sama dengan waktu kejadian paling

lambat (P. Siagian, 1987, hal: 302). Jumlah waktu yang diperlukan untuk

menyelesaikan satu lintasan kritis adalah sama dengan jumlah waktu yang diperlukan

(23)

Ketentuan-ketentuan lain dari lintasan kritis adalah (P. Siagian, 1987, hal:

302):

1. Lintasan kritis juga diperkenankan melalui dummy.

2. Lintasan kritis tidak perlu hanya terdiri dari satu lintasan melainkan boleh terdiri

dari dua atau lebih.

3. Waktu penyelesaian satu kegiatan kritis tidak boleh melebihi waktu yang sudah

ditentukan, karena keterlambatan kegiatan kritis dapat mengganggu atau

memperpanjang waktu penyelesaian seluruh proyek.

2. 3 Model Penjadwalan Proyek dengan GPR

GPR menyangkut dua teknik, yaitu CPM dan PERT yang sangat dibutuhkan dalam

penjadwalan proyek. GPR dibedakan dalam empat jenis, yaitu: Start (SS),

Start-Finish (SF), Finish-Start (FS), dan Finish-Finish (FF). GPR menyajikan nilai

maksimum atau minimum time-lag antara dua kegiatan yang berpasangan. Misalkan

waktu start dari kegiatan disimbolkan dengan , waktu finish dari kegiatan

disimbolkan dengan , dan meyatakan durasi kegiatan , di mana , maka

nilai maksimum dan minimum time-lag antara dua kegiatan, dan disajikan dalam

bentuk:

GPR menjelaskan bahwa maksimal time-lag dapat disajikan sebagai minimial

time-lag pada arah yang berlawanan. Ada beberapa simbol yang digunakan dalam kendala

GPR dan hubungannya antarkegiatan seperti dalam tabel berikut.

Tabel 2.1 Notasi yang Digunakan dalam Kendala GPR

Notasi Kendala

(24)

Graf yang menggambarkan kendala GPR tersebut ditampilkan dalam

gambar-gambar berikut.

Gambar 2.5 Kendala

(25)

Jika didefinisikan sebagai due date dari kegiatan , yang

bersifat deterministik, maka nilai kecepatan dari kegiatan dapat dihitung dengan

rumus dan nilai keterlambatan dari kegiatan dapat dihitung

dengan rumus Sehingga total nilai kecepatan-keterlambatan

dari kegiatan adalah dengan meyatakan bobot kecepatan kegiatan dan

meyatakan bobot keterlambatan kegiatan , .

Kemudian, diasumsikan bahwa , , , dan

sehingga masalah kecepatan-keterlambatan menjadi:

∑

dengan kendala:

(26)

di mana:

(1) Menyatakan fungsi tujuan untuk meminimumkan bobot nilai

kecepatan-keterlambatan dari proyek.

(2) Menyatakan hubungan urutan finish-start di antara kegiatan.

(3) Menyatakan nilai kecepatan setiap kegiatan.

(4) Menyatakan nilai keterlambatan setiap kegiatan.

(5) Menyatakan kegiatan dummy awal finish pada waktu nol.

(6) Menyatakan waktu finish, nilai kecepatan, dan nilai keterlambatan dari setiap

kegiatan adalah integer nonnegatif.

Net Present Value (NPV) atau nilai bersih sekarang adalah analisis manfaat

finansial yang digunakan untuk mengukur kelayakan suatu proyek berdasarkan nilai

sekarang aliran kas bersih dari pendapatan yang akan datang dipotong modal dan

biaya investasi. Aliran kas bersih adalah laba bersih ditambah penyusutan. Biaya

investasi adalah total dana yang dikeluarkan untuk pengadaan seluruh sumber daya

yang dibutuhkan dalam menjalankan suatu proyek. Pada kriteria NPV, nilai waktu

uang dihitung dengan mendiskonto aliran kas. Nilai uang sebagai manfaat finansial

dari usaha yang diperkirakan akan diterima di masa yang akan datang tidak sama

dengan nilai uang yang diterima sekarang karena adanya faktor tingkat diskonto yang

disimbolkan dengan . Dengan menggunakan , nilai sekarang yang harus dibayar

pada akhir periode diperoleh dari

Fungsi tujuan dalam penelitian ini, disimbolkan dengan , adalah

menjadwalkan proyek dengan kendala GPR dan batas waktu yang ditentukan, dengan

tujuan meminimumkan NPV dari proyek. Secara matematis fungsi tujuan dapat

ditulis:

∑ ∑

∑

(27)

(10)

di mana:

(7) Menyatakan fungsi tujuan dengan tujuan meminimumkan NPV dari proyek.

(8) Menyatakan kegiatan dapat start jika predecessor-nya, kegiatan , telah start

selama satuan waktu.

(9) Menyatakan batas dari durasi proyek dengan menambahkan batas waktu

proyek, disimbolkan dengan , untuk kegiatan dummy akhir .

(10) menyatakan kegiatan dummy awal start dan finish pada waktu nol.

(11) menyatakan waktu start setiap kegiatan bernilai integer nonnegatif.

Suatu jadwal, , dikatakan optimal jika waktu start setiap kegiatan

memenuhi semua kendala GPR. Fungsi tujuan optimal dinyatakan dengan .

2. 4 Matriks dan Operasi Matriks

2.4.1 Definisi Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut

baris (arah horizontal) dan kolom (arah vertikal). Bilangan-bilangan yang terdapat di

dalam matriks tersebut disebut elemen atau entri dari matriks. Ukuran suatu matriks

dinyatakan dalam jumlah baris dan kolom yang dimilikinya. Suatu matriks yang hanya

terdiri dari satu kolom disebut matriks kolom dan suatu matriks yang hanya terdiri

dari satu baris disebut matriks baris. Jika adalah sebuah matriks, maka

menyatakan entri yang terdapat di dalam baris dan kolom dari matriks . Secara

(28)

[

]

Matriks di atas disebut matriks berukuran kali (ditulis ) karena memiliki baris

dan kolom.

Dalam tulisan ini, matriks akan digunakan untuk menguji kelayakan dari

suatu jadwal. Anggota-anggota dari matriks tersebut dapat diperoleh dengan

mengikuti ketentuan berikut:

{

di mana menyatakan minimal time-lag antara waktu start dari kegiatan dan .

Dalam matriks ini kegiatan merupakan predecessor bagi kegiatan . Suatu jadwal

dikatakan tidak layak apabila terdapat paling tidak satu dari elemen matriks yang

mewakili jadwal tersebut bernilai negatif. Elemen yang bernilai negatif tersebut

menunjukkan pasangan kegiatan yang bermasalah dan himpunan pasangan kegiatan

yang bermasalah dinyatakan dengan .

2.4.2 Operasi Matriks

2.4.2.1Penjumlahan Matriks

Jika [ ] dan [ ] adalah dua matriks sebarang berukuran , maka

adalah suatu matriks [ ] berukuran di mana (R. Bronson, 1970, hal: 3). Matriks-matriks dengan ukuran yang berbeda tidak dapat dijumlahkan.

Contoh :

Misalkan [

]

dan [

]

(29)

[ ] [

]

2.4.2.2Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika [ ] adalah matriks berukuran sebarang dan adalah skalar sebarang,

maka adalah suatu matriks [ ] berukuran di mana

(R. Bronson, 1970, hal: 4). Matriks disebut sebagai kelipatan skalar dari .

.

Contoh :

Misalkan matriks [ ] Maka,

[ _]

[ ]

2.4.2.3Perkalian Matriks

Jika [ ] adalah matriks berukuran sebarang dan [ ] adalah matriks

berukuran sebarang, maka didefinisikan sebagai suatu matriks [ ]

berukuran di mana ∑

(R. Bronson, 1970, hal: 8).

Contoh :

Diketahui [

], dan [

(30)

Karena adalah matriks berukuran dan adalah matriks berukuran ,

maka adalah matriks berukuran . Perhitungan untuk hasilkali-hasilkalinya

adalah:

(31)

BAB 3

PEMBAHASAN

Dalam Bab 3 ini akan dibahas mengenai metode Branch and Bound yang akan

digunakan pada pencarian solusi optimal dan contoh masalah beserta penyelesaiannya.

3.1 Metode Branch and Bound

Metode Branch and Bound adalah suatu metode pencarian solusi yang

ditransformasikan dalam bentuk pohon percabangan dan pembatasan. Metode ini

mula-mula dipakai oleh A. H. Land dan A. G. Doig pada tahun 1960. Metode Branch

and bound merupakan suatu metode yang paling umum digunakan untuk mencari

solusi optimal pada masalah optimasi kombinatorial seperti penjadwalan proyek.

Branch and bound terdiri atas tiga bagian utama, yaitu batas bawah, strategi

pencarian, dan percabangan. Baik program linier maupun program nonlinier dapat

diselesaikan dengan metode Branch and Bound.

3.1.1 Algoritma Dasar

Ada dua yang menjadi dasar dari algoritma Branch and bound, yaitu algoritma

Breadht First Search dan algoritma Depth First Search.

3.1.1.1Breadht First Search (BFS)

(32)

ang status. Langkah-langkah yang dilakukan pada implementasi Branch and Bound

adalah:

1. Membangkitkan node baru dari semua node awal.

2. Memberikan cost tertentu untuk setiap node pada pohon percabangan.

3. Memilih node yang memiliki cost terkecil untuk dibangkitkan.

3.1.1.2Depth First Search (DFS)

Prinsip DFS adalah selalu membangkitkan node pertama dari node awal pada pohon

percabangan. Langkah-langkah yang dilakukan pada implementasi Branch and Bound

adalah:

1. Membangkitkan setiap node pertama dari node awal hingga tidak ada lagi node

yang dapat dibangkitkan.

2. Kembali menelusuri node-node calon solusi yang telah dibangkitkan untuk

menemukan jalur solusi lain yang lebih baik.

3. Berhenti setelah menemukan solusi yang optimal.

3.1.2 Jadwal awal

Hal pertama yang harus dilakukan sebelum membangun pohon percabangan adalah

menentukan jadwal awal. Apabila tingkat pohon Branch and Bound disimbolkan

dengan maka jadwal awal berada pada tingkat . Untuk menentukan jadwal

awal, waktu start dari masing-masing kegiatan harus ditentukan terlebih dahulu

dengan mengikuti persyaratan berikut:

{

di mana meyatakan waktu start paling awal kegiatan dan meyatakan

waktu finish paling akhir kegiatan . dari kegiatan dapat dihitung dengan

menentukan jarak terjauh dari node 1 ke node dan dari kegiatan dapat dihitung

(33)

Jadwal awal tersebut belum tentu jadwal yang layak sehingga harus diuji

kelayakannya dengan matriks yang telah dijelaskan dalam subbab 2.4.1.

3.1.3 Strategi Pencarian dan Percabangan

Pencarian dimulai dari jadwal awal yang telah ditentukan. Asumsikan terdapat dua

kegitan, dan , yang bermasalah pada tingkat dari pohon percabangan di

mana kegiatan merupakan predecessor bagi kegiatan . Suatu masalah akan dipecah

menjadi beberapa submasalah. Misalkan jumlah elemen yang bernilai negatif

adalah , maka terdapat alternatif percabangan sehingga pohon percabangan

ditingkatkan menjadi . Dari masing-masing node akan dihitung nilai .

Misalkan elemen matriks pertama yang bernilai negatif adalah – , maka

terdapat alternatif untuk menentukan nilai suatu node. Alternatif yang

pertama adalah memajukan waktu start kegiatan sebesar satuan waktu. Alternatif

kedua adalah memundurkan waktu start kegiatan sebesar 1 satuan waktu dan

memajukan waktu start kegiatan sebesar satuan waktu. Alternatif

ke-adalah memundurkan waktu start kegiatan sebesar satuan waktu dan

memajukan waktu start kegiatan sebesar satuan waktu. Terakhir,

alternatif ke- adalah memundurkan waktu start kegiatan sebesar satuan

waktu. Dari semua alternatif yang mungkin akan dipilih nilai yang paling minimum.

Pada proses memundurkan dan atau memajukan waktu start kegiatan, , perlu

diperhatikan bahwa waktu start kegiatan tidak boleh lebih dari atau kurang dari

.

Lemma

Strategi penggeseran, yang terdiri dari semua penggeseran pada jalur kegiatan, akan

menghasilkan enumerasi lengkap dari pohon pencarian.

Bukti:

Pada suatu tingkat dari pohon Branch and Bound, untuk menyelesaikan kegiatan

(34)

menggeser kegiatan , periode ke kiri dan kegiatan , periode ke kanan.

Misalkan ada kegiatan , , dan , di mana , , dan , .

Misalkan juga konflik waktu kegiatan dan sebesar , dan kegiatan dan

sebesar . Kemudian dan masing-masing didefinisikan sebagai waktu start

kegiatan pada jadwal tak layak tertentu dan pada suatu jadwal yang layak. Jelas

bahwa pada cabang pertama dari tingkat , terdapat , , dan

. Demikian juga pada cabang terakhir dari tingkat , terdapat , , dan . Lalu, akan diperlihatkan bahwa waktu start kegiatan , , diperoleh dari interval , dengan

menunjukkan bahwa strategi percabangan akan memperhitungkan semua titik pada

interval tersebut. Walaupun pada tingkat pohon Branch and Bound ini, diketahui

hanya interval tersebut untuk yang menghasilkan waktu layak untuk kegiatan , ,

dan , tetapi ada kemungkinan diperoleh dari di luar interval tersebut pada tingkat

pohon Branch and Bound berikutnya.

,

Seandainya konflik waktu kegiatan dan diselesaikan pada tingkat dari pohon

Branch and Bound dan konflik waktu kegiatan dan diselesaikan pada tingkat .

Asumsikan . Kegiatan start pada pada cabang ke-

tingkat dan menurut strategi percabangan, konflik waktu kegiatan dan juga

diselesaikan secera otomatis. Asumsikan . Pada cabang

tingkat , konflik waktu kegiatan dan diselesaikan dengan menggeser

sebesar periode ke kiri, sehingga konflik waktu kegiatan dan tidak

terselesaikan. Cabang ke- tingkat , akan menghasilkan waktu start

kegiatan pada periode dan menyelesaikan konflik waktu kegiatan dan .

Akibatnya, dengan mengulang strategi percabangan sepanjang pencarian akan

menghasilkan enumerasi dari semua solusi yang mungkin.

Pada proses percabangan, mungkin saja suatu node yang sama terulang

kembali. Dengan kata lain, terdapat dua node yang mempresentasikan jaringan kerja

penjadwalan proyek yang sama. Hal ini diketahui dari matriks yang sama.

(35)

matriks dari node sebelumnya maka node tersebut dapat dipangkas atau

perhitungan tidak perlu dilanjutkan. Proses percabangan akan berhenti apabila telah

didapatkan jadwal optimal yaitu suatu jadwal dengan matriks yang semua

elemennya bernilai nonnegatif. Dengan kata lain, proses percabangan akan berhenti

apabila tidak terdapat lagi pasangan kegiatan yang bermasalah.

3.1.4 Batas Bawah (Lower Bound)

Jika batas bawah ( ) tidak digunakan maka segala kemungkinan penyelesaian harus

dienumerasikan satu persatu, sehingga memperlama proses optimasi. Oleh karena itu,

LB perlu dikalkulasikan pada setiap node. Selain itu, apabila percabangan yang

dibangkitkan dari suatu node tidak mengarah pada solusi, maka node tersebut dapat

dipangkas.

Terdapat tiga jenis conflict set, yaitu:

1. Apabila kegiatan merupakan predecessor bagi kegiatan dan kedua kegiatan

tersebut memiliki konflik waktu . Untuk lebih jelas, dapat dilihat

dalam gambar 3.1.

Gambar 3.1 Conflict set jenis I

2. Apabila kegiatan merupakan predecessor bagi beberapa kegiatan, ,

dengan mengabaikan kendala GPR kegiatan-kegiatan tersebut. Untuk lebih jelas,

dapat dilihat dalam gambar 3.2.

(36)

3. Apabila kegiatan merupakan successor bagi beberapa kegiatan, ,

dengan mengabaikan kendala GPR kegiatan-kegiatan tersebut. Untuk lebih jelas,

dapat dilihat dalam gambar 3.3.

Gambar3.3 Conflict set jenis III

Dalil 1

Untuk conflict set jenis I, di mana kendala GPR antara kegiatan dan kegiatan

diabaikan, diasumsikan besar konflik waktu adalah satuan waktu. Dengan demikian,

nilai minimum untuk menyelesaikan conflict set ke- , ̅ , dapat dihitung dengan

rumus:

̅ di mana diperoleh dari:

{ ∑

∑

}

dengan merupakan nilai minimum untuk menyelesaikan konflik waktu antara

kegiatan dan kegiatan .

Dalil 2

Untuk conflict set jenis II, di mana kegiatan merupakan predecessor bagi beberapa

kegiatan, , dengan mengabaikan kendala GPR kegiatan-kegiatan tersebut,

rumus:

(37)

Dalil 3

Untuk conflict set jenis III, di mana kegiatan merupakan successor bagi beberapa

kegiatan, , dengan mengabaikan kendala GPR kegiatan-kegiatan tersebut,

rumus:

̅

{ }

Dalil 4

Untuk setiap jadwal yang dibangkitkan dari pohon percabangan, LB ditentukan oleh:

∑ ̅

dengan menyatakan solusi sementara dan ̅ menyatakan nilai minimum untuk

menyelesaikan conflict set ke- .

Gambar 3.4 Diagram pohon metode Branch and Bound

Gambar di atas memperlihatkan pohon percabangan dengan nilai solusi

sementara, , batas bawah, , dan himpunan kegiatan yang bermasalah, .

3.2 Contoh Kasus dan Penyelesaiannya

Pada subbab ini akan ditampilkan satu contoh kasus yang diambil dari jurnal “A

Branch and Bound Algorithm for the Weighted Earliness-Tardiness Project

4

3

1

2

5

7

6

(38)

3 0 Shadrokh, 2009, vol:16, hal: 55-64) yang telah dimodifikasi berikut penyelesaiannya.

Suatu proyek terdiri dari 9 kegiatan yang merangkainya. Setiap kegiatan memiliki

durasi yang berbeda-beda. Gambar 3.5 menunjukkan jaringan kerja proyek tersebut.

Angka di dalam node menyatakan nomor urut kegiatan, , dan angka di atas node

menunjukkan durasi kegiatan, . Kendala GPR dibubuhkan pada edge yang

bersesuaian. Jaringan kerja proyek dalam bentuk standar ditampilkan dalam Gambar

3.6.

Gambar 3.5 Jaringan kerja proyek dengan GPR

Gambar 3.6 Jaringan kerja standar proyek

(39)

Due date dan penalti ditunjukkan pada Tabel 3.1. Dalam hal ini, diasumsikan bobot

kecepatan, , sama dengan bobot keterlambatan, . Batas waktu proyek, , adalah

35 dan tingkat diskonto, , adalah 0.01 atau 1 .

Tabel 3.1 Data proyek

Kegiatan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 13 9 15 23 17 24 29 25 34 35

4 7 9 2 4 5 3 2 1

Secara matematis, fungsi tujuan dari permasalahan di atas adalah:

∑ ∑

∑

dengan kendala:

Untuk mendapatkan jadwal yang optimal, langkah pertama yang harus

dilakukan adalah membentuk jadwal awal pada tingkat awal pohon percabangan untuk node 1. Dari data yang ada, diperoleh dan yang dirangkum dalam Tabel 3.2.

Tabel 3.2 Data dan

Kegiatan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 9 4 9 12 12 16 17 18 25 33

(40)

Waktu start masing-masing kegiatan pada jadwal awal ditentukan dengan

ketentuan berikut:

{

Sehingga diperoleh jadwal awal untuk node

1 seperti yang ditampilkan pada Gambar 3.7.

Gambar 3.7 Gantt Chart untuk jadwal awal

Pada node 1, kegiatan yang mengalami keterlambatan adalah kegiatan 2 sehingga nilai

untuk node 1 adalah:

∑ ∑

∑

Selanjutnya dibentuk matriks yang anggota-anggotanya mengikuti ketentuan

sebagai berikut:

{

(41)

pasangan kegiatan yang bermasalah diperoleh dari:

Selanjutnya untuk node 1 dikalkulasikan, dan hasilnya tertera dalam Tabel 3.3.

(42)

3 I 5 dan 8 1.6050 1.6050

Pada akhirnya diperoleh node 1 adalah:

Gambar 3.8 Gambaran kondisi pohon pada node 1

Berdasarkan matriks untuk node 1, maka diketahui ada 4 node pada tingkat

pohon yang dapat dibangkitkan dari node 1. Selanjutnya, perhitungan

dilanjutkan untuk node 2. Pada node 2, yang disoroti adalah kegiatan 3 dan 2 dengan

konflik waktu sebesar 2 satuan waktu. Ada 3 kemungkinan untuk node 2, yaitu:

1. Kegiatan 2 dimajukan 2 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi

Kemudian diperoleh nilai adalah:

(43)

3. Kegiatan 3 dimundurkan 2 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi

Dari ketiga kemungkinan, dipilih kemungkinan yang pertama yaitu kemungkinan

dengan nilai minimum. Dengan demikian, diperoleh jadwal

(44)

Kemudian untuk node 2 dikalkulasikan, dan hasilnya tertera dalam Tabel 3.4.

Tabel 3.4 Hasil perolehan untuk node 2

Jenis Anggota ̅ 1 I 3 dan 6 3.3411 3.3411

19.1690 2 I 4 dan 5 3.8940 3.8940

3 I 7 dan 8 1.6050 1.6050

Gambar 3.10 Gantt chart untuk node 2

Selanjutnya, perhitungan dilanjutkan pada tingkat pohon untuk node 3.

Pada node 3, yang disoroti adalah kegiatan 3 dan 6 dengan konflik waktu sebesar 1

satuan waktu. Ada 2 kemungkinan untuk node 3, yaitu:

. Kemudian diperoleh nilai adalah:

∑ ∑

∑

1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17

(45)

∑

Dari kedua kemungkinan, dipilih kemungkinan yang pertama yaitu kemungkinan

(46)

{ ∑

(47)

untuk node 4. Selanjutnya dibentuk matriks

pasangan kegiatan yang bermasalah adalah:

(48)

{ ∑

(49)

Dari kedua kemungkinan, dipilih kemungkinan yang terakhir yaitu kemungkinan

dengan nilai minimum. Dengan demikian, diperoleh jadwal untuk node 5. Matriks untuk node 5:

(50)

Langkah selanjutnya adalah memilih salah satu node pada tingkat pohon

untuk dibangkitkan. Node tersebut dipilih berdasarkan nilai terkecil, yaitu node 5.

Berdasarkan matriks untuk node 5, maka diketahui ada 3 node pada tingkat pohon

yang dapat dibangkitkan dari node 5. Selanjutnya, perhitungan dilanjutkan untuk node 6. Pada node 6, yang disoroti adalah kegiatan 3 dan 2 dengan konflik

waktu sebesar 2 satuan waktu. Ada 3 kemungkinan untuk node 6, yaitu:

(51)

∑ ∑

(52)

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan

19.1690 2 I 4 dan 7 3.8940 3.8940

(53)

∑

(54)

{ ∑

19.1690 2 I 4 dan 5 3.8940 3.8940

(55)

∑

(56)

{ ∑

Langkah selanjutnya adalah kembali memilih salah satu node pada tingkat

pohon untuk dibangkitkan. Node tersebut dipilih berdasarkan nilai terkecil,

yaitu node 8. Berdasarkan matriks untuk node 8, maka diketahui ada 3 node pada

tingkat pohon yang dapat dibangkitkan dari node 8. Selanjutnya, perhitungan

dilanjutkan untuk node 9. Pada node 9, yang disoroti adalah kegiatan 3 dan 2 dengan

konflik waktu sebesar 2 satuan waktu. Ada 3 kemungkinan untuk node 9, yaitu:

(57)

∑

∑ ∑

(58)

untuk node 9. Selanjutnya dibentuk matriks untuk node 9, yaitu:

[

]

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan

kegiatan yang bermasalah adalah:

{ ∑

∑

}

{ ∑

∑

}

19.8737 2 I 5 dan 10 0.7047 0.7047

(59)

(60)

∑

untuk node 10. Selanjutnya dibentuk

19.8737 2 I 7 dan 10 0.7047 0.7047

(61)

(62)

Dengan demikian, diperoleh jadwal untuk

node 11. Selanjutnya dibentuk matriks untuk node 11, yaitu:

[

]

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan kegiatan

yang bermasalah adalah:

{ ∑

∑

}

{ ∑

∑

}

Jenis Anggota ̅

1 II 3 dan 2 6.8514 6.8514 16.5326 3 dan 6 3.3411

(63)

yaitu node 11. Berdasarkan matriks untuk node 11, maka diketahui ada 2 node pada

tingkat pohon yang dapat dibangkitkan dari node 11. Selanjutnya, perhitungan

(64)

2. Kegiatan 2 dimajukan 1 satuan waktu dan kegiatan 3 dimundurkan 1 satuan

waktu sehingga jadwalnya menjadi .

∑ ∑

(65)

Jenis Anggota ̅ 1 I 3 dan 6 3.3411 3.3411 19.8737

(66)

(67)

[

]

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan kegiatan

yang bermasalah adalah:

{ ∑

∑

}

Jenis Anggota ̅ 1 I 3 dan 2 6.8514 6.8514 19.8737

(68)

yaitu node 13. Berdasarkan matriks untuk node 13, maka diketahui hanya ada 1

node pada tingkat pohon yang dapat dibangkitkan dari node 13. Selanjutnya,

perhitungan dilanjutkan untuk node 14. Pada node 14, yang disoroti adalah kegiatan 2

dan 3 dengan konflik waktu sebesar 2 satuan waktu. Ada 3 kemungkinan untuk node

(69)

∑

(70)

∑

[

]

Karena tidak ada lagi elemen dari matriks untuk node 14 yang bernilai negatif

maka proses dihentikan dan diperoleh

sebagai jadwal proyek yang optimal dengan . Gambar 3.21

menunjukkan pohon Branch and Bound secara keseluruhan dan gambar 3.23

(71)

Gambar 3.23 Gantt Chart untuk jadwal optimal

10 12.32 19.87

2, 3, 7, 10

7 8.42 19.17

2, 3, 4, 5

6 11.93 19.17

3, 4, 6, 7

4 7.37 16.53

2, 3, 5, 6, 7, 8, 10

1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17

3, 4, 5, 6, 7, 8

3 6.82 19.17

2, 3, 4, 5, 7, 8

5 5.08 15.83

2, 3, 4, 6, 7

8 8.98 16.53

2, 3, 6, 7, 10

11 9.68 16.53

2, 3, 6

9 15.83 19.87

3, 6, 7, 10

13 13.02 19.87

2, 3

12 16.53 19.87

3, 6

(72)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari uraian pembahasan pada bab 3, maka dapat disimpulkan bahwa metode Branch

and Bound merupakan metode yang dapat digunakan untuk mencari solusi jadwal

optimal suatu proyek dengan GPR berdasarkan bobot minimum

kecepatan-keterlambatan dengan fungsi tujuan meminimumkan NPV.

4.2 Saran

Pada skripsi ini, masalah yang dibahas dikhususkan pada kasus penjadwalan proyek,

sehingga pada penelitian relevan berikutnya supaya dapat mempertimbangkan kasus

(73)

DAFTAR PUSTAKA

Applegate, D. dan Cook, W. 1991. “A Computational Study of the Job-Shop Scheduling Problem”. Jurnal Komputasi 3(2): hal.149-156.

Bazaraa, M. S. 1977. Linier Programming and Network Flows. Canada: John Wiley and Sons, Inc.

Bronson, R. 1970. Matrix Methods. New York: Academic Press.

Brucker, P., dkk. 1997. “A Branch and Bound Algorithm for the Open-Shop Problem”. Jurnal Matematika 76: hal.43-59.

Ecker, J. G. dan Kupferschmid, M. 1988. Introduction to Operations Research. Canada: John Wiley and Sons, Inc.

Gupta, P. K. dan Hira, D. S. 2007. Operations Research. India: S.Chand.

Hillier, F. S. dan Lieberman, G. J. 2005. Introduction to Operation Research Eight Edition. New York: McGraw-Hill.

Lomnicki, Z. A. 1970. “A Branch and Bound Algorithm for the Exact Solution of the Three-Machine Scheduling Problem”. Jurnal Operasi Riset 16(1): hal.89-100.

Mitten, L. G. 1970. “Branch and Bound Methods”. Journal Operasi Riset 18(1): hal.24-34.

Nadjafi, B. A. dan Shadrokh, S. 2008. “An Algorithm for the Weighted Earliness-Tardiness Unconstrained Project Scheduling Problem”. Journal of Applied Sciences 8(9): hal.1651-1659.

Nadjafi, B. A. dan Shadrokh, S. 2009. “A Branch and Bound Algorithm for the Weighted Earliness-Tardiness Project Scheduling Problem with Generalized Precedence Relations”. Jurnal Teknik Industri 16(1): hal.55-64.

Purwanto, E. B. 2008. Perancangan dan Analisis Algoritma. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Sakellaropoulos, S. dan Chassiakos, A.P. 2004. “Project Time-Cost Analysis under Generalized Precedence Relations”. Jurnal Teknik Sipil 35: hal.715-724.

Siagian, P. 1987. Penelitian dan Operasional. Jakarta: Penerbit Universitas Indonesia.

(74)

Tan, H. W. dan Salim, S. 2004.”A Branch and Bound and Simulated Anneling Approach for Jobshop Scheduling. Malaysia”. Jurnal Matematika 20(1): hal.1-17.