Teori Relativitas. Mirza Satriawan. December 7, Fluida Ideal dalam Relativitas Khusus. M. Satriawan Teori Relativitas

Teori Relativitas

Mirza Satriawan

December 7, 2010

Fluida Ideal dalam Relativitas Khusus

Quiz

1 Tuliskan perumusan kelestarian jumlah partikel dengan memakai vektor-4 fluks jumlah partikel.

2 Tuliskan hukum kelestarian energi momentum dengan menggunakan tensor energi-momentum

3 Tuliskan bentuk umum tensor energi-momentum untuk fluida sempurna dalam KDS

4 Apa perbedaan antara debu dan fluida sempurna?

Fluida

Fluida termasuk suatu kontinum dengan sifat-sifat tertentu.

Kontinum adalah kumpulan partikel sedemikian banyak sehingga dinamika masing-masing partikelnya tidak dapat diikuti, dan hanya besaran-besaran reratanya saja yang dipakai untuk mendeskripsikan dinamikanya. Nilai besaran-besaran rerata ini (seperti tekanan, temperatur) dapat bervariasi dalam suatu fluida. Sekumpulan partikel yang cukup banyak, dengan nilai besaran rerata tadi yang cukup homogen, disebut sebagai elemen. Fluida dicirikan oleh sifat dimana gaya paralel terhadap bidang batas antar elemennya relatif lebih kecil dibandingkan gaya tegaklurus terhadap bidang batas antar elemen.

Debu (Vektor Jumlah Partikel ~N)

Tinjau suatu kumpulan partikel yang seluruhnya diam terhadap suatu kerangka acuan (dalam kerangka diam sesaat (KDS) partikel-partikel). Kumpulan partikel semacam ini disebut sebagai debu. Dalam KDS, didefinisikan kerapatan partikel n, sebagai jumlah partikel per volume dalam kerangka ini. Dalam kerangka dimana semua partikel-partikel bergerak dengan kecepatan v, maka rapat jumlah partikelnya (karena kontraksi Lorentz) adalah

√ n

1 − v² (1)

Fluks Partikel

Fluks partikel melewati suatu permukaan adalah jumlah partikel yang melewati permukaan tersebut per satuan luas per satuan waktu.

Dalam KDS, karena partikelnya diam maka fluksnya nol.

Dalam kerangka dimana partikelnya bergerak dengan kecepatan v ke arah x, maka dalam∆¯t jumlah partikel yang menembus suatu luasan∆A adalah sejumlah rapat partikel dikali v∆¯t∆A, sehingga fluksnya

(fluks)^¯x = nv

√

1 − v² (2)

Bila arah kecepatan tidak tegak lurus permukaan, maka (fluks)^¯x = nv^¯x

√

1 − v² (3)

Vektor empat fluks jumlah partikel

Vektor empat fluks jumlah partikel didefinisikan sebagai

~N = n~U (4)

dalam suatu kerangka ¯O, komponennya

~N →O¯

 n

√

1 − v², nv^x

√

1 − v², nv^y

√

1 − v², nv^z

√ 1 − v²

 (5)

Perhatikan

~N · ~N = −n²; n= (−~N · ~N)^1/2 (6) jadi n adalah besaran skalar Lorentz.

Dari definisi fluks jumlah partikel di atas, maka rapat jumlah partikel dapat dianggap sebagai fluks - bak waktu. Dalam diagram ruang waktu, fluks ruang yang menembus

permukaan dengan x konstan dalam interval waktu∆t dapat digambarkan sebagai

Untuk fluks -bak waktu, dapat dibayangkan partikel yang menembus permukaan dengan t konstan dalam interval ruang

∆x

Bentuk satu untuk mendeskripsikan permukaan

Permukaan didefinisikan melalui solusi dari suatu persamaan φ(t, x, y, z) = konstan (7) Gradien dari fungsiφ, ˜dφ, adalah bentuk-satu normal, secara tidak langsung ˜dφ mendeskripsikan permukaan φ = konstan, karena menentukan secara unik arah (normal) dari permukaan.

Biasanya dipakai normal-satuan, bila permukaannya tidak null, untuk mendeskripsikan permukaan

˜n ≡ ˜dφ/|˜dφ| (8)

dengan

|˜dφ| = |η^αβφ_,αφ_,β|^1/2 (9) adalah besar dari ˜dφ.

Bila dalam ruang-3, ‘elemen permukaan’ didefinisikan sebagai vektor satuan normal dikalikan elemen area di permukaan.

Dalam ruang-4 elemen volume suatu ruang spasial yang koordinatnya x^α, x^β, dan x^γdiwakili dengan

˜ndx^αdx^βdx^γ (10)

dan untuk volume satuan (dx^α= dx^β = dx^γ = 1), cukup diwakili dengan ˜n.

Fluks melewati suatu permukaan

Dalam hukum Gauss, fluks medan listrik yang menembus suatu permukaan diberikan oleh ~E ·ˆn. Analog dengan ini, fluks jumlah partikel yang menembus suatu permukaanφ konstan diberikan oleh h ˜n, ~Ni. Misalkan, bila φ adalah koordinat ¯x, maka permukaan konstan ¯x memiliki normal ˜d¯x. Fluks jumlah partikel yang melewati permukaan ¯x konstan adalah

h˜d¯x, ~Ni = N^α(˜d¯x)_α

Mewakili suatu kerangka dengan bentuk satu

Sebelumnya suatu kerangka inersial diwakili dengan vektor empat kecepatannya ~U. Kita dapat mewakilinya juga dengan bentuk satu yang terkait dengan vektor empat kecepatannya g(~U, ), yang memiliki komponen

U_α = ηαβU^β (11)

Dalam KDS U0= −1, Ui = 0, yang sama dengan −˜d¯t.

Penggunaan ˜d¯t untuk mendeskripsikan suatu kerangka lebih alami daripada ~U. Sebagai contoh, untuk mendapatkan energi suatu partikel pada suatu kerangka E= −~p · ~U, sedangkan bila memakai bentuk satu, E= h˜d¯t,~pi

Tensor Energi-Momentum

Dalam KDS, energi setiap partikel E= m, dan kerapatan partikel adalah n, sehingga rapat energi

ρ = mn (12)

sehinggaρ adalah besaran skalar Lorentz.

Dalam kerangka ¯O yang bergerak dengan kecepatan~v terhadap KDS, atau dalam kerangka dimana partikel-partikel bergerak dengan kecepatan sama~v, kerapatan partikelnya adalah n/√

1 − v², dan energi per partikelnya m/√

1 − v², sehingga rapat energinya

rapat_energi= mn

1 − v² = ρ

1 − v² (13)

Karena bentuk ini mengandung dua faktorΛ₀^¯0= 1/√ 1 − v², maka tentunya rapat energi adalah komponen dari suatu tensor tipe ( 2

0 ).

Untuk debu, karena bentukρ di atas adalah perkalian antara vektor empat momentum dan vektor empat fluks jumlah partikel dalam kerangka KDS, maka dapat diperumum, untuk sembarang kerangka

T ≡~p ⊗ ~N = mn~U ⊗ ~U = ρ~U ⊗ ~U (14) Komponen dari tensor energi-momentum

T(˜dx^α, ˜dx^β)= T^αβ. (15) T^αβadalah fluks dari momentumα yang melewati permukaan dengan x^βkonstan. Karena itu, misalnya T⁰⁰adalah fluks momentum-0 (energi) yang menembus permukaan dengan x⁰ (=t) konstan (yang berarti kerapatan), atau dengan kata lain T⁰⁰ adalah rapat energi. T⁰ⁱadalah fluks momentum-0 (energi) yang menembus permukaan dengan xⁱkonstan. Tⁱ⁰ adalah fluks momentum-i yang menembus permukaan t konstan, atau

Dalam suatu kerangka,

T^αβ= T( ˜ω^α, ˜ω^β)= ρU^αU^β (16) Dalam kerangka ¯O dimana semua partikel bergerak dengan kecepatan v, maka

T^¯0¯0= ρ/(1 − v²); T^¯0¯i= ρvⁱ/(1 − v²) (17) T^¯i¯0= ρvⁱ/(1 − v²); T^¯i¯j= ρvⁱv^j/(1 − v²) (18)

Fluida Umum

Dalam debu, gerak partikel hanya gerak bersama, padahal secara umum partikel juga dapat bergerak secara acak relatif satu terhadap lainnya. Selain itu juga terdapat berbagai gaya antar partikel yang menyumbang pada energi potensial total.

Dalam fluida umum, setiap elemen fluida mungkin memiliki KDS sendiri-sendiri. Semua besaran skalar dalam relativitas yang terkait dengan elemen fluida (seperti rapat jumlah

partikel, suhu, rapat energi, dll.) didefinisikan sebagai nilainya dalam KDS.

Berikut ini tabel besaran makroskopik untuk fluida

~U kecepatan-4 ele- men fluida

kecepatan empat di KDS

n rapat partikel jumlah partikel per satuan volume di KDS

~N vektor fluks par- tikel

~N ≡ n~U

ρ rapat energi rapat energi massa total (massa diam, energi kinetik acak, energi kimia,dsb.)

Φ energi internal per partikel

Φ = (ρ/n) − m (semua energi selain energi massa diam)

ρ0 rapat massa diam ρ0 = mn ini adalah ‘energi’ massa diam saja

T temperatur definisi temperatur termodinamik di KDS

p tekanan definisi tekanan di KDS s entropi jenis entropi per partikel

Hukum pertama termodinamika

Hukum I termodinamika tidak lain adalah pernyataan

kelestarian energi. Tinjau suatu elemen fluida dalam KDS-nya.

Elemen ini dapat bertukar energi dengan elemen lain

disekelilingnya melalui konduksi panas∆Q dan melalui usaha (p∆V). Maka perubahan energi total elemen

∆E = ∆Q − p∆V (19)

Bila elemen fluida mengandung N buah partikel, dan tidak terjadi kreasi atau anihilasi partikel (N tetap) maka

V= N

n; ∆V = −N

n²∆n (20)

Kita juga memiliki

Kedua hasil di atas menyebabkan

∆Q = N

n∆ρ − N(ρ + p)∆n

n² (22)

Bila didefinisikan q ≡ Q/N, panas per partikel, maka n∆q = ∆ρ −ρ + p

n ∆n (23)

untuk perubahan infinitesimal

ndq= dρ −ρ + p

n dn (24)

Dari termodinamika untuk proses yang reversibel, entropi didefinisikan sebagai∆Q = T∆S, dengan s = S/N maka

dρ − (ρ + p)dn

n = nTds (25)

Tensor energi momentum secara umum

Definisi T^αβpada ?? sudah dalam bentuk umum. Tinjau dalam KDS, di mana tidak ada gerak bersama partikel dalam elemen fluida, serta tidak ada momentum-3 partikel. Sehingga dalam KDS didapati

1 T⁰⁰= rapat energi = ρ

2 T⁰ⁱ= fluks energi. Walau tidak ada gerakan, energi dapat dipindahkan melalui konduksi panas, sehingga T⁰ⁱadalah suku konduksi panas dalam KDS.

3 Tⁱ⁰= rapat momentum. Walau partikel tidak memiliki momentum, tetapi karena ada fluks energi, maka energinya membawa momentum.

4 T^ij= fluks momentum. (akan dibahas selanjutnya)

Komponen ruang dari tensor T

Perdefinisi, T^ijadalah fluks momentum-i yang melewati permukaan j.

Tinjau dua elemen fluida di atas, dengan permukaan batas bersama S. Dalam gambar diperlihatkan gaya elemen A kepada B, sebesar F.

Karena dalam KDS (sehingga hukum Newton masih berlaku), maka A memberikan momentum dengan kelajuan sebesar F kepada elemen B. Bila bidang S memiliki luas permukaan A, maka fluks momentum menembus S adalah F/A. Bila S adalah permukaan dengan x^j konstan, maka T^ijuntuk elemen fluida A adalah Fⁱ/A. Jadi T^ijmenggambarkan gaya antara dua elemen fluida. Secara umum gaya ini tidak harus tegak lurus

permukaan batas fluida, tetapi bila tegaklurus maka T^ijnol bila i , j.

Sifat simetri T^αβdalam KDS

Tinjau gambar berikut ini

Gaya pada elemen tetangga pada permukaan-1 (permukaan−x konstan) adalah Fⁱ₁= T^ixl², pada permukaan-2 adalah

Fⁱ₂= T^iyl². Sedangkan pada permukaan-3 dan 4 adalah −Fⁱ₁dan

−Fⁱ₂agar elemen fluida ini tidak mengalami percepatan tak

Pada elemen fluida tadi, torka terhadap sembarang sumbu juga harus nol (agar tidak mengalami percepatan sudut tak hingga).

Total torka akibat gaya di keempat permukaan tadi terhadap sumbu-z adalah

τz = l³(T^xy−T^yx) (26) dan dengan momen inersia elemen terhadap sumbu-z

IρVl²ρl⁵sehinggaα = ^Txy_ρl⁻2^Tyx. Agarα = 0, maka T^xy = T^yxBila diterapkan untuk sembarang sumbu, maka diperoleh T^ij= T^ji

Kesamaan rapat momentum dan fluks energi

Fluks energi adalah rapat energi dikalikan kecepatan alirannya.

Tetapi karena energi sama dengan massa, maka ini sama dengan rapat massa dikalikan kecepatan, atau dengan kata lain rapat momentum. Jadi T⁰ⁱ = Tⁱ⁰

Kelestarian energi-momentum

Tinjau gambar elemen fluida di bawah ini

Laju energi yang masuk melalui permukaan (4) (x= 0) adalah l²T^0x, energi yang masuk permukaan (2) (x= l) adalah −l²T^0x. Energi yang mengalir dalam arah y adalah l²T^0y(di y= 0) dan

−l²T^0y(di y= l). Demikian juga untuk arah z.

Jumlah laju energi yang masuk harus sama dengan laju pertambahan energi di elemen tersebut∂(T⁰⁰l³)/∂t, sehingga

∂

∂l³T⁰⁰ = l²[T^0x(x= 0) − T^0x(x= l) + T^0y(y= 0)

− T^0y(y= l) + T^0z(z= 0) − T^0z(z= l)] (27) setelah dibagi l³dan diambil limit l → 0 maka

∂

∂T⁰⁰= − ∂

∂xT^0x− ∂

∂yT^0y− ∂

∂zT^0z (28)

atau dapat juga ditulis

T^0α,_α= 0 (29)

Hal yang sama juga dapat dijabarkan untuk aliran momentum (dengan mengganti 0 dengan i= 1, 2, 3). Sehingga hukum kelestarian energi-momentum secara umum dapat dituliskan

T^αβ,β= 0 (30)

Ini berlaku untuk sembarang materi dalam teori relativitas

Kelestarian Partikel

Penjabaran seperti untuk energi dan momentum juga dapat kita lakukan untuk fluks jumlah partikel, bila dalam aliran fluida jumlah partikel total tetap. Sehingga dapat dituliskan

∂

∂N⁰= − ∂

∂xN^x− ∂

∂yN^y− ∂

∂zN^z (31)

atau

N^α,α= (nU^α),α= 0 (32)

Fluida sempurna

Dalam relativitas fluida sempurna didefinisikan sebagai suatu fluida yang tidak mempunyai viskositas dan tidak memiliki hantaran panas dalam KDS. Karena tidak ada hantaran panas, maka dalam KDS, T⁰ⁱ= Tⁱ⁰ = 0. Bila jumlah partikel tetap, maka entropi jenis akan terkait dengan aliran panas melalui persamaan

Tds= dQ

artinya, dalam fluida sempurna, bila pers. (32) terpenuhi, maka entropi jenis s selalu konstan.

Viskositas adalah gaya yang paralel dengan permukaan antara elemen fluida. Bila tidak ada viskositas, berarti gaya selalu tegak lurus permukaan batas antar elemen fluida, sehingga T^ij= 0 bila i , j, atau T^ijadalah matriks diagonal. Dan karena ketiadaan viskositas ini tidak bergantung pada kerangka ruang, maka matrik T^ijselalu ortogonal dalam semua kerangka KDS. Dan ini berarti matriks tersebut merupakan kelipatan dari matriks identitas. Permukaan x akan memiliki gaya pada arah x saja, demikian juga untuk arah y dan z. Gaya persatuan luas ini sama untuk ketiga arah dan disebut sebagai tekanan.

Sehingga T^ij= pδ^ij.

Bentuk T

Dalam KDS, T untuk fluida sempurna memiliki bentuk

(T^αβ)=















ρ 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p















(33)

Dapat ditunjukkan bahwa dalam KDS

T^αβ = (ρ + p)U^αU^β+ pη^αβ (34) atau dalam bentuk yang bebas kerangka,

T= (ρ + p)~U ⊗ ~U + pg⁻¹ (35) Debu adalah bentuk fluida sempurna tanpa tekanan.

Hukum kelestarian

Pers. (30) bila diterapkan pada fluida ideal

T^αβ,_β= [(ρ + p)U^αU^β+ pη^αβ],_β= 0 (36) Anggap jumlah partikel tetap sehingga (nU^β),β= 0. Suku pertama dari pers. (36) dapat dituliskan sebagai

[(ρ + p)U^αU^β],_β=hρ + p

n U^αnU^βi,_β= nU^βρ + p

n U^α,_β (37) karenaη^αβadalah matriks yang konstan, makaη^αβ,_γ= 0. Selain itu juga diperoleh

U^αU_α= −1 sehingga (U^αU_α),_β= 0 (38)

atau α

Dengan menggunakan hasil-hasil di (37) dan (39), pers. awal di (36) menjadi

nU^βρ + p

n U^α,β+p,βη^αβ = 0 (40) Kalikan dengan U_αdan dijumlah terhadapα, diperoleh

nU^βU_αρ + p

n U^α,β+p,_βη^αβU_α = 0 (41) suku terakhir p,_βU^βtidak lain adalah derivatif p sepanjang garis dunia dari elemen fluida, dp/dτ. Kita peroleh setelah beberapa manipulasi

U^βh

−nρ + p

n ,β+p,_βi = 0 (42) atau

−U^βhρ,β−ρ + p

n n,_βi = 0 (43)

yang dapat juga ditulis sebagai dρ

dt −ρ + p n

dn dτ = 0

Bila dibandingkan dengan pers. (25) maka dapat disimpulkan U^αs,_α= ds

dτ= 0

Jadi aliran partikel konstan fluida ideal, memiliki entropi jenis yang lestari, ini disebut sebagai adiabatik. Selain itu, apa yang kita lakukan, bahwa kelestarian energi dalam termodinamika, telah tersimpan dalam pers.36, paralel dengan U^α.

Tiga komponen pers. (36) lainnya dapat dijabarkan sebagai berikut. Mulai dari pers

nU^βρ + p

U^α,β+p,_βη^αβ = 0

kemudian pindah ke KDS dengan Uⁱ= 0, tetapi Uⁱ,_β, 0.

Komponen ke-i nya

nU^βρ + p

n Uⁱ,β+p,_βη^iβ= 0 (44) karena Uⁱ= 0 maka diperoleh

(ρ + p)Uⁱ,βU^β+ p,βη^iβ = 0 dengan menurunkan indeks i, diperoleh

(ρ + p)Ui,_βU^β+ p,i= 0 karena U_i,_βU^βadalah percepatan a_i maka

(ρ + p)ai+ p,i= 0 (45)

Pentingnya T dalam Teori Relativitas Umum

Dalam teori gravitasi Newton, sebagai sumber medan gravitasi adalah rapat massaρ, yang dalam bahasa relativistik adalah rapat massa diamρ0. Tetapi akan sangat aneh bila yang

menjadi sumber hanyaρ0karena energi dan massa diam saling terkait secara relativistik. Karena itu tentunya sebagai sumber haruslah dipakai seluruh energi massa total T⁰⁰. Tetapi bila hanya dipakai T⁰⁰, yaitu salah satu komponen dari T akan menghasilkan suatu teori yang tidak invarian Lorentz. Karena itu sebagai sumber gravitasi haruslah keseluruhan tensor energi momentum.

Hal kedua yang terkait tensor energi momentum adalah peranan tekanan dalam Teori Relativitas Umum (TRU) sebagai sumber dari medan gravitasi dan kemunculannya dalam pers.

(45). Dalam sebuah bintang yang masif, medan gravitasi yang kuat membutuhkan gradien tekanan yang besar untuk

menyeimbangi tarikan gravitasi. Berapa besar gradien tekanan yang dibutuhkan diberikan oleh percepatan yang ditimbulkan gravitasi bila tidak ada tekanan. Besarnya gradien tekanan ditentukan dari

−a_i= p,i

ρ + p

Karenaρ + p jelas lebih besar daripada ρ maka besar gradien tekanan yang dibutuhkan lebih besar daripada dalam teori Newton,ρ~a + ∇p = 0. Karena p yang lebih besar akan menambah besar komponen T, medan gravitasi yang lebih besar juga muncul. Ketika besar p sudah sebanding denganρ, meningkatkan p justru tidak dapat menahan besar tarikan gravitasi, dan muncullah keruntuhan gravitasi.

Hukum Gauss

Hukum Gauss disini adalah kesamaan antara integral volume dari suatu divergensi dengan suatu integral permukaan

Z

V^α,_αd⁴x= I

V^αn_αd³S

yang tidak adalah lain adalah bentuk integral dari T^αβ,_β= 0 dan N^α,_α= 0. Perhatikan gambar berikut

Volume dalam gambar dibatasi oleh empat pasang permukaan hiper untuk t, x, y, dan z konstan (hanya t dan x yang

digambarkan). Normal pada t₂adalah ˜dt dan pada t₁adalah

−˜dt. Normal pada x2dan x₁adalah ˜dx dan −˜dx berturutan.

Sehingga integral permukaan di atas adalah Z

t2

V⁰dxdydz + Z

x1

(−V⁰)dxdydz Z

x2

V^xdtdy dz +Z

x1

(−V^x)dtdydz+ permukaan lainnya (46)

yang dapat juga ditulis sebagai Z

[V⁰(t₂) − V⁰(t₁)]dxdydz+ Z

[V^x(x₂) − V^x(x₁)]dtdydz+ · · · (47)

atau Z ∂V⁰

∂t dtdxdydz+

Z ∂V^x

∂x dxdtdydz+ · · · Diringkas

Z

V^α,_αdtdxdydz