BAB III MODEL EXPONENTIAL GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTIC IN MEAN (EGARCH-M)

(1)

BAB III

MODEL EXPONENTIAL GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTIC IN MEAN (EGARCH-M)

3.1 Proses EGARCH

Exponential GARCH (EGARCH) diajukan Nelson pada tahun 1991 untuk menutupi kelemahan model ARCH/GARCH dalam menangkap fenomona ketidaksimetrisan good news dan bad news dalam volatilitas. Model ARCH/GARCH mengasumsikan pengaruh good news dan bad news sama terhadap volatilitasnya sehingga tidak dapat menangkap fenomena ketidaksimetrisan.

Pada data return, nilai volatilitas akan tinggi ketika nilai error lebih kecil dari nol dibandingkan ketika error lebih besar dari nol. Keadaan yang disebut Leverage Effect ini ditangkap oleh model Exponential GARCH.

Untuk memperhitungkan efek asimetris antara good news dan bad news, Nelson mempertimbangkan inovasi terboboti (weighted innovation):

𝑔 𝜀_𝑡 = 𝜃𝜀_𝑡 + 𝛾 𝜀_𝑡 − 𝐸 𝜀_𝑡 (3.1) dengan 𝜃 dan 𝛾 adalah konstanta riil, 𝜀_𝑡 dan 𝜀_𝑡 − 𝐸 𝜀_𝑡 adalah barisan berdistribusi identik independen dengan rata-rata nol dan kontinu. Dengan demikian, 𝐸 𝑔 𝜀_𝑡 = 0 . Ketidaksimetrisan dari 𝑔 𝜀_𝑡 dapat dilihat dengan menuliskan persamaan 3.1 menjadi:

𝑔 𝜀_𝑡 = 𝜃 + 𝛾 𝜀_𝑡 − 𝛾𝐸 𝜀_𝑡 , 𝜀_𝑡 ≥ 0 𝜃 − 𝛾 𝜀_𝑡 − 𝛾𝐸 𝜀_𝑡 , 𝜀_𝑡 < 0

(2)

Di samping dapat menangkap efek asimetris dari good news dan bad news, model Exponential GARCH memiliki kelebihan lain dibandingkan model ARCH/GARCH, yaitu parameter-parameter pada Exponential GARCH tidak perlu dibatasi untuk menjamin variansi selalu positif. Hal ini dikarenakan bentuk persamaan dalam logaritma. Secara umum, proses EGARCH dengan orde p dan q atau EGARCH(p,q) didefinisikan sebagai proses 𝑎_𝑡 yang memenuhi:

𝑦_𝑡 = 𝑥_𝑡^′𝜇 + 𝑎_𝑡 𝑎_𝑡 = 𝜎_𝑡𝜀_𝑡

ln 𝜎_𝑡² = 𝜔 + 𝛽₁ln 𝜎_𝑡−1² + ⋯ + 𝛽_𝑞ln 𝜎_𝑡−𝑞² + 𝛼₁𝑎_𝑡−1

𝜎_𝑡−1 + ⋯ + 𝛼_𝑝𝑎_𝑡−𝑝

𝜎_𝑡−𝑝 + 𝛾₁ 𝑎_𝑡−1 𝜎_𝑡−1

− 𝐸 ^𝑎^𝑡−1

𝜎_𝑡−1 + ⋯ + 𝛾_𝑝 ^𝑎^𝑡−𝑝

𝜎_𝑡−𝑝 − 𝐸 ^𝑎^𝑡−𝑝

𝜎_𝑡−𝑝 ln 𝜎_𝑡² = 𝜔 + ^𝑞_𝑖=1𝛽_𝑖ln 𝜎_𝑡−𝑖² + 𝛼_𝑗 ^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎_{𝑡 −𝑗} 𝑝

𝑗 =1 + 𝛾_𝑗 ^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎_{𝑡 −𝑗} − 𝐸 ^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎_𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1 (3.2)

𝑒^{ln 𝜎}^𝑡² = 𝑒^{𝜔 +} ^𝛽^𝑖^{ln 𝜎}^𝑡−𝑖

𝑞 2

𝑖=1 + 𝛼_𝑗𝑎_𝑡−𝑗

𝜎𝑡 −𝑗 𝑝

𝑗 =1 + 𝛾_𝑗 𝑎_𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗 −𝐸 𝑎_𝑡−𝑗 𝜎𝑡−𝑗 𝑝

𝑗 =1

𝜎_𝑡² = 𝑒^𝜔𝑒 ^𝑞^𝑖=1^{ln 𝜎}^𝑡−𝑖^{2𝛽 𝑖}𝑒𝑥𝑝 𝛼_𝑗^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗 𝑝

𝑗 =1 + 𝛾_𝑗 ^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎𝑡 −𝑗 − 𝐸 ^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1

𝜎_𝑡² = 𝑒^𝜔 ^𝑞_𝑖=1𝜎_𝑡−𝑖^2𝛽^𝑖 ^𝑝_{𝑗 =1}𝑒𝑥𝑝 𝛼_𝑗^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎_{𝑡 −𝑗} + 𝛾_𝑗 ^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎_𝑡−𝑗 − 𝐸 ^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎_{𝑡 −𝑗} (3.3) dengan 𝜀_𝑡 ~ 𝑖𝑖𝑑 𝑁(0,1).

Karena pada model volatilitas EGARCH good news dan bad news memberikan pengaruh yang berbeda terhadap volatilitas maka persamaan (3.3) dapat ditulis kembali dalam bentuk:

𝜎_𝑡² =

𝑒^𝜔 ^𝑞_𝑖=1𝜎_𝑡−𝑖^2𝛽^𝑗 ^𝑝_{𝑗 =1}𝑒𝑥𝑝 ^𝛼^𝑗^+𝛾^𝑗

𝜎_𝑡−𝑗 𝑎_𝑡−𝑗 − 𝛾_𝑗𝐸 ^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎_{𝑡 −𝑗} , 𝑎_𝑡−𝑗 ≥ 0 𝑒^𝜔 ^𝑞_𝑖=1𝜎_𝑡−𝑖^2𝛽^𝑗 ^𝑝_{𝑗 =1}𝑒𝑥𝑝 ^𝛼^𝑗^−𝛾^𝑗

𝜎_𝑡−𝑗 𝑎_𝑡−𝑗 − 𝛾_𝑗𝐸 ^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎_{𝑡 −𝑗} , 𝑎_𝑡−𝑗 < 0

(3.4)

(3)

Karena 𝐸 ^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎𝑡 −𝑗 = 0 maka persamaan 3.2 dapat dituliskan menjadi:

ln 𝜎_𝑡² = 𝜔 + ^𝑞_𝑖=1𝛽_𝑖ln 𝜎_𝑡−𝑖² + 𝛼_𝑗 ^𝑎^𝑡−𝑗

𝑗 =1 + 𝛾_𝑗 ^𝑎^𝑡−𝑗

𝑗 =1 (3.5) Persamaan (3.5) memiliki dua unsur yaitu magnitude effect ^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎_{𝑡 −𝑗} yang menunjukkan besarnya pengaruh volatilitas pada periode t-j terhadap varian saat ini dan sign effect ^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎𝑡 −𝑗 yang menunjukkan perbedaan pengaruh good news dan bad news pada periode t-j terhadap varian saat ini.

Untuk model EGARCH yang paling sederhana atau EGARCH(1,1) didefinisikan sebagai proses 𝑎_𝑡 yang memenuhi:

𝑦_𝑡 = 𝑥_𝑡^′𝜇 + 𝑎_𝑡 𝑎_𝑡 = 𝜎_𝑡𝜀_𝑡

ln 𝜎_𝑡² = 𝜔 + 𝛽₁ln 𝜎_𝑡−1² + 𝛼₁^𝑎^𝑡−1

𝜎𝑡−1+ 𝛾₁ ^𝑎^𝑡−1

𝜎𝑡−1 (3.6)

3.2 Proses EGARCH-M

EGARCH in mean (EGARCH-M) juga dikembangkan oleh Nelson pada tahun 1991. Sama halnya seperti kelebihan model GARCH-M terhadap GARCH, kelebihan model EGARCH-M terhadap EGARCH juga terletak pada risiko yang berpengaruh terhadap tingkat pengembaliannya. Secara umum, proses EGARCH(p,q)-M didefinisikan sebagai proses 𝑎_𝑡 yang memenuhi:

𝑦_𝑡 = 𝑥_𝑡^′𝜇 + 𝜆𝜎_𝑡+ 𝑎_𝑡 𝑎_𝑡 = 𝜎_𝑡𝜀_𝑡

ln 𝜎² = 𝜔 + ^𝑞 𝛽 ln 𝜎² + ^𝑝 𝛼 ^𝑎^𝑡−𝑗 + ^𝑝 𝛾 ^𝑎^𝑡−𝑗

(4)

dimana parameter 𝜆 dinamakan parameter premium risk.

Untuk model EGARCH-M yang paling sederhana atau EGARCH(1,1)-M didefinisikan sebagai proses 𝑎_𝑡 yang memenuhi:

ln 𝜎_𝑡² = 𝜔 + 𝛽₁ln 𝜎_𝑡−1² + 𝛼₁^𝑎^𝑡−1

𝜎_{𝑡 −𝑗} + 𝛾₁ ^𝑎^𝑡−1

𝜎_{𝑡 −𝑗}

3.3 Uji Efek Asimetris

Untuk menggunakan model EGARCH-M diperlukan asumsi bahwa data residual yang diuji harus memiliki efek asimetris. Engle dan Ng (1993) mengusulkan suatu uji efek asimetris yang disebut sign and size bias tests untuk menentukan apakah model asimetris dibutuhkan atau model GARCH-M sudah cukup memadai. Untuk memeriksa pengaruh efek asimetris, data runtun waktu terlebih dahulu harus dimodelkan ke dalam model GARCH-M dan diambil residual datanya. Kemudian lakukan uji efek asimetris berdasarkan persamaan regresi berikut:

𝑎 _𝑡² = 𝜑₀+ 𝜑₁𝑆_𝑡−1⁻ + 𝜑₂𝑆_𝑡−1⁻ 𝑎 _𝑡−1+ 𝜑₃𝑆_𝑡−1⁺ 𝑎 _𝑡−1+ 𝑢_𝑡 (3.7) 𝑆_𝑡−1⁺ = 1 − 𝑆_𝑡−1⁻

dengan:

𝑆_𝑡−1⁻ : Variabel dummy yang bernilai satu jika 𝑎 _𝑡−1 < 0 dan nol untuk yang lainnya.

𝜑₁: Parameter sign bias (efek positif atau negatif).

𝜑₂: Parameter size bias (besar efek negatif).

(5)

𝜑₃: Parameter size bias (besar efek positif).

dengan hipotesis yang diuji adalah:

𝐻₀: 𝜑₁ = 𝜑₂ = 𝜑₃ = 0 (residual bersifat simetris).

𝐻₁: Paling tidak ada satu tanda ”=” tidak berlaku (residual bersifat asimetris).

dengan kriteria pengujian dengan menggunakan software Eviews adalah Tolak 𝐻₀ jika 𝑃𝑟𝑜𝑏 < 𝛼.

Uji efek asimetris yang lainnya diusulkan oleh Enders (2004) dengan melihat korelasi antara kuadrat standar residual 𝑎_𝑡² dengan lag standar residual 𝑎_𝑡−𝑘 menggunakan estimasi dari regresi berikut:

𝑎_𝑡² = 𝛼₀+ 𝛼₁𝑎_𝑡−1+ ⋯ + 𝛼_𝑘𝑎_𝑡−𝑘 (3.8) Hipotesis yang diuji adalah:

𝐻₀: 𝛼₁ = ⋯ = 𝛼_𝑘 = 0 (residual bersifat simetris).

𝐻₁: Paling tidak ada satu tanda ”=” tidak berlaku (residual bersifat asimetris).

dengan kriteria pengujian adalah Tolak 𝐻₀ jika korelasi ≠ 0 atau dengan menggunakan software Eviews, tolak 𝐻₀ jika Prob(F-Stat) < 𝛼.

3.4 Pembentukan Model

Sebelum data runtun waktu dimodelkan (dalam hal ini harga saham) dengan model EGARCH-M, terlebih dahulu harus dilakukan beberapa langkah pembentukan model. Langkah-langkah dalam pembentukan model dapat digambarkan dengan bagan sebagai berikut:

(6)

Gambar 3.1 Bagan Tahap Pembentukan Model EGARCH-M

3.5 Identifikasi Model

Untuk menentukan identifikasi model dari data runtun waktu homoskedatis, dapat dilakukan dengan menggunakan fak dan fakp, tetapi dalam model volatilitas EGARCH-M belum terdapat kriteria untuk mengidentifikasi

Uji Efek Heteroskedatisitas

Uji Efek Asimetris Harga Saham

TIDAK

YA TIDAK

YA

Peramalan

Perhitungan return harga saham

Pembentukan Model EGARCH-M 1. Identifikasi Model 2. Estimasi Parameter

3. Verifikasi Model

Pembentukan model GARCH-M 1. Identifikasi Model 2. Estimasi Parameter

3. Verifikasi Model Uji Stasioneritas

Pembentukan Model ARMA

(7)

model tersebut. Oleh karena itu, pada skripsi ini digunakan beberapa model EGARCH-M sederhana yaitu, model EGARCH(1,1)-M, EGARCH(1,2)-M, EGARCH(2,1)-M, dan EGARCH(2,2)-M.

3.6 Estimasi Parameter

Tahap selanjutnya setelah mengidentifikasi model yaitu mengestimasi parameter. Parameter-parameter yang akan diestimasi adalah 𝜇, 𝜆, 𝜔, 𝛽, 𝛼, dan 𝛾.

Parameter tersebut akan diestimasi dengan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan dilanjutkan dengan metode iteratif seperti algoritma Newton-Rhapson, Method of Scoring, atau Iterasi Berndt, Hall, Hall &

Hausman (BHHH).

Diketahui proses EGARCH(p,q)-M:

𝑗 =1 + 𝛾_𝑗 ^𝑎^𝑡−𝑗

𝑗 =1

Misalkan fkp dari observasi data 𝑧_𝑡 dinotasikan dengan 𝑓 𝑧_𝑡 dan 𝜓 = 𝜇, 𝜆, 𝛿^′ adalah suatu vektor dari semua parameter yang tidak diketahui dengan 𝛿^′ = 𝜔, 𝛽₁, … , 𝛽_𝑖, 𝛼₁, … , 𝛼_𝑗, 𝛾₁, … , 𝛾_𝑗 serta 𝑣_𝑡^′ = 1, ln 𝜎_𝑡−1² , … , ln 𝜎_𝑡−𝑖² ,^𝑎^𝑡−1

𝜎_𝑡−𝑗, … ,^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎_𝑡−𝑗, ^𝑎^𝑡−1

𝜎𝑡−𝑗 , … , ^𝑎^𝑡−𝑗

𝜎𝑡−𝑗 . Model EGARCH(p,q)-M dapat dituliskan kembali menjadi:

𝑎_𝑡 = 𝑦_𝑡 − 𝑥_𝑡^′𝜇 − 𝜆𝜎_𝑡

𝑗 =1 + 𝛾_𝑗 ^𝑎^𝑡−𝑗

𝑗 =1

(8)

ln 𝜎_𝑡² = 𝑣_𝑡^′ 𝛿

Dengan mengasumsikan 𝑎_𝑡 berditribusi normal, maka fungsi likelihoodnya adalah:

𝐿 𝜓, 𝜎² 𝑦, 𝑥_𝑡^′ = 2𝜋𝜎_𝑡² ⁻^𝑁²𝑒𝑥𝑝 −1 2

𝑦_𝑡− 𝑥_𝑡^′𝜇 − 𝜆𝜎_𝑡 ² 𝜎_𝑡²

𝑁

𝑡=1

Kemudian fungsi log likelihoodnya adalah:

ln 𝐿 𝜓 = 𝐿 = −1

2 ln 2𝜋 + ln 𝜎_𝑡²− 𝑦_𝑡 − 𝑥_𝑡^′𝜇 − 𝜆𝜎_𝑡 𝜎_𝑡

𝑁 2

𝑡=1

dengan ln 𝐿 𝜓 = 𝐿 dimaksudkan untuk penyederhanaan penulisan. Kemudian dengan menggunakan 𝑎_𝑡 = 𝑦_𝑡− 𝑥_𝑡^′𝜇 − 𝜆𝜎_𝑡, maka persamaannya menjadi:

𝐿 = −1

2 ln 2𝜋 + ln 𝜎_𝑡²− 𝑎_𝑡 𝜎_𝑡

𝑁 2

𝑡=1

Kemudian, turunkan fungsi log likelihood terhadap 𝜓 sehingga diperoleh:

𝜕𝐿

𝜕𝜓= −1 2

𝜕

𝜕𝜓 ln 2𝜋 + ln 𝜎_𝑡²− 𝑎_𝑡 𝜎_𝑡

𝑁 2 𝑡=1

= −1 2

1 𝜎_𝑡²

𝜕𝜎_𝑡²

𝜕𝜓 +

2𝑎_𝑡𝜕𝑎_𝑡

𝜕𝜓𝜎_𝑡²− 𝑎_𝑡²𝜕𝜎_𝑡²

𝜕𝜓 𝜎_𝑡⁴

= − 1 2𝜎_𝑡²

𝜕𝜎_𝑡²

𝜕𝜓 − 𝑎_𝑡 𝜎_𝑡²

𝜕𝑎_𝑡

𝜕𝜓 + 𝑎_𝑡² 2𝜎_𝑡⁴

𝜕𝜎_𝑡²

𝜕𝜓

= −𝑎_𝑡 𝜎_𝑡²

𝜕𝑎_𝑡

𝜕𝜓 −1 2

1

𝜎_𝑡⁴(𝜎_𝑡²− 𝑎_𝑡²)𝜕𝜎_𝑡²

𝜕𝜓

(9)

Penyelesaian tahap akhir yang diinginkan adalah memperoleh ^𝜕𝜎^𝑡

2

𝜕𝜓. Untuk memperoleh ^𝜕𝜎^𝑡

2

𝜕𝜓, ada beberapa tahapan yang harus dilakukan, yaitu:

1) Tahap pertama, persamaan (3.5) diturunkan terhadap 𝜇 Pandang persamaan rata-rata pada EGARCH-M yaitu:

𝑦_𝑡 = 𝑥_𝑡^′𝜇 + 𝜆𝜎_𝑡+ 𝑎_𝑡 𝑦_𝑡− 𝑥_𝑡^′𝜇 − 𝜆𝜎_𝑡 = 𝑎_𝑡

𝜕

𝜕𝜇 𝑦_𝑡− 𝑥_𝑡^′𝜇 − 𝜆𝜎_𝑡 =𝜕𝑎_𝑡

𝜕𝜇

−𝑥_𝑡^′ − 𝜆^𝜕𝜎^𝑡

𝜕𝜇 = ^𝜕𝑎^𝑡

𝜕𝜇 (3.9)

Substitusikan 𝑎_𝑡 = 𝜎_𝑡𝜀_𝑡 ke dalam persamaan rata-rata sehingga diperoleh:

𝑦_𝑡 = 𝑥_𝑡^′𝜇 + 𝜆𝜎_𝑡+ 𝜎_𝑡𝜀_𝑡 𝑦_𝑡− 𝑥_𝑡^′𝜇 = 𝜆 + 𝜀_𝑡 𝜎_𝑡 𝑦_𝑡− 𝑥_𝑡^′𝜇

𝜆 + 𝜀_𝑡 = 𝜎_𝑡

𝜕

𝜕𝜇

𝑦_𝑡 − 𝑥_𝑡^′𝜇

𝜆 + 𝜀_𝑡 =𝜕𝜎_𝑡

𝜕𝜇

−𝑥_𝑡^′ 𝜆+𝜀_𝑡 =^𝜕𝜎^𝑡

𝜕𝜇 (3.10)

Persamaan (3.9) dan (3.10) akan digunakan dalam penurunan model EGARCH-M terhadap 𝜇, yaitu:

𝜕 ln 𝜎_𝑡²

𝜕𝜇 = 𝜕

𝜕𝜇 𝜔 + 𝛽_𝑖ln 𝜎_𝑡−𝑖²

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼_𝑗𝑎_𝑡−𝑗 𝜎_𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1

+ 𝛾_𝑗 𝑎_𝑡−𝑗 𝜎_𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1

(10)

1 𝜎_𝑡²

𝜕𝜎_𝑡²

𝜕𝜇 =𝜕𝜔

𝜕𝜇 + 𝜕

𝜕𝜇 𝛽_𝑖ln 𝜎_𝑡−𝑖²

𝑞

𝑖=1

+ 𝜕

𝜕𝜇 𝛼_𝑗𝑎_𝑡−𝑗 𝜎_𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1

+ 𝜕

𝜕𝜇 𝛾_𝑗 𝑎_𝑡−𝑗 𝜎_𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1

1 𝜎_𝑡²

𝜕𝜎_𝑡²

𝜕𝜇 = 0 + 𝛽_𝑖 1 𝜎_𝑡−𝑖²

𝜕𝜎_𝑡−𝑖²

𝜕𝜇

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼_𝑗

𝜕𝑎_𝑡−𝑗

𝜕𝜇 𝜎_𝑡−𝑗 − 𝑎_𝑡−𝑗𝜕𝜎_𝑡−𝑗

𝜕𝜇 𝜎_𝑡−𝑗²

𝑝

𝑗 =1

+

𝛾_𝑗

𝜕 𝑎_𝑡−𝑗

𝜕𝜇 𝜎_𝑡−𝑗 − 𝑎_𝑡−𝑗 𝜕 𝜎_𝑡−𝑗

𝜕𝜇 𝜎_𝑡−𝑗²

𝑝

𝑗 =1

𝜕𝜎_𝑡²

𝜕𝜇 = 𝜎_𝑡² 𝛽_𝑖 1 𝜎_𝑡−𝑖²

−𝑥_𝑡−𝑖^′ 𝜆 + 𝜀_𝑡−𝑖

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼_𝑗

−𝑥_𝑡−𝑗^′ 𝜀_𝑡−𝑗

𝜆 + 𝜀_𝑡−𝑗 𝜎_𝑡−𝑗 + 𝑎_𝑡−𝑗 𝑥_𝑡−𝑗^′ 𝜆 + 𝜀_𝑡−𝑗 𝜎_𝑡−𝑗²

𝑝

𝑗 =1

+

𝛾_𝑗

𝑥_𝑡−𝑗^′ 𝜀_𝑡−𝑗

𝜆 + 𝜀_𝑡−𝑗 𝜎_𝑡−𝑗 − 𝑎_𝑡−𝑗 𝑥_𝑡−𝑗^′ 𝜆 + 𝜀_𝑡−𝑗 𝜎_𝑡−𝑗²

𝑝

𝑗 =1

= 0

2) Tahap kedua, persamaan (3.5) diturunkan terhadap 𝜆

𝜕 ln 𝜎_𝑡²

𝜕𝜆 = 𝜕

𝜕𝜆 𝜔 + 𝛽_𝑖ln 𝜎_𝑡−𝑖²

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼_𝑗 𝑎_𝑡−𝑗 𝜎_𝑡−𝑗

𝑝

𝑗 =1

𝑝

𝑗 =1

𝜕𝜎_𝑡²

𝜕𝜆 = 𝜎_𝑡² 𝛽_𝑖 1 𝜎_𝑡−𝑖²

𝑥_𝑡−𝑖^′ 𝜇 − 𝑦_𝑡−𝑖 𝜆 + 𝜀_𝑡−𝑖 ²

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼_𝑗

− 𝜎_𝑡−𝑗 ²− 𝑎_𝑡−𝑗 𝑥_𝑡−𝑗^′ 𝜇 − 𝑦_𝑡−𝑗 𝜆 + 𝜀_𝑡−𝑗 ² 𝜎_𝑡−𝑗²

𝑝

𝑗 =1

+

𝛾_𝑗

𝜕𝜆 𝜎_𝑡−𝑗 − 𝑎_𝑡−𝑗 𝜕 𝜎_𝑡−𝑗

𝜕𝜆 𝜎_𝑡−𝑗²

𝑝

𝑗 =1

= 0

(11)

3) Tahap ketiga, persamaan (3.5) diturunkan terhadap 𝜔

𝜕 ln 𝜎_𝑡²

𝜕𝜔 = 𝜕

𝜕𝜔 𝜔 + 𝛽_𝑖ln 𝜎_𝑡−𝑖²

𝑞

𝑖=1

𝑝

𝑗 =1

𝑝

𝑗 =1

𝜕𝜎_𝑡²

𝜕𝜔 = 𝜎_𝑡² 1 + 𝛽_𝑖 1 𝜎_𝑡−𝑖²

𝜕𝜔

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼_𝑗

𝜕𝜔 𝜎_𝑡−𝑗 − 𝑎_𝑡−𝑗𝜕𝜎_𝑡−𝑗

𝜕𝜔 𝜎_𝑡−𝑗²

𝑝

𝑗 =1

+

𝛾_𝑗

𝜕𝜔 𝜎_𝑡−𝑗 − 𝑎_𝑡−𝑗 𝜕 𝜎_𝑡−𝑗

𝜕𝜔 𝜎_𝑡−𝑗²

𝑝

𝑗 =1

= 0

4) Tahap keempat, persamaan (3.5) diturunkan terhadap 𝛽_𝑖

𝜕 ln 𝜎_𝑡²

𝜕𝛽_𝑖 = 𝜕

𝜕𝛽_𝑖 𝜔 + 𝛽_𝑖ln 𝜎_𝑡−𝑖²

𝑞

𝑖=1

𝑝

𝑗 =1

𝑝

𝑗 =1

𝜕𝜎_𝑡²

𝜕𝛽_𝑖 = 𝜎_𝑡² ln 𝜎_𝑡−𝑖² + 𝛽_𝑖 1 𝜎_𝑡−𝑖²

𝜕𝛽_𝑖

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼_𝑗

𝜕𝛽_𝑖 𝜎_𝑡−𝑗 − 𝑎_𝑡−𝑗𝜕𝜎_𝑡−𝑗

𝜕𝛽_𝑖 𝜎_𝑡−𝑗²

𝑝

𝑗 =1

+

𝛾_𝑗

𝜕𝛽_𝑖 𝜎_𝑡−𝑗 − 𝑎_𝑡−𝑗 𝜕 𝜎_𝑡−𝑗

𝜕𝛽_𝑖 𝜎_𝑡−𝑗²

𝑝

𝑗 =1

= 0

5) Tahap kelima, persamaan (3.5) diturunkan terhadap 𝛼_𝑗

𝜕 ln 𝜎_𝑡²

𝜕𝛼_𝑗 = 𝜕

𝜕𝛼_𝑗 𝜔 + 𝛽_𝑖ln 𝜎_𝑡−𝑖²

𝑞

𝑖=1

𝑝

𝑗 =1

𝑝

𝑗 =1

(12)

𝜕𝜎_𝑡²

𝜕𝛼_𝑗 = 𝜎_𝑡² 𝛽_𝑖 1 𝜎_𝑡−𝑖²

𝜕𝛼_𝑗

𝑞

𝑖=1

+ 𝑎_𝑡−𝑗 𝜎_𝑡−𝑗 + 𝛼_𝑗

𝜕𝛼_𝑗 𝜎_𝑡−𝑗 − 𝑎_𝑡−𝑗 𝜕𝜎_𝑡−𝑗

𝜕𝛼_𝑗 𝜎_𝑡−𝑗²

𝑝

𝑗 =1

+

𝛾_𝑗

𝜕𝛼_𝑗 𝜎_𝑡−𝑗 − 𝑎_𝑡−𝑗 𝜕 𝜎_𝑡−𝑗

𝜕𝛼_𝑗 𝜎_𝑡−𝑗²

𝑝

𝑗 =1

= 0

6) Tahap pertama, persamaan (3.5) diturunkan terhadap 𝛾_𝑗

𝜕 ln 𝜎_𝑡²

𝜕𝛾_𝑗 = 𝜕

𝜕𝛾_𝑗 𝜔 + 𝛽_𝑖ln 𝜎_𝑡−𝑖²

𝑞

𝑖=1

𝑝

𝑗 =1

𝑝

𝑗 =1

𝜕𝜎_𝑡²

𝜕𝛾_𝑗 = 𝜎_𝑡² 1 + 𝛽_𝑖 1 𝜎_𝑡−𝑖²

𝜕𝛾_𝑗

𝑞

𝑖=1

+ 𝛼_𝑗

𝜕𝛾_𝑗 𝜎_𝑡−𝑗 − 𝑎_𝑡−𝑗𝜕𝜎_𝑡−𝑗

𝜕𝛾_𝑗 𝜎_𝑡−𝑗²

𝑝

𝑗 =1

+

𝑎_𝑡−𝑗 𝜎_𝑡−𝑗 + 𝛾_𝑗

𝜕𝛾_𝑗 𝜎_𝑡−𝑗 − 𝑎_𝑡−𝑗 𝜕 𝜎_𝑡−𝑗

𝜕𝛾_𝑗 𝜎_𝑡−𝑗²

𝑝

𝑗 =1

= 0

Untuk menemukan pendekatan estimasi parameter maka digunakan metode iteratif. Algoritma optimisasi untuk iterasi dimulai dari suatu nilai awal, misalkan 𝜓₀ . Kemudian 𝜓₀ digunakan untuk mencari 𝜓₁ . Proses iteratif dilakukan sampai diperoleh 𝜓_𝑛 = 𝜓_{𝑛 +1}. Ada tiga metode iteratif yang dapat digunakan, yaitu:

(13)

3.6.1 Metode Newton-Raphson

Pada iterasi ini fungsi objektif 𝐿 diaproksimasi dengan deret Taylor orde kedua di sekitar nilai awal 𝜓₀, yaitu:

𝐿 = 𝐿 _𝜓₀ + ^𝜕𝐿

𝜕𝜓^′ 𝜓0

(𝜓 − 𝜓₀) +¹

2(𝜓 − 𝜓₀)^′ ^𝜕²^𝐿

𝜕𝜓𝜕𝜓^′ 𝜓0

(𝜓 − 𝜓₀) (3.11) Untuk memperoleh kondisi optimum, persamaan (3.11) diturunkan terhadap parameter 𝜓 dengan operasi sebagai berikut:

𝜕𝐿

𝜕𝜓 = ^𝜕𝐿

𝜕𝜓^′ 𝜓₀ + ^𝜕²^𝐿

𝜕𝜓𝜕𝜓^′ 𝜓₀ 𝜓 − 𝜓₀ = 0 (3.12) Berdasarkan persamaan (3.11) dan (3.12) secara implisit dapat ditaksir 𝜓₁, yaitu:

𝜕𝐿

𝜕𝜓= 𝜕𝐿

𝜕𝜓^′ _𝜓

0

+ 𝜕²𝐿

𝜕𝜓𝜕𝜓^′

𝜓0

𝜓₁− 𝜓₀ = 0

𝜓₁ = 𝜓₀− 𝜕²𝐿

𝜕𝜓𝜕𝜓^′ _𝜓

0

−1

𝜕𝐿

𝜕𝜓_𝜓

0

Sehingga bentuk umumnya menjadi:

𝜓_{𝑛 +1} = 𝜓_𝑛 − ^𝜕²^𝐿

𝜕𝜓𝜕𝜓^′ 𝜓_𝑛

−1

^𝜕𝐿

𝜕𝜓 𝜓_𝑛 (3.13)

atau

𝜓_{𝑛 +1} = 𝜓_𝑛 − 𝑃_𝑛 ^𝜕𝐿

𝜕𝜓 𝜓𝑛

(3.14)

dengan:

𝑃_𝑛 = ^𝜕²^𝐿

−1

Iterasi ini dikatakan konveregen jika 𝜓_𝑛+1 = 𝜓_𝑛

(14)

3.6.2 Method of Scoring

Pada iterasi Newton-Raphson, algoritma iterasi 𝑃_𝑛 dinyatakan dengan

𝜕²𝐿

𝜕𝜓𝜕𝜓^′ 𝜓_𝑛sedangkan pada Method of Scoring, algoritma iterasi 𝑃_𝑛 menggunakan nilai ekspektasinya sehingga algoritmanya dinyatakan sebagai berikut:

𝜓_{𝑛 +1} = 𝜓_𝑛 + 𝐸 ^𝜕²^𝐿

𝜕𝜓𝜕𝜓^′ 𝜓𝑛

−1

^𝜕𝐿

𝜕𝜓 𝜓𝑛

(3.15)

atau

𝜓_{𝑛 +1} = 𝜓_𝑛 + 𝑃_𝑛 ^𝜕𝐿

𝜕𝜓 𝜓𝑛

(3.16)

dengan:

𝑃_𝑛 = − 𝐸 ^𝜕²^𝐿

−1

3.6.3 Iterasi Berndt, Hall, Hall & Hausman (BHHH)

Metode ini mengeksploitasi algoritma iterasi method of scoring. Bagian yang dieksploitasi adalah 𝑃_𝑛 dari method of scoring menjadi bentuk:

𝑃_𝑛 = − 𝐸 𝜕²(𝐿₁+ 𝐿₂+ ⋯ + 𝐿_𝑁)

𝜕𝜓𝜕𝜓^′ _𝜓

𝑛

−1

= − 𝐸 𝜕² ^𝑁_𝑡=1𝐿_𝑡

𝜕𝜓𝜕𝜓^′

𝜓𝑛

−1

= − 𝐸 𝜕²𝐿_𝑡

𝜕𝜓𝜕𝜓^′

𝑁

𝑡=1 𝜓𝑛

−1

(15)

= − 𝐸 𝜕²𝐿_𝑡

𝜕𝜓𝜕𝜓^′

𝜓𝑛 𝑁

𝑡=1

−1

= − 𝑁𝐸 𝜕²𝐿_𝑡

𝜕𝜓𝜕𝜓^′

𝜓𝑛

−1

= −𝑁 1

𝑁 𝜕²𝐿_𝑡

𝜕𝜓𝜕𝜓^′

𝑁

𝑡=1 𝜓𝑛

−1

Akhirnya diperoleh:

𝑃_𝑛 = − 𝜕²𝐿_𝑡

𝜕𝜓𝜕𝜓^′

𝑁

𝑡=1 𝜓𝑛

−1

= − 𝜕𝐿_𝑡

𝜕𝜓

𝜕𝐿_𝑡

𝜕𝜓^′

𝑁

𝑡=1 𝜓𝑛

−1

Bentuk umum dari iterasi BHHH dinyatakan dengan menggunakan algoritma iterasi sebagai berikut:

𝜓_{𝑛 +1} = 𝜓_𝑛 + − ^𝜕𝐿^𝑡

𝜕𝜓

𝜕𝐿_𝑡

𝜕𝜓^′

𝑁𝑡=1

𝜓_𝑛

−1

^𝜕𝐿

𝜕𝜓 𝜓_𝑛 (3.17)

Dari ketiga metode iteratif yang ada, metode yang digunakan untuk menemukan estimasi parameter dalam skripsi ini adalah metode Iterasi Berndt, Hall, Hall & Hausman (BHHH). Untuk selanjutnya perhitungan estimasi parameter akan dilakukan dengan bantuan software EViews.

(16)

3.7 Verifikasi Model

Verifikasi model dilakukan untuk menentukan model mana yang merupakan model terbaik, yang selanjutnya akan digunakan untuk melakukan peramalan. Ada dua pengujian yang akan digunakan pada tahap verifikasi.

3.7.1 Pengujian Berdasarkan Keberartian Koefisien

Langkah pengujian keberartian koefisien pada model volatilitas tidak berbeda dengan pengujian pada model runtun waktu yang bersifat homoskedastis, yaitu dengan merumuskan hipotesis:

𝐻₀ : Koefisien tidak berpengaruh secara signifikan terhadap model.

𝐻₁ : Koefisien berpengaruh secara signifikan terhadap model.

Dengan software Eviews 6.0 digunakan kriteria pengujian yaitu tolak 𝐻₀ jika nilai probabilitas < 𝛼.

3.7.2 Kriteria Informasi (Information Criteria)

Untuk mendapatkan model yang terbaik, dipilih model dengan nilai Information Criteria yang terkecil. Information Criteria telah digunakan secara luas dalam analisis data runtun waktu untuk menentukan panjang lag yang paling cocok untuk diaplikasikan dalam suatu model. Ada dua jenis Information Criteria yaitu Aikake Information Criterion (AIC) dan Schwarz Criterion (SC). Nilai AIC dan SC didefinisikan sebagai berikut:

𝐴𝐼𝐶 = −2 ^𝑙

𝑁 +^2𝑘

𝑁 (3.18)

𝑆𝐶 = −2 ^𝑙

𝑁 +^{𝑘 ln 𝑁}

𝑁 (3.19)

dengan:

(17)

𝑙 = −¹

2 𝑁 𝑙𝑛2𝜋 + 𝑙𝑛𝜎_𝑡²− ^𝑎^𝑡

𝜎𝑡 𝑁 2 𝑁 𝑡=1

𝑡=1 .

𝑘 ∶ banyaknya parameter.

𝑁 ∶ banyaknya observasi.

3.8 Peramalan

Peramalan merupakan tujuan utama yang akan dicapai, ini merupakan langkah terakhir dari proses tersebut. Selanjutnya, model yang paling sesuai/terbaik yang telah diperoleh pada tahap pembentukan model akan digunakan dalam peramalan untuk beberapa periode ke depan. Hal ini berarti, berdasarkan model yang paling sesuai inilah akan ditentukan distribusi bersyarat observasi yang akan datang berdasarkan pola data masa lalu.

3.9 Value at Risk (VaR)

Salah satu aspek penting dalam analisis risiko adalah perhitungan Value at Risk. Value at Risk (VaR) merupakan suatu metode yang cukup baik dan banyak digunakan untuk mengukur risiko. Ada beberapa definisi formal umum VaR.

Menurut Philip Best (1998:10) Value at Risk (VaR) didefinisikan sebagai berikut:

“the maximum amount of money that may be lost on a portfolio over a given period of time, with a given level of confidence”

sedangkan menurut J.P. Morgan (1996:6) Value at Risk (VaR) didefinisikan sebagai:

(18)

“a measure of the maximum potential change in value of a portfolio of financial instruments with a given probability over a pre-set horizon.”

Berdasarkan definisi di atas, Value at Risk (VaR) dapat diartikan sebagai estimasi kerugian maksimum yang mungkin dialami dalam rentang waktu/periode tertentu dengan tingkat kepercayaan tertentu (a given level of confidence).

Pada dasarnya konsep dalam VaR sudah ada sejak lama, yang baru adalah aplikasi sistematis dari VaR untuk berbagai bentuk risiko finansial. Secara sederhana VaR ingin menjawab pertanyaan “seberapa besar (dalam persen atau sejumlah uang tertentu) investor dapat merugi selama waktu investasi T dengan tingkat kepercayaan sebesar 1 − 𝛼 .” Ada dua metode yang digunakan untuk mengukur nilai Value at Risk (VaR). Pertama, metode parametrik yang mencakup metode varian-kovarian dan GARCH. Kedua, metode non-parametrik yang mencakup simulasi historical dan pendekatan Monte Carlo.

Dalam istilah teori peluang, VaR dengan tingkat kepercayaan 1 − 𝛼 dinyatakan sebagai bentuk quantile ke-𝛼 dari distribusi return. VaR dapat ditentukan melalui fungsi kepadatan peluang dari nilai return di masa depan 𝑓(𝑅) dengan R adalah tingkat pengembalian (return). Pada tingkat kepercayaan 1 − 𝛼 , akan ditentukan nilai kemungkinan terburuk 𝑅^∗, sehingga peluang munculnya nilai return melebihi 𝑅^∗ adalah 1 − 𝛼 .

1 − 𝛼 = 𝑓 𝑅 𝑑𝑅

∞

𝑅^∗

Sedangkan peluang munculnya suatu nilai return kurang dari sama dengan 𝑅^∗, 𝑝 = 𝑃 𝑅 ≤ 𝑅^∗ adalah 𝛼.

(19)

𝛼 = 𝑓 𝑅 𝑑𝑅

𝑅^∗

−∞

= 𝑃 𝑅 ≤ 𝑅^∗ = 𝑝

Dengan kata lain, luas daerah −∞ sampai dengan 𝑅^∗ harus sama dengan 𝑝 dan 𝑅^∗ merupakan quantile dari distribusi return yang merupakan nilai kritis (cut off value) dengan peluang yang sudah ditentukan.

Perhitungan VaR dapat disederhanakan jika distribusi dapat diasumsikan mengikuti keluarga parametrik, seperti distribusi normal. Dengan mengasumsikan distribusi return berdistribusi normal maka distribusi umum 𝑓(𝑤) dapat diterjemahkan ke dalam distribusi normal standar Φ(ε), dengan 𝜖~𝑁 0, 𝜎² . Jika 𝑊₀ didefinisikan sebagai investasi awal, maka nilai aset pada akhir periode waktu adalah 𝑊 = 𝑊₀ 1 + 𝑅 dan jika 𝑊^∗ adalah nilai aset paling rendah pada tingkat kepercayaan 1 − 𝛼 , maka hubungan 𝑊^∗ dengan 𝑅^∗ dapat dituliskan sebagai 𝑊^∗ = 𝑊₀(1 + 𝑅^∗). Umumnya, 𝑅^∗ adalah negatif dan dapat ditulis sebagai − 𝑅^∗ . Lebih lanjut, 𝑅^∗ dapat dikaitkan dengan standar normal deviasi 𝑧_𝛼 > 0 dengan

−𝑧_𝛼 = ^{− 𝑅}^∗^−𝜇

𝜎 sehingga:

𝛼 = _∞^𝑊^∗𝑓 𝑤 𝑑𝑤 = _−∞^{− 𝑅}^∗ 𝑓 𝑅 𝑑𝑅 = _−∞^−𝑧^𝛼Φ 𝜖 𝑑𝜖 (3.20) Nilai 𝑧_𝛼 diperoleh dari tabel fungsi distribusi standar normal kumulatif.

Sehingga dari persamaan (3.18) diperoleh:

𝑅^∗ = 𝜇 − 𝑧_𝛼𝜎 (3.21)

Berdasarkan uraian di atas maka VaR pada tingkat kepercayaan 1 − 𝛼 dapat diformulasikan sebagai berikut:

•𝑉𝑎𝑅_1−𝛼 = −𝑊₀𝑅^∗ (3.22)

(20)

Selanjutnya, dalam skripsi ini pengukuran Value at Risk (VaR) akan dilakukan dengan pendekatan model EGARCH-M, yaitu dengan menggunakan nilai volatilitasnya (𝜎).

Prosedur dalam Perhitungan Value at Risk dengan menggunakan pendekatan model EGARCH-M adalah sebagai berikut:

1) Asumsikan besarnya investasi awal (𝑊₀).

2) Taksir nilai return 𝑦 _𝑡 dan nilai variansi 𝜎 _𝑡² dengan pendekatan model EGARCH-M.

3) Hitung nilai volatilitas 𝜎 _𝑡 dari nilai variansi yang telah diperoleh.

4) Tentukan besarnya quantile, menggunakan persamaan (3.21).

5) Hitung nilai VaR dengan menggunakan persamaan (3.22).