1
GEOMETRI AFFINE
A. PENDAHULUANEuclides telah mengumpulkan materinya dari beberapa sumber, maka tidak mengherankan bahwa geometri Euclides dapat diambil sarinya berupa dua geometri yang berlainan dalam dasar logikanya, pengertian pangkalnya dan aksiomanya. Kedua geometri itu adalah Geometri Affine dan Geometri Absolut atau Geometri Netral.
Pada geometri euclides didasarkan pada 5 kelompok aksioma yaitu: I. Kelompok aksioma urutan
II. Kelompok aksioma kongruensi III. Kelompok aksioma insindesi
IV. Kelompok aksioma kesejajaran euclides V. Kelompok aksioma kekontunuan
Yang pertama memperkenalkan Geometri Affine adalah Leonhard Euler dari Jerman (1707 – 1793). Dalam geometri ini, garis paralel tunggal, sesuai Postulat Playfair, “ Melalui satu titik yang diketahui, tidak pada suatu garis yang diketahui, hanya dapat dibuat satu garis yang paralel dengan garis itu”, memegang peranan yang penting sekali. Karena dalam geometri ini lingkaran tidak disebut-sebut dan sudut-sudut tidak pernah diukur, maka dapat dikatakan, bahwa geometri ini mempunyai dasar aksioma I dan II, dari aksioma Euclides. Aksioma III dan IV tidak berarti sama sekali.
Geometri Absolut pertama kali dikenalkan oleh J. Bolyai dari Hongaria (1802 – 1860). Geometri ini didasarkan pada 4 aksioma pertama dari Euclides dan melepaskan aksioma V. Dengan demikian, geometri Affine dan geometri Absolut mempunyai dasar persekutuan yaitu pada Aksioma I dan Aksioma II. Ada pula suatu inti dari dalil-dalil yang berlaku untuk keduanya, yaitu pengertian Keantaraan ( Intermediacy ). Pengertian itu terkandung dalam definisi keempat dari Eulides.
2
Geometri yang menjadi dasar dari geometri Affine dan geometri Absolut ini disebut Geometi Ordered ( Geometri Terurut ), karena dalam hal ini urutan memegang peranan penting. Geometri Terurut ini berdasarkan dua aksioma pertama dari Euclides, tetapi penyajiannya lebih teliti. Jadi Geometi Affine dan geometri absolut termuat dalam Geometri terurut, sedangkan Geometri Euclides termuat dalam Geometri Affine dan Geometri absolut.
B. PEMBAHASAN
B.1 Aksioma-aksioma Dasar Geometri Affine
Dasar dari geometri affine adalah geometri Terurut. Bidang affine dipandang sebagai keadaan khusus dari bidang terurut. Pengertian pangkalnya juga sama yaitu titik dan keantaraan ( Intermediacy ).
Aksioma-aksioma dari geometri terurut yang berlaku adalah : Aksioma I :
Ada paling sedikit dua titik
Geometri Affine Geometri Absolut
Geometri Euclides Geometri Terurut/ Ordered
3 Aksioma VII :
Jika ABC suatu segitiga atau
BCD
dan
CEA
maka pada garis DE ada satu titik F yang memenuhi
AFB
Aksioma VIII :
Semua titik ada dalam satu bidang Aksioma XII :
Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam 2 himpunan yang tidak kosong sedemikian hingga ada titik dari masing-masing himpunan yang terletak antara titik dari himpunan lainnya, maka satu titik dari satu himpunan terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik dari himpunan lainnya (Aksioma Dedekind).
Aksioma VIII menyatakan bahwa geometri affine merupakan geometri bidang, dan aksioma XII menyatakan bahwa suatu garis itu kontinu.
Selain itu, geometri affine ini juga didapat dari geometri terurut dengan menambahkan 2 aksioma lagi, yaitu :
Aksioma 1 :
Untuk sembarang titik A dan sembarang yang tidak melalui A, ada paling banyak satu garis yang melalui A dalam bidang (A, r), yang tidak memotong r.
F B
C
A
E ▪ D
4 Aksioma 2 :
Jika A, A’, B, B’, C, C’, O adalah 6 buah titik yang berlainan sedemikian hingga AA’, BB’, CC’ adalah 3 buah garis berlainan melalui O dan jika garis AB // A’B’ dan BC // B’C’, maka CA // C’A’.
Akibat dalil 20 mengatakan :
Untuk sembarang titik A dan sembarang garis r yang tidak melalui A ada paling banyak 1 garis yang melalui A dalam bidang (A,r) yang memotong r. Mengingat dalil 20 dan aksioma 1 ini, maka dapat disimpulkan bahwa sembarang titik A dan sembarang garis r ada tepat satu garis yang melalui A dalam bidang (A,r) yang tidak memotong r. Keadaan ini hampir sama dengan keadaan pada geometri Euclides.
Kesejajaran dalam geometri Affine ini adalah suatu relasi Ekuivalensi, jadi memenuhi sifat-sifat :
a) Refleksif, yaitu setiap garis g sejajar dengan g sendiri b) Simetris, yaitu jika g sejajar h, maka h sejajar g
c) Transitif, yaitu jika g sejajar h dan h sejajar k, maka g sejajar k r A O C B B’ C’ A’ A
5
Aksioma 2 ini merupakan kebalikan dari separuh dalil berikut : Dalil 1:
Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan titik-titik sudut yang berlainan, diletakkan sedemikian hingga BC // B’C’, CA // C’A’, dan AB // A’B’, maka ketiga garis AA’, BB’, dan CC’ adalah berpotongan pada satu titik (konkruen) atau sejajar.
Bukti :
Diketahui : BC // B’C’, CA // C’A’, dan AB // A’B’. Adb. : AA’, BB’, CC’ berpotongan atau sejajar
Jika AA’, BB’, dan CC’ ketiganya tidak berpotongan, maka berarti dua dari tiga garis tersebut berpotongan.
Misalkan AA’ dan BB’ berpotongan di titik O, dan OC memotong B’C’ dititik C1.
Karena AB // A’B’ dan BC // B’C1, maka CA // C1A’.
Karena CA // C’A’ dan CA // C1A’, maka C’A’ // C1A’ berarti C1 pada C’A’. Karena C1 pada C’A’ dan C1 juga pada B’C’, padahal A’B’C’ suatu segitiga, maka haruslah C’ dan C1 berimpit.
Jadi AA’, BB’, dan CC’ berpotongan di titik O jika ketiganya tidak semuanya sejajar.
Dalil 2 berikut ini juga merupakan kebalikan separoh yang lain dari dalil 1.
Dalil 2 :
Jika A, A’, B, B’, C, C’ adalah 6 buah titik yang berlainan pada 3 garis yang berbeda AA’, BB’, dan CC’ diletakkan sedemikian hingga garis AB // A’B’, BC // B’C’, maka CA // C’A’.
6 C B C’ B’
B.2 Transformasi dalam Geometri Affine
Dalam geometri Affine, kita juga mengenal beberapa transformasi. Untuk membicarakan ini, perlu didefinisikan dulu tentang Jajaran Genjang.
Empat titik A, B, C, dan D yang tidak segaris dikatakan membentuk suatu jajaran genjang BCD jika AB // DC dan BC // AD.
D C
A B 1. Dilatasi
Definisi :
Suatu dilatasi (suatu perbanyakan) ialah suatu transformasi yang mentransformir setiap garis ke garis yang sejajar.
A
7 Dalil 3 :
Dua segmen yang diketahui AB dan A’B’ pada garis-garis yang sejajar menentukan dengan tunggal suatu dilatasi AB A’B’.
P’ C’ P C
A B A’ B’
Beberapa hal penting
Invers dari dilatasi AB A’B’ adalah A’B’ AB .
Dilatasi mempertahankan urutan, tetapi tidak mempertahankan ukuran. Hasil kali dilatasi ialah dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang lain.
Berarti, hasil kali dua dilatasi AB A’B’ dan A’B’ A”B” adalah dilatasi AB A”B”.
Jadi hasil kali dilatasi dengan inversnya adalah identitas AB AB. Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya disebut
garis-garis invariant. Garis-garis itu berpotongan pada satu titik atau
sejajar (Aksioma 2).
Jika garis-garis yang menghubungkan titik dan banyangannya (yaitu yang menghubungkan dua titik berkorespondensi), berpotongan pada satu titik, maka dilatasi disebut dilatasi sentral. Titik potong garis-garis itu disebut titik pusat dilatasi O dan titik pusat tersebut tunggal.
8
Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik berkorespondensi sejajar, maka dilatasi itu suatu translasi.
Dilatasi Sentral Translasi
2. Translasi Definisi :
Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik berkorespondensi sejajar, maka dilatasi itu suatu translasi. Jadi suatu dilatasi adalah suatu translasi bila dan hanya bila tidak memiliki titik invarian (tapi garis invarian).
Jika pada translasi AB A’B’, AA’, BB’ tidak berupa jajaran genjang, maka dapat ditunjukkan jajaran genjang lainnya . Misalkan AC A’C’, AA’C’C dapat berupa jajaran genjang.
Jika AA’B’A suatu jajaran genjang, maka translasi A A’ sama dengan B B’
Jika A, A’, dan B diketahui, maka letak titik B’ tidak tergantung dari pemilihan C atau D, sehingga terdapat dalil berikut :
Dalil 4 :
Sembarang dua titik A dan A’ menentukan dengan tunggal translasi A A’. Suatu dilatasi adalah suatu transformasi terurut, hal ini dapat dibuktikan dengan dalil-dalil berikut :
Dalil 5 :
Dilatasi AB A’B’mentransformir setiap titik. O B’ A’ B A B’ C A’ B A C’
9 Dalil 6 :
Hasil kali dua translasi A B dan B C adalah tanslasi A C.
3. Setengah Putaran Definisi :
Jika dua titik berlainan, misalkan A dan B ditukar oleh suatu dilatasi tunggal AB BA atau A B, maka transformasi itu disebut setengah putaran (half turn)
C B
A D
Jika C sembarang titik diluar garis AB, maka untuk mencari bayanganya kita hubungkan C dengan A dan B, maka titik potong garis yang melaui B sejajar AC dan BC adalah titik D, dan D bayangan dari C.
Dalil 7 :
Hasil kali dua setengah putaran A B dan B C adalah translasi A C. Bukti :
Jika A B tidak sama dengan B C, maka (A B) (B C) tidak mempunyai titik invarian, jadi berupa translasi.
Jika ADBC suatu jajaran genjang, maka A B sama dengan B C dan A D sama dengan C B.
Hubungan ini tetap berlaku jika jajaran genjang berubah menjadi segmen garis dengan 4 titik letaknya teratur simetrik.
A C D B Dalil 8 :
Setengah putaran A B dan C D saa, jika dan hanya jika translasi A D dan C B sama.
10 Dalil 9 :
Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi suatu segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan suatu garis yang melalui titik tengah suatu sisi dan sejajar sisi yang lain akan melalui titik tengah sisi yang ketiga.
C
B’ A’
A B
4. Transformasi Affiine
Suatu transformasi affine atau affinity pada Rn adalah sebuah rumus Ta o L dengan Ta suatu translasi dan L GL(n, R).
Grup pada semua transformasi ini disebut grup Affine dan ditulis A(Rn). Contoh :
1. (x, y) (1 + 2x, 1 + 2y) 2. (x, y) (1 + x + y, 2 + y)
Perlu dicatat bahwa transformasi affin tidak mempertahankan jarak dan sudut. Luas dan volum tidak dipertahankan juga.
Transformasi affine mempertahankan beberapa sifat geometri a. Collinearity (kesegarisan)
Jika A,B, dan C kolinear, sehingga bayangan mereka berada pada peta affine. Lebih umum kita mempunyai :
Definisi
Suatu translasi pada subruang linear pada Rn disebut subruang affine Contoh, gari-garis dan bidang pada R3 adalah subruang affine
C
11 Theorem
Transformasi affine subruang peta affine untuk subruang affine
Proof
Berikut ini fakta bahwa peta-peta linear subruang peta linear untuk subruang linear
b. Parallelism (kesejajaran) Teorema
Kesejajaran garis dipetakan pada kesejajaran garis. Bukti
Dua garis sejajar adalah garis-garis padal bidang affine yang tidak bertemu. Karena transformasi affine mempertahankan bidang dang keterletakkan, bayangan garisnya dalam suatu bidang affine dan tidak bertemu. Oleh karena itu garis-garis itu sejajar.
c. Ratios (perbandingan) Teorema
Perbandingan panjang interval-interval pada garis dipertahankan. Bukti
Berikut ini karena perbandingan dipertahankan oleh peta linear dan oleh translasi.
Kenyataannya perbandingan panjang pada pasangan garis parallel dipertahankan. Sifat keantaraan (satu titik terletak diantara dua titik yang lain) juga dipertahankan.
B.3 Transformasi Affine di R2
Misalkan T subset, R2 f :T T transformasi affine pada T . Maka f dapat berbentuk
12 0 x a x e f y c d y w .
Transformasi affine tidak mengawetkan kesebangunan. Hal ini dikarenakan factor pengali pada x tidak sama dengan pengali pada y. Perhatikan peta dari beberapa bangun oleh transformasi affine berikut.
Secara umum transformasi linier T pada n
R , dinyatakan oleh T
x Axb, dengan Aadalah matriks nxn yang determinannya tidak nol dan b adalah vector di R . Sebuah transformasi ditentukan oleh matriks n Adan vector b. B.4 Teorema-teorema AffineKenyataan, banyak teoreme-teorema geometri Euclidean adalah teorema-teorema Affine. Itu berarti pernyataan dan bukti juga melibatkan konsep yang dipertahan kan oleh transformasi affine.
Secara kasar, teorema-teorema affine dapat dibuktikan dengan metode vektor tanpa menggunakan norm atau dot atau hasil kali vektor.
13 Contoh :
1. Tengah-tengah dari suatu segitiga bertemu pada sebuah titik (coincident)
Bukti
Jika sebuah segitia mempunyai garis-garis a, b and c maka mudah
diperiksa bahwa garis tengahnya akan bertemu pada suatu titik (a + b + c) /3
2. Teorema Ceva
Jika sisi-sisi BC, CA, AB pada suatu segitiga dibagi oleh titik-titik L, M, N dengan perbandingan 1 : , 1 : , 1 : maka ketiga garis AL, BM, CN setitik (konkurent) jika dan hanya jika hasil kali = 1.
Bukti
Dalam kenyataan, kita akan membuktikan ini tidak dengan menggunakan metode affine..
= CL/LB = CLA/ LBA = CLP/ LBP = CAP/ ABP.
Dengan cara yang sama = AM/MC = ABP/ BCP and = BN/NA = BCP/ CAP dan diperoleh hasil tersebut.
14 3. Teorema Menelaus
Jika sisi-sisi segitiga dibagi oleh titik-titik L, M, N dalam perbandingan 1 : , 1 : , 1 : maka ketiga titik L, M, N adalah segaris jika dan hanya jika hasil kali = -1.
Bukti
Perlu dicatat bahwa perbandingan dimana titik L membagi sebuah interval AB adalah negatif jika L berada diluar sisi AB (perpanjangan AB). Garis AP sejajar ML. Maka 1/ = CM/MA = CL/LP dan 1/ = AN/NB = PL/LB.
Maka 1/( ) = CL/LP . PL/LB = -CL/LB = - dan diperoleh hasil tersebut.
Simpulan
1. Seperti dalam kasus isometric, sebuah transformasi affine ditentuka oleh bayangan dari n + 1 titik-titik independent (sesuatu yang tidak segaris dalam sebuah (n - 1)-dimensional subruang affine).
Dalam kasus transformasi affine, sebanyak n + 1 titik independent dapat dipetakan pada sebanyak n + 1 titik-titik independent.
Secara khusus, dalam R2 ada suatu transformasi affine tunggal yang menyebabkan segitiga ABC menjadi A'B'C'.
2. Umumnya tiga cara mengklasifikasi pada irisan kerucut ellips, hyperbola dan parabola adalah suatu klasifikasi affine.
15 C. PENUTUP
Dasar dari geometri Affine adalah geometri Terurut, sehingga aksioma-aksioma dan dalil-dalil utama dari geometri terurut berlaku dalam geometri Affine. Kemudian ditambah dua aksioma lagi.
Seperti halnya geometri Euclides, dalam geometri Affine pun terdapat transformasi, diantaranya dilatasi, translasi, dan setengah putaran. Karena dalam geometri Affine sudut-sudut tidak pernah diukur, maka transformasinya diterangkan tanpa menggunakan ukuran sudut.
Transformasi affin tidak mempertahankan jarak dan sudut. Luas dan volum tidak dipertahankan juga. Namun transformasi affine mempertahankan kesegarisan, kesejajaran, dan perbandingan.
16
Referensi
Moeharti, Prof. Dra. 1986. Sistem – sistem Geometri. Jakarta : Karunika Univeristas Terbuka
Ismaliani. ... Rangkuman Geometri .http://ismalianibaru.wordpress.com di download Jum’at 12 juni 2009 pukul 6.15. Kata kunci : Gometri Affine ... Affine Geometry. http://www.gap-system.org/̴
john/geometry/Lecture/L13.html didownload Senin, 22 Juni 2009 pukul 18.30. Kata kunci : Affine Geometry
