ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012)Hendra Gunawan∗
∗Analysis and Geometry Group, FMIPA-ITB
E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan
-1.1 Pernyataan dan Logika Matematika -1.2 Pernyataan Berkuantor
-1.3 Bukti dan Metode Pembuktian -1.4 Himpunan dan Notasinya -1.5 Fungsi
Di sekolah menengah telah dipelajari apa yang dimaksud dengan pernyataan atau kalimat matematika.
Setiap pernyataan dapat bernilai “benar” atau “salah”, tetapi tidak mungkin benar dan salah sekaligus.
Sebagai contoh, “1 + 1 = 2” merupakan sebuah pernyataan yang benar.
Pernyataan seperti “n + 1 = 2” merupakan sebuah kalimat terbuka, yang kebenarannya bergantung pada nilai n. Bila n = 1, maka pernyataan tersebut benar; tetapi bila n 6= 1, maka
Matematika sarat dengan kalimat atau pernyataan yang berkaitan antara satu dan lainnya.
Dua pernyataan P dan Q dikatakan setara apabila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama (yakni, jika P benar, maka Q benar; dan sebaliknya, jika P salah, maka Q juga salah). Dalam hal P dan Q setara, kita sering menulis “P jika dan hanya jika Q”. Sebagai contoh, “n + 1 = 2 jika dan hanya jika n = 1.”
Terdapat beberapa cara membentuk sebuah pernyataan baru dari pernyataan yang diberikan, yaitu dengan menggunakan kaitan logis.
Jika P adalah suatu pernyataan, maka “tidak P” adalah pernyataan baru yang merupakan negasi dari P.
Jika P benar, maka negasinya salah; dan jika P salah, maka negasinya benar.
Diberikan dua buah pernyataan P dan Q, kita dapat membentuk konjungsi dari P dan Q, yaitu “P dan Q”, yang bernilai benar jika P dan Q keduanya benar, dan bernilai salah selain itu.
Kita juga dapat membentuk disjungsi dari P dan Q, yaitu “P atau Q”, yang bernilai benar jika setidaknya satu di antara P dan Q benar.
Tabel kebenaran untuk konjungsi dan disjungsi dari P dan Q diberikan di bawah ini.
P Q P dan Q P atau Q
B B B B
B S S B
S B S B
Selain konjungsi dan disjungsi, kita dapat pula mempunyai sebuah implikasi “jika P, maka Q”, yang sering dilambangkan sebagai “P ⇒ Q”.
Di sini P merupakan syarat cukup bagi Q, sementara Q merupakan syarat perlu bagi P.
Dalam implikasi ini P disebut sebagai hipotesis, sementara Q disebut sebagai kesimpulan.
Berdasarkan konsensus, pernyataan “jika P, maka Q” bernilai salah jika P benar dan Q salah, dan bernilai benar selain itu.
Tabel kebenaran untuk implikasi “jika P, maka Q” diberikan di bawah ini. P Q P ⇒ Q B B B B S S S B B S S B
Dalam hal ”jika P, maka Q” benar dan ”jika Q, maka P” benar, kita katakan ”P jika dan hanya jika Q”, yakni, P setara dengan Q.
Contoh 1
Implikasi “jika n = 1, maka n2 = n” bernilai benar, karena ketika P
benar, Q juga benar.
(Ketika n = 0, kita dapatkan P salah dan Q benar; namun ini tidak menjadikan implikasi di atas salah.)
Soal Latihan
1 Mungkinkah “P dan tidak P” benar? Bagaimana dengan “P
atau tidak P”?
2 Implikasi “jika tidak Q, maka tidak P” merupakan
kontraposisi dari “jika P, maka Q”. Periksa kesetaraan kedua implikasi ini dengan menggunakan tabel kebenaran.
3 Implikasi “jika Q, maka P” merupakan konvers dari “jika P,
maka Q”. Berikan sebuah contoh implikasi yang benar tetapi konversnya salah.
4 Buatlah tabel kebenaran untuk “P dan tidak Q” dan
bandingkan dengan tabel kebenaran untuk “jika P, maka Q”. Apa kesimpulan anda?
Dalam matematika sering kali kita berurusan dengan pernyataan yang mengandung frase “untuk setiap”, “untuk semua”, “untuk suatu”, “terdapat”, dan sejenisnya.
“Untuk setiap”, “untuk semua”, atau frase yang setara dengannya, merupakan kuantor universal; sedangkan “untuk suatu”,
“terdapat”, atau yang setara dengannya, merupakan kuantor eksistensial.
Catat bahwa dalam matematika, “untuk suatu” berarti “terdapat setidaknya satu” (bisa satu saja, bisa juga lebih). Berikut adalah beberapa contoh pernyataan berkuantor.
Contoh 2
(i) Setiap bilangan asli n memenuhi pertaksamaan n2 > n.
(ii) Setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai jumlah dari
beberapa bilangan kuadrat. (Bilangan kuadrat adalah 12= 1,
22= 4, 32 = 9, dan seterusnya.)
Negasi dari pernyataan “untuk setiap n berlaku P” adalah “terdapat n yang tidak memenuhi P”.
Sebagai contoh, negasi dari “setiap bilangan asli n memenuhi
n2 > n” adalah “terdapat bilangan asli n yang tidak memenuhi
n2 > n”. (Tentu dalam hal ini negasinyalah yang benar.)
Cukup sering kita menyimpulkan bahwa suatu pernyataan salah setelah memeriksa bahwa negasinya benar, atau sebaliknya.
Perhatikan bahwa pernyataan “setiap bilangan asli n memenuhi n2 > n” dapat ditulis ulang sebagai implikasi “jika n adalah bilangan asli, maka n2 > n.”
Jadi, selain melalui negasinya, kita dapat pula memeriksa
kebenaran suatu pernyataan berkuantor universal sebagai sebuah implikasi.
Soal Latihan
1 Tentukan negasi dari pernyataan pada Contoh 2(ii) dan (iii).
2 Tulis ulang pernyataan pada Contoh 2(ii) sebagai sebuah
Bukti (Bhs. Ing. ‘proof’) merupakan sesuatu yang membedakan matematika dari ilmu lainnya seperti fisika atau kimia yang berpijak pada eksperimen.
Dalam matematika, eksperimen juga penting tetapi bukti lebih esensial. Pernyataan seperti “setiap bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4” tidak dapat disimpulkan benar melalui eksperimen dengan bilangan-bilangan kuadrat, karena terdapat tak terhingga banyaknya bilangan kuadrat (kita takkan pernah selesai dengan mereka).
Eksperimen dapat menghasilkan suatu dugaan, namun kita perlu bukti untuk meyakinkan bahwa pernyataan itu memang benar adanya.
Untuk dapat membuktikan pernyataan seperti di atas perlu banyak latihan.
Dihadapkan pada sebuah pernyataan, langkah pertama yang perlu dilakukan adalah memahami maksud pernyataan tersebut: apa yang diketahui (hipotesis) dan apa yang harus dibuktikan (kesimpulan).
Kadang kita harus mengetahui konteks yang terkait dengan pernyataan tersebut.
Sebagai contoh, dalam pernyataan “setiap bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4”, kita berurusan dengan bilangan asli (1, 2, 3, . . . ).
Selain itu, pernyataan di atas juga mengandung kuantor ‘setiap’, yang memerlukan aksi tertentu dalam pembuktiannya kelak.
Sebelum kita membahas bagaimana membuktikan suatu pernyataan berkuantor seperti di atas, marilah kita pelajari bagaimana membuktikan pernyataan tanpa kuantor yang berbentuk konjungsi, disjungsi, atau implikasi.
Untuk membuktikan bahwa “P dan Q” benar, tentunya kita harus membuktikan bahwa P benar dan juga Q benar.
Sementara itu, untuk membuktikan bahwa “P atau Q” benar, kita dapat memulainya dengan memisalkan P salah dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa Q benar. (Jika P benar, maka “P atau Q” benar, sehingga tidak ada yang harus dilakukan.)
Untuk membuktikan bahwa implikasi “jika P, maka Q” benar, kita mulai dengan memisalkan bahwa P benar dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa Q juga benar. (Jika P salah, maka “P ⇒ Q” otomatis benar, sehingga tidak ada yang harus dilakukan.)
Implikasi ini dapat pula dibuktikan melalui kontraposisinya, yaitu “jika tidak Q, maka tidak P”.
Cara lainnya adalah dengan metode pembuktian tak langsung, yaitu dengan memisalkan P benar dan Q salah, dan kemudian berusaha mendapatkan suatu kontradiksi, sesuatu yang senantiasa salah.
Yang dimaksud dengan kontradiksi adalah konjungsi “R dan tidak R”, untuk suatu pernyataan R. Sebagai contoh, n genap dan ganjil (tidak genap) sekaligus merupakan suatu kontradiksi.
Contoh 3
Buktikan jika n memenuhi n2 = n, maka n = 0 atau n = 1.
(Di sini kita berhadapan dengan sebuah implikasi dengan hipotesis
n memenuhi n2= n dan kesimpulan berupa suatu disjungsi n = 0
Bukti
Misalkan n memenuhi n2 = n (yaitu, hipotesis benar). Akan
ditunjukkan bahwa n = 0 atau n = 1 (yaitu, kesimpulan benar). Untuk itu, misalkan n = 0 salah, yakni n 6= 0. Tugas kita sekarang adalah menunjukkan bahwa n = 1.
Untuk itu, perhatikan bahwa n2 = n setara dengan n(n − 1) = 0.
Sekarang kita akan membahas bagaimana membuktikan suatu pernyataan berkuantor.
Secara umum, untuk membuktikan pernyataan “terdapat n sehingga P”, kita harus mendapatkan n (entah bagaimana caranya) yang membuat P benar.
Sebagai contoh, pernyataan “terdapat bilangan asli n sehingga
n2 ≤ n” terbukti benar setelah kita menemukan bilangan n = 1
Sementara itu, untuk membuktikan pernyataan “untuk setiap n berlaku P”, kita harus memulainya dengan mengambil n
sembarang (tentunya dalam konteks yang sesuai), dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa P berlaku untuk n.
Cara lainnya adalah dengan menuliskan pernyataan berkuantor ini sebagai sebuah implikasi, baru kemudian kita membuktikannya.
Contoh 4
Buktikan bahwa setiap bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4.
Bukti. Ambil sebarang bilangan kuadrat, sebutlah n2. Ada dua
kemungkinan tentang n, yaitu n genap atau n ganjil. Jika n genap,
sebutlah n = 2k, maka n2 = 4k2. Dalam hal ini n2 mempunyai
sisa 0 ketika dibagi dengan 4. Sementara itu, jika n ganjil, sebutlah
n = 2k + 1, maka n2 = 4k2+ 4k + 1. Dalam hal ini n2 akan
mempunyai sisa 1 ketika dibagi dengan 4. Jadi, berapa pun n, n2
Soal Latihan
1 Buktikan jika n2 ganjil, maka n ganjil.
Himpunan adalah suatu koleksi objek, dan objek dalam suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan itu.
Jika x merupakan anggota himpunan H, maka kita katakan x di H dan kita tuliskan
x ∈ H.
Cara yang paling sederhana untuk menyatakan sebuah himpunan adalah dengan mendaftarkan anggotanya.
Sebagai contoh, kita menuliskan A = {0, 1,
√ 2, e, π}
untuk menyatakan himpunan yang anggotanya adalah bilangan 0, 1,√2, e, π.
Serupa dengan itu,
B = {Bagong, Gareng, Petruk, Semar}
Cara penulisan di atas tentunya tidak cocok digunakan untuk menyatakan himpunan yang mempunyai tak hingga banyaknya anggota.
Himpunan demikian biasanya dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki secara khusus oleh anggotanya. Sebagai contoh,
C = {x : x real, x > 0} menyatakan himpunan semua bilangan real positif. Serupa dengan itu,
D = {y : y menghormati Semar}
Selanjutnya kita gunakan notasi ∅ untuk menyatakan himpunan kosong, yakni himpunan yang tidak mempunyai anggota.
Sebagai contoh, himpunan bilangan asli n yang genap dan ganjil sekaligus merupakan himpunan kosong; yakni
Misalkan H dan G adalah dua buah himpunan. Kita sebut G himpunan bagian dari H dan kita tuliskan
G ⊆ H
apabila setiap anggota G merupakan anggota H.
(Jadi, bila diberikan dua buah himpunan H dan G , dan kita diminta untuk membuktikan bahwa G ⊆ H, maka yang harus kita lakukan adalah mengambil x ∈ G sembarang dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa x ∈ H.)
Catat bahwa G = H jika dan hanya jika G ⊆ H dan H ⊆ G . Jika G ⊆ H dan G 6= H, maka G disebut sebagai himpunan bagian sejati dari H, ditulis G ⊂ H.
Sebagai contoh, jika A adalah himpunan semua bilangan bulat yang habis dibagi 10 dan B adalah himpunan semua bilangan yang habis dibagi 2, maka A ⊂ B.
Soal Latihan
1 Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapat
mendefinisikan irisan dari A dan B, yaitu A ∩ B = {x : x ∈ A dan x ∈ B}. Buktikan bahwa A ∩ B = A jika dan hanya jika A ⊆ B.
2 Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapat
mendefinisikan gabungan dari A dan B, yaitu A ∪ B = {x : x ∈ A atau x ∈ B}.
Buktikan bahwa untuk tiga himpunan A, B, dan C sembarang berlaku
1 A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ). 2 A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Pemetaan atau fungsi f dari himpunan A ke himpunan B, ditulis f : A → B
a 7→ b
adalah suatu aturan yang mengaitkan setiap a ∈ A dengan tepat sebuah b ∈ B; dalam hal ini kita menulis f (a) = b dan menyebut b sebagai peta atau nilai f di a.
Himpunan A disebut sebagai domain atau daerah asal f , dan himpunan
Fungsi f : A → B dikatakan onto atau pada B apabila f (A) = B.
Fungsi f dikatakan satu-satu apabila f (a) = f (a0) mengakibatkan
a = a0.
Jika f : A → B dan H ⊆ A, maka f terdefinisi pada H dan himpunan f (H) := {b ∈ B : b = f (a) untuk suatu a ∈ H} disebut sebagai peta dari H di bawah f .
Jika G ⊆ B, maka himpunan f−1(G ) := {a ∈ A : f (a) ∈ G }
disebut sebagai prapeta dari G di bawah f .
Grafik fungsi f : A → B adalah himpunan {(a, f (a)) : a ∈ A} yang secara umum merupakan himpunan bagian dari
Soal Latihan
1 Buktikan bahwa f : R → R dengan f (x) = x3 merupakan
fungsi satu-satu dan pada R. [Gunakan pengetahuan tentang bentuk aljabar.]
2 Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen, ditulis A ∼ B,
apabila terdapat fungsi satu-satu f dari A pada B. Buktikan bahwa (i) A ∼ A; (ii) A ∼ B jika dan hanya jika B ∼ A; dan (iii) jika A ∼ B dan B ∼ C , maka A ∼ C .
3 Diketahui f : A → B dan H1, H2 ⊆ A. Buktikan bahwa
(i) f (H1∩ H2) ⊆ f (H1) ∩ f (H2) dan
