INTEGRAL DARBOUX
Pada tahun 1875, matematikawan I.G. Darboux secara konstrutif memodifikasi definisi integral Riemann dengan terlebih dahulu mendefinisikan jumlah Darboux atas (upper Darboux sum) dan jumlah Darbouk bawah (lower Darboux sum), selanjutnya mendefinisikan Darboux atas (upper Darboux integral) dan integral darboux bawah (lower Darboux integral). Pada pemahaman selanjutnya akan didefinisikan integral Darboux dan ekuivalensi integral Darboux dengan integral Riemann.
A. Jumlah Darboux Atas dan Jumlah Darboux Bawah
Diberikan interval tertutup [ܽǡܾ] ك ܴǡdan݂ǣ[ܽǡܾ]՜ ܴ fungsi bernilai real yang terbatas pada [ܽǡܾ]. Jika ࣪ ൌ (ݔǡݔଵǡݔଶǡǥ ǡݔ) sembarang partisi pada [ܽǡܾ] maka didefinisikan :
ܯ ൌ sup{݂(ݔ)ǣݔ߳[ܽǡܾ]}dan݉ ൌ inf{݂(ݔ)ǣݔ߳[ܽǡܾ]}
Keterbatasan fungsifdapat menjamin eksistensi dua bilanganܯ dan݉ tersebut. Selanjutnya untuk݇ ൌ ͳǡʹǡǥ ǡ݊didefinisikan:
ܯ = sup{݂(ݔ)ǣݔ߳[ݔିଵǡݔ]}
݉ = inf{݂(ݔ)ǣݔ߳[ݔିଵǡݔ]}
Dapat dipahami bahwa݉ ݉ ݂(ݔ) ܯ ܯ untuk setiap݇ ൌ ͳǡʹǡǥ ǡ݊Ǥ Selanjunya jumlah Darboux atas fungsi݂terkait dengan partisi࣪ǡdinyatakan dengan
ܷ(݂ǣ࣪),didefinisikan sebagai:
ܷ(݂ǣ࣪) ൌ ܯ(ݔെ ݔିଵ)
Dan jumlah Darboux bawah fungsi݂terkait dengan partisiܲǡdinyatakan dengan
ܮ(݂ǣ࣪),didefinisikan sebagai:
ܮ(݂ǣ࣪) =∑ୀଵ݉(ݔെ ݔିଵ)
Lemma 1:
Diberikanܽ,ܾ كܴ, dan f : [ܽ,ܾ]→Rfungsi yang terbatas pada [ܽ,ܾ] dan
࣪ ൌ (ݔǡݔଵǡݔଶǡǥ ǡݔ)sembarang partisi pada [ܽ,ܾ], maka berlaku :
ܮ(݂ǣ࣪) ≤ ܷ(݂ǣ࣪).
Bukti :
Diberikan ࣪ ൌ (ݔǡݔଵǡݔଶǡǥ ǡݔ) sembarang partisi pada [ܽ,ܾ], berdasarkan definisi supremum dan infimum suatu himpunan maka diperoleh݉≤ ܯuntuk setiap
k= 1, 2, …,݊.
Oleh karenanya diperoleh :
ܮ(݂ǣ࣪)= ݉(ݔെ ݔିଵ) ୀଵ ≤ ܯ(ݔെ ݔିଵ) = ୀଵ ܷ(݂ǣ࣪)
Dengan menggunakan definisi yang sama untuk penghalus partisi pada integral Riemann, maka muncul Lemma berikut.
Lemma 2
Diberikan ܽ,ܾ كܴ, dan f : [ܽ,ܾ]→R fungsi yang terbatas pada [ܽ,ܾ]. Jika࣪ଵdan࣪ଶ sembarang dua partisi pada [ܽ,ܾ], dengan࣪ଵ⊆࣪ଶmaka berlaku :
Bukti :
Diberikan ࣪ଵ= (ݔ,ݔଵ,ݔଶ, … ,ݔ) sembarang partisi pada [ܽ,ܾ] dan ࣪ଶ sembarang partisi pada [ܽ,ܾ] dengan࣪ଵ⊆࣪ଶ, maka dapat dimengerti bahwa setiap sub interval [ݔିଵ,ݔ]dalam࣪ଵpasti memuat titik dari partisi࣪ଶ, minimalݔିଵdanݔitu sendiri. Namakan titik-titik tambahannya tersebut
ݔିଵ=ݐ,ݐଵ,ݐଶ, … ,ݐ= ݔ dengan sifatݔିଵ= ݐ< ݐଵ< ݐଶ< ⋯ < ݐ= ݔ sehingga diperoleh : ܯ=sup൛݂(ݔ) ∶ݔ߳ൣݐ(ିଵ),ݐ൧ൟ dan ݉=inf൛݂(ݔ) ∶ݔ߳ൣݐ(ିଵ),ݐ൧ൟ
Selanjutnya untukk= 1,2,…,݊danl= 1,2,…,r diperoleh݉ ≤݉ ≤ܯ≤ܯ Untuk suku kekdi dalamܮ(݂:࣪ଵ)berlaku:
݉(ݔ−ݔିଵ) =݉ (ݐ݈݇ ୀଵ −ݐ݇(݈−1)) = ݉(ݐ݈݇ ୀଵ −ݐ݇(݈−1)) ≤ ݉(ݐ݈݇ ୀଵ −ݐ݇(݈−1))
Jika hasil tersebut di atas dijumlahkan untuk semua indeksk, maka diperoleh:
ܮ(݂:࣪ଵ) = ݉݇(ݔ݇−ݔ݇−1) ݊ ݇=1 ≤ ݉݇(ݐ ݎ ݈=1 −ݐ(ିଵ)) =ܮ(݂:࣪ଶ) ݊ ݇=1 Terbuktiܮ(݂:࣪ଵ)≤ ܮ(݂:࣪ଶ).
Selanjutnya ntuk suku kekdi dalam ܷ(݂:࣪ଵ)berlaku :
ܯ(ݔ−ݔିଵ) =ܯ (ݐ݈݇ ୀଵ −ݐ݇(݈−1)) = ܯ(ݐ݈݇ ୀଵ −ݐ݇(݈−1)) ≥ ܯ(ݐ݈݇ ୀଵ −ݐ݇(݈−1))
Jika hasil tersebut di atas dijumlahkan untuk semua indeksk, maka diperoleh:
ܷ(݂:࣪ଵ) = ݉݇(ݔ݇−ݔ݇−1) ݊ ݇=1 ≥ ݉݇(ݐ ݎ ݈=1 −ݐ(ିଵ)) =ܷ(݂:࣪ଶ) ݊ ݇=1 Terbuktiܷ(݂:࣪ଶ) ≤ܷ(݂:࣪ଵ).
Teorema 3
Diberikan ܽ,ܾ⊆ܴ, dan f : [ܽ,ܾ]→R fungsi yang terbatas pada [ܽ,ܾ]. Jika࣪ଵdan࣪2 sembarang dua partisi pada [ܽ,ܾ], maka berlaku :
ܮ(݂:࣪ଵ) ≤ ܷ(݂:࣪ଶ). Bukti :
Dibentuk ࣪ =࣪ଵ∪࣪ଶ, maka ࣪ଵ⊆ ࣪ dan ࣪ଶ⊆ ࣪, sehingga berdasarkan Lemma 2 diperolehܮ(݂:࣪ଵ) ≤ ܮ(݂:࣪) danܷ(݂:࣪) ≤ܷ(݂:࣪ଶ).
Dan berdasarkan Lemma 1 diperolehܮ(݂:࣪)≤ܷ(݂:࣪). Akibatnya didapat :
ܮ(݂:࣪ଵ)≤ ܷ(݂:࣪ଶ).
B. Integral Darboux Atas dan Integral Darboux Bawah
Ingat, P [ܽ,ܾ] dimaksudkan sebagai himpunan semua partisi pada [ܽ,ܾ] . Selanjutnya integral Darboux atas fungsi f pada interval [ܽ,ܾ] , dinotasikan dengan ܷ(݂) atauܦ∫ത݂(ݔ)݀ݔdidefinisikan sebagai :
ܷ(݂) =ܦ න ݂ത (ݔ)
݀ݔ= ݂݅݊{ܷ(݂:࣪):࣪ ∈۾[a, b]}
integral Darboux bawah fungsi f pada interval ܽ,ܾ , dinotasikan dengan ܮ(݂) atau
ܦ∫ത݂(ݔ)݀ݔdidefinisikan sebagai :
ܮ(݂) =ܦ න ݂ (ݔ)
݀ݔ= ݏݑ{ܮ(݂:࣪):࣪ ∈۾[a, b]}
Teorema 4
Diberikan ܽ,ܾ⊆ܴ, dan f : [ܽ,ܾ]→R fungsi yang terbatas pada [ܽ,ܾ]. Jika fungsi f terintegral Darboux atas dan terintegral Darboux bawah pada interval [ܽ,ܾ], maka
ܮ(݂)≤ ܷ(݂). Bukti :
Diketahui fungsifterintegral Darboux atas dan terintegral Darboux bawah, artinya dapat dipilih sembarang partisi ࣪ଵ∈۾[a, b] dan ࣪ଶ∈۾[a, b]. Dipilih ࣪ =࣪ଵ∪࣪ଶ, maka berdasarkan Lemma 2 dan Teorema 3 berlaku
Jadi bilangan real ܷ(݂:࣪ଶ) merupakan suatu batas atas dari {ܮ(݂:࣪) ∶࣪ ∈۾[a, b]} Akibatnya
ܮ(݂) =ݏݑ{ܮ(݂:࣪):࣪ ∈۾[a, b]}≤ ܷ(݂:࣪ଶ)
Demikian pula,ܮ(݂)merupakan batas bawah dari{ܷ(݂:࣪):࣪ ∈۾[a, b]}, sehingga
ܮ(݂)≤ ݂݅݊{ܷ(݂:࣪ଶ):࣪ ∈۾[a, b]} =ܷ(݂) Terbuktiܮ(݂) ≤ܷ(݂).
Dari uraian di atas, selanjutnya diberikan definisi integral Darboux sebagai berikut.
C. Integral Darboux Definisi 5
Fungsi bernilai real dan terbatas ݂∶ [ܽ,ܾ] →ܴ dikatakan terintegral Darboux pada [ܽ,ܾ], jika ܮ(݂) =ܷ(݂) atau ܦ න ݂ത (ݔ) ݀ݔ= ܦ න ݂(ݔ) ݀ݔ= න ݂(ݔ) ݔ
Teorema berikut menyatakan suatu kriteria yang harus dipenuhi oleh fungsif: [ܽ,ܾ] → R supaya terintegral Darboux pada interval [ܽ,ܾ] tanpa harus mengetahui (menghitung) nilai integralnya.
Teorema 6 (Kriteria Riemann untuk integral Darboux)
Fungsi bernilai real dan terbatas f : [ܽ,ܾ] → R terintegral Darboux pada [ܽ,ܾ] jika dan hanya jika untuk setiap bilangan ߝ > 0 terdapat partisi RiemannṖఌpada [ܽ,ܾ] sehingga untuk setiap partisi RiemannṖpada interval [ܽ,ܾ] dengan sifatṖఌ⊆ ࣪, berlaku
ܷ(݂:࣪)−ܮ(݂:࣪) <ߝ. Bukti
Syarat perlu:
Diketahui fungsi f : [ܽ,ܾ] →R terintegral Darboux pada [ܽ,ܾ], berarti ܮ(݂) = ܷ(݂). Diberikan sembarang bilangan ߝ > 0, berdasarkan definisiܷ(݂)maka terdapat partisi RiemannṖଵpada [ܽ,ܾ] sehingga
Karenaܮ(݂) =ܷ(݂)maka berlaku
ܮ(݂)≤ ܷ(Ṗଵ) <ܮ(݂) +ߝ2
Selanjutnya, untuk bilangan ߝ > 0 tersebut, berdasarkan definisi ܮ(݂)maka terdapat partisi RiemannṖ2pada [ܽ,ܾ] sehingga
ܮ(݂)−2ߝ<ܮ(݂: Ṗଶ)≤ܮ(݂)
Berdasarkan Teorema 3, berlakuܮ(݂: Ṗଶ) ≤ܷ(݂: Ṗଵ). Oleh karena itu, diperoleh
ܮ(݂)−ߝ2 <ܮ(݂: Ṗଶ) ≤ܷ(݂: Ṗଵ) <ܮ(݂) +2ߝ
Dipilih Ṗఌ= Ṗଵ∪ Ṗଶ maka Ṗଵ⊆ Ṗఌ dan Ṗଶ⊆ Ṗఌ, sehingga berdasarkan Lemma 2 diperoleh
ܮ(݂)−ߝ2 <ܮ(݂: Ṗଶ) ≤ܮ(݂: Ṗఌ) ≤ܷ(݂: Ṗଶ) ≤ܷ(݂: Ṗଵ) <ܮ(݂) +2ߝ Akibatnya
ܮ(݂)−2 <ߝ ܮ(݂: Ṗఌ)≤ ܷ(݂: Ṗఌ) <ܮ(݂) +ߝ2
Selanjutnya jika diambil sembarang partisi RiemannṖpada interval [ܽ,ܾ] dengan sifat Ṗఌ⊆ Ṗ,berlakuܮ(݂)−ଶఌ< ܮ(݂: Ṗఌ) ≤ܮ(݂:Ṗ)≤ ܷ(݂:Ṗ) ≤ܷ(݂:Ṗఌ) <ܮ(݂) +ఌଶ maka didapat ܮ(݂)−ߝ2 <ܮ(݂:Ṗ)≤ ܷ(݂:Ṗ) <ܮ(݂) +2ߝ Akhirnya diperoleh ܷ(݂:Ṗ)−ܮ(݂:Ṗ) <ߝ. Syarat cukup:
Diketahui untuk setiap bilangan ߝ > 0, terdapat partisi RiemannṖఌpada [ܽ,ܾ] sehingga untuk setiap partisi Riemann Ṗ pada interval [ܽ,ܾ] dengan sifat Ṗఌ⊆ Ṗ, berlaku
ܷ(݂:Ṗ)−ܮ(݂:Ṗ) <ߝ
Ini ekuivalen denganܷ(݂:Ṗ) <ܮ(݂:Ṗ) +ߝ
Berdasarkan definisiܮ(݂)danܷ(݂), maka untuk setiap partisi Riemann Ṗpada [ܽ,ܾ] berlakuܷ(݂) ≤ܷ(݂:Ṗ)danܮ(݂:Ṗ)≤ ܮ(݂),
sehingga diperoleh
ܷ(݂) ≤ܷ(݂:Ṗ) <ܮ(݂:Ṗ) +ߝ≤ ܮ(݂) +ߝ
Diperolehܷ(݂)<ܮ(݂) +ߝ
Karena bilanganߝ> 0 diambil sembarang maka didapatkanܷ(݂)≤ܮ(݂)
Berdasarkan hasil ini dan Teorema 4 diperoleh ܮ(݂) =ܷ(݂). Terbukti f terintegral Darboux.
Teorema berikut ini menyatakan bahwa integral Riemann dan integral Darboux ekuivalen.
Teorema 5.8
Diberikanf: [ܽ,ܾ] → Rsuatu fungsi bernilai real dan terbatas,fterintegral Riemann pada [ܽ,ܾ] jika dan hanyafterintegral Darboux pada [ܽ,ܾ].
Bukti Syarat perlu:
Diketahui fungsi f : [ܽ,ܾ] → R terintegral Riemann pada [ܽ,ܾ], berarti terdapat bilangan
ܣ=ܴ∫݂(ݔ)݀ݔ, artinya untuk sembarang bilangan ߝ > 0, terdapat bilangan ߜ > 0 sehingga untuk setiap࣪ = (ݔ,ݔଵ,ݔଶ, … ,ݔ)partisi pada [ܽ,ܾ] dengan‖࣪‖<ߜberlaku
อ(࣪) ݂(ݔ)(ݔ−ݔିଵ)−ܣ
ୀଵ
อ< ߝ 2
Ambil sembarang [ݔିଵ,ݔ] ;݇= 1, 2, 3, … ,݊, berdasarkan definisi ݉ maka terdapat
ݔ∈[ݔିଵ,ݔ] demikian sehingga ݉ ≤݂(ݔ) <݉+2(ܾߝ−ܽ) . sehingga ݉(ݔ−ݔିଵ)≤ ݂(ݔ)(ݔ−ݔିଵ) <݉+2(ܾߝ−ܽ) (ݔ−ݔିଵ) ݉(ݔ−ݔିଵ)≤ ݂(ݔ)(ݔ−ݔିଵ) <݉(ݔ−ݔିଵ) +2(ܾߝ−ܽ) (ݔ−ݔିଵ) ݉(ݔ−ݔିଵ) ୀଵ ≤ ݂(ݔ)(ݔ−ݔିଵ) ݊ ݇=1 < ቆ݉(ݔ−ݔିଵ) +2(ܾߝ−ܽ) (ݔ−ݔିଵ)ቇ ୀଵ
݉(ݔ−ݔିଵ) ୀଵ ≤ ݂(ݔ)(ݔ−ݔିଵ) ݊ ݇=1 < ݉(ݔ−ݔିଵ) +ߝ2 ୀଵ ܮ(݂:࣪)≤ܵ(݂:࣪) <ܮ(݂:࣪)+2ߝ …(1)
Demikian pula untuk sembarang [ݔିଵ,ݔ] ;݇= 1, 2, 3, … ,݊, berdasarkan definisiܯ maka terdapatݔ∈[ݔିଵ,ݔ] demikian sehingga
ܯ−2(ܾߝ−ܽ) <݂(ݔ)≤ܯ
Dengan cara yang sama diperoleh
ܷ(݂:࣪)−2ߝ <ܵ(݂:࣪)≤ܷ(݂:࣪) …(2) Dari (1) dan (2) diperoleh
ܷ(݂:࣪)−ߝ
2 <ܮ(݂:࣪) +
ߝ
2
ܷ(݂:࣪)−ܮ(݂:࣪) <2 +ߝ ߝ2 =ߝ
Berdasarkan kriteria Riemann untuk integral Darboux terbuktifterintegral Darboux pada [ܽ,ܾ].
Syarat cukup:
Diketahui fungsi f : [ܽ,ܾ] → R terintegral Darboux pada [ܽ,ܾ]. Ambil sembarang bilangan ߝ > 0, berdasarkan Teorema 6 terdapat partisiṖఋ pada [ܽ,ܾ] sehingga untuk setiap partisi RiemannṖpada interval [ܽ,ܾ] dengan sifatṖఋ ⊆ Ṗ,berlaku
ܷ(݂:Ṗ)−ܮ(݂:Ṗ) <ߝ.
Dipiilhߜ> 0adalah bilangan positif sehingga‖Ṗ‖< ߜ. JikaṖsembarang partisi pada interval [ܽ,ܾ] dengan sifat Ṗఋ ⊆ Ṗ, maka ‖Ṗ‖ ≤ ‖Ṗఋ‖<ߜ. Jadi untuk setiap ߝ > 0 terdapat ߜ > 0 demikian sehingga untuk setiap partisi Riemann Ṗpada [ܽ,ܾ] dengan Ṗ <ߜ berlakuܷ(݂:Ṗ)−ܮ(݂:Ṗ) <ߝ.
Di lain pihak untuk sembarang partisiṖpada [ܽ,ܾ] berlakuܮ(݂:Ṗ) ≤ܵ(݂:Ṗ)≤ ܷ(݂:Ṗ) Sehingga diperoleh
Akibatnya
|ܵ(݂:Ṗ)−ܮ(݂:Ṗ)| <ߝ
Terbuktifterintegral Riemann.
Telah dibuktikan bahwa integral Riemann dan integral Darboux ekuivalen, maka sifat-sifat dasar integral Riemann yang telah dibahas pada bab sebelumnya, yaitu ketungalan nilai integral, kelinearan, serta keterbatasan fungsinya berlaku pula pada integral Darboux, sehingga untuk menguji suatu fungsi terintegral Riemann ataukah tidak, dapat ditunjukkan dengan menggunakan integral Darboux.
