BAB V INTEGRAL DARBOUX

1 Thobirin - Herawan : Analisis Real II

BAB V

INTEGRAL DARBOUX

Pada tahun 1875, matematikawan I.G. Darboux secara konstruktif memodifikasi definisi integral Riemann dengan terlebih dahulu mendefinisikan jumlah Darboux atas (upper Darboux

sum) dan jumlah Darboux bawah (lower Darboux sum), selanjutnya mendefinisikan integral

Darboux atas (upper Darboux integral) dan integral Darboux bawah (lower Darboux integral). Pada pembahasan selanjutnya akan didefinisikan integral Darboux dan ekuivalensi integral Darboux dengan integral Riemann.

A. Jumlah Darboux Atas dan Jumlah Darboux Bawah

Diberikan interval tertutup 𝑎, 𝑏  𝑅, dan f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi bernilai real yang terbatas pada [𝑎, 𝑏]. Jika 𝑃 = {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏;



₁,



₂, … ,



_𝑛} sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏], maka didefinisikan

M = sup 𝑓



_𝑖 :



_𝑖 ∈ [𝑎, 𝑏] dan m = inf 𝑓



_𝑖 :



_𝑖 ∈ [𝑎, 𝑏] Keterbatasa fungsi f dapat menjamin eksistensi dua bilangan M dan m tersebut. Selanjutnya untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 didefinisikan

𝑀𝑖 = sup 𝑓



_𝑖 :



_𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] ,

𝑚𝑖 = inf 𝑓



_𝑖 :



_𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]

Dapat dipahami bahwa 𝑚 ≤ 𝑚_𝑖 ≤ 𝑓



_𝑖 ≤ 𝑀_𝑖 ≤ 𝑀 untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

Selanjutnya Jumlah Darboux atas fungsi f terkait dengan partisi P, dinyatakan dengan 𝑈(𝑃; 𝑓), didefinisikan sebagai

𝑈 𝑃; 𝑓 = 𝑀_𝑖(

𝑛

𝑖=1

𝑥_𝑖−𝑥_𝑖−1)

dan Jumlah Darboux bawah fungsi f terkait dengan partisi P, dinyatakan dengan 𝐿(𝑃; 𝑓), didefinisikan sebagai 𝐿 𝑃; 𝑓 = 𝑚𝑖( 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖−𝑥𝑖−1) … Lemma 5.1

Diberikan 𝑎, 𝑏  𝑅, jika f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terbatas pada [𝑎, 𝑏] dan

𝑃 = {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏;



₁,



₂, … ,



_𝑛} sembarang partisi pada[𝑎, 𝑏], maka berlaku 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 .

Bukti

Diberikan 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑏;



₁,



₂, … ,



_𝑛} sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏], berdasarkan

definisi supremum dan infemum suatu himpunan maka diperoleh 𝑚𝑖 ≤ 𝑀𝑖 untuk setiap

𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

Oleh karenanya diperoleh

𝐿 𝑃; 𝑓 = 𝑚_𝑖(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 ≤ 𝑀_𝑖(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 = 𝑈 𝑃; 𝑓 .

2 Thobirin - Herawan : Analisis Real II Dengan menggunakan definisi yang sama untuk penghalus partisi pada integral Riemann, maka muncul Lemma berikut.

Lemma 5.2

Diberikan 𝑎, 𝑏  𝑅, dan f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terbatas pada [𝑎, 𝑏]. Jika 𝑃₁ dan 𝑃₂ sembarang

dua partisi pada[𝑎, 𝑏], dengan 𝑃₁ P₂ maka berlaku

𝐿 𝑃₁; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑃₂; 𝑓 𝑑𝑎𝑛 𝑈 𝑃₂; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃₁; 𝑓 .

Bukti

Diberikan 𝑃₁= {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏;



₁,



₂, … ,



_𝑛} sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dan 𝑃₂ sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃1 P2, maka dapat dimengerti bahwa setiap sub interval

[𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖] dalam 𝑃₁ pasti memuat titik dari partisi 𝑃₂, minimal 𝑥_𝑖−1 dan 𝑥_𝑖 itu sendiri. Namakan titik-titik tambahannya tersebut

𝑥𝑖−1= 𝑡𝑖0, 𝑡𝑖1, 𝑡𝑖2, … , 𝑡𝑖𝑝𝑖 = 𝑥𝑖 dengan sifat 𝑥_𝑖−1= 𝑡_𝑖0< 𝑡_𝑖1< 𝑡_𝑖2 < … < 𝑡_𝑖𝑝𝑖 = 𝑥_𝑖 sehingga diperoleh 𝑀_𝑖𝑗 = sup 𝑓



_𝑖𝑗 :



_𝑖𝑗 ∈ [𝑡_{𝑖(𝑗 −1)}, 𝑡_𝑖𝑗] , dan 𝑚_𝑖𝑗 = inf 𝑓



_𝑖𝑗 :



_𝑖𝑗 ∈ [𝑡_{𝑖(𝑗 −1)}, 𝑡_𝑖𝑗] , Selanjutnya untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 dan 𝑗 = 1, 2, … , 𝑝_𝑖 diperoleh

𝑚𝑖 ≤ 𝑚𝑖𝑗 ≤ 𝑀𝑖𝑗 ≤ 𝑀𝑖

Untuk suku ke i di dalam 𝐿(𝑃1; 𝑓) berlaku

𝑚_𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 = 𝑚_𝑖 𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖 𝑗 −1 𝑝𝑖 𝑗 =1 = 𝑚_𝑖 𝑡_𝑖𝑗 − 𝑡_{𝑖 𝑗 −1} 𝑝𝑖 𝑗 =1 ≤ 𝑚_𝑖𝑗 𝑡_𝑖𝑗 − 𝑡_{𝑖 𝑗 −1} 𝑝𝑖 𝑗 =1 . Jika hasil tersebut di atas dijumlahkan untuk semua indeks i, maka diperoleh:

𝐿 𝑃₁; 𝑓 = 𝑚_𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 ≤ 𝑚_𝑖𝑗 𝑡_𝑖𝑗 − 𝑡_{𝑖 𝑗 −1} 𝑝𝑖 𝑗 =1 𝑛 𝑖=1 = 𝐿 𝑃₂; 𝑓 Terbukti 𝐿 𝑃1; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑃2; 𝑓 .

Selanjutnya untuk suku ke i di dalam 𝑈(𝑃₁; 𝑓) berlaku 𝑀_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 = 𝑀𝑖 𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖 𝑗 −1 𝑝𝑖 𝑗 =1 = 𝑀_𝑖 𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖 𝑗 −1 𝑝𝑖 𝑗 =1 ≥ 𝑀_𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖 𝑗 −1 𝑝𝑖 𝑗 =1 . Jika hasil tersebut di atas dijumlahkan untuk semua indeks i, maka diperoleh:

𝑈 𝑃₁; 𝑓 = 𝑀_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 ≥ 𝑀_𝑖𝑗 𝑡_𝑖𝑗 − 𝑡_{𝑖 𝑗 −1} 𝑝𝑖 𝑗 =1 𝑛 𝑖=1 = 𝑈 𝑃₂; 𝑓 Terbukti 𝑈 𝑃₂; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃₁; 𝑓 . Teorema 5.3

Diberikan 𝑎, 𝑏  𝑅, dan f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terbatas pada [𝑎, 𝑏]. Jika 𝑃₁ dan 𝑃₂ sembarang

dua partisi pada[𝑎, 𝑏], maka berlaku

𝐿 𝑃₁; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃₂; 𝑓 .

3 Thobirin - Herawan : Analisis Real II Dibentuk 𝑃 = 𝑃₁∪ 𝑃₂, maka 𝑃₁ 𝑃 dan 𝑃₂ 𝑃, sehingga berdasarkan Lemma 5.2 diperoleh

𝐿 𝑃₁; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑃; 𝑓 dan 𝑈 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃₂; 𝑓 . Berdasarkan Lemma 5.1 diperoleh 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 . Akibatnya diperoleh 𝐿 𝑃1; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃2; 𝑓 .

B. Integral Darboux Atas dan Integral Darboux Bawah

Ingat, P [𝑎, 𝑏] dimaksudkan sebagai himpunan semua partisi pada 𝑎, 𝑏 . Selanjutnya integral

Darboux atas fungsi f pada interval 𝑎, 𝑏 , dinotasikan dengan 𝑈(𝑓) atau 𝐷 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏 didefinisikan sebagai

𝑈 𝑓 = 𝐷 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏 = inf { 𝑈 𝑃; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]}

integral Darboux bawah fungsi f pada interval 𝑎, 𝑏 , dinotasikan dengan 𝐿(𝑓) atau 𝐷 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎 𝑏

didefinisikan sebagai

𝐿 𝑓 = 𝐷 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎 𝑏 = sup { 𝐿 𝑃; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]}

Teorema 5.4

Diberikan 𝑎, 𝑏  𝑅, dan f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terbatas pada [𝑎, 𝑏]. Jika fungsi f terintegral

Darboux atas dan terintegral Darboux bawah pada interval [𝑎, 𝑏], maka

𝐿 𝑓 ≤ 𝑈 𝑓 .

Bukti

Diketahui fungsi f terintegral Darboux atas dan terintegral Darboux bawah, artinya dapat dipilih sembarang partisi 𝑃₁ P [𝑎, 𝑏] dan 𝑃2 P [𝑎, 𝑏]. Dipilih 𝑃 = 𝑃1∪ 𝑃2, maka berdasarkan Lemma

5.2 dan Teorema 5.3 berlaku

𝐿 𝑃1; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃2; 𝑓 .

Jadi bilangan real 𝑈 𝑃₂; 𝑓 merupakan suatu batas atas dari { 𝐿 𝑃; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]}. Akibatnya 𝐿 𝑓 = sup { 𝐿 𝑃; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]} ≤ 𝑈 𝑃2; 𝑓

Demikian pula, 𝐿 𝑓 merupakan batas bawah dari { 𝑈 𝑃; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]}, sehingga 𝐿 𝑓 ≤ inf { 𝑈 𝑃₂; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]} = 𝑈 𝑓 .

Terbukti

𝐿 𝑓 ≤ 𝑈 𝑓 .

Dari uraian di atas, selanjutnya diberikan definisi integral Darboux sebagai berikut.

C. Integral Darboux Definisi 5.5

Fungsi bernilai real dan terbatas f : [𝑎, 𝑏]  R dikatakan terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏], jika 𝐿 𝑓 = 𝑈 𝑓 atau 𝐷 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝐷 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝐷 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎

Teorema berikut menyatakan suatu criteria yang harus dipenuhi oleh fungsi f : [𝑎, 𝑏]  R supaya terintegral Darboux pada interval [𝑎, 𝑏] tanpa harus mengetahui (menghitung) nilai integralnya.

4 Thobirin - Herawan : Analisis Real II

Teorema 5.6 (Kriteria Riemann untuk integral Darboux)

Fungsi bernilai real dan terbatas f : [𝑎, 𝑏]  R terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika

untuk setiap bilangan 𝜀 > 0, terdapat partisi Riemann 𝑃_𝜀 pada [𝑎, 𝑏] sehingga untuk setiap partisi Riemann P pada interval [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃_𝜀  𝑃, berlaku

𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝜀.

Bukti

Syarat perlu:

Diketahui fungsi f : [𝑎, 𝑏]  R terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏], berarti 𝐿 𝑓 = 𝑈 𝑓 . Diberikan sembarang bilangan 𝜀 > 0, berdasarkan definisi 𝑈 𝑓 maka terdapat partisi Riemann 𝑃₁ pada [𝑎, 𝑏] sehingga

𝑈 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃₁; 𝑓 < 𝑈 𝑓 +𝜀 2 Karena 𝐿 𝑓 = 𝑈 𝑓 maka berlaku

𝐿 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃₁; 𝑓 < 𝐿 𝑓 +𝜀 2

Selanjutnya, untuk bilangan 𝜀 > 0 tersebut, berdasarkan definisi 𝐿 𝑓 maka terdapat partisi Riemann 𝑃₂ pada [𝑎, 𝑏] sehingga

𝐿 𝑓 −𝜀

2< 𝐿 𝑃2; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑓 . Berdasarkan Teorema 5.3, berlaku 𝐿 𝑃2; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃1; 𝑓 .

Oleh karena itu, diperoleh

𝐿 𝑓 −𝜀

2< 𝐿 𝑃2; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃1; 𝑓 < 𝐿 𝑓 + 𝜀 2

Dipilih 𝑃_𝜀 = 𝑃₁∪ 𝑃₂, maka 𝑃₁ 𝑃_𝜀 dan 𝑃₂ 𝑃_𝜀, sehingga berdasarkan Lemma 5.2 diperoleh 𝐿 𝑓 −𝜀 2< 𝐿 𝑃2; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑃𝜀; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃𝜀; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃1; 𝑓 < 𝐿 𝑓 + 𝜀 2 Akibatnya 𝐿 𝑓 −𝜀 2< 𝐿 𝑃𝜀; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃𝜀; 𝑓 < 𝐿 𝑓 + 𝜀 2 .

Selanjutnya jika diambil sembarang partisi Riemann P pada interval [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃_𝜀 𝑃, berlaku 𝐿 𝑓 −𝜀 2< 𝐿 𝑃𝜀; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃𝜀; 𝑓 < 𝐿 𝑓 + 𝜀 2 maka didapat 𝐿 𝑓 −𝜀 2< 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 < 𝐿 𝑓 + 𝜀 2 Akhirnya diperoleh 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝜀. Syarat cukup:

Diketahui untuk setiap bilangan 𝜀 > 0, terdapat partisi Riemann 𝑃𝜀 pada [𝑎, 𝑏] sehingga

untuk setiap partisi Riemann P pada interval [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃_𝜀 𝑃, berlaku 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝜀.

Ini ekuivalen dengan 𝑈 𝑃; 𝑓 < 𝐿 𝑃; 𝑓 + 𝜀.

Berdasarkan definisi 𝐿 𝑓 dan 𝑈 𝑓 , maka untuk setiap partisi Riemann P pada [𝑎, 𝑏] berlaku 𝑈 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 dan 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑓 , sehingga diperoleh

5 Thobirin - Herawan : Analisis Real II Diperoleh

𝑈 𝑓 < 𝐿 𝑓 + 𝜀 Karena bilangan 𝜀 > 0 diambil sembarang maka didapatkan

𝑈 𝑓 ≤ 𝐿 𝑓

Berdasarkan hasil ini dan Teorema 5.4 diperoleh 𝐿 𝑓 = 𝑈 𝑓 . Terbukti f terintegral Darboux.

Akibat 5.7

Diberikan fungsi bernilai real dan terbatas f : [𝑎, 𝑏]  R, jika 𝑃𝑛 barisan partisi Riemann pada interval [𝑎, 𝑏] dengan lim 𝑈 𝑃𝑛; 𝑓 − 𝐿 𝑃𝑛; 𝑓 = 0, maka f terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏] dan

lim 𝑈 𝑃𝑛; 𝑓 = 𝐷 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

𝑎

= lim 𝐿 𝑃𝑛; 𝑓 .

Bukti untuk latihan.

Teorema berikut ini menyatakan bahwa integral Riemann dan integral Darboux ekuivalen.

Teorema 5.8

Diberikan f : [𝑎, 𝑏]  R suatu fungsi bernilai real dan terbatas, f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏]

jika dan hanya jika f terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏]. Bukti

Syarat perlu:

Diketahui fungsi f : [𝑎, 𝑏]  R terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏], berarti terdapat bilangan 𝐴 = 𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏 , artinya untuk sembarang bilangan 𝜀 > 0, terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap 𝑃 = {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏;



₁,



₂, … ,



_𝑛} partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃 < 𝛿 berlaku

𝑃 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛

𝑖=1

− 𝐴 <𝜀₂ .

Ambil sembarang [𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖] ; 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛, berdasarkan definisi 𝑚_𝑖 maka terdapat



_𝑖 ∈ [𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖] demikian sehingga 𝑚_𝑖 ≤ 𝑓



_𝑖 < 𝑚_𝑖+ 𝜀 2(𝑏 − 𝑎) . sehingga 𝑚_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 ≤ 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 < 𝑚𝑖+ 𝜀 2(𝑏 − 𝑎) 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑚𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 ≤ 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 < 𝑚𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 + 𝜀 2(𝑏 − 𝑎) 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑚_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 ≤ 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 < 𝑚_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 + 𝜀 2(𝑏 − 𝑎) 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 𝑚_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 ≤ 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 < 𝑚_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 +𝜀 2 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑆 𝑃; 𝑓 < 𝐿 𝑃; 𝑓 +𝜀 2 . (1)

6 Thobirin - Herawan : Analisis Real II Demikian pula untuk sembarang [𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖] ; 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛, berdasarkan definisi 𝑀_𝑖 maka terdapat



_𝑖 ∈ [𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖] demikian sehingga

𝑀_𝑖− 𝜀

2(𝑏 − 𝑎)< 𝑓



𝑖 ≤ 𝑀𝑖 .

Dengan cara yang sama diperoleh

𝑈 𝑃; 𝑓 −𝜀

2< 𝑆 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 . (2) Dari (1) dan (2) diperoleh

𝑈 𝑃; 𝑓 −𝜀 2< 𝐿 𝑃; 𝑓 + 𝜀 2 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝜀 2+ 𝜀 2= 𝜀

Berdasarkan criteria Riemann untuk integral Darboux terbukti f terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏]. Syarat cukup:

Diketahui fungsi f : [𝑎, 𝑏]  R terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏]. Ambil sembarang bilangan 𝜀 > 0, berdasarkan Teorema 5.6 terdapat partisi 𝑃_𝛿 pada [𝑎, 𝑏] sehingga untuk setiap partisi Riemann P pada interval [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃_𝛿  𝑃, berlaku

𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝜀.

Dipilih 𝛿 > 0 adalah bilangan positif sehingga 𝑃𝛿 < 𝛿. Jika P sembarang partisi pada interval

[𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃_𝛿  𝑃, maka 𝑃 ≤ 𝑃_𝛿 < 𝛿. Jadi untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 demikian sehingga untuk setiap partisi Riemann P pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃 < 𝛿 berlaku 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝜀. Di lain pihak untuk sembarang partisi P pada [𝑎, 𝑏] berlaku 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑆 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 ,

Sehingga diperoleh

𝑆 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝜀 Akibatnya

𝑆 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝜀 Terbukti f terintegral Riemann.

Telah dibuktikan bahwa integral Riemann dan integral Darboux ekuivalen, maka sifat-sifat dasar integral Riemann yang telah dibahas pada bab IV sebelumnya, yaitu ketungalan nilai integral, kelinearan, serta keterbatasan fungsinya berlaku pula pada integral Darboux, sehingga untuk menguji suatu fungsi terintegral Riemann ataukah tidak, dapat ditunjukkan dengan menggunakan integral Darboux.