Kalkulus
Kalkulus
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas Langsung ke:
Langsung ke: navigasinavigasi,, caricari
Kalkulus
Kalkulus ((Bahasa LatinBahasa Latin::calculuscalculus, artinya "batu kecil", untuk , artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu
menghitung) adalah cabang ilmu matematikamatematikayang mencakupyang mencakup limit
limit,, turunanturunan,, integralintegral, dan, dan deret takterhinggaderet takterhingga.. KalkulusKalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana
adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometrigeometri
adalah ilmu mengenai bentuk dan
adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar aljabar adalah ilmuadalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang
bidang-bidang sainssains,, ekonomiekonomi,, dandan teknik teknik ; serta dapat; serta dapat
memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan
dengan aljabar elementer aljabar elementer ..
Kalkulus memiliki dua cabang utama,
Kalkulus memiliki dua cabang utama,kalkulus diferensialkalkulus diferensial
dan
dan kalkulus integralkalkulus integralyang saling berhubungan melaluiyang saling berhubungan melalui
teorema dasar kalkulus
teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebihlebih tinggi, yang khusus mempelajari
tinggi, yang khusus mempelajari fungsifungsi dandan limitlimit, yang secara, yang secara umum dinamakan
umum dinamakan analisis matematikaanalisis matematika..
Daftar isi
Daftar isi
[[sembunyikansembunyikan]] • • 1 Sejarah1 Sejarah ○ ○ 1.1 Perkembangan1.1 Perkembangan ○○ 1.2 Pengaruh penting1.2 Pengaruh penting
•
• 2 Prinsip-prinsip dasar 2 Prinsip-prinsip dasar
○
○ 2.1 Limit dan kecil tak terhingga2.1 Limit dan kecil tak terhingga ○
○ 2.2 Turunan2.2 Turunan
2.2.1 Notasi pendiferensialan2.2.1 Notasi pendiferensialan
○
○ 2.3 Integral2.3 Integral
2.3.1 Integral tertentu2.3.1 Integral tertentu
2.3.2 Integral tak tentu2.3.2 Integral tak tentu
○
○ 2.4 Teorema dasar 2.4 Teorema dasar
• • 3 Aplikasi3 Aplikasi • • 4 Referensi4 Referensi ○ ○ 4.1 Sumber 4.1 Sumber
Topik dalam kalkulus Topik dalam kalkulus
Teorema dasar Teorema dasar Limit fungsi Limit fungsi Kekontinuan Kekontinuan Kalkulus vektor Kalkulus vektor Kalkulus matriks Kalkulus matriks
Teorema nilai purata
Teorema nilai purata
Turunan Turunan Kaidah darab Kaidah darab Kaidah hasil-bagi Kaidah hasil-bagi Kaidah rantai Kaidah rantai Turunan implisit Turunan implisit Teorema Taylor Teorema Taylor Laju berhubungan Laju berhubungan Tabel turunan Tabel turunan Integral Integral Tabel integral Tabel integral Integral takwajar Integral takwajar Pengintegralan dengan Pengintegralan dengan:: bagian per bagian
bagian per bagian,, cakramcakram,, silinder
silinder ,, substitusisubstitusi,, substitusi trigonometri
substitusi trigonometri,, pecahan parsial
○ 4.2 Daftar Pustaka
• 5 Sumber lain
○ 5.1 Bacaan lebih lanjut ○ 5.2 Pustaka daring ○ 5.3 Halaman web
[sunting] Sejarah
Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dan kontributor kalkulus yang terkenal. [sunting] Perkembangan
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Sejarah kalkulus
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis.
Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung.[1]Archimedes mengembangkan pemikiran ini
lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.[2]
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.[3] Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk
mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".[4] Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak
Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting
terhadap perkembangan kalkulus integral.[5] Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf Din
al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik , sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. [6]Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari
mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor [7], yang
dituliskan dalam teks Yuktibhasa.[8][9][10]
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh
matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul
kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima
penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri
pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".
Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.
Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern.
Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.[11]
[sunting] Pengaruh penting
Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani,
Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur , pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier .
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno.
Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.
[sunting] Prinsip-prinsip dasar
[sunting] Limit dan kecil tak terhingga Artikel utama untuk bagian ini adalah: Limit
Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya:
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangandx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat,
sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah
sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:
Diberikan fungsi f(x)yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwalimit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:
jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:
[sunting] Turunan
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Turunan
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:
,
dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ
terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Apabila z =x+h,h =x- z , dan hmendekati 0 jika dan hanya jikaz mendekatix, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
Garis singgung pada (x,f (x)). Turunan f' (x) sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.
Perhatikan bahwa ekspresi pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita
mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.
Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial
Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurvaf (x) di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.
[sunting] Notasi pendiferensialan
Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler.
Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y= ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:
ataupun
Notasi Lagrangediperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.
Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk
menandakan turunan. Apabilay =ƒ(t ), maka mewakili turunanyterhadapt . Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
Notasi Euler menggunakan operator diferensialDyang diterapkan pada fungsiƒ untuk
memberikan turunan pertamanya Df . Apabila y=ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering kalix dilekatkan padaDuntuk mengklarifikasikan keterbebasan variabelx. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:
atau .
Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear .
Notasi Leibniz Notasi Lagrange Notasi Newton Notasi Euler Turunan ƒ(x ) terhadap x ƒ′(x)
dengan y=ƒ(x) [sunting] Integral
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Integral
Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurvaƒ(x), antara dua titik a dan b.
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah , seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).
Diberikan suatu fungsi ƒbervariabel real xdan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:
secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x=adan x=b.
Pada notasi integral di atas: aadalahbatas bawah danb adalahbatas atasyang menentukan domain pengintegralan,ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadapxpada interval [a,b], dan dxadalah variabel pengintegralan.
Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva. Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsiƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlahn-1 titik {x1,x2,x3,...,xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
Himpunan tersebut kita sebut sebagaipartisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah nsubinterval . Lebar subinterval pertama [x0,x1] kita nyatakan sebagai Δx1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita
nyatakan sebagai Δxi=xi- xi- 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti. Maka pada tiap-tiap
subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δxdan tingginya berawal dari sumbu xsampai menyentuh titik (t i,ƒ(t i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas
tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikanƒ(t i)· Δxidan menjumlahkan keseluruhan luas
PenjumlahanS pdisebut sebagaipenjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b].
Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari
penjumlahan Riemann apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi di sepanjang [a,b] dengan dan pilihant i apapun pada [xk - 1,t i], kita dapatkan
Secara matematis dapat kita tuliskan:
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.
Contoh
Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu , yakni mencari luas daerah A dibawah kurvay=xpada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu
sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah
Pemilihan partisi ataupun titik t isecara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisiP membagi-bagi interval [0,b]
menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b- 0)/n=b/ndan titik t' iyang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
dan , sehingga:
Seiring dengan nmendekati tak terhingga dan norma partisi mendekati 0, maka didapatkan:
Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.
[sunting] Integral tak tentu
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa
integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒterhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
Ekspresi F(x) + C adalahantiderivatif umumƒ danC adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi f (x) = x2, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam
bentuk adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C .
[sunting] Teorema dasar
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Teorema dasar kalkulus
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan:
Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalahf pada interval (a,b), maka
Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral , daripada
menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut.
Anti derivatif dari fungsi adalah . Oleh sebab itu, sesuai dengan
teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu adalah:
Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:
Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu (lihat bagian atas). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.
[sunting] Aplikasi
Pola spiral logaritma cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.
Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik , teknik , ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat
ditentukan dengan menggunakan kalkulus.
Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahanyang merujuk pada turunan:Laju
perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama.
Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari
kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.
[sunting] Referensi
[sunting] Sumber
1. ^Helmer Aslaksen. Why Calculus? National University of Singapore.
2. ^Archimedes,Method , in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7 3. ^Aryabhata the Elder
4. ^Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II.
5. ^Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India",Mathematics Magazine
68(3), pp. 163-174.
6. ^J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat",
Journal of the American Oriental Society 110(2), pp. 304-309.
7. ^"Madhava".Biography of Madhava. School of Mathematics and Statistics University
of St Andrews, Scotland.
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html. Diakses pada 13 September 2006.
8. ^"An overview of Indian mathematics".Indian Maths. School of Mathematics and
Statistics University of St Andrews, Scotland. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_mathematics.html. Diakses pada 7 Juli 2006.
9. ^"Science and technology in free India". Government of Kerala — Kerala Call,
September 2004. Prof.C.G.Ramachandran Nair.
http://www.kerala.gov.in/keralcallsep04/p22-24.pdf . Diakses pada 9 Juli 2006.
10.^Charles Whish (1835).Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and
Ireland .
11.^UNESCO-World Data on Education isapi.dll?
clientID=137079235&infobase=iwde.nfo&softpage=PL frame [sunting] Daftar Pustaka
• Donald A. McQuarrie (2003).Mathematical Methods for Scientists and Engineers,
University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5
• James Stewart (2002).Calculus: Early Transcendentals, 5th ed., Brooks Cole. ISBN
978-0-534-39321-2
[sunting] Sumber lain
[sunting] Bacaan lebih lanjut
• Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986)
Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7,
• John L. Bell:A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998.
ISBN 978-0-521-62401-5.
• Florian Cajori, "The History of Notations of the Calculus."Annals of Mathematics, 2nd
Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep., 1923), pp. 1-46.
• Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "Approximating Perfection: a Mathematician's
Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus", Princeton Univ. Press, 2004
• Cliff Pickover. (2003) ISBN 978-0-471-26987-8Calculus and Pizza: A Math Cookbook
for the Hungry Mind .
• Michael Spivak. (Sept 1994) ISBN 978-0-914098-89-8Calculus. Publish or Perish
publishing.
• Silvanus P. Thompson dan Martin Gardner. (1998) ISBN 978-0-312-18548-0Calculus
Made Easy.
• Mathematical Association of America. (1988)Calculus for a New Century; A Pump, Not
a Filter , The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.
• Thomas/Finney. (1996) ISBN 978-0-201-53174-9Calculus and Analytic geometry 9th,
Addison Wesley.
• Weisstein, Eric W. "Second Fundamental Theorem of Calculus." dari MathWorld--A
Wolfram Web Resource. [sunting] Pustaka daring
• Crowell, B., (2003). "Calculus" Light and Matter, Fullerton. Retrieved 6th May 2007 from
http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf
• Garrett, P., (2006). "Notes on first year calculus" University of Minnesota. Retrieved 6th
May 2007 from http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf
• Faraz, H., (2006). "Understanding Calculus" Retrieved Retrieved 6th May 2007 from
Understanding Calculus, URL http://www.understandingcalculus.com/ (HTML only)
• Keisler, H. J., (2000). "Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals"
Retrieved 6thMay 2007 from http://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc1.pdf
• Mauch, S. (2004). "Sean's Applied Math Book " California Institute of Technology.
Retrieved 6thMay 2007 from http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf
• Sloughter, Dan., (2000) "Difference Equations to Differential Equations: An introduction
to calculus". Retrieved 6th May 2007 from http://math.furman.edu/~dcs/book/
• Stroyan, K.D., (2004). "A brief introduction to infinitesimal calculus" University of Iowa.
Retrieved 6thMay 2007 from
http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm (HTML only)
• Strang, G. (1991) "Calculus" Massachusetts Institute of Technology. Retrieved 6thMay
2007 from http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm. [sunting] Halaman web
• Calculus.org: The Calculus page di Universitas California, Davis • COW: Calculus on the Web di Universitas Temple
• Online Integrator (WebMathematica) dari Wolfram Research
• The Role of Calculus in College Mathematics dari ERICDigests.org • OpenCourseWare Calculus dari Institut Teknologi Massachusetts
• Infinitesimal Calculus Encyclopaedia of Mathematics, Michiel Hazewinkel ed. .
[sembunyikan]
l•b•s
Bidang utama matematika
Logika· Teori himpunan· Teori kategori· Aljabar (elementer – linier – abstrak )· Teori
bilangan· Analisis/Kalkulus ·Geometri· Topologi· Sistem dinamik · Kombinatorika· Teori permainan· Teori informasi · Analisis numerik · Optimisasi· Komputasi· Probabilitas· Statistika
Diperoleh dari "http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" Kategori: Kalkulus
Peralatan pribadi
• Masuk log / buat akun Ruang nama • Halaman • Pembicaraan Varian Tampilan • Baca • Sunting • Versi terdahulu Tindakan • ↑ Cari Top of Form Istimew a:Pencar i Bottom of Form Navigasi • Halaman Utama • Perubahan terbaru
• Peristiwa terkini • Halaman sembarang Komunitas • Warung Kopi • Portal komunitas • Bantuan Wikipedia • Tentang Wikipedia • Pancapilar • Kebijakan • Menyumbang Cetak/ekspor • Buat buku • Unduh sebagai PDF • Versi cetak Kotak peralatan • Pranala balik • Perubahan terkait • Halaman istimewa • Pranala permanen • Kutip halaman ini Bahasa lain • አማርኛ • Aragonés • ةيبرعلا • বাংলা • Deutsch • Ελληνικά • English • Esperanto • Español • یسف • Suomi • Gaeilge • 贛語 • िहनदी
• Ido • Íslenska • 日本語 • Basa Jawa • 한국어 • Latina • Lietuvių • മലയാളം • Bahasa Melayu • Polski • Português • Runa Simi • Scots • සිංහල • Simple English • SiSwati • தமழ் • ไทย • Türkçe • ودا • Winaray • 中文 • Bân-lâm-gú • 粵語
• Halaman ini terakhir diubah pada 15:02, 28 Januari 2011.
• Teks tersedia di bawah Lisensi Atribusi/Berbagi Serupa Creative Commons; ketentuan
tambahan mungkin berlaku. Lihat Ketentuan Penggunaan untuk lebih jelasnya.
• Kebijakan privasi • Tentang Wikipedia • Penyangkalan
•
