Integral riemann-darboux

(1)

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Maria Asepti Endarwati NIM: 033114002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

(2)

ii

RIEMANN-DARBOUX INTEGRAL

THESIS

Presented As a Partial Fulfillment of The Requirements To Obtain The Sarjana Sains Degree

In Mathematics

By:

Maria Asepti Endarwati Student Number: 033114002

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTEMENT OF MATEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

(3)

(4)

(5)

v

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yan telah disebutkan dalam daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

(6)

vi

Skripsi ini kupersembahkan kepada:

Orang Tuaku, dan adik-adikku tercinta,

Keluarga besarku, dosen-dosenku, dan sahabat-sahabatku.

Pabila cinta datang kepadamu, sambutlah,

Meski dibalik sayap-sayapnya yang lembut,

terdapat pisau tajam yang siap

menghunusmu..

(Khalil Jibran)

(7)

vii ABSTRAK

(8)

viii ABSTRACT

(9)

(10)

x

KATA PENGANTAR

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan syukur dan terima kasih kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat yang telah melimpahkan kepada penulis dalam menyusun sampai selesainya penulisan skripsi ini.

Skripsi ini ditulis untuk memenuhi dan melengkapi persyaratan dalam meraih gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dari banyak pihak, penulis tidak dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. Oleh karena itu penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada:

1. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan dengan penuh kesabaran membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini.

2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.

3. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku Dosen Pembimbing Akademik angkatan 2003 yang dengan sabar mendampingi penulis selama kuliah di USD.

(11)

xi

5. Perpustakaan USD dan Staf/ Karyawan Perpustakaan USD yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis dalam mencari informasi pendukung penyusunan skripsi ini.

6. Orang tuaku (Bapak Anjar dan Ibu Endah), adik-adikku (Agung dan Chilli), sahabat-sahabatku (Mas Patup, Mas Deeon, Mbak Tika, Mas Anto) yang tanpa henti memberi dukungan semangat dan doa sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

7. Teman-teman angkatan 2003, Eko, Ridwan, Koko, Merry, Dewi, Mekar, Anin, Anggi, Valent dan Ririn, yang bersama-sama menjalani kuliah di USD dalam senang maupun susah.

8. Semua pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini baik secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan dan kelemahan. Oleh karena itu, penulis dengan besar hati menerima saran dan kritik serta masukan yang dapat membuat skripsi ini menjadi lebih baik dan dapat menambah pengetahuan para pembaca.

Yogyakarta, Februari 2009

(12)

xii DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN JUDUL (INGGRIS) ... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN ... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ... vi

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... viii

PERNYATAAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ... ix

KATA PENGANTAR ... x

DAFTAR ISI ... xii

BAB I PENDAHULUAN 1. Latar Belakang ... 1

2. Perumusan Masalah ... 1

3. Tujuan Penulisan ... 2

4. Pembatasan Masalah ... 2

5. Metode Penulisan ... 2

6. Manfaat Penulisan ... 3

7. Sistematika Penulisan ... 3

(13)

xiii

2. Barisan dan Limit Barisan Bilangan Real ... 14

3. Limit Fungsi ... 20

4. Fungsi Kontinu ... 23

5. Turunan ... 27

BAB III INTEGRAL DARBOUX 1. Integral Darboux ... 32

2. Partisi Penghalus ... 44

3. Teorema Darboux ... 48

4. Syarat Terintegral Darboux ... 50

5. Integral dari Jumlah dan Selisih dari Fungsi Terintegral Darboux ... 57

BAB IV INTEGRAL RIEMANN 1. Integral Riemann dan Hubungannya dengan Integral Darboux ... 75

2. Fungsi-fungsi Terintegral Riemann ... 86

3. Integral dan Turunan ... 94

4. Teorema Fundamental Kalkulus ... 96

5. Teorema Nilai Rata-rata dari Kalkulus Integral ... 103

6. Pengintegralan Parsial ... 106

7. Mengubah Variabel dalam Integral Riemann ... 110

8. Teorema Nilai Rata-rata Kedua ... 113

BAB V PENUTUP 1. Kesimpulan ... 123

2. Saran ... 124

(14)

1. Latar Belakang Masalah

Salah satu konsep penting dalam analisis adalah teori integral. Telah banyak jenis integral yang berkembang dalam analisis. Salah satu jenis integral yang cukup populer adalah integral Riemann. Integral Riemann tidak hanya digunakan dalam bidang matematika saja tetapi juga digunakan dalam bidang-bidang lainnya, terutama dalam fisika dan ilmu keteknikan.

Sebelum adanya integral Riemann, I. Newton (1642-1727) menyusun salah satu teori integral berdasarkan kalkulus, khususnya menggunakan anti derivatif. Kemudian barulah G. F. B. Riemann (1826-1866), pada tahun 1854, menyusun teori integral dengan cara lain, yaitu menggunakan partisi dan jumlah Riemann. Pada tahun 1875, integral Riemann dimodifikasi oleh I. G. Darboux (1842-1917) dengan menggunakan jumlah atas dan jumlah bawah.

Oleh karena itu, dalam skripsi ini akan membahas bagaimana pendekatan integral Riemann menggunakan integral Darboux dan akan diperlihatkan bahwa pada garis real R integral Darboux ekuivalen dengan integral Riemann.

2. Perumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah: 1. Apakah definisi dan sifat-sifat integral Darboux di R ?

(15)

3. Bagaimana hubungan antara integral Riemann di R dan integral Darboux di R?

3. Tujuan Penulisan

Penulisan skripsi ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika. Selain itu, skripsi ini bertujuan untuk:

1. Mengetahui definisi dan sifat-sifat integral Darboux di R. 2. Mengetahui definisi dan sifat-sifat integral Riemann di R.

3. Mengetahui bagaimana hubungan integral Riemann di R dan integral Darboux di R.

4. Pembatasan Masalah

Dalam skripsi ini, masalah yang akan dibahas hanyalah mengenai integral Riemann di R dan integral Darboux di R serta hubungan keduanya. Khususnya hanya dibahas fungsi-fungsi yang terdefinisi pada interval tertutup terbatas di R.

5. Metode Penulisan

(16)

6. Manfaat Penulisan

Manfaat yang dapat diambil dari penulisan skripsi ini adalah memahami konsep integral Riemann di R dan integral Darboux di R serta hubungan keduanya. Selanjutnya, diharapkan nantinya dapat digunakan untuk pengembangan teori di bidang analisis real maupun bidang-bidang yang lain.

7. Sistematika Penulisan

Sistematika yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah: I. PENDAHULUAN

1. Latar Belakang 2. Perumusan Masalah 3. Tujuan Penulisan 4. Pembatasan Masalah 5. Metode Penulisan 6. Manfaat Penulisan 7. Sistematika Penulisan

II. SISTEM BILANGAN REAL DAN FUNGSI REAL 1. Sistem Bilangan Real

2. Barisan dan Limit Barisan Bilangan Real 3. Limit Fungsi

4. Fungsi Kontinu 5. Turunan

(17)

1. Integral Darboux 2. Partisi Penghalus 3. Teorema Darboux

4. Syarat Terintegral Darboux

5. Integral dari Jumlah dan Selisih dari Fungsi Terintegral Darboux IV.INTEGRAL RIEMANN

1. Integral Riemann dan Hubungannya dengan Integral Darboux 2. Fungsi-fungsi Terintegral Riemann

3. Integral dan Turunan

4. Teorema Fundamental Kalkulus

5. Teorema Nilai Rata-rata dari Kalkulus Integral 6. Pengintegralan Parsial

7. Mengubah Variabel dalam Integral Riemann 8. Teorema Nilai Rata-rata Kedua

V. PENUTUP 1. Kesimpulan 2. Saran

(18)

Dalam bab ini akan dibahas materi-materi yang akan digunakan sebagai

landasan dalam pembahasan bab-bab selanjutnya. Materi-materi tersebut antara

lain: sistem bilangan real R, barisan bilangan real, limit fungsi real dan fungsi

kontinu, serta turunan fungsi real.

1. Sistem Bilangan Real R

Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang himpunan bilangan real R serta

sifat-sifatnya. Sistem bilangan real R ternyata dibentuk dari sistem bilangan yang lebih

sederhana, antara lain sistem bilangan asli N=

{

1,2,3,4,K

}

yang anggotanya

disebut bilangan asli (positive integer), sistem bilangan cacah N0=

{

0,1,2,3,4,K

}

yang anggotanya disebut bilangan cacah (counting number), sistem bilangan bulat

Z=

{

L,−3,−2,−1,0,1,2,3,K

}

yang anggotanya disebut bilangan bulat (integer),

dan sistem bilangan rasional Q

⎩ ⎨

⎧ _∈

= m n

n m

,

: Z dan n≠0

⎭ ⎬ ⎫

yang anggotanya

disebut bilangan rasional atau pecahan.

Definisi 2. 1. 1.

Pada sistem bilangan real R untuk setiap pasangan terurut a,b∈R, terdefinisi

elemen a+b dan ab dari R berturut-turut disebut penjumlahan dan perkalian

(19)

1. a,b∈R maka a+b∈R ( Tertutup pada penjumlahan )

2. a+b=b+a, untuk semua a,b∈R (Sifat komutatif terhadap

penjumlahan)

3.

(

a+b

)

+c=a+

(

b+c

)

, untuk semua a,b,c∈R ( Sifat asosiatif terhadap

penjumlahan )

4. terdapat elemen tunggal 0∈R sehingga a+0=0+a=a, untuk semua

∈

a R ( Elemen identitas untuk penjumlahan )

5. untuk masing-masing a∈R terdapat elemen tunggal −a∈R sehingga

( ) ( )

− = − + =0

+ a a a

a (Elemen invers untuk penjumlahan )

6. a,b∈R maka ab∈R ( Tertutup pada perkalian )

7. ab=ba, untuk semua a,b∈R ( Sifat komutatif terhadap perkalian )

8.

( )

ab c=a

( )

bc , untuk semua a,b,c∈R ( Sifat asosiatif terhadap perkalian )

9. terdapat elemen tunggal 1∈R sehingga 1a =a1=a untuk semua a∈R

(Elemen identitas untuk perkalian)

10.untuk setiap a≠0,a∈R terdapat elemen tunggal a−1∈R sehingga

1

1 =

−

aa ( Elemen invers untuk perkalian )

11.

(

a+b

)

c=ac+bc, untuk semua a,b,c∈R ( Sifat distributif )

Definisi 2. 1. 2.

Diberikan himpunan bilangan real R. Terdapat himpunan bagian tak kosong P

dari R, yang disebut himpunan dari bilangan real positif, yang memenuhi:

(20)

2. jika a,b∈P maka ab∈P

3. jika a∈R maka tepat satu yang terpenuhi dari: ∈

a P, a=0, −a∈ P ( Sifat trikotomi )

Definisi 2. 1. 3.

Misal a,b∈R.

a. Jika a−b∈P, maka dapat ditulis a>b atau b<a.

b. Jika a−b∈P∪

{ }

0 , maka dapat ditulis a≥b atau b≤a.

Teorema 2. 1. 5.

Jika a,b,c∈R, maka berlaku

a. jika a<b dan b<c, maka a<c

b. a<b maka a+c<b+c

c. a<b dan c>0, maka ca<cb

d. a<b dan c<0, maka ca>cb

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 2.1.7.

Teorema 2. 1. 4.

a. Jika a∈R, dan a≠0, maka a2 >0. b. 1>0

c. Jika n∈N, maka n>0.

(21)

Teorema 2. 1. 5.

Jika a∈R dan 0≤a<ε, untuk setiap ε >0, maka a=0.

Bukti.

Teorema 2. 1. 6.

Jika ab>0, maka berlaku

a. a>0 dan b>0, atau

b. a<0 dan.b<0.

Bukti.

Akibat 2. 1. 7.

Jika ab<0, maka berlaku

a. a<0 dan b>0, atau

b. a>0dan.b<0.

Bukti.

Lihat Bartle[1], Akibat 2.1.11.

Definisi 2. 1. 8.

(22)

didefinisikan sebagai

⎩ ⎨ ⎧

< −

≥ =

. 0 jika ,

0 jika ,

x x

x

Teorema 2. 1. 9.

Jika x,y∈R, maka

1. x 2 = x2 = −x 2

2. xy = x ⋅ y

3. ,

y x y x

= dengan y≠0

Bukti.

Lihat Malik[4], Teorema 6, halaman 28.

Teorema 2. 1. 10. (Ketidaksamaan Segitiga)

Untuk semua x,y∈R, berlaku

1. x+y ≤ x + y , dan

2. x−y ≥ x − y .

Bukti.

Definisi 2. 1. 11.

(23)

b a− .

Misal a∈R dan ε >0. Persekitaran ε dari a adalah himpunan

( )

a =

{

x∈ x−a <ε

}

V R : .

Teorema 2. 1. 12.

Diberikan a∈R . Jika x berada pada persekitaran V

( )

a untuk setiap ε >0, maka

a x= .

Bukti.

Definisi 2. 1. 13.

Himpunan bagian tak kosong A dari R dikatakan:

1. Terbatas ke atas jika terdapat elemen K∈R sehingga

K

x≤ , untuk semua x∈A.

Elemen K tersebut merupakan batas atas dari A.

2. Terbatas ke bawah jika terdapat elemen k∈R sehingga

k

x≥ , untuk semua x∈A.

Elemen k tersebut merupakan batas bawah dari A.

3. Terbatas jika terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.

4. Tidak terbatas jika tidak terbatas ke atas atau tidak terbatas ke bawah.

Definisi 2. 1. 14.

(24)

batas atas terkecil ( supremum ) di R dan ditulis

A M =sup ,

jika terdapat elemen M ∈R sehingga

a. M adalah batas atas untuk A, yaitu x≤M , untuk semua x∈A,

b. Tidak ada batas atas yang lebih kecil dari M, yaitu

Jika M′<M , maka terdapat x∈A sehingga x>M′,

Atau dengan kontrapositifnya,

Jika M′ adalah batas atas untuk A, maka M ≤M′.

Lemma 2. 1. 15.

Batas atas u dari suatu himpunan tak kosong S dari R dikatakan supremum jika

dan hanya jika untuk setiap ε >0 terdapat s_ε ∈S sehingga u−ε <s_ε.

Bukti.

Lihat Bartle[1], Lemma 2.3.4.

Definisi 2. 1. 16.

Misal A adalah himpunan bagian tak kosong dari R. Himpunan A mempunyai

batas bawah terbesar ( infimum ) di R dan ditulis

A m=inf ,

jika terdapat elemen m∈R sehingga

a. m adalah batas bawah dari A, yaitu m≤x, untuk semua x∈A,

b. tidak ada batas bawah yang lebih besar dari m, yaitu

(25)

Lemma 2. 1. 17.

Batas bawah v dari suatu himpunan tak kosong S dari R dikatakan infimum jika

dan hanya jika untuk setiap ε >0 terdapat b_ε ∈S sehingga u−ε >b_ε.

Bukti.

Lihat Bartle[1], Lemma 2.3.4.

Definisi 2. 1. 18.

Setiap himpunan real R disebut lengkap jika setiap himpunan bagian tak kosong

yang terbatas ke atas mempunyai batas atas terkecil (supremum) pada R.

Sejalan dengan hal di atas, dapat juga disebut lengkap jika himpunan bagian tak

kosong yang terbatas ke bawah mempunyai batas bawah terbesar (infimum).

Teorema 2. 1. 19.

a. Misal S adalah himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas ke atas,

dan a∈R, maka

(

a S

)

a supS

sup + = + .

b. Misal A dan B adalah himpunan bagian tak kosong dari R yang memenuhi:

b

a≤ , untuk semua a∈A dan b∈B

maka

B A inf

sup ≤ .

c. Misal f dan g adalah fungsi bernilai real yang terbatas dengan domainnya

⊆

D R.

(26)

( )

x g

( )

x f

D x D

x∈ ∈

≤sup

sup .

ii) Jika f

( ) ( )

x ≤g y , untuk semua x,y∈D, maka

( )

x g

( )

y f

D y D

x∈ ∈

≤inf

sup .

Bukti.

Lihat Bartle[1], Contoh 2.4.1. dan Contoh 2.4.2.

Teorema 2. 1. 20.

Himpunan A⊂R disebut Archimedean jika untuk setiap x∈A, maka terdapat

bilangan n_x∈N sehingga x<n_x.

Bukti.

Teorema 2. 1. 21. (Teorema Kepadatan)

Jika x dan y adalah sebarang bilangan real dengan x< y, maka terdapat bilangan

rasional r∈Q sehingga x<r< y.

Bukti.

Teorema 2. 1. 22.

Jika x dan y adalah sebarang bilangan real dengan x< y, maka terdapat bilangan

irasional z∈Q sehingga x< z< y.

(27)

2. Barisan dan Limit Barisan Bilangan Real

Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang barisan bilangan real dan limit barisan

beserta sifat-sifatnya yang akan digunakan pada bab selanjutnya.

Definisi 2. 2. 1.

Barisan bilangan real

{ }

S_n adalah fungsi yang terdefinisi pada himpunan

bilangan asli N dan daerah hasilnya (range) termuat dalam himpunan bilangan

real R. dan disimbolkan dengan S:N→R.

Contoh 2. 2. 2.

a. Jika b∈R, barisan

{ } {

b_n = b,b,b,K

}

yang anggotanya adalah bilangan b

semua, biasa disebut barisan konstanta b.

b. Barisan Fibonacci

{ }

f_n , barisan didefinisikan sebagai berikut:

(

2

)

, ;

1 ;

1 ₂ ₁ ₁

1 = f = f + = f − + f n≥

f _n _n _n .

Definisi 2. 2. 3.

Barisan

{ }

S_n dikatakan konvergen ke bilangan real l∈R atau l adalah limit dari

{ }

Sn jika untuk setiap ε >0, terdapat bilangan bulat m>0 sehingga

ε

< −l

(28)

Barisan yang mempunyai limit disebut barisan konvergen dan jika tidak

mempunyai limit atau tidak konvergen disebut divergen.

Definisi 2. 2. 4.

Barisan

{ }

S_n dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real K >0 sehingga

K

S_n ≤ , untuk semua n∈N.

Teorema 2. 2. 5.

Setiap barisan real yang konvergen pasti terbatas.

Bukti.

Teorema 2. 2. 6.

a. Jika

{ }

X_n dan

{ }

Y_n adalah dua barisan yang berturut-turut konvergen ke x

dan y, dan misal c∈R, maka barisan

{

X_n+Y_n

}

,

{

X_n −Y_n

}

,

{

X_nY_n

}

, dan

{ }

cXn berturut-turut konvergen ke x+y,x−y,xy dan cx.

b. Jika

{ }

X_n konvergen ke x dan

{ }

Z_n adalah barisan bilangan real tak nol

yang konvergen ke z dan jika z≠0, maka barisan

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

n n

Z X

konvergen ke

z x

.

Bukti.

(29)

Teorema 2. 2. 7.

Jika

{ }

X_n adalah barisan bilangan real yang konvergen ke x dan jika X_n ≥0,

untuk semua n∈N , maka x=lim

{ }

X_n ≥0.

Bukti.

Teorema 2. 2. 8.

Jika

{ }

X_n dan

{ }

Y_n adalah dua barisan yang konvergen dan X_n ≤Y_n, untuk

semua _n∈N , maka

{ }

Xn lim

{ }

Yn

lim ≤ .

Bukti.

Teorema 2. 2. 9.

Misalkan

{ }

X_n ,

{ }

Y_n , dan

{ }

Z_n adalah barisan bilangan real dengan

n n

n Y Z

X ≤ ≤ , untuk semua n∈N ,

dan lim

{ }

X_n =lim

{ }

Z_n , maka

{ }

Y_n konvergen dan

{ }

Xn lim

{ }

Yn lim

{ }

Zn

lim = = .

Bukti.

(30)

Teorema 2. 2. 10.

Misal barisan

{ }

S_n konvergen ke s, maka barisan nilai mutlak

{ }

S_n konvergen

ke s . Dengan kata lain jika s=lim

{ }

S_n , maka s =lim

{ }

S_n .

Bukti.

Definisi 2. 2. 11.

Misal

{ }

S_n adalah barisan bilangan real. Barisan

{ }

S_n dikatakan monoton naik

jika memenuhi ketidaksamaan

L

L≤ ≤ ≤

≤ ≤

≤ 2 3 +1

1 S S Sn Sn

S .

Barisan

{ }

S_n dikatakan monoton turun jika memenuhi ketidaksamaan

L

L≥ ≥ ≥

≥ ≥

≥ 2 3 +1

1 S S Sn Sn

S ..

Barisan

{ }

S_n dikatakan monoton jika barisan itu monoton naik ataupun monoton

turun.

Teorema 2. 2. 12.

Barisan bilangan real yang monoton akan konvergen jika dan hanya jika barisan

itu terbatas. Lebih lanjut:

a. Jika

{ }

S_n adalah barisan naik terbatas , maka

{ }

S_n =sup

{

S_n :n∈N

}

lim .

(31)

{ }

S_n =inf

{

S_n :n∈N

}

lim .

Bukti.

Definisi 2. 2. 13.

Misal

{ }

S_n adalah barisan bilangan real dan n₁<n₂ <n<L<n_k <L adalah

barisan naik tegas dari bilangan asli. Barisan

{ }

k n

S yang didefinisikan dengan

{

, ,K, ,L

}

2

1 n nk

n S S

S

disebut dengan subbarisan dari

{ }

S_n .

Teorema 2. .2. 14.

Jika barisan

{ }

S_n konvergen ke bilangan real s, maka sebarang subbarisan

{ }

k n S

juga konvergen ke s.

Bukti.

Teorema 2. 2. 15.

Diberikan barisan bilangan real

{ }

S_n . Pernyataan di bawah ini saling ekuivalen:

a. Barisan

{ }

S_n tidak konvergen ke x∈R .

b. Terdapat bilangan ε₀ >0 sehingga untuk sebarang k∈N , terdapat

N

∈

k

n sehingga n_k ≥k dan S s ε₀

k

(32)

c. Terdapat bilangan ε₀ >0 dan subbarisan

{ }

k n

S sehingga S s ε₀

k n − ≥

untuk semua k∈N .

Bukti.

Definisi 2. 2. 16.

Jika barisan bilangan real

{ }

S_n memenuhi salah satu pernyataan di bawah ini,

maka

{ }

S_n divergen.

a.

{ }

S_n mempunyai dua subbarisan

{ }

k n

S dan

{ }

k r

S yang konvergen tetapi

limitnya tidak sama.

b.

{ }

S_n tak terbatas.

Teorema 2. 2. 17.

Jika

{ }

S_n adalah barisan bilangan real, maka terdapat subbarisan dari

{ }

S_n yang

monoton.

Bukti.

Definisi 2. 2. 18.

Barisan

{ }

S_n dikatakan barisan Cauchy atau barisan fundamental jika untuk

setiap 0ε > , terdapat bilangan real H∈N sehingga

ε

<

− n

m S

(33)

Teorema 2. 2. 19. (Kriteria Cauchy)

Barisan bilangan real konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut adalah

barisan Cauchy.

Bukti.

3. Limit Fungsi

Pada subbab ini akan dipaparkan tentang limit pada fungsi bilangan real.

Definisi 2. 3. 1.

Fungsi f dikatakan mendekati limit l untuk x mendekati c jika untuk setiap ε >0

terdapat δ >0 sehingga untuk 0< x−c <δ mengakibatkan f

( )

x −l <ε, dan

ditulis

( )

x l f

c

x→ =

lim .

Definisi 2. 3. 2.

Diberikan fungsi f.

Jika fungsi f mendekati limit l untuk x mendekati c dari sisi kiri disebut limit kiri

dari f pada c, dan ditulis

( )

x l f

c

xlim→− = ,

jika diberikan ε >0 terdapat δ >0 sehingga untuk 0<c−x<δ mengakibatkan

( )

x −l <ε

(34)

Jika fungsi f mendekati limit l untuk x mendekati c dari sisi kanan disebut limit

kanan dari f pada c, dan ditulis

( )

x l f

c

xlim→+ = ,

jika diberikan ε >0 terdapat δ >0 sehingga untuk 0<x−c<δ mengakibatkan

( )

x −l <ε

f .

Teorema 2. 3. 3.

Fungsi f dikatakan mempunyai limit pada titik c jika dan hanya jika limit kanan

dan limit kiri pada titik c ada dan nilai keduanya sama, atau ditulis

( )

x l f

c

x→ =

lim jika dan hanya jika f

( )

x l

c

xlim→ − = = xlim→c+ f

( )

x .

Bukti.

Definisi 2. 3. 4.

Jika fungsi f mempunyai limit l pada titik c, maka dapat dikatakan bahwa f

konvergen ke l pada c, dan jika f tidak mempunyai limit pada titik c, maka dapat

dikatakan f divergen pada titik c.

Teorema 2. 3. 5.

Jika f dan g adalah fungsi yang terdefinisi pada daerah sekitar titik c sehingga

( )

x l f c

x→ =

lim dan g

( )

x m

c

x→ =

(35)

a.

(

f g

)( )

x f

( )

x g

( )

x l m

c x c

x c

x→ ± =lim→ ±lim→ = ±

lim ,

b.

( )( )

fg x f

( )

x g

( )

x lm

c x c x c

x→ =lim→ ⋅lim→ =

lim ,

c.

( )

m

l x g

x f x

g f

c x

c x c

x ⎟⎟⎠ = =

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

→ →

→ _lim

lim

lim , jika m≠0.

Bukti:

Teorema 2. 3. 6. (Kriteria Cauchy untuk Limit berhingga)

Fungsi f mendekati limit berhingga untuk x mendekati c jika dan hanya jika untuk

setiap ε >0 terdapat persekitaran N dari c sehingga

( ) ( )

x′ − f x′′ <ε

f , untuk semua x′,x′′∈N;x′,x′′≠c.

Bukti:

Teorema 2. 3. 7.

Jika f mempunyai titik limit c∈R, maka f terbatas pada persekitaran titik c.

Bukti.

Definisi 2. 3. 8.

Diberikan fungsi f dan titik c∈I⊆R.

(36)

∞ =

→c f x

lim ,

jika untuk setiap α∈R terdapat δ >0 sehingga untuk semua x∈I dengan

δ

0< x−c < , maka f

( )

x >α.

Fungsi f dikatakan mendekati ke -∞ untuk x→c, dan ditulis

−∞ =

→c f x

lim ,

jika untuk setiap β∈R terdapat δ >0 sehingga untuk semua x∈I dengan

δ

0< x−c < , maka f

( )

x <β.

Definisi 2. 3. 9.

Fungsi f dikatakan mendekati l untuk x→∞, dan ditulis

l f

x→∞ =

lim atau f

( )

x l

x→∞ =

lim ,

jika diberikan sebarang ε >0 akan terdapat K >0 sehingga untuk sebarang

K

x > berlaku f

( )

x −l <ε.

4. Fungsi Kontinu

Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang fungsi bilangan real yang kontinu

beserta sifat-sifatnya.

Definisi 2. 4. 1.

Fungsi f dikatakan kontinu pada titik c dengan a<c<b, jika

( )

x f

( )

c f

c

x→ =

(37)

dengan kata lain, fungsi f kontinu pada titik c jika untuk setiap ε >0 terdapat

0 >

δ sehingga

( ) ( )

x − f c <ε

f , di mana x−c <δ.

Definisi 2. 4. 2.

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup

[ ]

a,b jika f kontinu pada setiap

titik pada interval tersebut.

Fungsi f dikatakan diskontinu pada titik c jika f tidak kontinu pada titik tersebut,

dan titik c disebut sebagai titik diskontinuitas dari fungsi f.

Teorema 2. 4. 3.

Jika fungsi f dan g adalah dua fungsi yang kontinu pada titik c dan d adalah

sebarang bilangan real, maka fungsi f +g,f −g, fg,df juga kontinu pada titik c

dan jika g

( )

c ≠0, maka fungsi

g f

juga kontinu pada titik c.

Bukti.

Teorema 2. 4. 4.

Fungsi f yang terdefinisi pada interval I kontinu pada titik c∈Ijika dan hanya

jika untuk setiap barisan

{ }

c_n pada I yang konvergen ke c, didapat

( )

c f

( )

c f _n

n→∞ =

lim .

(38)

Definisi 2. 4. 5.

Fungsi f dikatakan terbatas pada interval tertutup

[ ]

a,b jika terdapat konstanta

0 >

M sehingga

( )

x M

f ≤ , untuk semua x∈

[ ]

a,b .

Teorema 2. 4. 6. (Teorema Keterbatasan)

Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup

[ ]

a,b , maka f terbatas pada interval

tersebut.

Bukti:

Teorema 2. 4. 7. (Teorema Lokasi Akar)

[ ]

a,b dan jika f

( )

a <0< f

( )

b , atau

jika f

( )

a >0> f

( )

b , maka terdapat bilangan α∈

( )

a,b sehingga f

( )

α =0.

Bukti.

Teorema 2. 4. 8. (Teorema Nilai Tengah)

Jika fungsi f kontinu pada

[ ]

a,b dan f

( )

a ≠ f

( )

b , maka fungsi f mencapai semua

(39)

Bukti:

Lihat Malik[4], Teorema 9, halaman 177-178.

Akibat 2. 4. 9. (Teorema Nilai Ektrim)

[ ]

a,b , maka fungsi f mencapai semua

nilai di antara batas-batasnya.

Bukti:

Lihat Malik[4], Akibat, halaman 178.

Teorema 2. 4. 10. (Teorema Titik Tetap)

Jika fungsi f kontinu pada

[ ]

a,b dan f

( )

x ∈

[ ]

a,b , untuk setiap x∈

[ ]

a,b , maka f

mempunyai titik tetap, yaitu terdapat titik c∈

[ ]

a,b sehingga f

( )

c =c.

Bukti:

Definisi 2. 4. 11.

Fungsi f terdefinisi pada

[ ]

a,b dikatakan memenuhi sifat nilai menengah pada

[ ]

a,b jika untuk setiap x₁,x₂∈

[ ]

a,b dengan x₁ <x₂ dan untuk setiap A yang

berada di antara f

( )

x₁ dan f

( )

x₂ memuat titik c∈

(

x₁,x₂

)

dengan f

( )

c = A.

Definisi 2. 4. 12.

Fungsi f yang terdefinisi pada interval I dikatakan kontinu seragam pada I jika

(40)

( ) ( )

x₂ − f x₁ <ε

f untuk sebarang titik x₁,x₂∈I dengan x₂ −x₁ <δ.

Teorema 2. 4. 13.

Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup, maka f kontinu seragam pada interval

tersebut.

Bukti:

5. Turunan

Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang turunan fungsi bilangan real beserta

sifat-sifat yang akan dipakai pada pembahasan selanjutnya.

Definisi 2. 5. 1.

Diberikan fungsi bernilai real f yang terdefinisi pada interval I =

[ ]

a,b ⊆R.

Fungsi tersebut terdiferensial (mempunyai turunan) pada titik c∈

[ ]

a,b jika

( ) ( )

c x

c f x f

c

x −

−

→

lim ada, dan dapat disimbolkan dengan f′

( )

c . Limit tersebut akan

ada jika limit kanan dan limit kiri ada dan bernilai sama.

( ) ( )

c x

c f x f

c

x −

−

− →

lim disebut turunan kiri dan disimbolkan dengan f′

( )

c− ,

sedangkan

( ) ( )

c x

c f x f

c

x −

−

+ →

lim disebut turunan kanan dan disimbolkan dengan

( )

+ ′c

(41)

Definisi 2. 5. 2.

Fungsi f yang terdefinisi pada interval

[ ]

a,b akan mempunyai turunan pada titik

ujung a, yaitu f′

( )

a ada jika

( ) ( )

a x

a f x f

a

x −

−

+ →

lim ada. Untuk itu, akan mempunyai

turunan pada titik ujung b jika f′

( )

b =

( ) ( )

b x

b f x f

b

x −

−

− →

lim .

Teorema 2. 5. 3.

Jika fungsi f mempunyai turunan pada sebuah c∈I⊆R , maka f kontinu pada

titik tersebut.

Bukti:

Teorema 2. 5. 4.

Jika fungsi f, g mempunyai turunan pada titik c dan a adalah sebarang konstanta,

maka

a. Fungsi af mempunyai turunan pada c dan

( ) ( )

af ′ c =a f′

( )

c .

b. Fungsi f +g dan f −g mempunyai turunan pada c dan

(

f ±g

) ( )

′ c = f′

( )

c ±g′

( )

c .

c. Fungsi fg mempunyai turunan pada c dan

(42)

d. Jika g

( )

c ≠0, fungsi

g f

mempunyai turunan pada c dan

( )

( ) ( ) ( ) ( )

(

( )

)

₂ c

g

c g c f c g c f c g

f ′ ₌ ′ − ′

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

.

Bukti.

Akibat 2. 5. 5.

Jika fungsi f₁, f₂,K,f_n mempunyai turunan pada titik c, maka

a. Fungsi f₁+ f₂ +L+ f_n mempunyai turunan pada c dan

(

f₁+ f₂ +L+ f_n

) ( )

′ c = f₁′

( )

c + f₂′

( )

c +L+ f_n′

( )

c .

b. Fungsi f₁ f₂Kf_n mempunyai turunan pada c dan

(

) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

₂

( )

.

1

2 1 2

1 2

1

c f c f c f

c f c f c f c f c f c f c f f f

n

n n

n

′ +

+

′ +

′ = ′

K L

K K

K

Pada kasus khusus jika f₁ = f₂ =K=f_n = f , akibat 2.5.5 menjadi:

a.

( ) ( )

nf ′ c =n

(

f′

( )

c

)

.

b.

( )

fn ′

( )

c =n

(

f

( )

c

)

n−1 f′

( )

c .

Teorema 2. 5. 6.

Jika fungsi f mempunyai turunan pada titik c dan f

( )

c ≠0, maka fungsi

f

1 juga

(43)

( )

{ }

( )

₂

1

c f

c f c

f

′ − = ′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

.

Bukti:

Teorema 2. 5. 7. (Teorema Nilai Rata-rata Lagrange)

[ ]

a,b dan f mempunyai turunan pada

interval terbuka

( )

a,b , maka terdapat paling sedikit satu titik c∈

( )

a,b sehingga

( )

( ) ( )

(

)

a b

a f b f c f

− − =

′ .

Bukti.

Definisi 2. 5. 8.

Jika f :A→B dan g:B→C dan jika R

( )

f ⊆D

( )

g =B, maka komposisi

fungsi go f adalah fungsi dari A ke C dan didefinisikan dengan

(

go f

)( )

x =g

(

f

( )

x

)

, untuk semua x∈A.

Definisi 2. 5. 9.

Jika f adalah fungsi monoton yang kontinu pada interval tertutup I =

[ ]

a,b , maka

fungsi invers (kebalikan) g = f−1 terdefinisi pada interval I dan memenuhi

( )

(

f x

)

x

(44)

Teorema 2. 5. 10.

Jika fungsi f terdefinisi pada interval tertutup

[ ]

a,b kontinu di titik c∈

[ ]

a,b dan

fungsi g kontinu di titik x= f

( )

c ∈

[ ]

a,b , maka komposisi fungsi go f = g

( )

f

kontinu di titik c.

Bukti.

Teorema 2. 5. 11.

Jika f kontinu dan monoton pada interval tertutup I, maka fungsi g invers dari f

kontinu dan monoton pada interval J = f

( )

I .

Bukti.

(45)

BAB III

INTEGRAL DARBOUX

1. Integral Darboux

Dalam subbab ini akan dibahas tentang integral Darboux untuk fungsi real yang

terbatas pada suatu interval tertutup dan terbatas.

Definisi 3. 1. 1.

Misal diberikan interval tertutup dan terbatas

[ ]

a,b .

Partisi dari

[ ]

a,b adalah himpunan berhingga P dari titik-titik x₀,x₁,x₂,K,x_n di mana a=x₀ ≤x₁≤x₂ ≤L≤x_n₋₁≤x_n =b.

Partisi P terdiri dari n+1 titik. Jelasnya sebarang anggota partisi dari

[ ]

a,b dapat

berbeda jumlahnya sesuai dengan yang diinginkan.

Berdasarkan partisi di atas didapatkan subinterval-subinterval dari

[ ]

a,b , yaitu

[

x₀,x₁

] [

, x₁,x₂

] [

,K, x_i₋₁,x_i

]

, K,

[

x_n₋₁,x_n

]

. Subinterval ke-i

[

x_i₋₁,x_i

]

disimbolkan

dengan Δx_i. Simbol Δx_i juga merupakan panjang x_i−x_i₋₁, sehingga

(

i n

)

x x

x_i = _i− _i₁ =1,2,K,

Δ ₋ .

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang terbatas pada

[ ]

a,b . Karena itu f juga

terbatas pada setiap subinterval yang bersesuaian dengan salah satu partisi P.

Misal M_i,m_i, berturut-turut adalah supremum dan infimum dari f padaΔx_i.

(46)

(

)

(

,

)

, , , 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 n n n i i i n n n i i i x m x m x m x m f P L x M x M x M x M f P U Δ + + Δ + Δ = Δ = Δ + + Δ + Δ = Δ =

∑

− = L L

berturut-turut disebut Jumlah Darboux Atas dan Jumlah Darboux Bawah dari f

terhadap partisi P.

Jika M, m adalah batas dari f pada

[ ]

a,b , didapatkan

,

M M m

m≤ _i ≤ _i ≤

dan mengakibatkan . i i i i i

i m x M x M x

x

mΔ ≤ Δ ≤ Δ ≤ Δ

Dengan menjumlahkan untuk i=1,2,K,n, didapatkan

(

b a

) (

L P, f

)

U

(

P,f

)

M

(

b a

)

.

m − ≤ ≤ ≤ −

(

3.1.1

)

Setiap partisi dapat memberikan sepasang jumlahan, jumlah Darboux atas dan

jumlah Darboux bawah. Dari semua partisi pada

[ ]

a,b , didapatkan himpunan U

sebagai himpunan semua jumlah Darboux atas dan himpunan L sebagai himpunan

semua jumlah Darboux bawah. Ketidaksamaan (3.1.1) di atas menunjukkan

bahwa kedua himpunan ini terbatas dan setiap himpunan tersebut mempunyai

supremum dan infimum. Infimum dari himpunan jumlah Darboux atas disebut

Integral Darboux Atas dan supremum dari himpunan jumlah Darboux bawah disebut Integral Darboux Bawah dari f pada

[ ]

a,b , yakni

(

)

[ ]

{

}

(

)

[ ]

{

, ; adalahpartisidari ,

}

.

(47)

Kedua integral tersebut dapat bernilai sama atau mungkin tidak sama.

Definisi 3. 1. 2. (Kondisi Terintegral Darboux)

Apabila dua integral di atas mempunyai nilai yang sama, yaitu

∫

=

∫

=

−

− _b

a b

a

b

a f dx f dx

dx f

maka dikatakan bahwa f terintegral Darboux terhadap

[ ]

a,b dan nilai dari integral

tersebut merupakan Integral Darboux dari f terhadap

[ ]

a,b . Fakta bahwa f terintegral Darboux pada

[ ]

a,b , ditulis dengan

[ ]

a b D f ∈ , .

Berdasarkan ketidaksamaan (3.1.1), berlaku

(

b a

)

f dx M

(

b a

)

.

m b

a ≤ −

≤

−

∫

(

3.1.2

)

Jadi integral Darboux atas dan integral Darboux bawah terdefinisi untuk setiap

fungsi terbatas tetapi nilai dari keduanya tidak perlu sama pada setiap fungsi

terbatas tersebut. Terdapat fungsi yang membuat integral tersebut tidak sama,

sehingga fungsi itu tidak terintegral Darboux.

Catatan.

1. Pernyataan bahwa

∫

b

a f dx ada, mengakibatkan fungsi f terbatas dan

(48)

2. Konsep integral untuk sebuah fungsi yang dibicarakan di atas dibatasi

pada dua hal, yaitu fungsi tersebut terbatas dan interval pengintegralannya

tertutup dan terbatas.

3. Dari ketidaksamaan (3.1.1) dan (3.1.2) di atas didapat bahwa,

(

b a

) (

L P f

)

f dx U

(

P f

)

M

(

b a

)

m b

a ≤ ≤ −

≤ ≤

− ,

∫

, .

4. Karena integral Darboux atas adalah infimum dari himpunan jumlah

Darboux atas, maka untuk setiap ε₁ >0 terdapat sebuah jumlah Darboux

atas U

(

P, f

)

sehingga

(

,

)

<

∫

+ε1

− _b a f dx

f P U

Sejalan dengan hal itu, ada jumlah Darboux bawah L

(

P, f

)

sehingga

(

)

>

∫

−

− b

a f dx

f P

L , ε₁

5.

( ) (

−

)

=

∑

Δ −

∑

Δ =

∑

(

−

)

Δ

i

i i i i

i i i

i

i x m x M m x

M f

P L f P

U . , .

(

Mi −mi

)

menunjukkan osilasi dari f pada subinteval Δxi,

(

P f

) (

L P f

)

U , − , disebut jumlah osilasi dan disimbolkan dengan ω

(

P, f

)

dan nilainya tak negatif

Contoh 3. 1. 3.

Akan ditunjukkan bahwa fungsi konstan k terintegral Darboux dengan

(

)

∫

b = −

akdx k b a .

(49)

(

)

(

)

(

)

, , 2 1 2 1 a b k x x x k x k x k x k f P L n n − = Δ + + Δ + Δ = Δ + + Δ + Δ = L L sehingga

(

P f

)

k

(

b a

)

L dx

k

b

a = = −

∫

− sup , .

Sejalan dengan hal di atas, diperoleh

(

)

(

)

(

)

. inf , inf 2 1 a b k x k x k x k f P U dx k n b a − = Δ + + Δ + Δ = =

∫

− L Jadi

(

)

∫

=−

∫

= − − b a b

akdx k b a

dx

k ,

yang mengakibatkan bahwa fungsi konstan k terintegral dan

(

)

∫

b = −

akdx k b a .

Contoh 3. 1. 4.

Akan ditunjukkan bahwa fungsi f yang didefinisikan dengan

( )

⎩ ⎨ ⎧ = irasional jika , 1 rasional jika , 0 x x x f

tidak terintegral Darboux di sebarang interval

[ ]

a,b .

(50)

(

)

, 1 1 1 , 2 1 1 a b x x x x M f P U n n i i i − = Δ + + Δ + Δ = Δ =

∑

= L sehingga

(

,

)

,

infU P f b a

dx f

b

a = = −

∫

− dan

(

)

{

}

. 0 0 0 0 sup , sup 2 1 = Δ + + Δ + Δ = =

∫

− n b a x x x f P L dx f L

Dalam hal ini dipergunakan sifat kepadatan bilangan real.

Jadi

∫

− − ≠ b a b

a f dx f dx.

Karena itu fungsi f tidak terintegral Darboux.

Contoh 3. 1. 5.

Akan ditunjukkan bahwa x2 terintegral Darboux pada sebarang interval

[ ]

0,k ,

0 >

k .

Dibuat partisi P pada

[ ]

0,k dengan cara membagi interval tersebut menjadi n

bagian yang sama, sehingga _⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤

n nk n k n k , , 2 , ,

0 K adalah partisi P,

( )

2 1 _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − n k

(51)

2 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ n k

i berturut-turut adalah batas bawah dan batas atas fungsi di Δx_i, dan

panjang masing-masing intervalnya adalah

n k . Jadi

(

)

(

)

(

)(

)

, 1 2 1 1 6 1 2 1 6 2 1 , 3 3 3 2 2 2 3 3 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + + ⋅ = + + + = n n k n n n n k n n k x P U L Dan

(

)

{

2 2

(

)

2

}

3 3 2 1 2 1 0

, = + + + + n−

n k x P L L . 1 2 1 1 6 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = n n k Jadi

(

)

(

2

)

3

2 _sup _,

3 ,

infU P x = k = L P x .

Karena itu fungsi x2 terintegral Darboux dan

3 3 0 2 k dx x k =

∫

.

Definisi 3. 1. 6. (Arti

∫

b

a f dx apabila b≤a)

Jika f terbatas dan terintegral Darboux pada

[ ]

b,a , untuk a>b, didefinisikan

b a dx f dx f a b b

a =−

∫

>

(52)

Ini mengakibatkan

b a dx

f

b

a = =

∫

0 dimana .

Ketidaksamaan-ketidaksamaan yang terkait dengan integral Darboux

Sudah dibuktikan bahwa untuk fungsi f terbatas yang terintegral Darboux berlaku

(

b a

)

f dx M

(

b a

)

b a

m b

a ≤ − ≥

≤

−

∫

,dimana

(

3.1.3

)

Jika b<a, sehingga a>b, maka dibuktikan bahwa

(

a b

)

f dx M

(

a b

)

a b

m a

b ≤ − >

≤

−

∫

,dimana ,

sehingga

(

a b

)

f dx M

(

a b

)

m a

b ≥− −

− ≥ −

−

∫

,

atau

(

b a

)

f dx M

(

b a

)

b a

m b

a ≥ − <

≥

−

∫

,dimana .

(

3.1.4

)

Teorema 3. 1. 7.

[ ]

a,b maka terdapat bilangan λ yang

berada di antara batas-batas dari f sehingga

(

b a

)

dx f

b

a = −

∫

λ .

(53)

Karena f terbatas dan terintegral Darboux, maka terdapat M, m sebagai batas-batas

dari f. Oleh karena itu untuk sebarang λ dengan m≤λ ≤M dan menurut

ketidaksamaan (3.1.3), diperoleh

(

b a

) (

b a

)

f dx

(

b a

)

M

(

b a

)

m b

a ≤ − ≤ −

≤ − ≤

− λ

∫

λ

sehingga

(

b a

)

.

dx f

b

a = −

∫

λ ■

Teorema 3. 1. 8.

Jika f kontinu dan terintegral Darboux pada

[ ]

a,b maka terdapat bilangan

[ ]

a b

c∈ , sehingga

(

b a

) ( )

f c dx

f

b

a = −

∫

.

Bukti.

Berdasarkan pada ketidaksamaan (3.1.3),

(

b a

)

f dx M

(

b a

)

,

m b

a ≤ −

≤

−

∫

di mana M, m, berturut-turut adalah supremum dan infimum dari f pada

[ ]

a,b .

Menurut Teorema Nilai Ekstrim, terdapat bilangan x₀,x₁∈

[ ]

a,b sehingga

( )

x m

f ₀ = dan f

( )

x₁ =M . Dari ketidaksamaan di atas, diperoleh

(

b a

)

A dx f

b

a = −

∫

,

di mana f

( )

x₀ ≤ A≤ f

( )

x₁ . Kemudian dengan menggunakan Teorema Nilai

(54)

Terbukti bahwa

(

b a

) ( )

f c dx

f

b

a = −

∫

. ■

Teorema 3. 1. 9.

[ ]

a,b dan k adalah bilangan positif

sehingga f

( )

x ≤k untuk semua x∈

[ ]

a,b , maka

a b k dx f

b

a ≤ −

∫

.

Bukti.

Misal M,m berturut-turut adalah supremum dan infimum untuk f

( )

x . Perhatikan bahwa

( )

x k,

f ≤ untuk setiap x∈

[ ]

a,b .

Jadi

( )

x k f

k ≤ ≤

− ,

oleh karena itu

( )

x M k f

m

k≤ ≤ ≤ ≤

− .

Yang mana untuk b≥a, ini berakibat

(

b a

)

m

(

b a

)

fdx M

(

b a

) (

k b a

)

k b

a ≤ − ≤ −

≤ − ≤ −

−

∫

,

sehingga

(

b a

)

.

k dx f

b

a ≤ −

∫

(55)

b a k dx f

a

b ≤ −

∫

,

dan oleh karena itu

a b k dx f

b

a ≤ −

∫

.

Hasil ini berlaku secara trivial untuk a=b. ■

Teorema 3. 1. 10.

[ ]

a,b , dan f

( )

x ≥0 untuk semua

[ ]

a b

x∈ , , maka

⎩ ⎨ ⎧

≤ ≤

≥ ≥

∫

b f dx ₀0_,, jika_jika _bb _aa_.

a

Bukti.

Karena f

( )

x ≥0, untuk semua x∈

[ ]

a,b , oleh sebab itu infimum dari f, yaitu

0 ≥

m .

Selanjutnya menggunakan ketidaksamaan (3.1.3), didapat

(

−

)

≤

∫

b a f dx

a b

m ,

sehingga

, 0 ≥

∫

b

a f dx untuk b≥a.

Untuk membuktikan

∫

b ≤0,

a f dx untuk b≤a, sudah jelas pada Definisi 3.1.6 di

atas, yakni

,

∫

=− b

a b

(56)

Jadi

, 0 ≤

∫

b

a f dx untuk b≤a. ■

Teorema 3. 1. 11.

Jika f, terbatas dan terintegral Darboux pada g

[ ]

a,b , sehingga f ≥g, maka

a b dx

g dx

f b

a b

a ≥

∫

≥

∫

, dimana

dan

a b dx

g dx

f b

a b

a ≤

∫

≤

∫

, dimana .

Bukti.

Perhatikan bahwa

g f ≥ ,

sehingga

[ ]

a b x

g

f − ≥0, ∀ ∈ , .

Dengan menggunakan Teorema 3. 1. 10, didapatkan

(

f g

)

dx b a

b

a − ≥ ≥

∫

0jika ,

atau

a b dx g dx

f b

a b

a ≥

∫

≥

∫

jika .

Sejalan dengan hal tersebut,

a b dx g dx

f b

a b

a ≤

∫

≤

(57)

2. Partisi Penghalus

Dalam subbab ini akan dibahas tentang partisi penghalus dan sifat-sifatnya.

Definisi 3. 2. 1.

Untuk sebarang partisi P, panjang yang terbesar dari subinterval disebut norma

atau mesh dari partisi, dan disimbolkan dengan μ

( )

P , yakni

( )

P =maxΔx_i

(

1≤i≤n

)

μ .

Partisi P*dikatakan sebagai penghalus dari P jika P* ⊇P, yaitu setiap titik pada

P adalah titik pada P*. Dapat dikatakan juga bahwa P* memperhalus P atau

bahwa *

P lebih halus dari P.

Jika P₁ dan P₂ adalah dua partisi, maka dapat dikatakan bahwa P* adalah

penghalus persekutuan jika P* =P₁∪P₂.

Teorema 3. 2. 2.

Jika P* adalah penghalus dari sebuah partisi P, maka untuk sebuah fungsi

terbatas f, berlaku

(1) L

(

P*,f

)

≥ L

(

P,f

)

dan

(2) U

(

P*,f

)

≤U

(

P, f

)

.

Bukti.

(1) Misalkan P* mencakup satu titik lebih dari P. Misalkan titik tersebut adalah

(58)

Karena fungsi tersebut terbatas pada interval

[ ]

a,b , maka terbatas pula pada

setiap subinterval Δx_i

(

i=1,2,K,n

)

. Misal w₁,w₂,m_i, berturut-turut adalah

infimum dari f pada interval

[

x_i₋₁,ξ

] [

, ξ,x_i

] [

, x_i₋₁,x_i

]

. Jelas bahwa m_i ≤w₁dan m_i ≤w₂.

Dengan demikian

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

) (

)(

)

0 , , 2 1 1 1 2 1 1 * ≥ − − + − − = − − − + − = − − − − ξ ξ ξ ξ i i i i i i i i i x m w x m w x x m x w x w f P L f P L

Jika P* mempunyai p titik lebih dari P, diulang proses seperti di atas

sebanyak p kali hingga mendapatkan

(

P f

)

L

(

P f

)

L *, ≥ , .

(2) Misalkan P* mencakup satu titik lebih dari P. Misalkan titik tersebut adalah

ξ, dan misal titik tersebut terletak pada Δx_i, sehingga x_i₋₁<ξ < x_i.

Karena fungsi tersebut terbatas pada interval

[ ]

a,b , maka terbatas pula pada

setiap subinterval Δx_i

(

i=1,2,K,n

)

. Misal v₁,v₂,M_i, berturut-turut adalah

supremum dari f pada interval

[

x_i₋₁,ξ

] [

, ξ,x_i

] [

, x_i₋₁,x_i

]

. Jelas bahwa M_i ≥v₁dan M_i ≥v₂.

Dengan demikian

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

) (

)(

)

0 , , 2 1 1 1 2 1 1 * ≤ − − + − − = − − − + − = − − − − ξ ξ ξ ξ i i i i i i i i i x M v x M v x x M x v x v f P U f P U

Jika *

P mempunyai p titik lebih dari P, diulang proses seperti di atas

(59)

(

P f

)

U

(

P f

)

U *, ≤ , . ■

Akibat 3. 2. 3.

Jika penghalus *

P dari P memuat p titik lebih banyak daripada P, dan f

( )

x ≤k

untuk semua x∈

[ ]

a,b , maka

(

)

(

)

(

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

2 . dan , 2 , , , * * μ μ pk f P U f P U f P U pk f P L f P L f P L − ≥ ≥ + ≤ ≤ Bukti.

Seperti pada pembuktian Teorema 3.2.2, dimisalkan *

P memuat satu titik lebih

banyak daripada P, didapatkan

(

P f

)

−L

(

P f

) (

= w −mi

)(

ξ −xi−

) (

+ w −mi

)(

xi−ξ

)

L *, , ₁ ₁ ₂ .

Karena f

( )

x ≤k untuk semua x∈

[ ]

a,b , menyebabkan

k w m

k≤ _i ≤ ≤

− ₁ ,

sehingga

k m

w _i 2

0≤ ₁− ≤ .

Dengan kata lain,

k m

w 2

0≤ ₂ − ₁≤ .

Dengan demikian

(

)

(

)

(

)

(

)

, 2 2 2 2 , , ₁ * μ ξ ξ k x k x k x k f P L f P L i i i ≤ Δ ≤ − + − ≤ − ₋

(60)

Sekarang dengan menganggap setiap penambahan titik dilakukan satu persatu,

dengan cara mengulang cara seperti di atas sebanyak p kali, didapatkan

(

P f

)

L

(