Barisan dan Limit Barisan Bilangan Real

BAB II SISTEM BILANGAN REAL DAN FUNGSI REAL

2. Barisan dan Limit Barisan Bilangan Real

4. Fungsi Kontinu 5. Turunan

1. Integral Darboux 2. Partisi Penghalus 3. Teorema Darboux

4. Syarat Terintegral Darboux

5. Integral dari Jumlah dan Selisih dari Fungsi Terintegral Darboux IV.INTEGRAL RIEMANN

1. Integral Riemann dan Hubungannya dengan Integral Darboux 2. Fungsi-fungsi Terintegral Riemann

3. Integral dan Turunan

4. Teorema Fundamental Kalkulus

5. Teorema Nilai Rata-rata dari Kalkulus Integral 6. Pengintegralan Parsial

7. Mengubah Variabel dalam Integral Riemann 8. Teorema Nilai Rata-rata Kedua

V. PENUTUP 1. Kesimpulan 2. Saran

Dalam bab ini akan dibahas materi-materi yang akan digunakan sebagai landasan dalam pembahasan bab-bab selanjutnya. Materi-materi tersebut antara

lain: sistem bilangan real R, barisan bilangan real, limit fungsi real dan fungsi

kontinu, serta turunan fungsi real.

1. Sistem Bilangan Real R

Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang himpunan bilangan real R serta

sifat-sifatnya. Sistem bilangan real R ternyata dibentuk dari sistem bilangan yang lebih sederhana, antara lain sistem bilangan asli N=

{

1,2,3,4,K

}

yang anggotanya disebut bilangan asli (positive integer), sistem bilangan cacah N₀=

{

0,1,2,3,4,K

}

yang anggotanya disebut bilangan cacah (counting number), sistem bilangan bulat

Z=

{

L,−3,−2,−1,0,1,2,3,K

}

yang anggotanya disebut bilangan bulat (integer),

dan sistem bilangan rasional Q

⎩ ⎨ ⎧ _∈ = m n n m , : Z dan n≠0 ⎭ ⎬ ⎫ yang anggotanya

disebut bilangan rasional atau pecahan.

Definisi 2. 1. 1.

Pada sistem bilangan real R untuk setiap pasangan terurut a,b∈R, terdefinisi

elemen a+b dan ab dari R berturut-turut disebut penjumlahan dan perkalian

1. a,b∈R maka a+b∈R ( Tertutup pada penjumlahan )

2. a+b=b+a, untuk semua a,b∈R (Sifat komutatif terhadap

penjumlahan)

3.

(

a+b

)

+c=a+

(

b+c

)

, untuk semua a,b,c∈R ( Sifat asosiatif terhadap penjumlahan )

4. terdapat elemen tunggal 0∈R sehingga a+0=0+a=a, untuk semua

∈

a R ( Elemen identitas untuk penjumlahan )

5. untuk masing-masing a∈R terdapat elemen tunggal −a∈R sehingga

( ) ( )

− = − + =0

+ a a a

a (Elemen invers untuk penjumlahan )

6. a,b∈R maka ab∈R ( Tertutup pada perkalian )

7. ab=ba, untuk semua a,b∈R ( Sifat komutatif terhadap perkalian ) 8.

( )

ab c=a

( )

bc , untuk semua a,b,c∈R ( Sifat asosiatif terhadap perkalian )

9. terdapat elemen tunggal 1∈R sehingga 1a =a1=a untuk semua a∈R

(Elemen identitas untuk perkalian)

10.untuk setiap a≠0,a∈R terdapat elemen tunggal −1∈

a R sehingga

1

1 =

−

aa ( Elemen invers untuk perkalian )

11.

(

a+b

)

c=ac+bc, untuk semua a,b,c∈R ( Sifat distributif )

Definisi 2. 1. 2.

Diberikan himpunan bilangan real R. Terdapat himpunan bagian tak kosong P

dari R, yang disebut himpunan dari bilangan real positif, yang memenuhi:

2. jika a,b∈P maka ab∈P

3. jika a∈R maka tepat satu yang terpenuhi dari: ∈

a P, a=0, −a∈ P ( Sifat trikotomi )

Definisi 2. 1. 3.

Misal a,b∈R.

a. Jika a−b∈P, maka dapat ditulis a>b atau b<a. b. Jika a−b∈P∪

{ }

0 , maka dapat ditulis a≥b atau b≤a.

Teorema 2. 1. 5.

Jika a,b,c∈R, maka berlaku

a. jika a<b dan b<c, maka a<c

b. a<b maka a+c<b+c

c. a<b dan c>0, maka ca<cb

d. a<b dan c<0, maka ca>cb Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 2.1.7.

Teorema 2. 1. 4.

a. Jika a∈R, dan a≠0, maka a² >0. b. 1>0

c. Jika n∈N, maka n>0.

Lihat Bartle[1], Teorema 2.1.8.

Teorema 2. 1. 5.

Jika a∈R dan 0≤a<ε, untuk setiap ε >0, maka a=0.

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 2.1.9.

Teorema 2. 1. 6.

Jika ab>0, maka berlaku a. a>0 dan b>0, atau b. a<0 dan.b<0.

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 2.1.10.

Akibat 2. 1. 7.

Jika ab<0, maka berlaku a. a<0 dan b>0, atau b. a>0dan.b<0.

Bukti.

Lihat Bartle[1], Akibat 2.1.11.

Definisi 2. 1. 8.

didefinisikan sebagai ⎩ ⎨ ⎧ < − ≥ = . 0 jika , 0 jika , x x x x x Teorema 2. 1. 9. Jika x,y∈R, maka 1. x ² = x² = −x ² 2. xy = x ⋅ y 3. , y x y x = dengan y≠0 Bukti.

Lihat Malik[4], Teorema 6, halaman 28.

Teorema 2. 1. 10. (Ketidaksamaan Segitiga)

Untuk semua x,y∈R, berlaku

1. x+y ≤ x + y , dan

2. x−y ≥ x − y .

Bukti.

Lihat Malik[4], Teorema 7, halaman 29.

Definisi 2. 1. 11.

b a− .

Misal a∈R dan ε >0. Persekitaran ε dari a adalah himpunan

( )

a =

{

x∈ x−a <ε

}

V R : .

Teorema 2. 1. 12.

Diberikan a∈R . Jika x berada pada persekitaran V

( )

a untuk setiap ε >0, maka

a x= .

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 2.2.8.

Definisi 2. 1. 13.

Himpunan bagian tak kosong A dari R dikatakan:

1. Terbatas ke atas jika terdapat elemen K∈R sehingga

K

x≤ , untuk semua x∈A.

Elemen K tersebut merupakan batas atas dari A.

2. Terbatas ke bawah jika terdapat elemen k∈R sehingga

k

x≥ , untuk semua x∈A.

Elemen k tersebut merupakan batas bawah dari A.

3. Terbatas jika terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.

4. Tidak terbatas jika tidak terbatas ke atas atau tidak terbatas ke bawah.

Definisi 2. 1. 14.

batas atas terkecil ( supremum ) di R dan ditulis

A M =sup ,

jika terdapat elemen M ∈R sehingga

a. M adalah batas atas untuk A, yaitu x≤M , untuk semua x∈A, b. Tidak ada batas atas yang lebih kecil dari M, yaitu

Jika M′<M , maka terdapat x∈A sehingga x>M′, Atau dengan kontrapositifnya,

Jika M′ adalah batas atas untuk A, maka M ≤M′.

Lemma 2. 1. 15.

Batas atas u dari suatu himpunan tak kosong S dari R dikatakan supremum jika

dan hanya jika untuk setiap ε >0 terdapat s_ε ∈S sehingga u−ε <s_ε.

Bukti.

Lihat Bartle[1], Lemma 2.3.4.

Definisi 2. 1. 16.

Misal A adalah himpunan bagian tak kosong dari R. Himpunan A mempunyai

batas bawah terbesar ( infimum ) di R dan ditulis

A m=inf , jika terdapat elemen m∈R sehingga

a. m adalah batas bawah dari A, yaitu m≤x, untuk semua x∈A, b. tidak ada batas bawah yang lebih besar dari m, yaitu

Lemma 2. 1. 17.

Batas bawah v dari suatu himpunan tak kosong S dari R dikatakan infimum jika

dan hanya jika untuk setiap ε >0 terdapat b_ε ∈S sehingga u−ε >b_ε.

Bukti.

Lihat Bartle[1], Lemma 2.3.4.

Definisi 2. 1. 18.

Setiap himpunan real R disebut lengkap jika setiap himpunan bagian tak kosong

yang terbatas ke atas mempunyai batas atas terkecil (supremum) pada R.

Sejalan dengan hal di atas, dapat juga disebut lengkap jika himpunan bagian tak kosong yang terbatas ke bawah mempunyai batas bawah terbesar (infimum).

Teorema 2. 1. 19.

a. Misal S adalah himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas ke atas,

dan a∈R, maka

(

a S

)

a supS

sup + = + .

b. Misal A dan B adalah himpunan bagian tak kosong dari R yang memenuhi:

b

a≤ , untuk semua a∈A dan b∈B

maka

B A inf

sup ≤ .

c. Misal f dan g adalah fungsi bernilai real yang terbatas dengan domainnya

⊆

D R.

( )

x g

( )

x f D x D x∈ ≤sup∈ sup .

ii) Jika f

( ) ( )

x ≤g y , untuk semua x,y∈D, maka

( )

x g

( )

y f D y D x_∈ ≤inf∈ sup . Bukti.

Lihat Bartle[1], Contoh 2.4.1. dan Contoh 2.4.2.

Teorema 2. 1. 20.

Himpunan A⊂R disebut Archimedean jika untuk setiap x∈A, maka terdapat

bilangan n_x∈N sehingga x<n_x.

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 2.4.3.

Teorema 2. 1. 21. (Teorema Kepadatan)

Jika x dan y adalah sebarang bilangan real dengan x< y, maka terdapat bilangan rasional r∈Q sehingga x<r< y.

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 2.4.8.

Teorema 2. 1. 22.

Jika x dan y adalah sebarang bilangan real dengan x< y, maka terdapat bilangan irasional z∈Q sehingga x< z< y.

Lihat Bartle[1], Teorema 2.4.9.

2. Barisan dan Limit Barisan Bilangan Real

Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang barisan bilangan real dan limit barisan beserta sifat-sifatnya yang akan digunakan pada bab selanjutnya.

Definisi 2. 2. 1.

Barisan bilangan real

{ }

S_n adalah fungsi yang terdefinisi pada himpunan

bilangan asli N dan daerah hasilnya (range) termuat dalam himpunan bilangan

real R. dan disimbolkan dengan S:N→R.

Contoh 2. 2. 2.

a. Jika b∈R, barisan

{ } {

b_n = b,b,b,K

}

yang anggotanya adalah bilangan b

semua, biasa disebut barisan konstanta b.

b. Barisan Fibonacci

{ }

f_n , barisan didefinisikan sebagai berikut:

(

2

)

, ; 1 ; 1 _{2 1 1} 1 = f = f ₊ = f ₋ + f n≥ f _{n n n} . Definisi 2. 2. 3.

Barisan

{ }

S_n dikatakan konvergen ke bilangan real l∈R atau l adalah limit dari

{ }

S_n jika untuk setiap ε >0, terdapat bilangan bulat m>0 sehingga

ε

< −l

Barisan yang mempunyai limit disebut barisan konvergen dan jika tidak mempunyai limit atau tidak konvergen disebut divergen.

Definisi 2. 2. 4.

Barisan

{ }

S_n dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real K >0 sehingga

K

S_n ≤ , untuk semua n∈N.

Teorema 2. 2. 5.

Setiap barisan real yang konvergen pasti terbatas.

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 3.2.2.

Teorema 2. 2. 6.

a. Jika

{ }

X_n dan

{ }

Y_n adalah dua barisan yang berturut-turut konvergen ke x

dan y, dan misal c∈R, maka barisan

{

X_n+Y_n

}

,

{

X_n −Y_n

}

,

{

X_nY_n

}

, dan

{ }

cX_n berturut-turut konvergen ke x+y,x−y,xy dan cx.

b. Jika

{ }

X_n konvergen ke x dan

{ }

Z_n adalah barisan bilangan real tak nol

yang konvergen ke z dan jika z≠0, maka barisan

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n Z X konvergen ke z x . Bukti.

Teorema 2. 2. 7.

Jika

{ }

X_n adalah barisan bilangan real yang konvergen ke x dan jika X_n ≥0, untuk semua n∈N , maka x=lim

{ }

X_n ≥0.

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 3.2.4.

Teorema 2. 2. 8.

Jika

{ }

X_n dan

{ }

Y_n adalah dua barisan yang konvergen dan X_n ≤Y_n, untuk

semua n∈N , maka

{ }

X_n lim

{ }

Y_n

lim ≤ .

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 3.2.5.

Teorema 2. 2. 9.

Misalkan

{ }

X_n ,

{ }

Y_n , dan

{ }

Z_n adalah barisan bilangan real dengan

n n

n Y Z

X ≤ ≤ , untuk semua n∈N ,

dan lim

{ }

X_n =lim

{ }

Z_n , maka

{ }

Y_n konvergen dan

{ }

X_n lim

{ }

Y_n lim

{ }

Z_n

lim = = .

Bukti.

Teorema 2. 2. 10.

Misal barisan

{ }

S_n konvergen ke s, maka barisan nilai mutlak

{ }

Sn konvergen ke s . Dengan kata lain jika s=lim

{ }

S_n , maka s =lim

{ }

Sn .

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 3.2.9.

Definisi 2. 2. 11.

Misal

{ }

S_n adalah barisan bilangan real. Barisan

{ }

S_n dikatakan monoton naik jika memenuhi ketidaksamaan

L L≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ _{2 3 +1} 1 S S Sn Sn S .

Barisan

{ }

S_n dikatakan monoton turun jika memenuhi ketidaksamaan

L L≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ _{2 3 +1} 1 S S Sn Sn S ..

Barisan

{ }

S_n dikatakan monoton jika barisan itu monoton naik ataupun monoton

turun.

Teorema 2. 2. 12.

Barisan bilangan real yang monoton akan konvergen jika dan hanya jika barisan itu terbatas. Lebih lanjut:

a. Jika

{ }

S_n adalah barisan naik terbatas , maka

{ }

S_n =sup

{

S_n :n∈N

}

lim .

{ }

S_n =inf

{

S_n :n∈N

}

lim .

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 3.3.2.

Definisi 2. 2. 13.

Misal

{ }

S_n adalah barisan bilangan real dan n₁<n₂ <n<L<n_k <L adalah barisan naik tegas dari bilangan asli. Barisan

{ }

Snk yang didefinisikan dengan

{

, ,K, ,L

}

2

1 n nk

n S S

S

disebut dengan subbarisan dari

{ }

S_n .

Teorema 2. .2. 14.

Jika barisan

{ }

S_n konvergen ke bilangan real s, maka sebarang subbarisan

{ }

Sn_k

juga konvergen ke s.

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 3.4.2.

Teorema 2. 2. 15.

Diberikan barisan bilangan real

{ }

S_n . Pernyataan di bawah ini saling ekuivalen: a. Barisan

{ }

S_n tidak konvergen ke x∈R .

b. Terdapat bilangan ε₀ >0 sehingga untuk sebarang k∈N , terdapat

N ∈ k n sehingga n_k ≥k dan S s ε₀ k n − ≥ .

c. Terdapat bilangan ε₀ >0 dan subbarisan

{ }

Sn_k sehingga S s ε₀

k n − ≥

untuk semua k∈N .

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 3.4.4.

Definisi 2. 2. 16.

Jika barisan bilangan real

{ }

S_n memenuhi salah satu pernyataan di bawah ini,

maka

{ }

S_n divergen.

a.

{ }

S_n mempunyai dua subbarisan

{ }

Snk dan

{ }

Srk yang konvergen tetapi limitnya tidak sama.

b.

{ }

S_n tak terbatas.

Teorema 2. 2. 17.

Jika

{ }

S_n adalah barisan bilangan real, maka terdapat subbarisan dari

{ }

S_n yang monoton.

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 3.4.7.

Definisi 2. 2. 18.

Barisan

{ }

S_n dikatakan barisan Cauchy atau barisan fundamental jika untuk

setiap 0ε > , terdapat bilangan real H∈N sehingga

ε

<

− _n

m S

Teorema 2. 2. 19. (Kriteria Cauchy)

Barisan bilangan real konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut adalah barisan Cauchy.

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 3.5.5.