MODUL MATEMATIKA SMA IPA Kelas 11

(1)

E-book ini hanya untuk kalangan sendiri

tidak untuk dijualbelikan

1

A. DEFINISI

Transformasi merupakan pemetaan titik, garis atau bidang ke titik, garis atau bidang lain pada bidang yang sama. Misalkan transformasi T memetakan titik ke titik dan berlaku hubungan:

atau

Transformasi T yang memetakan titik ke titik bersesuaian dengan matriks transformasi:

B. JENIS TRANSFORMASI DAN MATRIKS YANG BERSESUAIAN

No. Transformasi Rumus/Matriks Yang Bersesuaian

1.

Refleksi atau Pencerminan

a. Terhadap sumbu X

b.

c. Terhadap sumbu Y

d. Terhadap garis

e. Terhadap garis

Terhadap titik asal O

2.

Rotasi atau Perputaran

a. Sebesar (berlawanan arah jarum jam) ) , (x y P P(x,y) by ax x  dy cx y  _.                     y x d c b a y x ) , (x y P P(x,y) .        d c b a M x y x y       1 0 0 1       1 0 0 1       0 1 1 0         0 1 1 0         1 0 0 1



           cos sin sin cos

(2)

2

E-book ini hanya untuk kalangan sendiri _{tidak untuk dijualbelikan} b. Sebesar (berlawanan arah

dengan jarum jam)

c. Sebesar (searah dengan jarum jam)

d. Sebesar (setengah putaran)

Rotasi dengan pusat

3. Dilatasi dengan pusat dan faktor skala k

4. Identitas

C. KOMPOSISI TRANSFORMASI

Misalkan dan masing-masing merupakan transformasi yang bersesuaian dengan matriks-matriks

dan Komposisi transformasi dinyatakan dengan dan bersesuaian

dengan

D. CONTOH SOAL

Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. Ditentukan matriks transformasi dan Hasil

transformasi titik (2, -1) terhadap T1 dilanjutkan T2 adalah . . . A. (-4, 3) B. (-3, 4) C. (3, 4) D. (4, 3) E. (3, -4) Penyelesaian:

Matriks transformasi yang bersesuaian:

=

Hasil transformasi titik (2, -1) adalah

Jawaban: A

A. Bayangan garis jika ditransformasikan dengan suatu transformasi yang bersesuaian dengan

matriks persamaannya adalah . . . B. C. D. E. 0 90 0 90  0 180 ) , (ab P        0 1 1 0       1 0 1 0         1 0 0 1                                b a b y a x y x     cos sin sin cos

)

0 ,

0 (

O

      k k 0 0       1 0 0 1 1

T

₂        d c b a M₁ ₂ _.       s r q p M T2T1               s r q p d c b a M M₂ ₁          2 1 1 1 1 T . 0 1 1 0 2         T  T2 T1 T  _       0 1 1 0         2 1 1 1         1 1 2 1                       3 4 1 2 1 1 2 1 , 0 4 2xy  , 1 0 0 1         0 4 2xy  0 4 2xy  0 4 2     x y 0 4 2    y x 0 4 2    y x

(3)

3

Penyelesaian:

Bayangan (x, y) oleh matriks

Sehingga bayangan garisnya adalah:

Jawaban: B

2. Persamaan bayangan garis

oleh transformasi yang bersesuaian dengan

matriks dilanjutkan matriks

adalah . . . A. B. C. D. E. Penyelesaian:

Matriks yang bersesuaian:

=

Bayangan (x, y) oleh matriks

Sehingga bayangan garisnya adalah:

Jawaban: C

Soal Latihan dan Tugas Mandiri 1 ! 1. Garis dengan persamaan

dicerminkan terhadap sumbu X kemudian diputar dengan . Persamaan bayangannya adalah .... A. B. C. D. E.

2. Persamaan garis yang dirotasikan dengan pusat (0, 0) sejauh 90o_, dilanjutkan dengan pencerminan tehadap garis

adalah ... A. B. C. D. E.

3. Bayangan segitiga ABC dengan A(2, 1), B(6, 1), C(5, 3) karena refleksi tehadap sumbu Y dilanjutkan rotasi (0, 90o_{) adalah ....}

A. A”(-1, -2), B”(1, 6), dan C”(-3, -5)

B. A”(-1, -2), B”(1, -6), dan C”(-3, -5) C. A”(1, -2), B”(-1, 6), dan C”(-3, 5) D. A”(-1, -2), B”(-1, -6), dan C”(-3, -5) E. A”(1, 2), B”(-1, -6), dan C”(-3, -5)

4. Luas bayangan persegi panjang PQRS dengan P(-1, 2), Q(3, 2), R(3, -1), S(-1, -1) karena dilatasi [0, 3] dilanjutkan rotasi pusat O besudut

adalah .... A. 36 B. 48 C. 72 D. 96 E. 108

5. Bayangan garis yang dicerminkan terhadap garis adalah ....

A. B. C. D.         1 0 0 1                                 y x y x y x 1 0 0 1 0 4 2xy  4 2 0 4 ) ( ) ( 2         x y x y 0 2 3 4y x         1 1 1 0       1 1 1 1 0 4 7 8x y  0 2 7 8x y  0 2 2    y x 0 2 2    y x 0 2 2 5x y          1 1 1 1 T _       1 1 1 0        1 2 0 1        1 2 0 1                                                                          2 2 2 1 1 1 0 2 2 1 2 1 0 1 y xx y x x y x y x y x y x 0 2 3 4y x 



0 2 3 2 2 0 2 3 ) 2 ) ( ( 4 xy  x   x y x  0 2 2     x y 3 2   x y ) 90 , 0 ( o R 0 3 2    y x 0 3 2    y x 0 3 2xy  0 3 2xy  0 3 2xy  0 4 2    y x x y 0 4 2    y x 0 4 2    y x 0 4 2xy  0 4 2xy  0 4 2xy  2  2 2   x y x y 1  x y 1  x y 1 2  x y 1 2  x y

(4)

4

E-book ini hanya untuk kalangan sendiri _{tidak untuk dijualbelikan} E.

6. Bayangan titik karena refleksi terhadap garis dilanjutkan refleksi terhadap garis

dan kemudian dilanjutkan rotasi pusat O bersudut radian adalah (-4, 6). Koordinat titik

A adalah .... A. (2, -10) B. (2, 10) C. (10, 2) D. (-10, 2) E. (10, -2)

7. T1 adalah transformasi rotasi pusat O dan sudut putar 90o_._T

2 adalah transformasi pencerminan terhadap garis Bila koordinat pada titik A oleh transformasi adalah A’(8, -6), maka koordinat titik A adalah ....

A. (-6, -8) B. (-6, 8) C. (6, 8) D. (8, 6) E. (10, 8)

8. Persamaan bayangan garis oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks

dilanjutkan pencerminan terhadap

sumbu Y adalah .... A. B. C. D. E.

9. Bayangan kurva jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 2 adalah ....

A. B. C. D. E.

10. Persaman bayangan parabola karena rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh 180o_{adalah ....} A.

B. C. D. E.

Soal Latihan dan Tugas Mandiri 2 ! 1. Bayangan segitiga ABC dengan

oleh translasi

adalah segitiga A’B’C’ dengan titik-titik sudutnya adalah.... A. B. C. D. E.

2. Bayangan garis oleh translasi adalah... A. B. C. D. E.

3. Koordinat bayangan titik oleh translasi adalah Koordinat

bayangan titik oleh translasi adalah. . . . . A. B. C. D. E. 2 1 2  x y ) , (x y A 2   x 3  y 2  . x y 2 1 T T  0 5 4xy        1 3 0 2 0 30 2 3x y  0 5 12 6x y  0 30 3 7x y  0 30 2 11x y  0 30 2 11x y  3 2 x y 6 2 1 2  x y 6 2 1 2  x y 3 2 1 2  x y 2 2 1 6 x y  2 2 1 3 x y  4 2 x y 4 2 y x 4 2   y x 4 2   y x 4 2   x y 4 2 x y (2,1), (5, 2), (8, 3) A B dan C 1 2   _    '(1, 3), '(2, 5), '(3,8) A B dan C '(2, 2), '(5, 4), dan '(8, 6) A  B  C  '( 4,1), ( 10, 2) dan '( 16, 3) A  B  C  '(3, 1), '(6, 0), dan '(9,1) A  B C '(3, 2), '(6, 4), dan '(9,1) A  B  C 6y  3x 18 3 3   _    6x3y270 6x3y270 6x3y270 3x6y270 3x6y270 ( 2, 3) P   a T b        P'(3, 8). ( 2,8) Q  T '(2, 7) Q '( 2, 7) Q  '(2, 7) Q  '( 2,8) Q  '(2,8) Q

(5)

5

4. Bayangan titik oleh translasi

adalah Jarak dari titik asal ke titik M adalah. . . A. B. C. D. E.

5. Jika garis ditranslasikan oleh matrik ,maka hasil transformasinya adalah garis

dengan persamaan . . . . A. B. C. D. E.

6. Koordinat bayangan oleh translasi adalah titik bayangan garis

oleh adalah. . . A. B. C. D. E.

7. Translasi memindahkan titik ke titik Segitiga ABC dengan

oleh dipindahkan menjadi segitiga A’B’C’. Luas trapesium A’B’CC’ sama dengan . . . .satuan luas. A. B. C. D. E.

8. Oleh translasi lingkaran

perpindahan menjadi

lingkaran Bayangan titik adalah. . . . . A. B. C. D. E.

9. Koordinat bayangan titik oleh translasi adalah titik Translasi

juga memindahkan titik ke titik . . . . A. B. C. D. E.

10. Garis memotong sumbu X di titik A dan memotong sumbu Y di titik B. Oleh translasi titik A berpindah ke titik

A’ dan oleh translasi titik B berpindah ke titik B’ Jika adalah garis yang melalui A dan B, adalah garis yang melalui A’ dan B’,maka kedua garis berpotongan di titik. . . A. B. C. D. ( , ) m x y 4 2 T       '(9, 5). m  208 212 214 216 218 3x2y6 3 4   _    3x2y6 3x y 3 3x2y 11 3x2y 4 3x2y23 ( 5, 3) P   a T b        ( 4, ).  2 6 0 x y  T 1 11 2 2 y  x 1 11 2 2 y  x 1 10 2 2 y  x 1 10 2 2 y  x 1 10 2 2 y x a T b        M(2, 3) '(1, 3). M ( 3, ), (3, 0), dan (0, 6), A  B C

T

21 22 23 24 25 , a T b        2 2 ₆ ₈ ₁₆ ₀ x y  x y 

.

0

6

2 2







x

y

x

( 4, 4) oleh D T '(0, 4) D '( 3, 8) D   '(4, 0) D '( 4. 0) D  '( 4, 4) D   ( 2, 3) Q 2 1 3 2 a T b      _    Q'(1, 1). T R'( 3 , 2 ) a  b '( 3, 8) R   '( 3, 8) R  '(3, 8) R '(3, 8) R  '( 8, 3) R  3 6 x y 4 , 1 ₀ T       0 , 2 ₄ T       1



2



1 1 , 2 2       3 1, 2       3 3 , 2 2       1 2, 2      

(6)

6

11. Oleh translasi ,bayangan

adalah Nilai A+B+C=. . . . . A. B. C. D. E.

12. Koordinat titik-titik segitiga ABC berturut-turut adalah

Koordinat bayangan titik-titik A, B, dan C oleh refleksi berturut-turut adalah. . . . A.

B. C. D. E.

13. Bayangan titik oleh pencerminan terhadap garis adalah titik A’. Panjang ruas AA’adalah titik. . . . . A.

B. C. D. E.

14. Koorinat bayangan titik oleh refleksi garis adalah titik. . . . A. (0, 1) B. C. D. E.

15. Bayangan garis oleh pencerminan terhadap sudut adalah. . . . . A.

B. C.

D. E.

16. Garis adalah bayangan garis oleh pencerminan terhadap sumbu jarak garis

dengan garis adalah. . . . . A. B. C. D. E. 17. Lingkaran dicerminkan terhadap garis bayangan lingkaran tersebut adalah. . . . A. B. C. D. E.

18. Garis adalah bayangan garis

oleh pencerminan terhadap titik asal, Jika

adalah gradien adalah gradien garis maka. . . . A. B. C. D. E.

19. Bayangan garis oleh pencerminan terhadap garis memotong sumbu di titik. . . . . A. B. C. D. E. (2, 2) 2 1    _   2 2 ₀ x y AxBy x2y2C. 3 4 5 6 7 ( 2,1), (6, 4), dan (5, 3). A B  C 3 0 x  (8, 1), (0, 4), (1, 3) (8, 1), (0, 4), (1, 3) (8, 1), (0, 4), (1,3) (8, 1), (0, 4), (1, 3) (8, 1), (0,4), (1,3) (4, 1) A

0 



x

y

2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 (1, 0) 1 y x ( 2, 2) ( 2, 1) ( 1, 1) ( 1, 2) 3x4y120

X

3x4y120 3x4y120 3x4y120 4x3y120 4x3y120

'



:x 5 0 0 x

'



'

5 100 10 15 20 2 2 ₂ ₄ ₀ x y  x y

0 



x

y

2 _{2 2} ₄ ₀ x y x y 2 2 ₂ ₄ ₀ x y  x y 2 2 ₂ ₄ ₀ x y  x y 2 2 ₄ ₄ ₀ x y  x y 2 2 ₄ ₂ ₀ x y  x y

'



: 2x y 4 1

m

danm₂



'.

1 1 2 m x m  1 1 2 m x m   0 1 1 m x m  1 1 2 m m   0 1 2 m m  1 0 y  x 1 0, y 

X

( 4, 0) (4, 0) ( 3, 0) (3, 0) 1 , 0 4      

(7)

7

20. Bayangan garis yang dicerminkan terhadap garis adalah. . . . .

A. B. C. D. E.

21. Garis dicerminkan terhadap garis asal. Bayangannya adalah. . .

A. B. C. D. E. 22. Lingkaran dicerminkan terhadap titik asal.Lingkaran bayangan adalah. . . . . A. B. C. D. E.

23. Parabola dicerminkan terhadap garis Bayangannya adalah. . .

A. B. C. D. E.

24. Parabola di refleksikan terhadap garis .Bayangannya adalah. . . .

A. B. C.

D. E.

25. Garis di refleksikan terhadap garis bayangannya adalah. . . A. B. C. D. E.

26. Lingkaran dengan pusat dan menyinggung sumbu ,dicerminkan terhdap garis

.Lingkaran bayangannya adalah. . . .

A. B. C. D. E.

27. Garis dicerminkan terhadap garis Jika adalah bayangan maka titik potong adalah . . .

A. B. C. D. E.

28. Diketahui parabola adalah bayangan titik puncak parabola yang

dicerminkan terhadap garis Lingkaran dengan pusat dan melalui titik asal adalah. . . . . A. B. C. D. 4 0 x  y 2 0, x  0 x y 0 x y 0 x y 1 x y 1 x  y 2 4 0 x y  2 4 0 x y  2 4 0 x y  2 4 0 x y  2 4 0 x y  2 4 0 x y     2 2 ₈ ₆ ₀ x y  x y 2 2 ₈ ₆ ₁₆ ₀ x y  x y  2 2 ₈ ₆ ₁₆ ₀ x y  x y  2 2 ₈ ₆ ₆ ₀ x y  x y  2 2 ₈ ₆ ₁₆ ₀ x y  x y  2 2 ₈ ₆ ₁₆ ₀ x y  x y  2 ₄ ₀ yx  x 0. y 2 4 0 y x  x 2 4 0 y x  x 2 ₄ ₀ yx  x 2 ₄ ₀ yx  x 2 ₄ ₀ yx  x 2 1 y x  1 0 y  2 ₃ yx  2 ₂ yx  2 1 yx  2 ₃ x   2 2 x   1 0 2 y x 0, x y 0 x y 0 x y 2 0 x y 2 0 x y 1 0 2 x y (3, 2)

Y

y x 0 2 _{2 4 6} ₄ ₀ x  y x y  2 _{2 4 6} ₄ ₀ x  y x y  2 _{2 4} ₆ ₄ ₀ x  y x y  2 _{2 4} ₆ ₄ ₀ x  y x y  2 _{2 4 6} ₄ ₀ x  y x y  : 1 0 1 x  0. y x



₂



₁

,

dan 1 2 (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) ( 1, 1)  2 _{2 .} yx  x P 0. y x

P

2 2 ₂ ₂ ₀ x y  x y 2 2 ₂ ₂ ₀ x y  x y 2 2 ₂ ₂ ₂ ₀ x y  x y  2 2 ₂ ₂ ₂ ₀ x y  x y 

(8)

8

29. Garis melalui titik pusat lingkaran

dan melalui titik asal.

Bayangan oleh garis adalah. . . . A.

B. C. D. E.

30. Parabola dicerminkan terhadap garis Persamaan bayangannya adalah. . .

A. B. C. D. E.

31. Parabola dicerminkan terhadap Persamaan bayangannya adalah. . . A.

B. C. D. E.

32. Lingkaran yang berpusat di dan

menyinggung sumbu dicerminkan pada garis .Persamaan lingkaran yang terjadi adalah. . . A. B. C. D. E. ROTASI

33. Bayangan titik oleh rotasi adalah . . . A. B. C. D. E.

34. Oleh rotasi dengan bayangan titik adalah. . . . A. B. C. D. E.

35. Bayangan garis oleh rotasi adalah. . . A. B. C. D. E.

36. Bayangan garis pleh rotasi adalah. . . A. B. C. D. E.

37. Bayangan garis jika diputar sejauh dengan pusat adalah. . .

A. B. 2 2 ₂ ₂ ₂ ₀ x y  x y 



2 2 ₆ ₈ ₁₆ ₀ x y  x y  (4, 3)



(3, 4) (3, 4) ( 3, 4) ( 4, 3)  (4, 3) 2 yx 1 0. x  2 ₄ ₄ yx  x 2 ₄ ₄ yx  x 2 ₄ ₄ yx  x 2 ₄ ₆ yx  x 2 ₄ ₄ yx  x 2 xy x 1 0. 2 ₂ x y  2 ₂ x y  2 ₂ x y  2 ₄ x y  2 ₄ x y  (3, 4)

X

y x 2 2 ₈ ₆ ₉ ₀ x y  x y  2 2 ₆ ₈ ₁₆ ₀ x y  x y  2 2 ₈ ₆ ₉ ₀ x y  x y  2 2 ₈ ₆ ₁₆ ₀ x y  x y  2 2 ₆ ₈ ₉ ₀ x y  x y  ( 4, 0) (0,1 ) 3 R





2, 2 3





2,2 3





2, 2 3





 2, 2 3





2 3,2



1 , 2 A        A(1, 2), (3, 7) ( 3, 3) ( 4, 4) ( 3, 4) ( 4, 3) (4,4) 1 0 y  x 1 , 2 R O_ _   1 0 x  y 1 0 x  y 1 0 x  y 1 x y    1 x y     4 8 0 x y  1 , 2 R O_ _   4x y 8 4x  y 8 4x y 8 4 8 x y 8 x y 3x  y 2 0 4



, (0, 0) O 2x y 20 2x y 20

(9)

9

C. D. E.

38. Lingkaran dengan pusat dan melalui titik diputar arah positif sebesar dengan pusat

putaran titik Bayangan lingkaran tersebut adalah . . . A. B. C. D. E.

39. Titik adalah titik-titik sudut segitiga ABC .Jika segitiga itu siputar arah positif sebesar dengan pusat

maka bayangan A, B,dan C berturut-turut adalah. . . A. B. C. D. E.

40. Parabola diputar dengan pusat sejauh radian,maka bayangan parabola tersebut adalah. . .

A. B. C. D. E.

41. Titik diputar terhadap titik dengan putaran searah dengan putaran arah jarum jam dan besar sudut putarannya Bayangan adalah. . . A. B. C. D. E.

42. Parabola di putar dengan pusat sebesar arah positif.Persamaan bayangan parabola adalah. . . A. B. C. D. E. 43. Bayangan lingkaran

oleh rotasi adalah. . .

A. B. C. D. E. DILATASI

44. Diketahui persegi panjang dengan dan

Bayangan oleh dilatasi adalah. . . . A.

B. C. D. E.

45. Bayangan titik oleh dilatasi dengan pusat adalah. . .

A. B. C. 2 2 0 x y  2 2 0 x y  2x y 20 (3, 4) 1 4



(0, 0). O 2 2 ₈ ₆ ₀ x y  x y 2 2 ₈ ₆ ₀ x y  x y 2 2 _{8 6} ₀ x y   y 2 2 ₆ ₈ ₀ x y  x y 2 2 ₆ ₈ ₀ x y  x y (2, 1), (5, 2), dan (3, 5) A B C 180 , (0, 0), O ( 2, 1), ( 5, 2), ( 3, 5)      ( 1, 2), ( 2, 5), ( 5, 3)      ( 2, 1), ( 5, 2), ( 3, 5)   ( 3, 2), ( 6, 3), ( 4, 5)      ( 2, 3), ( 3, 6), ( 5, 4)      2 ₃ ₄ yx  x (0, 0) O



2 ₃ ₄ yx  x 2 ₃ ₄ y x  x 2 ₃ ₄ yx  x 2 ₃ ₄ yx  x 2 ₃ ₄ yx  x (6, 10) P  M(3, 2) 45 . P 11 5 ' 3 2 dan ' 2 2 2 2 x    y    11 5 ' 3 2 dan ' 2 2 2 2 x    y    11 5 ' 3 2 dan ' 2 2 2 2 x   y   11 5 ' 3 2 dan ' 2 2 2 2 x   y    11 5 ' 3 2 dan ' 2 2 2 2 x   y   2 ₄ y x  x O 180 ( 4) yx x ( 4) yx x ( 4) y x x 2 4 y x x 2 4 y x x 2 2 ₆ ₈ ₂₄ ₀ x y  x y  (0, 90 ) R  2 2 ₈ ₆ ₂₄ ₀ x y  x y  2 2 ₈ ₆ ₂₄ ₀ x y  x y  2 2 ₈ ₆ ₂₄ ₀ x y  x y  2 2 ₈ ₆ ₂₄ ₀ x y  x y  2 2 ₈ ₆ ₂₄ ₀ x y  x y  , ABCD ( 2, 1), (2, 1), (2, 2) A B C D( 2, 2). ABCD [0, 5] '( 2, 5), '(2, 5), '(2, 10), ( 2, 10) A  B C D  '( 10, 5), '(10, 5) '(10, 10), '( 10, 10) A  B C D  '( 10, 10), '(10, 10), '(10, 2), '( 10, 2) A   B C D  '(5, 10), '(5, 10), '(10, 10), '( 10, 10) A  B C D   '(5, 2), '(5, 2), '(10, 2), '(10, 2) A  B C D  (4, 3) P [ , 2]A (2, 5) A '( 6, 1) P  '( 6, 1) P   (6, 1) P

(10)

10

E-book ini hanya untuk kalangan sendiri _{tidak untuk dijualbelikan} D.

E.

46. Bayangan garis oleh dilatasi dengan pusat adalah. . . A.

B. C. D. E.

47. Bayangan dengan ,dan oleh dilatasi adalah

.Panjang sama adalah. . . A.

B. C. D. E.

48. Diketahui bayangan titik oleh dilatasi dengan pusat adalah

Koordinat titik adalah. . . . A.

B. C.

D. E.

49. Lingkaran dengan persamaan

didilatasikan oleh dilatasi Persamaan bayangannya adalah. . . A. B. C. D. E.

50. Bayangan titik oleh dilatasi

adalah titik .Faktor skala adalah. . . . . A. B. C. D. E. '(1, 6) P '(1, 6) P  2x y  6 0 [ , 3]P  P(3, 1) 2 10 y  x 2 10 y x 2 10 y  x 10 y x 10 y x ABC  A(3, 0), (0, 3)B (6, 6) C [ , 2]O A B C' ' ' CC 3 2 4 2 5 2 6 2 8 2 ( , ) P x y [ , 2]A A(1, 2) P'( 9, 2). P (4, 3) (3, 4) (4,2) (4, 2) ( 4, 2) 2 2 ₉ x y  [ , 2].O 2 2 ₂ x y  2 2 ₄ x y  2 2 ₆ x y  2 2 ₁₈ x y  2 2 ₃₆ x y  (5,15) [ , ]O k (4, 12)

k

5 4 4 5 3 5 5 4  4 5 