IN minimal astfel ca

Capitolul 4

FORMULA LUI TAYLOR. EXTREME

Exemplul 1. Sã _{se dezvolte polinomul f(x,y,z) = x}3_+y3_+xyz_z2_+xy+x_z+1

dupã _{puterile lui x}_{1, y+1 ºi z}_1.

Rezolvare. Vom folosi dezvoltarea Taylor a funcþiei f în jurul punctului a=(1, 1,1) IR3. Cum f este un polinom de gradul al treilea d4f=0, deci R3(x,y,z)=0 ºi formula lui Taylor este:

)

Exemplul 2. Folosind formula lui Taylor de ordinul al treilea sã _{se calculeze}

valoarea aproximativã _{a num}ã_{rului (0,9)}2,1_.

Rezolvare. Ne intereseazã _{valoarea funcþiei f(x,y)=x}y _{în punctul (x,y)=(0,9;}

2,1); vom alege drept punct (a,b) în jurul cã_{ruia vom dezvolta funcþia f unul în care}

putem calcula exact funcþia f ºi derivatele sale parþiale ºi, totodatã_{, cât mai apropiat}

de (x,y). Fie deci (a,b)=(1,2). Atunci:

Sã _remarcã_{m c}ã _{aproximarea de ordinul 0 este (0,9)}2,1_{T0(x,y)=1, iar cea de}

ordinul al doilea este (0,9)2,1T1(x,y)=0,8. În nici unul din aceste cazuri nu avem o estimare a erorii comise. Dacã _{dorim s}ã _calculã_{m o expresie cu o precizie prestabilit}ã

 trebuie sã _gã_{sim un n}_{IN astfel ca} 

aproximarea de ordinul întâi:

Exemplul 4. Sã _determinã_{m extremele locale ale funcþiei f : IR}2_IR,

13 y 2 2 y 3 y x 2 2 x 3 3 x ) y , x ( f

2 3 2

3

     

 . Cum fC2(IR2) rezultã _cã _{putem determina}

toate punctele de extrem prin metoda descrisã_:

Pasul 1. Determinã_{m punctele staþionare din sistemul:}

   

   

   

0 2 y y ) y , x ( ` f

0 2 x 3 x ) y , x ( ` f

2 y

2 2 x

,

deci punctele (1,1), (1,-2), (2,1) ºi (2,-2) sunt conform teoremei lui Fermat posibile puncte de extrem.

Pasul 2. Studiem natura punctelor staþionare folosind criteriul lui Sylvester. Hessiana funcþiei f în punctul curent este :

Hf(x,y)= _

  

 

 

1 y 2 0

0 3 x 2

, iar 1(x,y)=2x3, 2(x,y)=(2x3)(2y1).

În (1,1), 1=1 ºi 2=1, deci acest punct nu este punct de extrem pentru f. În punctul (1, 2), 1 = 1 < 0, 2 = 5 > 0, deci (1,-2) este un maxim local ºi fmax=f(1, 2)=79/6.

Deoarece 1(2,1) = 1, 2(2,1) = 1 > 0 rezultã cã (2,1) este un punct de minim local pentru f ºi fmin=23/2.

În sfarºit, în (2, 2) avem 1= 1<0, 2= 5<0, deci punctul (2, 2) nu este un extrem al funcþiei f.

Observaþie. Dacã _{într-un punct staþionar a al funcþiei f diferenþiala a doua se}

anuleazã _{ºi f este de clas}ã _Cn_{, n}_{3 atunci folosim o dezvoltare de ordin superior în}

formula lui Taylor; dacã _{primele derivate parþiale nenule sunt de ordin impar, atunci}

punctul staþionar nu este extrem pentru f.

Exemplul 5. Sã _{se determine extremele locale ale funcþiei f : IR}3 _IR,

f(x,y,z)=x4+y4+z4- 4xyz.

Rezolvare. Determinã_{m mai întâi punctele staþionare rezolvând sistemul:}

    

  

  

  

0 ) xy z ( 4 ) z , y , x ( ` f

0 ) zx y ( 4 ) z , y , x ( ` f

0 ) yz x ( 4 ) z , y , x ( ` f

3 z

3 y

3 x

Deci punctele (0,0,0), (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) sunt posibile puncte de extrem. Hessiana funcþei f în punctul curent este:

Hf(x,y,z)=4

  

 

  

 

 

 

 

2 2 2

z 3 x y

x y

3 z

y z x

3

.

(a). Deoarece Hf(0,0,0) este matricea nulã, d2(0.0.0)f=0. Vom studia semnul diferenþialei de ordinul trei în (0,0,0). Cum d2f 4



3



x2dxy2dyz2dz



2



zdxdy



zdxdy ydxdz

24dxdydz, adicã _d3_{(0,0,0)f(x,y,z) =} _{24xyz, care este o form}ã _ternarã _{ce îºi schimb}ã

semnul în orice vecinã_{tate a originii; prin urmare (0,0,0) nu este un punct de extrem}

pentru f.

(b). Deoarece Hf(1,1,1)=4



(c). Deoarece f(x,y,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y), pentru a studia natura punctelor staþionare rã_{mase este suficient s}ã _analizã_{m natura punctului (1,-1,-1). Cum}

Exemplul 6. Dintre toate paralelipipedele drepte pentru care suma lungimilor laturilor este egalã _{cu a>0 s}ã _{se determine cel al c}ã_{rui volum e maxim.}

Rezolvare. Fie x,y,z lungimile laturilor unui asemenea paralelipiped; atunci volumul sã_{u este :}

Deci singurul punct staþionar este 

continuã _{pe un compact rezult}ã _cã _{ea este m}ã_rginitã _{ºi îºi atinge marginile. Pe}

interiorul lui B , adicã _{pe B am v}ã_{zut c}ã _existã _{un singur extrem:} 

    

3 a , 3 a

.

Rã_{mâne s}ã _determinã_{m extremele pe frontier}ã_{. Pe segmentul OC avem y=0}

ºi x[0,a], deci funcþia h(x)= g(x,0) = 0 este constantã_{; analog pe OD; pe CD avem}

x+y=a, x[0,a] ºi k(x)=g(x,a-x)=0. Prin urmare imaginea funcþiei g este Im g=g(B )= _

    

27 a , 0

3

ºi maximul ei absolut este atins în interior; deci 

    

3 a , 3 a

este un

maxim absolut pentru f, iar 

  

 

3 a , 3 a , 3 a

este un maxim absolut pentru V. În consecinþã_,

parealelipipedul cã_{utat este cubul de latur}ã

3 a

.

Observaþie. Dacã _{f : A}  _IRp _{IR este o funcþie continu}ã _{ºi A este o mulþime}

compactã_{, atunci extremele sale absolute se determin}ã _astfel: (a) determinã_{m extremele locale pe Å,}

(b) determinã_{m extremele locale pe frontiera Fr A;}

atunci maximul absolut e cel mai mare maxim local, iar minimul global este cel mai mic minim local (dintre cele determinate la (a) ºi (b)). Pentru funcþiile de douã

variabile problema determinã_{rii extremelor pe frontier}ã _{se reduce, ca în exemplul}

precedent, la determinarea extremelor unor funcþii de o singurã _variabilã_{. În cazul}

funcþiilor de trei variabile determinarea extremelor pe frontierã _{revine la studiul}

extremelor unor funcþii de douã _{variabile, º.a.m.d. Ne vom ocupa de aceast}ã

problemã _{în secþiunea consacrat}ã _{extremelor cu leg}ã_turi.

Exemplul 7. Determinaþi extremele absolute ale funcþiei f(x,y) = xy pe domeniul triunghiular de vârfuri O(0,0), A(1,0), B(0,2).

Rezolvare. Domeniul de definiþie al funcþiei f este D={(x,y) IR2 | x,y  0, x + y / 2 1}.

1. Pe interiorul mulþimii D, deci pe 

D ={(x,y)|x,y > 0, 2x + y <2} sistemul: 0

y

x

C(a,0) B

D(0,a)

D

0 y

x

 extreme locale.

2. Pe frontiera Fr D=OABO considerã_{m cazurile:}

2.1. Pe segmentul [OA] avem y = 0 ºi x[0,1]. Funcþia g(x) = f(x,0) = 0 este

urmare ecuaþia datã _determinã _{unic funcþia z} _z

 

_{x,y într-o vecin}ã_{tate a unui punct}



a,b,c



 IR3, cu c0, care verificã _aceastã _{ecuaþie. Vom determina}



_a,b,c



_{, c}_{0 astfel}

ca funcþia implicitã _z  _{z(x,y) s}ã _admitã _{punctul (a,b) ca punct staþionar din sistemul}

f(x,y,z)0, f



x,y,z



4x



x2 y2 z2



2x 0

x      , f



x,y,z



4y



x y z



0 2 2 2

y     ;

obþinem xy0 ºi z1. Conform teoremei funcþiilor implicite existã _douã _funcþii

 

U C z ,

z_{1 2} 2 , unde UV_{ 0,0 care admit punctul (0,0) ca punct staþionar, iar}

 

0,0 1

z₁  ºi z₂

 

0,0 1. Dar

f

_x



2(x,y,z) 4(x

2_+y2_+z2_)+8x2_+2,

xy

f



(x,y,z) 8xy ºi

f

_y



2(x,y,z) 4(x

2_+y2_{+ z}2_)+8y2_, Iar

f

_x



2(0,0,1)  6,

f

_xy



(0,0,1)  0, f 2



0,0, 1



4

y   ºi

f

z



(0,0,1) 6. Aºadar hessiana funcþiei z1 este

 

_

  

  

  

3 2 0

0 1 0

, 0 H

1

z ,

1 1 

 ºi

3 2 2 

 , deci funcþia z1 are un maxim local în (0,0) ºi z1 max  z1(0,0)1. Analog

 

_       

3 2 0

0 1 0 , 0 H

2

z ,

iar ₁ 10, 0 3 2 2  

 ; prin urmare funcþia z2 are un minim local în origine ºi z2 min

 z2(0,0)1.

Exemplul 9. Sã _{se determine imaginea funcþiei}

f : A={(x,y)



2

|

x2 + y2_≤ 1} ,f

 

x,y xy13

Rezolvare. Funcþia f este continuã _{pe compactul A} _IR2_{; prin urmare}

imaginea f(A) este compactã _{în IR (teorema 15, cap.1) ºi f îºi atinge marginile}

(teorema 16, cap.1). Rã_{mâne s}ã _determinã_{m aceste margini. Cum f}' _{1 0,}

x   pe interiorul A 



(x,y) |(x2 y2 1



_{nu existã puncte sta}

þionare, deci nici extreme (teorema lui Fermat); prin urmare extremele sunt atinse pe frontiera mulþimii A, FrA = {(x,y)  IR2| x2+ y2 = 1}, ceea ce înseamnã _cã _{trebuie s}ã _determinã_m

extremele funcþiei f cu legã_{tura x}2 _y2 ₁_{0. Fie}  _{IR multiplicatorul lui}

Lagrange; funcþia lui Lagrange este:



x,y,



x y 13



x y 1



L _{    } 2 _ 2 _{ ,}

iar sistemul *** este format din ecuaþiile: 0

x 2 1

L_x     , L_y 12y0, L _x2_y2_1_0

 ,

deci

  

2 1

x ,

  

2 1

y ºi 1

4 1 2 ₂ 

 . Pentru 2

1



 avem x=

2 1 y , 2

1 _



 ºi

pentru

2 1

 

 obþinem

2 1 x ºi

2 1

doilea a funcþiei F

  

x,y L x,y,



unde  este constantã ₍ Prin diferenþierea legã_{turilor avem}

Exemplul 11. Sã _{se determine distanþa de la sfera de ecuaþie S : x}2 _{+ y}2 ₊

+ z2 = 1 la dreapta de ecuaþii D : y = x, z = x +2.

Rezolvare. Distanþa de la un punct M (x, y, z)  S la un punct P( u, v, w) D defineºte o funcþie de ºase variabile:

d (P, M) = g (x, y, z, u, v, w) =



xu

 

2 yv

 

2  zw



2 (1) Problema noastrã _constã _{în determinarea minimului absolut al funcþiei g cu leg}ã_turile:

x2 + y2 + z2– 1 + 0; v – u = 0 ºi w – u – 2 = 0 (2) Deoarece funcþia lui Lagrange asociatã _{are nou}ã _{variabile (cele ºase ale}

funcþiei g plus trei multiplicatori) iar derivatele sunt complicate, vom încerca sã

simplificã_{m problema. S}ã _constatã_{m întâi c}ã _{punctul de minim al funcþiei g coincide}

cu cel al funcþiei:

f (x, y, z, u) = (x - u)2 + (y - u)2 + (z – u - 2)2 (3) cu singura legã_turã

x2 + y2 + z2 – 1 = 0. (4)

Funcþia lui Lagrange este în acest caz:

L (x, y, z, u, ) = (x - u)2 + (y - v)2 + (z – u - 2)2 + (x2 + y2 + z2 - 1) (5) Sã _determinã_{m punctele staþionare pentru L din:}

L’x = 2 [( + 1)x - u] = 0, L’y = 2[( + 1)y - u] = 0, L’z = 2[( + 1)z – u - 2] = 0, L’u = 2(x + y + z - 3u – 2) = 0 ºi L’ = x2 + y2 + z2– 1 = 0.

Rezolvând acest sistem obþinem:





3

2 2 1 ,

1 3

4 z

, ) 1 ( 3

2 y

x , 3 2

u  

   

    

 (6)

Diferenþiind legã_{tura (4), din (6) rezult}ã_:



dx dy



2 1

dz  (7) Ne intereseazã _{doar minimul funcþiei auxiliare}

F (x, y, z, u) = L (x, y, z, u, ) (8) unde  este o constantã_{. Diferenþiind obþinem succesiv:}

dF = 2[(x-u)(dx-du) + (y-u)(dy-du) + (z-u-2)(dz-du) + (xdx+ydy+zdz)], d2F = 2[(dx-du)2 + (dy-du)2 + (dz-du)2 + (dx2+dy2+dz2)] =

= 2[(+1) (dx2+dy2+dz2)+3du2 -2du (dx + dy + dz)] ) 7 (

) 7

(2











 

 _{   }

du dy dx 3 du 3 dxdy 2 dy 5 dx 5 4

1 2 2 2 _{. (9)}

Conform criteriului lui Sylvester, pentru ca forma pã_traticã _{(9) s}ã _{fie pozitiv definit}ã

este necesar ca 0

2 1 5

1 

  

 . Prin urmare din (6) obþinem:

3 2 u , 6 2 z , 6 1 y x , 3 2 2

1    



 (10)

Din punct de vedere geometric problema este unic determinatã_{; prin urmare distanþa}

de la sfera S la dreapta D este, conform formulelor (10), (1) ºi (2):



2 2 3



3 5 3

4 , 3 2 , 3 2 , 6 2 , 6 1 , 6 1 d ) D , S (

d _ 

  

 

   

 _{ } 

  



_{ }

EXERCI

Þ

I

I PROPUSE

Exercþiul 1. Sã _{se dezvolte dup}ã _{puterile lui x + 1, y + 1, z – 1 polinoamele}

(a) f(x, y) = x3 + y3– 3 x y + 13

(b) f(x, y, z) = x3 + y3 - z3 + 3x2y – 3xy + z2– z + 22

Rã_{spuns. (a) f (x, y) = 8 + 6(x + 1) + 6(y + 1) – 3 (x + 1)}2 _{– 3(y + 1)}2_{– 3(x +}

+1)(y + 1) + (x +1)3 + (y + 1)3; (b) f(x, y, z) = 13 + 12(x + 1) + 15(y + 1) – 2 (z - 1) –

– 6(x + 1)2 – 3 (y + 1)2 – 2 (z - 1)2 – 9(x + 1)(y + 1) +(x + 1)3 + (y + 1)3 – (z - 1)3 + +6(x + 1)2(y + 1).

Exerciþiul 2. Sã _{se scrie polinomul Taylor de gradul al doilea pentru:}

(a) f(x, y) = ln(x2 + x + y2) în punctul (0,1) (b) f(x,y,z) = ex arctg (y + z) în punctul (0,0,1)

Rã_{spuns. (a) T2(x,y) =}

2 1

x2 _– 2xy _– y2 +3x _– 3; (b) T2 (x, y, z)= 8



x2 _– y2 _–

–z2 +

2

1

xy +

2

1

xz – 2yz + x 2 1 4 _

 

  

+

2

5

y+

2

5

z+ 4



-2

3

.

Exerciþiul 3.Folosind formula lui Taylor de ordinul al doilea sã _{se arate c}ã_:

(a)

   

1,013  1,99 3 2,9851 (b) 1,033 0,98 1,0081 (c) (1,1)1,02 1,1021

Exerciþiul 4. Sã _{se determine E1 = (1,1)}1,2 _{ºi E2 = (0,99)}1,01 _{+ (1,01)}1,001 ₊

+(1,001)0,99ºi E3 = (1,01)0,99 + (0,99)0,999 + (0,999)1,01 cu trei zecimale exacte.

Rã_{spuns. E 1} _{1,121; E2} _{3,001; E 3} _2,999.

Exerciþiul 5. Sã _{se determine extremele locale ale funcþiilor}

(a) f(x,y) = x3– 3xy2 + x2– 2xy + 3y2 + 2y + 27 370 (b) f(x,y) = 2x3– y3 +(y-x)2

(c) f(x,y) = ex (cos y – x) + cos y (d) f(x,y,z) = x2 + y2 + z 2 _– xy + x _– 2z (e) f(x,y,z) = x 3 + y 2 + z2 + 12xy + 2z (f) f(x,y,z) = x +

y z x 4 y x

2 2 2

 

(g) f(x,y,z) =

y x

z x z

y z y

x

   

 , x,y,z >0

(h) f(x,y,z) = x3 + y3– z3 – x2y + 3z2 + 13

Rã_{spuns. (a) f min= 13;}

3 1 , 3 1

f 

  

 _{ }

(b) fmin= ;

27 2 12 17 3

2 2 , 3

1 2

f _ 

  



 _

(c) fmax=f(0,2k)=2, k  Z; (d) fmin = ; 3 4 1 , 3 1 , 3 2

f 

  

 _{ }

(e) fmin = f(24, -144, -1) = -6913; (f) nu are extreme; (g) fmin=f(a,a,a) = ,a 0;

2 3

 (h) f min= f(0,0,0)=13, fmax = f(0,0,2) = 17.

Exerciþiul 6. Sã _{se determine punctele de extrem local ºi extremele locale}

ale funcþiilor y = y(x) ºi x = x(y) definite implicit de ecuaþiile: (a) x3 + y3_– 3x2y _– 3 = 0

(b) ey + y = x2 +1

Rã_{spuns. (a) y min = y1(0) =}3 _{3 ; y max = y2 (-2) = -1; xmax = x1}

 

3 ₃ 3_3; xmax = x2(-1)=1; (b) ymin = y(0) = 0.

Exerciþiul 7. Sã _{se determine punctele de extrem local ºi extremele locale}

ale functiilor implicite z = z(x,y) definite implicit de ecuaþiile (a) x2 + y2 + z2– 4 z = 0

(b) x2 + y2 + z2 _– xz _– yz + 2x + 2y + 2z + 2=0 (c) x2 + y2 + z3 + z = 0

Rã_{spuns. (a) zmin=z1(0,0)=0, zmax=z2(0,0)=4; (b) zmin=z1}



₃ _6,₃ ₆





, 6 2 44



 z max = z2



6 3, 63



2 64;(c) z max = z (0,0) = 0.

Exerciþiul 8. Sã _{se studieze extremele locale ale funcþiilor de clas}ã _C2

definite implicit de ecuaþia x2_–2x + y2 + z + ez = 0.

Rã_{spuns: zmax = z(1,0)=0; celelalte funcþii implicite definite de ecuaþie}

(z = z(x,y), x = x(y,z), y = y(z,x)) nu admit extreme locale.

Exerciþiul 9. Sã _{se studieze extremele locale ale funcþiilor de clas}ã _C2

definite implicit de ecuaþia:(x2+y2+z2)2= a2-x2-z2, aIR*.

Rã_{spuns. Dintre funcþiile z = z(x,y), definite de ecuaþie, dou}ã _{admit extreme:}

zmin=z1(0,0)= 2



1 4a 1



, 2

1 _ 2 _



zmax=z2(0,0)= 2



1 4a 1



2

1 _ 2 _{ ; analog, pentru}

x = x(y,z), xmin= 2



1 4a 1



x

 

0,0, 2

1

1 2 _{ }

 

xmax=x2(0,0)= 2



1 4a 1



; 2

1 _ 2 _

dintre funcþiile y = y(x,z) douã _{admit extreme: ymin=y1(0,0)=} _{a ºi ymax=y2(0,0)= a ,}

pentru a (0,).

Exerciþiul 10. Sã _{se determine extremele cu leg}ã_{turi ale funcþiei f:}

(a) f(x,y) = xy, y=x

(b) f(x,y) = x2 + y2, 3x + 2y = 6 (c) f(x,y) = cos2 x + cos2 y, y = x +

4

Rã_{spuns. (a) fmin = f(0,0)=0; (b) fmin = f}

13 36

13 12 , 13 18

    



 _{; (c) f}

max = =

2 2 1 8 k , 8 k

f  

  



 _ _ 

, fmin= ,

2 2 1 8 5 k , 8 3 k

f  

  



 _  _ 

k 

Z.

Exerciþiul 11. Sã _{se determine extremele urm}ã_{toarelor funcþii cu leg}ã_turile

specificate în dreptul lor:

(a) f(x,y,z) = x2y + z2_– xy _– x _– y _– z _–1, 2x _– y _– z = 0, x _– 2y + z =0. (b) f(x,y,z) = sin x sin y sin z, x+ y + z = ,

2



x,y,z  (0,).

(c) f (x,y,z) = xp + yp + zp, xp-1 + y p-1 + z p-1 = a p-1, a > 0, p  IN, p  2.

Rã_{spuns. (a) fmin = f (1,1,1) = 1, fmax = f (-1, -1, -1) = -3; (b) fmax =}

=f ;

8 1 6 , 6 ,

6 _

 



  

(c) dacã _p  _{2 IN,}



1p 1p 1p



1p p p

min f 3 a ,3 a ,3 a 3 a

f        2 ; dacã _{p este}

impar: f_max f



31pa ,31pa ,31pa



31pp2ap, f_min f



31pa ,31pa ,31pa



31pp2ap.

Exerciþiul 12. Sã _{se determine imaginile funcþiilor}

(a) f : {(x,y)  IR2x2+y2 ≤ 1}  IR ,f(x,y)xy (b) f : {(x,y)  IR2|x|+|y|≤ 1}  IR ,f(x,y)x2y2

(c) f : {(x,y)  IR2 y ≤ 2x, x ≤ 3, y ≥ 0}{x,y) IR2-2 ≤ x ≤ 3, -3 ≤ y ≤

0} IR , f(x,y) = x3– 3x + y3– 12y.

Rã_{spuns. (a)}

  



2 1 , 2 1

; (b) [-1, 1]; (c) [ - 18, 162].

Exerciþiul 13. Sã _{se determine imaginile funcþiilor:}

(a) f(x,y,z) = x + 3 y – 2 z, f : {(x,y,z)  IR3 |x2 + y2 + z2 _≤ 14} IR

(b) f(x,y,z) = x2 y2 z2 , f : {(x,y,z)  IR3| x,y,z ≥ 0 , x + y + z ≤ 13} IR Rã_{spuns. (a) [-14, 14]; (b) [0,13].}

Exerciþiul 14. Sã _{se arate c}ã _{punctul din planul de ecuaþie x + y + z = a care}

este cel mai apropiat de origine este 

  

 

3 a , 3 a , 3 a

.

Exerciþiul 15. Sã _{se determine distanþa de la planul de ecuaþie P : x+ y+ z= 6}

la elipsoidul de ecuaþie E : 2z 1 2

y

x 2

2

2   _.

Rã_{spuns. d(P,E) =}



_{14 1}



3

3 _

.

Exerciþiul 16. Sã _{se calculeze aria elipsei de intersecþie a cilindrului de}

ecuaþie 1

b y a x

2 2

2 2



Rã_{spuns. A}2 _B2 _C2

C ab

 

 .

Exerciþiul 17. Sã _{se arate c}ã _{dintre toate patrulaterele care pot fi construite}

cu laturile de lungime datã_{, patrulaterul de arie maxim}ã _{este inscriptibil.}

Exerciþiul 18. O cisternã _{de forma unui paralelipiped drept deschis în partea}

superioarã _{trebuie construit}ã _{din tabl}ã _{cu aria 300 m}2_{. S}ã _{se determine dimensiunile}

acestei cisterne astfel încât sã _aibã _{capacitatea maxim}ã_. Rã_{spuns: Vmax = V(10, 10, 5) = 500 m}3_.

Exerciþiul 19. Sã _{se determine imaginile funcþiilor z = z (x,y), definite implicit}

de ecuaþia x4 + y4 + z4 = 13, unde z : {(x,y)  IR2x2+y2=1}  IR.

Rã_{spuns. Ecuaþia defineºte dou}ã _{funcþii z=z1(x,y) ºi z=z2(x,y);}

   

   

  

 

 



2 5 , 3 2 z

Im , 3 2 , 2 5 z