4. NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN

NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN

Yang dipelajari….

1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya 2. Masalah Pendiagonalan

Referensi :

Kolman & Howard Anton.

Ilustrasi

Misalkan t : Rn_Rn_{dengan definisi}

t(x) = A.x, utk setiapxRn

dengan A adalah matriks ukuran nxn. Masalah :

Dapatkah ditentukan vektor x s.d.h x dan Ax

sejajar?

• Perhatikan gambar berikut:

• Masalah yang dikemukakan di atas merupakan awal munculnya istilah NilaiEige dan VektorEige

• Masalah diatas merupakan permasalahan yang sering muncul di bidang selain matematik, misalnya dibidang fisika (fisika nuklir dan elastisitas), teknik (elektro dan kimia), biologi, mekanika kuantum.

Definisi 1

Misalkan A adalah matriks ukuran nxn. Suatu skalar  yang memenuhi

persamaan

A.x = x

disebut nilai eigendari matriks A, dan vektor x Rn _{disebut vektor eigen yang}

1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya

• Masalah Nilai eigen :

Masalah mencari penyelesaian persamaan A.x = .x, dimana A adalah matriks sebarang ukuran nxn (diketahui), x vektor di Rn _dan 

adalah sebarang skalar di R (dicari).

Ilustrasi

• Misalkan

• Maka _

                  

1 1

1 1

2 1 2 1

2 1 A

  

 

  

  

0 2 1

2 1 0

Ga bar ya….

      

2 1

2 1 Ax

      

1 1

x

Definisi 1

Jika A adalah matriks berukuran nxn, maka

Definisi 2

• Misalkan A = [a_ij] adalah matriks berukuran nxn.

Polinomial Karakteristik dari Aadalah

p() = (det(I_n–A))=

Persamaan karakteristik dari Aadalah

det(I_n–A)= 0

Penyelesaian dari persamaan diatas disebutakar-akar karakteristik dari matriks A.



• Polinomial karakteristik dari matriks berukuran nxn merupakan polinomial berderajad n, dan bisa dituliskan :

p() = ( - a₁₁) (- a₂₂)… (- a_nn) = n_{+ c}

Contoh 1:

Misalkan

Tentukan polinomial karakteristik dan akar-akar karakteristik dari A.

Penyelesaian:

Contoh 2

Untuk nilai eigen₁= 2 : dibentuk SPL

(2I₂–A)x= 0

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks padacontoh 1. Penyelesaian: dibentuk SPL

(3I₂–A)x = 0 

Teorema

Jika A adalah sebuah matriks berukuran nxn dan λ adalah sebuah bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekivalen.

1. λ adalah sebuah nilai eigen dari A

2. Sistem persamaan (λI-A)x = 0, mempunyai solusi nontrivial

3. Terdapat sebuah vektor taknol x pada Rn

sedemikian rupa sehingga Ax=λx

4. λ adalah sebuah solusi dari persamaan karakteristik det (λI-A) = 0

Teorema

Jika k adalah bilangan bulat positif, λ adalah nilai eigen dai suatu matriks A, dan x adalah vektor eigen yang terkait dengan λ, maka λk_adalah

nilai eigen dari Ak _{dan x adalah vektor eigen}

Contoh 3

Dapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari A3

dengan A seperti contoh 2.

Nilai eigen dari matriks A berdasarkan contoh 2 adalah ₁= 2 dan ₂= 3. Maka berdasarkan Teorema, nilai eigen dari A3adalah ₁3= 23= 8

dan ₂3 _{= 3}3_{= 27 dengan vektor eigen sama}

seperti pada contoh 2.

Nilai eigen dan keterbalikan (invers)

Teorema:

Sebuah matriks bujursangkar A dapat dibalik ( mempunyai invers) jika dan hanya jika c = 0 bukan merupakan nilai eigen dari A.

Contoh 4:

Soal latihan

Dapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari soal berikut serta apakah matris tersebut

mempunyai invers:



Anita T. Kurniawati

MATRIKS SIMILAR

Definisi

Diberikan matriks A dan B berukuran nxn.

Matriks B dikatakan similar dengan matriks A jika ada matriks P sedemikian sehingga

B = P-1_AP

Contoh 1:

Misalkan

Misalkan juga

Masalah Pendiagonalan ?

Diberikan matriks A ukuran nxn.

Apakah ada matriks s.d.h matriks A similar dengan matriks diagonal ?

Definisi

•

Suatu matriks A

_nxn

dikatakan dapat

didiagonalkan (diagonalizable)

jika

ada matriks s.d.h.

P

-1

_{AP = D}

_{, dengan}

Teorema 1

• Suatu matriks A_nxndapat didiagonalkan (diagonalizable)jika dan hanya jika A

mempunyai n vektor eigen yang bebas linier.

Contoh 2:

Diketahui matriks

Nilai eigen dari A : ₁= 2 dan₂= 3.

Vektor eigen yang bersesuaian dengan₁dan₂adalah : dan

Dapat dibuktikan bahwa x₁dan x₂bebas linier. Selanjutnya, A dapat didiagonalkan, dengan

(Lihatcontoh 1)

   

   

4 2

1 1

A

1 1

1

1

p

x

















2 2

2

1

p

x

















      

2 1

Prosedur Pendiagonalan Matriks

Misalkan A adalah matriks ukuran nxn dan mempunyai n vektor eigen yang bebas linier.

Langkah 1

Carilah n vektor eigen yang bebas linier, misalkanv₁, v₂,

… , v_n.

Langkah 2

Susunlah vektor-vektor v_i menjadi suatu matriks P.

Langkah 3

Kalikan P-1_{AP, maka A akan similar dengan matriks}

diagonal D.

Contoh 3:

Diagonalkan matriks

Penyelesaian:

Persamaan karakteristik:

Vektor eigen yang bersesuaian dengan= 1 :

  

 

  

 

 

  

5 8 8

8 11 8

4 4 1

A

 1 3 0 9

3

5 2 2

3_  _ _{ } _ _{ }

Vektor eigen yang bersesuaian dengan= -3 adalah

Dapat dibuktikan bahwa {v₁, v₂, v₃} adalah bebas linier (coba cek). Selanjutnya bentuk matriks P :

dan dapat dihitung bahwa



Teorema 2

Jika v₁, v₂, …, v_k adalah vektor2 eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen ₁, ₂,

…, _k, maka {v₁,v₂,…,v_k} adalah bebas linier.

Teorema 3

Misalnya

….

• Pada Contoh 1, matriks A_2x2 mempunyai 2 nilai eigen yang berbeda, maka A dapat

didiagonalkan.

• Pada Contoh 3, matriks A_3x3 mempunyai 2 nilai eigen berbeda (dengan = -3 adalah

pengulangan), maka A dapat didiagonalkan karena A mpy 3 vektor eigen yang bebas linier (Teorema 1)

Contoh 4:

Diberikan matriks

Persamaan karakteristik dari A : p() = (- 1)2 _{= 0}

Shg nilai eigen dari A : ₁= 0 dan₂= ₃= 1. Vektor eigen yang bersesuaian dengan= 0 :

  

 

  

  

1 0 0

2 1 0

1 0 0

A

  

 

  

 

Soal Latihan

Jika mungkin, diagonalkanlah matriks berikut: