BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika ikut memberikan peran penting dalam menggambarkan penyebaran penyakit. Peran tersebut dapat di-tuangkan dalam bentuk model matematika yang dapat di analisis sifat-sifatnya. Penyakit menular dianggap sebagai penyakit yang serius dan korbannya mencapai 2,5 milyar orang diseluruh dunia, khususnya pada daerah tropis. Rata-rata kema-tian yang terinfeksi penyakit ini berkisar antara 40%. Meskipun hampir semua penyakit menular ini terjadi pada daerah tropis. Penyakit tropis ini merupakan penyakit menular dan apabila tidak segera dilakukan penyembuhan dapat menga-kibatkan kematian bagi penderitanya (Notoatmodjo, 2003). Beberapa penelitian menunjukkan bahwa penyakit menular mungkin saja terjadi di daerah dingin.
Berbagai jenis penyakit menular perkembangannya saat ini semakin banyak. Salah satu penyebabnya adalah gaya hidup dan lingkungan yang semakin tidak sehat. Secara umum ada dua jenis penyakit yaitu penyakit menular dan penyakit tidak menular. Dalam kelompok penyakit menular ada yang ringan dan ada yang berat, yang ringan misalnya influenza dan diare. Sedangkan yang berat seperti HIV/AIDS, polio, demam berdarah, campak, TBC, malaria, flu burung, SARS dan sederet penyakit lainnya. Menular atau tidaknya suatu penyakit tetap harus diwaspadai dan tidak boleh dianggap remeh sebab ketika seseorang terkena suatu penyakit aktivitas kehidupannya sudah parah dan dapat mengakibatkan kematian.
Perilaku asymptotic solusi dari model penularan penyakit menular tidak hanya bergantung pada perumusan epidemiologi, tetapi juga proses demografi tergabung ke dalam sebuah model. Model epidemiologi sederhana sering me-nganggap bahwa nilai keseluruhan populasi konstan. Untuk epidemi (laju wabah jangka pendek penyakit) populasi sering diasumsikan tetap dan tertutup. Untuk pemodelan situasi endemi (ketekunan jangka panjang penyakit), kelahiran dan kematian terjadi secara seimbang sehingga ukuran total populasi tetap konstan.
1
2
Untuk hasil pada model dengan ukuran populasi tetap, survei pada pemodelan epidemiologi diberikan dalam Hethcote dan Levin (1989). Sebagian besar jumlah kematian yang disebabkan oleh infeksi penyakit mempengaruhi ukuran populasi. Namun ukuran populasi tumbuh atau menurun secara signifikan karena lain fak-tor. Dalam kasus ini ukuran populasi diasumsikan konstan sehingga model harus menggabungkan fitur demografis yang memungkinkan ukuran populasi bervariasi.
Beberapa model epidemiologi dengan berbagai ukuran populasi mengasum-sikan konstan imigrasi dan kematian proporsional dengan ukuran populasi se-hingga populasi mendekati ukuran keseimbangan. Model-model lain menganggap lebih alami proses demografi di mana angka kelahiran dan kematian adalah se-banding dengan ukuran populasi. Anderson dan May (1978, 1979) mengusulkan berbagai model untuk penyakit menular dengan berbagai ukuran populasi dan menerapkan beberapa data tentang penyakit di laboratorium populasi tikus. Be-berapa model epidemiologi dengan berbagai ukuran populasi dianalisis secara matematis oleh Busenberg dan Driessche (1990) dan beberapa model untuk AIDS dengan berbagai ukuran populasi dianalisis.
Kelemahan dari model dengan tingkat kelahiran dan kematian sebanding dengan ukuran populasi adalah ukuran populasi menurun atau tumbuh secara eksponensial kecuali dalam kasus khusus ketika kelahiran sebanding dengan kema-tian. Kepunahan populasi dengan kerusakan eksponensial adalah kemungkinan demografis, juga pertumbuhan eksponensial adalah tak terbatas pada populasi manusia dan hewan sejak sumber daya yang terbatas akhirnya membatasi per-tumbuhan. Model dengan pertumbuhan terbatas karena ketergantungan kepa-datan telah diteliti oleh Anderson, et al., (1981). Tulisan ini akan membahas model epidemi dengan ketergantungan kepadatan penduduk (density-dependent restricted).
Struktur demografi dengan populasi pertumbuhan yang terbatas pada keter-gantung kepadatan penduduk (density-dependent) diberikan dengan persamaan:
dN /dt=r(1−N/K)N (1.1)
dalam jumlah keseluruhan populasi sebagai fungsi dari waktu t, r adalah berni-lai positif untuk tingkat pertumbuhan yang konstan dan k adalah daya dukung terhadap lingkungan (Edelstein, 1988).
3
Model epidemiologi yang digunakan adalah tipe SIRS jika individu rentan terserang terhadap penyakit menular sehingga terinfeksi, kemudian dilakukan pe-mulihan dan memiliki kekebalan setelah sembuh dari infeksi dan kemudian rentan lagi ketika kekebalan tubuh menurun. Maka jumlah individu yang rentan, infek-si dan yang pulih pada rantang waktu t dilambangkan dengan X(t), Y(t) dan Z(t). Semua individu yang berada dimasing-masing kelas, merupakan bagian dari jumlah dari populasi yang dilambangkan N(t).
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, yang merupakan perumusan masalah da-lam tulisan ini adalah bagaimanakah model epidemi diformulasikan mengikuti dinamika populasi, dimana pertumbuhan terbatas karena ketergantungan kepa-datan penduduk kepada dua hal yaitu tingkat kelahiran dan tingkat kematian dalam hal ini dianggap angka kelahiran dan kematian bersifat stabil dengan kata lain diasumsikan bahwa kelahiran dan kematian berbanding lurus. Model epidemi yang telah dibahas pada literatur-literatur sebelumnya belum membahas tentang keterbatasan pertumbuhan. Keterbatasan pertumbuhan ini terjadi karena menu-runnya angka kelahiran dan meningkatnya angka kematian karena perpindahan penyakit. Berbagai ukuran populasi dijelaskan oleh modifikasi persamaan dife-rensial yang dipengaruhi oleh penyakit sebagai penyebab kematian. Untuk itu dibutuhkan menganalis penyebaran penyakit dengan ketergantungan demografi.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis model epidemi dengan ketergan-tungan kepadatan penduduk (density-dependent restricted), sehingga dapat dike-tahui tingkat keberhasilan model tersebut.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur tentang model trans-misi yang berhubungan dengan penyakit menular dalam suatu demografi.
4
1.5 Metodologi Penelitian
Metode dalam penelitian ini adalah studi literatur dan kepustakaan pada berbagai referensi yang relevan. Untuk memperoleh model penyebaran penyakit dengan ketergantungan disuatu demografi:
1. Mengumpulkan informasi dari literatur-literatur mengenai model transmisi penyakit antara lain SIR atau SIRS dengan ketergantungan demografi.
2. Mempelajari teori-teori yang terkait dengan persoalan penyebaran penyakit. Pertama-tama yang dilakukan adalah mengumpulkan segala informasi yang berkenaan dengan model transmisi penyakit. Dimulai dengan model SIR atau SIRS yang merupakan tipe standar tanda timbulnya penyakit menular hingga bermacam-macam ukuran populasi digambarkan dengan persamaan diferensial logistik yang termasuk sebagai hubungan penyebaran penyakit mematikan.
3. Pemahaman model transmisi penyakit dengan ketergantungan demografi. Pada tahap ini akan dipelajari dan dipahami model transmisi penyakit de-ngan ketergantude-ngan demografi.
4. Menganalisis model transmisi penyakit pada suatu demografi.
