1
Ukuran Statistik Bagi Data
1.1 Parameter dan Statistik
Dalam statistika dikenal istilah populasi. Populasi merupakan kumpulan objek yang merupakan objek pengamatan kita. Deskripsi dari populasi tersebut dinyatakan dengan nilai-nilai yang disebut parameter populasi. Jadi parameter populasi merupakan sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi. Sebagai contoh, misalkan kita memperhatikan segugus data berikut yang merupakan nilai ujian Statistika mahasiswa kelas 2IA01 yang berjumlah 10 orang mahasiswa, 90, 85, 88, 87, 65, 91, 57, 44, 61, dan 72. Kita dapat menyatakan bahwa nilaitengah hitung (rata-rata) 10 bilangan itu adalah 74. Dan nilai ujian terbesar adalah 91. Bilangan 74 dan 91 merupakan deskripsi dari populasi kita.
Parameter populasi biasa dilambangkan dengan huruf Yunani. Nilaitengah hitung populasi dilambangkan dengan . Jadi, untuk populasi nilai ujian Statistika kita, . Selanjutnya, misalkan data tersebut merupakan sebagian dari nilai mahasiswa. Sehingga populasinya tersusun dari data yang lebih besar dan kita hanya memiliki sebagian informasi yang didasarkan pada contoh yang kita miliki. Didapat, nilai 74 dan 91 menjadi ukuran deskripsi dari contoh (sample), bukan lagi merupakan parameter populasi. Sembarang nilai yang menjelaskan ciri dari contoh disebut statistik.
Lain halnya dengan parameter populasi, statistik biasanya dilambangkan dengan huruf kecil latin. Misalnya untuk statistik yang bermakna nilaitengah contoh, dilambangkan dengan ̅. Untuk contoh data acak nilai ujian Statistika, diperoleh ̅ . Dari suatu populasi, dapat diambil berbagai jenis contoh yang tentunya memiliki nilai statistik yang berbeda. Sehingga, nilai statistik itu bervariasi dari satu contoh ke contoh lainnya.
2 1.2 Ukuran Pemusatan Data
Untuk menyelidiki sejumlah data kuantitatif, kita dapat mendefinisikan suatu ukuran numerik yang menjelaskan ciri-ciri data yang penting. Salah satu ukuran numerik yang biasa digunakan adalah rata-rata (mean), baik dari suatu contoh maupun populasi. Sebagai contoh, misalkan rata-rata pengeluaran satu keluarga di kota Depok adalah 3 juta rupiah per bulannya. Nilai ini dipandang sebagai suatu nilai yang menunjukkan pusat dari beberapa nilai lainnya. Bisa saja, terdapat keluarga yang pengeluarannya lebih dari 3 juta rupiah, atau bahkan di bawah 3 juta rupiah. Dalam pengertian demikian, nilai 3 juta merupakan sebuah ukuran pusat.
Sembarang ukuran yang menunjukkan pusat suatu gugusan data yang telah diurutkan baik dari yang terkecil sampai terbesar, maupun sebaliknya, disebut ukuran lokasi pusat atau
ukuran pemusatan data. Ukuran pemusatan data yang sering digunakan adalah nilaitengah,
median, dan modus.
Definisi Nilaitengah populasi: Bila segugus data , , …, tidak harus semuanya berbeda, menyusun sebuah populasi terhingga berukuran , maka nilaitengah populasinya adalah:
∑
Contoh. Misalkan banyaknya pegawai di 6 buah apotik adalah 3, 2, 3, 4, 3, dan 1. Dengan
memandang data itu sebagai populasi, hitunglah nilaitengah banyaknya pegawai di 6 buah apotik itu.
Jawab.
Dengan menggunakan definisi dari nilaitengah populasi, didapat
3 Berikut ini merupakan definisi dari nilaitengah contoh.
Definisi Nilaitengah contoh: Misalkan diberikan , , …, tidak harus semuanya berbeda, yang merupakan sebuah contoh terhingga berukuran , maka nilaitengah contohnya adalah:
̅ ∑
Contoh. Misalkan banyaknya kesalahan pengetikan pada 5 buah halaman surat yang diambil
sebagai contoh oleh seorang sekretaris adalah 4, 2, 3, 2, dan 6. Hitunglah nilaitengah contohnya.
Jawab.
Karena data ini merupakan contoh, maka dengan menggunakan definisi dari nilaitengahcontoh, didapat:
̅ ∑
Ukuran pemusatan yang akan dipelajari berikutnya adalah median.
Definisi Median: Median segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar
atau sebaliknya adalah pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila banyaknya pengamatan itu ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila banyaknya pengamatan genap.
Median dari populasi dinotasikan dengan ̃, sedangkan median dari contoh disimbolkan dengan ̃.
Contoh. Dari lima kali kuis Statistika yang diikuti seorang mahasiswa, diperoleh nilai 85, 75, 66,
91, dan 80. Tentukan median populasi nilai mahasiswa tersebut.
4 Setelah menyusun dari yang terkecil sampai terbesar, diperoleh:
66, 75, 80, 85, 91 Oleh karena itu ̃ .
Ukuran lokasi pusat yang ketiga adalah modus.
Definisi Modus: Modus segugus pengamatan adalah nilai yang terjadi paling sering atau yang
mempunyai frekuensi paling tinggi.
Modus dari segugus data tidak selalu ada. Modus tidak ada apabila semua pengamatan memiliki frekuensi yang sama. Untuk data tertentu, mungkin saja terdapat beberapa nilai dengan frekuensi tertinggi, dalam kasus seperti ini terdapat beberapa modus.
Contoh: Pegawai di sebuah pabrik memberi sumbangan kepada korban banjir di Depok sebesar
(dalam puluhan ribu rupiah): 5, 6, 8, 11, 20, 16, 5, dan 10. Tentukan modusnya.
Jawab.
Modus dari data tersebut adalah 5, karena memiliki frekuensi paling tinggi yaitu 2.
1.3 Ukuran Keragaman
Ketiga ukuran pemusatan yang diberikan pada sub bab 1.2 belum memberikan deskripsi yang mencukupi bagi data kita. Perlu diketahui seberapa jauh pengamatan tersebut menyebar dari rata-ratanya karena dimungkinkan kita memiliki dua kumpulan pengamatan yang mempunyai nilaitengah atau median yang sama namun berbeda keragamannya.
Sebagai contoh perhatikan tabel berikut ini yang berisikan hasil pengukuran, dalam liter, dua contoh susu dalam botol yang dibotolkan oleh perusahaan Maju Jaya dan Maju Abadi:
5 Maju Jaya 0.97 1.00 0.94 1.00 1.11 0.98
Maju Abadi 1.06 1.01 0.88 0.91 1.00 1.14
Dapat dilihat dari data contoh, bahwa meskipun kedua contoh di atas memiliki nilaitengah yang sama yaitu 1.00 namun, keragamannya berbeda. Perusahaan Maju Jaya membotolkan susu produknya dengan isi yang lebih seragam dari perusahaan Maju Abadi. Dapat dikatakan bahwa keragaman atau dispersi pengamatan dari rata-ratanya lebih kecil pada contoh dari perusahaan Maju Jaya dari pada perusahaan Maju Abadi.
Statistik yang cukup penting untuk mengukur keragaman data adalah wilayah (range) dan
ragam (variansi).
Definisi wilayah: Wilayah sekumpulan data adalah beda antara pengamatan terbesar dan terkecil
dalam kumpulan tersebut.
Contoh. Nilai IQ dari 6 anggota keluarga adalah 100, 108, 112, 127, 118, dan 113. Tentukan
wilayahnya.
Jawab.
Wilayah keenam IQ tersebut adalah 127-100=27.
Ukuran keragaman yang lain adalah ragam/variansi, yang memperhatikan posisi relatif setiap pengamatan terhadap nilaitengah gugus data tersebut. Ini dapat dicapai dengan memeriksa simpangan dari nilaitengahnya, yaitu perbedaan dengan nilaitengahnya.
Definisi Ragam Populasi: Ragam populasi terhingga , , …, didefinisikan sebagai ∑ ( )
Ukuran keragaman yang merupakan akar dari ragam disebut simpangan baku. Simpangan baku memiliki satuan yang sama dengan data.
6
Contoh. Nilai-nilai berikut diberikan oleh 7 buah juri dalam suatu pertandinga senam: 7, 5, 9, 7,
8, 6, dan 7. Hitung simpangan baku dari populasi ini.
Jawab.
Pertama-tama hitung nilaihitung populasi
Simpangan baku, √ .
Kita telah membahas bagaimana cara menentukan ragam dan simpangan baku dari suatu populasi. Berikutnya akan dibahas suatu statistik, yaitu ragam dari contoh.
Definisi. Ragam Contoh: Ragam contoh untuk sebuah contoh acak , , …, didefinisikan sebagai
∑ ( ̅)
Contoh. Perbandingan harga kopi dalam bungkus 100 gram di empat mini market yang dipilih
secara acak di Depok menunjukkan kenaikan dari bulan sebelumnya, sebesar (dalam ratus rupiah) 2, 4, 6, dan 1. Hitunglah ragam contoh dari kenaikan harga kopi tersebut.
Jawab.
Nilaitengah contohnya adalah:
7 Dengan demikian:
∑ ( ̅)
Apabila ̅ merupakan bilangan desimal yang dibulatkan, maka akan terjadi banyak kesalahan perhitungan bila menggunakan rumus ragam contoh di atas. Sehingga, untuk mengurangi kesalahan tipe ini, diberikan alternatif rumus hitung untuk mencari ragam dari contoh.
Rumus hitung bagi . Bila adalah ragam contoh dari suatu contoh acak berukuran , maka ∑ (∑ )
( )
Contoh. Carilah ragam contoh bagi data 3, 5, 2, 1, 2, 3 yang menyatakan banyaknya ikan lele
yang dipancing oleh enam pemancing yang diambil secara acak di pemancingan Ajo pada bulan Maret 2013. Jawab. 3 9 5 25 2 4 1 1 2 4 3 9 Total=16 Total=52 n=6
8 Dengan demikian, ( )( ) ( )( ) 1.4 Dalil Chebyshev
Di sub bab 1.2 dan 1.3, telah dibahas apa yang disebut pusat atau rata-rata dan keragaman di sekitar rata-rata dari contoh maupun populasi. Nilai yang sering digunakan para statistikawan adalah nilaitengah dan simpangan baku. Bila suatu sebaran data hasil pengukuran ataupun pengamatan memiliki nilai simpangan baku yang kecil maka kita dapat menduga bahwa sebagian besar data berada di sekitar nilai tengahnya. Ketika nilai simpangan baku besar, maka pengamatan menyebar dan tidak berkumpul di sekitar nilai tengahnya. Ahli matematika berkebangsaan Rusia, P.L. Chebyshev (1821-1894) menemukan bahwa proporsi pengukuran yang jatuh antara dua nilai yang setangkup terhadap nilaitengahnya memiliki hubungan dengan simpangan bakunya. Dalil Chebyshev memberikan suatu dugaan terhadap proporsi data yang terletak dalam simpangan baku dari nilaitengah data, untuk suatu bilangan tertentu.
Dalil Chebyshev. Sekurang-kurangnya bagian data terletak dalam simpangan baku dari nilaitengahnya.
Misalkan untuk , maka berdasarkan dalil Chebyshev, sekurang-kurangnya data terletak dalam batas-batas 2 simpangan baku pada kedua sisi nilaitengahnya. Dengan perkataan lain, bagian data terletak dalam selang . Apabila data merupakan contoh, maka bagian data terletak dalam selang ̅ .
Contoh. Misalkan data tinggi badan dari suatu contoh acak 800 mahasiswa suatu universitas
yang besar dengan nilaitengah 160 dan simpangan baku 8. Gunakan dalil Chebyschev untuk menentukan selang yang mengandung sekurang-kurangnya 600 tinggi badan yang ada dalam contoh tersebut. Dari selang ini tariklah kesimpulan mengenai data tinggi badan dari semua mahasiswa di Universitas tersebut.
9
Jawab.
Pandang persamaan:
. Didapat , dan ̅ ( )( )
Jadi, selang dari 144 sampai dengan 176 mengandung sekurang-kurangnya atau 600 tinggi badan dari data yang diberikan. Dapat disimpulkan bahwa sekurang-kurangnya dari semua tinggi badan mahasiswa di Universitas tersebut terletak dalam selang 144 sampai 176.
