Bahan Ajar Riset Operasional 2
OLEH
Nurina Yasin, ST,. MT.
UNIVERSITAS GUNADARMA
JAKARTA
2020
ii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah dan puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat, taufik, dan hidayah-Nya, sehingga setelah melalui proses akhirnya penyusunan bahan ajar Riset Operasional 2 untuk perguruan tinggi ini dapat terselesaikan.
Penyusunan bahan ajar ini berdasarkan rujukan Satuan Acara Perkuliahan (SAP) di Universitas Gunadarma. Bahan ajar ini nantinya akan digunakan sebagai penunjang perkuliahan mahasiswa Fakultas Ekonomi.
Meskipun bahan ajar ini telah diselesaikan, penulis menyadari bahwa bahan ajar ini masih jauh dari kesempurnaan, sehingga penulis mengharapkan teguran, kritik dan saran yang membangun dari para pembaca. Akhir kata penulis berharap semoga bahan ajar ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pihak dan penulis mendo’akan kepada pihak – pihak yang telah membantu, semoga Allah SWT membalasnya dengan pahala dan kebaikan, karena sebaik-baiknya pembalas adalah Allah swt.
Depok, April 2020
iii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
KATA PENGANTAR ... ii
DAFTAR ISI ... iii
BAB 1 METODE PEMOGRAMAN BULAT 1.1 ALGORITMA PENCABANGAN DAN PEMBATASAN (BANCH DAN BOUND) ... 1
1.2 ALGORITMA CUTTING PLANE ... 5
1.3 ALGORITMA PURE INTEGER ... 6
1.4 ALGORITMA MIXED INTEGER ... 10
BAB 2 METODE JARINGAN 2.1 MINIMUM SPANNING TREE ... 13
2.2 ALIRAN MAKSIMUM ... 14
1
BAB 1
PEMOGRAMAN BULAT
TIU:
1. Membekali mahasiswa agar lebih paham dan menguasai teori terkait pemrograman bulat.
2. Membekali mahasiswa agar lebih paham dan dapat mengaplikasikan pemrograman bulat dalam kasus.
TIK:
1. Pentingnya penggunaan pemrograman bulat. 2. Metode penentuan solusi pemrograman bulat
3. Algoritma pencabangan-dan-pembatasan (branch-and-bound) 4. Algoritma cutting-plane.
5. Algoritma fraksional (pure integer) 6. Algoritma campuran.
1.1 ALGORITMA PENCABANGAN-DAN-PEMBATASAN
(BRANCH-AND-BOUND)
Untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas tentang metode Branch dan Bound, perhatikan contoh masalah berikut :
Solusi optimum kontinyu masalah ini adalah X1 = 8, X2 = 2,26 dan Z = 35,25.
1. Pembatasan ( Bounding )
Solusi ini menunjukkan batas atas awal. Batas bawah adalah solusi yang dibulatkan ke bawah X1 = 8, X2 = 2 dan Z = 34.
Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2
Dengan syarat 2 X1 + 4 X2 ≤ 25 X1 ≤ 8
2 X2 ≤ 10
2
Dalam metode Branch dan Bound, masalah itu dibagi ke dalam dua bagian untuk mencari nilai solusi bulat yang mungkin bagi X1 dan X2. Variabel dengan nilai solusi pecah terbesar dipilih. Karena pada solusi ini hanya X2 yang memiliki bagian pecah, ia dipilih. Untuk menghilangkan bagian pecah dari nilai X2 = 2,25,
dua kendala baru dibuat.
2. Pencabangan (Branching)
Kendala-kendala ini mewakili dua bagian baru dari masalah itu. Dua nilai bulat terdekat terhadap 2,25 adalah 2 dan 3. Sehingga diperoleh dua masalah baru melalui dua kendala mutually exclusive, X2 ≤ 2 dan X2 ≥ 3, yang akan diuraikan berikut ini sebagai Bagian A dan B. Kendala-kendala ini secara efektif menghi-langkan semua nilai pecah yang mungkin bagi X2, antara 2 dan 3. Pengaruhnya mereka mengurangi ruang solusi layak sehingga angka solusi bulat yang dievaluasi pada masalah ini makin sedikit.
3. Pengukuran (Fathoming)
Bagian A dan B diselesaikan tanpa pembatasan bilangan bulat dengan metode simpleks. Solusi simpleksnya adalah :
• Bagian A : X1 = 8, X2 = 2 dan Z = 34 • Bagian B : X1 = 6,5, X2 = 3 dan Z = 34,5
3
1. Pembatasan ( bounding )
Bagian A menghasilkan suatu solusi yang semuanya bulat. Untuk bagian A batas atas dan bawah adalah Z = 34.
Solusi pecah bagian B membenarkan pencarian lebih lanjut karena menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih besar dari batas atas bagian A. Sangat mungkin bahwa pencarian lebih lanjut dapat menghasilkan suatu solusi yang semuanya bulat dengan nilai fungsi tujuan melebihi batas atas bagian A = 34.
2. Pencabangan (branching)
Bagian B dicabangkan ke dalam dua sub bagian, B1 dan B2, pertama dengan kendala
X1 ≤ 6 dan yang lain dengan X2 ≥ 7.
(3) Pengukuran (fathoming)
Solusi simpleksnya adalah :
• Sub-bagian B1 : X1 = 6, X2 = 3,25 dan Z = 34,25 • Sub-bagian B2 : tidak layak.
4
1. Pembatasan ( bounding )
Karena sub-bagian B1 menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih besar dari 34 (batas atas bagian A), maka harus dicabangkan lagi ke dalam dua sub masalah, dengan batas bawah = 34.
2. Pencabangan (branching)
Pada bagian b1 terdapat kendala X2 ≤ 3 dan X2 ≥ 4. Kedua kendala sub masalah diberi nama bagian B1a dan B2b.
3. Pengukuran (fathoming)
Solusi optimum dengan metode simpleks adalah : • Sub-bagian B1a : X1 = 6, X2 = 3 dan Z = 33 • Sub-bagian B1b : X1 = 4,25, X2 = 4 dan Z = 33,5
Kedua solusi itu memiliki batas atas ( Z = 33 dan Z = 33,5) yang lebih
buruk dibanding dengan solusi yang dihasilkan oleh bagian A. Karena itu, solusi
bulat optimum adalah X1 = 8, X2 = 2 dan Z = 34 yang dihasilkan oleh bagian A. Jika pencarian telah diselesaikan, solusi bulat dengan fungsi tujuan tertinggi (dalam masalah maksimasi) dipilih sebagai solusi optimum.
5
Karena itu dalam prosedur pencabangan dan pencarian, analisa selanjutnya dihentikan jika :
1. Hasil dari sub-problem lebih jelek dibanding dengan batas atas yang sudah diidentifikasi
2. Pencabangan selanjutnya menghasilkan solusi tak layak.
Seluruh prosedur Branch dan Bound untuk contoh yang lalu dapat digambarkan seperti berikut
1.2 ALGORITMA CUTTING PLANE
Menurut Taha (1996), metode Cutting Plane membahas masalah pemrograman linier yang dipecahkan, yaitu dengan mengabaikan kondisi integer. Misalnya, tabel optimal terakhir untuk program linier diketahui. Pilih sembarang baris tabel optimal simpleks yang dalam kolom bi memuat pecahan. Misalkan baris ke-i adalah baris yang terpilih, kemudian pisahkan bi dan aij menjadi bagian yang bulat dan bagian pecah.
Tujuan Instruksional Khusus :
Mahasiswa dapat memahami algoritma metode Cutting-Plane dengan pure dan mixed integer.
6 VB X1 ... Xi ... Xm W1 ... Wj ... Wn NK Z 0 ... 0 ... 0
c
1 ...c
j ...c
n
0 X1 1 ... 0 ... 0 1 1
... j 1
... n 1
0 . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . Xi 0 ... 1 ... 0 1 i
... j i
... n i
i . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . Xm 0 ... 0 ... 1 1 m
... j m
... n m
mPure Integer : Digunakan jika semua variabel keputusan harus integer.
1.3 ALGORITMA PURE INTEGER
Input : solusi optimal primal simpleks.
Tentukan baris sumber baris variabel keputusan yang akan dibulatkan. Jika lebih dari satu, boleh dipilih sembarang.
j n j j i i i
w
x
=−
=
1
,
i tidak integer.buat ke dalam bentuk fractional cut penambahan kendala baru.
=−
=
n j i j ij if
w
f
S
1 atau
==
−
n j i j ij if
w
f
S
17 VB X1 ... Xi ... Xm W1 ... Wj ... Wn Si NK Z 0 ... 0 ... 0
c
1 ...c
j ...c
n 0
0 X1 1 ... 0 ... 0 1 1
... j 1
... n 1
0
0 . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Xi 0 ... 1 ... 0 1 i
... j i
... n i
0
i . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . Xm 0 ... 0 ... 1 1 m
... j m
... n m
0
m Si 0 ... 0 ... 0 -fi1 ... -fij ... -fin 1 -fiselesaikan dengan dual simpleks. Contoh Kasus : Maks
z
=
7
x
1+
9
x
2 Sub to :35
7
6
3
2 1 2 1
+
+
−
x
x
x
x
2 1, x
x
positif dan bulat.Solusi optimalnya dengan simpleks adalah :
VB X1 X2 S1 S2 NK
Z 0 0 28/11 15/11 63
X2 0 1 7/22 1/22 7/2
8 Ambil baris X2 sebagai baris sumber :
2
7
22
1
22
7
2 1 2+
s
+
s
=
x
atau(
)
(
) (
3
1
2
)
22
1
0
22
7
0
1 2 2+
+
s
+
+
s
=
+
x
Maka fractional cutnya adalah :
2
1
22
1
22
7
2 1 3−
s
−
s
=
−
s
Dan tabel simpleksnya adalah :
VB X1 X2 S1 S2 S3 NK
Z 0 0 28/11 15/11 0 63
X2 0 1 7/22 1/22 0 7/2
X1 1 0 -1/22 3/22 0 9/2
S3 0 0 -7/22 -1/22 1 -1/2
Dengan dual simpleks, solusi optimalnya adalah :
VB X1 X2 S1 S2 S3 NK Z 0 0 0 1 8 59 X2 0 1 0 0 1 3 X1 1 0 0 1/7 -1/7
7
4
4
S1 0 0 1 1/7 -22/77
4
1
Solusi belum bulat, sehingga baris sumber dan fractional cut baru harus dibentuk.
9 X1 sebagai baris sumber :
7
4
4
7
1
7
1
3 2 1+
s
−
s
=
x
atau(
) (
) (
4
4
7
)
7
6
1
7
1
0
2 2 1+
+
s
+
−
+
s
=
+
x
Maka fractional cutnya adalah :
7
4
7
6
7
1
3 2 4−
s
−
s
=
−
s
Dan tabel simpleksnya adalah :
VB X1 X2 S1 S2 S3 S4 NK Z 0 0 0 1 8 0 59 X2 0 1 0 0 1 0 3 X1 1 0 0 1/7 -1/7 0
7
4
4
S3 0 0 1 1/7 -22/7 07
4
1
S4 0 0 0 -1/7 -6/7 1 -4/7Dengan dual simpleks, solusi optimalnya adalah :
VB X1 X2 S1 S2 S3 S4 NK Z 0 0 0 0 2 7 55 X2 0 1 0 0 1 0 3 X1 1 0 0 0 -1 1 4 S1 0 0 1 0 -4 1 1 S2 0 0 0 1 6 -7 4
Maka solusi optimal ILPnya adalah : X1 = 4, X2 = 3 dan Z = 55.
10
1.4 ALGORITMA MIXED INTEGER
Tentukan baris sumber dengan memilih salah satu varaibel yang akan dibulatkan dari tabel optimal simpleks :
= =−
+
=
−
=
n j j j k k n j k j j k k kw
f
w
x
1 1
supaya xk integer, maka
x
k
k ataux
k
k+
1
harus dipenuhi, dengan demikian :
=
n j k j j kw
f
1
=−
n j k j j kw
f
11
definisikan
J
+=
himpunan subscript j dimana
0
j k
J
−= himpunan subscript j dimana
0
j k
k J J j j kw
f
+
dan k J J j j k k kw
f
f
f
−
−
1
mixed cut : k J J j j k k k J J j j k kw
f
f
f
w
s
=
−
−
+
−
− +
1
Masukkan ke tabel simpleks sebelumnya dan selesaikan dengan dual simpleks.
11 Sub to :
35
7
6
3
2 1 2 1
+
+
−
x
x
x
x
2 1, x
x
positif x1 bulat.Solusi optimalnya dengan simpleks adalah :
VB X1 X2 S1 S2 NK
Z 0 0 28/11 15/11 63
X2 0 1 7/22 1/22 7/2
X1 1 0 -1/22 3/22 9/2
Baris sumber (baris x1, karena hanya x1 yang akan dibulatkan) :
+
=
+
−
2
1
4
22
3
22
1
2 1 1s
s
x
3
=
−J
,J
+=
4
,2
1
1=
f
Mixed cut :2
1
22
1
1
2
1
2
1
22
3
1 2 3=
−
−
−
+
−
S
s
S
atau2
1
22
3
22
1
2 1 3−
S
−
S
=
−
S
12 Tabel simpleks : VB X1 X2 S1 S2 S3 NK Z 0 0 28/11 15/11 0 63 X2 0 1 7/22 1/22 0 7/2 X1 1 0 -1/22 3/22 0 9/2 S3 0 0 -1/22 -3/22 1 -1/2 Solusi optimalnya : VB X1 X2 S1 S2 S3 NK Z 0 0 23/11 0 10 58 X2 0 1 10/33 0 -1/3 10/3 X1 1 0 -1/11 0 1 4 S2 0 0 1/3 1 -22/3 11/3
13
BAB 2
METODE JARINGAN
TIU:
Mengenal Teknik-teknik analisis jaringan. TIK:
1 Menjelaskan arti jaringan
2 Menjelaskan arti istilah pada jaringan
3 Menjelaskan pencarian minimum spanning tree, rute terpendek dan aliran maksimum
2.1 MINIMUM SPANNING TREE
Minimum Spanning Tree adalah menghubungkan seluruh simpul dalam jaringan sehingga total panjang cabang dapat diminimumkan. Dengan syarat yaitu :
1 Pilih simpul manapun yang memiliki nilai cabang terkecil 2 Tidak boleh membentuk grup
14
2.2 ALIRAN MAKSIMUM
Aliran Maksimum adalah jumlah titik awal dan titik akhir harus memiliki jumlah yang sama. Dengan cara yaitu :
1 Pilih titik awal dan titik akhir
iv
DAFTAR PUSTAKA
Setyawan, Aris Budi 2010. Riset Operasional 1.
http://arisbudi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/folder/0.1 (diakses pada tanggal April 2020)
Setyawan, Aris Budi 2010. Riset Operasional 2.
http://arisbudi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/folder/0.1 (diakses pada tanggal April 2020)
Yuwono, Bambang. 2007. Bahan Kuliah Riset Operasional. Depok. Universitas Indonesia
