BAB III MODEL MATEMATIKA KEPENDUDUKAN

BAB III

MODEL MATEMATIKA KEPENDUDUKAN

3.1 Ukuran Fertilitas

Fertilitas merupakan performan reproduksi aktual dari seorang wanita atau sekelompok individu yang pada umumnya dikenakan pada seorang wanita atau sekelompok wanita.

Berikut beberapa ukuran fertilitas yang dikenalkan oleh Brown (1997) diantaranya adalah Crude Birth Rate (CBR) atau angka kelahiran kasar, merupakan ukuran kelahiran yang sering digunakan. CBR dapat dihitung dengan cara: ) ( ) ( t P t B CBR=

dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan P(t) merupakan jumlah penduduk pada waktu t.

Pada CBR ini jumlah kelahiran tidak dikaitkan secara langsung dengan

penduduk wanita, melainkan dikaitkan dengan jumlah penduduk secara keseluruhan. Untuk itu, diperlukan ukuran fertilitas yang lebih spesifik yaitu

General Fertility Rate (GFR) yang merupakan rasio jumlah kelahiran hidup

terhadap jumlah wanita umur reproduksi. Umur reproduksi adalah umur dimana wanita masih dapat hamil dan melahirkan bayi.

) ( ) ( t P t B GFR= _w

dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan Pw(t) merupakan jumlah penduduk wanita umur reproduksi pada waktu t.

Rasio Anak-Wanita (Child-Woman Ratio) merupakan ukuran fertilitas yang diperoleh dari sensus penduduk (Palmore 1978), CWR ini dinyatakan dengan rasio jumlah anak umur selang

[ ]

c,d tahun terhadap wanita umur reproduksi selang

[ ]

h,k tahun dinyatakan dalam rumus:

[ ] [ ]hwk d c P P CWR , , =

dengan P_{[ ]}c,d merupakan jumlah penduduk selang umur

[ ]

c,d tahun dan [ ] w

k h

P _,

merupakan jumlah penduduk wanita selang umur reproduksi

[ ]

h,k tahun.

Ukuran fertilitas selanjutnya adalah Age-Spesific Fertility Rate (ASFR) merupakan ukuran fertilitas pada wanita umur tertentu. Fakta empiris menunjukkan bahwa jumlah kelahiran selama jangka waktu tertentu bervariasi menurut umur ibu.

( )

( )

t P t B ASFR _w x x x =

dengan Bx

( )

t merupakan jumlah kelahiran hidup dari wanita usia x pada waktu t

dan Pw

( )

t

x merupakan jumlah penduduk wanita umur x pada waktu t, atau dapat

juga ditulis:

( )

( )

t P t B f _w x x t

x = dengan f adalah tingkat fertilitas wanita umur x pada waktu t. xt

Sebagai total dari ukuran fertilitas ASFR di atas, maka Total Fertility Rate (TFR) dapat dinyatakan sebagai:

∑

= = k h x t x f TFR

dengan h dan k merupakan batas bawah dan batas atas umur wanita reproduksi. Jika ukuran-ukuran fertilitas di atas tidak membedakan jenis kelamin bayi maka ukuran reproduksi hanya memperhatikan bayi wanita yang secara langsung bertalian dengan pergantian generasi. Dalam hal ini dikenal dua ukuran reproduksi, yaitu Gross Reproduction Rate (GRR) dan Net Reproduction Rate (NRR). Gross Reproduction Rate (GRR) ini menyatakan tingkat reproduksi kasar yang tidak memperhatikan unsur kematian. GRR didefinisikan:

∑

= = k h x t w x f GRR , dengan wt x

f , _{merupakan tingkat fertilitas wanita umur x terhadap bayi wanita (w)}

pada waktu t.

Sedangkan Net Reproduction Rate (NRR) merupakan ukuran reproduksi

yang memperhitungkan unsur kematian, yaitu laju kematian sesaat

( )

μx sehingga NRR menyatakan tingkat reproduksi bersih dari wanita selama masa

reproduksinya. Hal ini berdasarkan fakta bahwa terdapat peluang wanita meninggal sebelum ia mengakhiri masa reproduksinya. Dengan demikian NRR dapat dinyatakan sebagai:

( )

x S GRR NRR₌ w

( )

x S f NRR k w h x t w x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

= , dengan

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =

∫

x y w _{x dy} S 0

exp μ merupakan peluang bayi wanita hidup sampai umur x.

3.2 Model Pertumbuhan Penduduk 3.2.1 Model Penduduk Stabil (Brown 1997)

Jika B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan B(t)dt merupakan jumlah kelahiran dalam selang waktu sangat pendek yaitu t ke t + dt, maka jumlah kelahiran bayi dalam satu tahun adalah:

∫

= 1 0 ) ( dtt B B (1)

Misalkan B(t) menyatakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan B(t+n) merupakan jumlah kelahiran dalam selang waktu dari t ke t+n maka jumlah bayi pada waktu t+n dapat dituliskan :

b nr e t B n t B( + )= ( ) (2) Dimana rb adalah laju kelahiran bayi, rb ≠0, dan n > 0 adalah waktu.

Bukti: t t B r t B t t B( +Δ )= ()+ _b ()Δ dt dB t B r t t B t B t t B r t t B t B t t B r b t b b ) ( 1 ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( ) ( 0 = Δ − Δ + = Δ − Δ + = → Δ

b b nr nr b b n t t n t t b n t t n t t b e t B n t B t B n t B e t B n t B t r n t r s B t r s dB s B dt r ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ln( ) ( ) ( | ) ( ln | ) ( ) ( 1 = + + = − + = − + = = + + + +

∫

∫

■

Bukti tersebut menunjukkan bahwa jumlah kelahiran per tahun dipengaruhi oleh laju kelahiran bayi rb.

Jika rb adalah laju kelahiran bayi per tahun maka laju pertumbuhan

penduduk rp pada penduduk stabil adalah sama dengan laju kelahiran bayi.

Bukti:

Misalkan P(t) merupakan jumlah penduduk pada waktu t, dan B(t)

merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t, berdasarkan persamaan (2) maka jumlah kelahiran pada waktu t-x adalah:

x rb e t B x t B( − )= () − (3) dan jumlah penduduk yang lahir pada waktu t-x (bayi umur nol) sampai umur x pada waktu t adalah B(t−x)S(x), dengan S(x) adalah peluang bayi hidup sampai umur x. Jumlah penduduk yang hidup pada selang waktu t ke t + dt adalah jumlah bayi yang lahir pada waktu t-x dikalikan dengan peluang bayi hidup sampai umur

x, dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut: dx x S x t B dx t Fx( ) = ( − ) ( ) (4)

Dengan demikian total penduduk wanita pada waktu t adalah

∫

∞ = 0 ) ( ) (t F t dx P _x

∫

∫

∫

∞ − ∞ ∞ = − = − = 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx x S e t B dx x S x t B dx x S x t B x rb (5)

dan total penduduk wanita pada waktu t+n adalah:

∫

∞ − + = + 0 ) ( ) ( ) (t n B t ne S x dx P rbx (6)

S(x) pada persamaan (5) sama dengan S(x) pada persamaan (6) dan dari

persamaan (2) B(t+n)=B(t)erbn , maka diperoleh

∫

∞ − = + 0 ) ( ) ( ) (t n B t e e S x dx P rbn rbx n r x r n r b b b e t P dx x S e t B e ) ( ) ( ) ( 0 = = ∞

_∫

− (7)

Dari hasil di atas terbukti bahwa laju pertumbuhan penduduk rp

merupakan laju kelahiran bayi rb itu sendiri, dan dari persamaan (2) dan (7)

terbukti bahwa P(t) dapat dinyatakan sebagai B(t)

Untuk selanjutnya akan dituliskan r sebagai laju pertumbuhan penduduk intrinsik model pertumbuhan penduduk stabil. Sehingga dalam model penduduk stabil persamaan (2) dapat dituliskan sebagai:

nr e t B n t B( + )= () (8)

Jumlah penduduk pada suatu selang umur berubah sepanjang waktu, tetapi proporsi penduduk pada selang tersebut tidak berubah.

Bukti:

Dari persamaan (4) dimana diketahui bahwa jumlah penduduk umur x sampai x + dx pada waktu t adalah Fx(t) dx, dan total penduduk pada waktu t

adalah P(t), maka proporsi penduduk stabil umur x sampai x + dx pada waktu t adalah:

∫

∞ − − = 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx x S e t B dx x S e t B t P dx t F rx rx x ₍₉₎

Karena B(t) bukan fungsi x, maka persamaan (9) menjadi:

∫

∞ − − = 0 ) ( ) ( ) ( ) ( dx x S e x S e t P dx t F rx rx x ₍₁₀₎

Persamaan (10) di atas menyatakan bahwa proporsi penduduk pada suatu selang umur tertentu bukanlah merupakan fungsi dari t, sehingga terbukti proporsi penduduk pada selang tersebut tidak berubah.

Jika B(0) adalah jumlah bayi yang lahir pada waktu t = 0, maka jumlah

penduduk umur 0, 1, 2, ..., x pada waktu t = 0 dapat dituliskan dalam tabel berikut: Umur Waktu t = 0 Bayi B(0) 0 B(0)S(0) 1 B(0) e-r S(1) 2 B(0) e-2r S(2) M M x B(0) e-xr S(x)

Tabel di atas menunjukkan bahwa jumlah penduduk untuk waktu t = 0 dipengaruhi oleh laju pertumbuhan penduduk r, jumlah kelahiran B(0), dan mortalitas yaitu S(x).

Berikut akan dituliskan salah satu hal yang penting dalam model penduduk stabil, yaitu persamaan karakteristik penduduk stabil. Dari persamaan 3 dan 4 diperoleh jumlah penduduk (wanita, jika diasumsikan sebagai populasi wanita) yang hidup pada umur x saat waktu t:

Wanita pada persamaan tersebut memiliki fungsi fertilitas yang dituliskan sebagai , sehingga tingkat kelahiran pada waktu t diberikan sebagai:

Jika diintegralkan terhadap x untuk tingkat kelahiran populasi saat waktu t menghasilkan:

(11) dengan membagi B(t) diperoleh:

1 (12)

Jika dan adalah batas bawah dan batas atas dari umur produktif, sehingga 0 untuk x < α atau x > β, maka persamaan (12) dapat dituliskan sebagai berikut:

1 (13)

3.2.2 Pendugaan GRR dengan Metode Rele

Metode Rele merupakan suatu metode yang digunakan untuk menduga nilai

Gross Reproduction Rate (GRR) dari nilai Child-Woman Ratio (CWR) dan nilai

harapan hidup saat lahir (e00). Dasar yang digunakan untuk menghitung CWR

dalam metode Rele adalah menghitung sebaran jumlah penduduk menurut umur berdasarkan model penduduk stabil. Sebaran jumlah penduduk tersebut diperoleh dengan mencari tingkat pertumbuhan penduduk (r) untuk model penduduk stabil, menentukan Gross Reproduction Rate (GRR) dan nilai harapan hidup saat lahir (e00), dan nilai Li (penduduk tengah tahun umur i) berdasarkan pada nilai e00.

Dari sebaran jumlah penduduk yang telah dibentuk, kemudian dihitung nilai

Child-Woman Ratio. Langkah terakhir adalah melakukan analisis hubungan

antara GRR dan CWR. Metode Rele tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 2 Alur Metode Rele

r, GRR, e00, Li Penduduk stabil Child-Woman Ratio

Mencari bentuk hubungan GRR dan

3.2.3 Modifikasi Metode Rele dengan Menggunakan Penduduk Quasi-Stabil Seperti telah dijelaskan sebelumnya, model yang digunakan dalam metode Rele adalah model penduduk stabil. Dalam penelitian ini akan dilakukan modifikasi dengan menggunakan penduduk quasi-stabil. Pada model penduduk stabil, fertilitas dan mortalitas diasumsikan konstan, sedangkan pada model penduduk quasi-stabil diasumsikan fertilitas konstan sedangkan mortalitas berubah. Mortalitas selalu diperbaiki seperti diindikasikan oleh laju kematian sesaat yang turun untuk semua umur, sehingga dari naiknya kelahiran dan turunnya kematian menunjukkan bahwa laju pertumbuhan penduduk lebih besar daripada laju kelahiran bayi. Untuk membedakan kedua laju tersebut maka dipakai notasi rp untuk laju pertumbuhan penduduk dan rb untuk laju kelahiran bayi, sehingga untuk model pertumbuhan quasi-stabil persamaan

nr e t B n t

B( + )= () pada model penduduk stabil akan berubah menjadi b nr e t B n t

B( + )= () . Laju pertumbuhan penduduk berubah menurut waktu t dinotasikan rp(t), sehingga total penduduk pada tahun t+n adalah:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = +

∫

+n t t p _{s ds} r t P n t P( ) ()exp ( ) (14)

Ringkasnya, pada penduduk stabil rb ₌rp₍t₎₌r _{sedangkan pada penduduk}

quasi-stabil _rp_(t)>rb _{untuk semua t jika laju kematian sesaat ( )} x

μ turun dan

b

p _{t r}

r ( )< untuk semua t jika laju kematian sesaat (μ_x)naik.

Misalkan )μ_x(a dan )μ_x(a+t menyatakan laju kematian sesaat dari seseorang pada usia x, yang lahir pada waktu a dan a+t dan misalkan:

kt a t a _x x( + )=μ ( )− μ untuk semua μ, k > 0 (15)

Untuk penduduk quasi-stabil didefinisikan oleh tiga parameter yaitu laju pertumbuhan bayi _{r , mortalitas awal} b _(a)

x

μ , dan faktor perbaikan mortalitas k,

k > 0. Dengan ketiga parameter tersebut maka jumlah penduduk pada waktu t

dx du x t e t B dx x S x t B t P x u x r x t b

∫

∫

∫

∞ − ∞ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − = 0 0 0 ) ( exp ) ( ) ( ) ( ) ( μ

∫

∫

∞ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + − = 0 0 ) ( exp ) (t e a t x a du dx B x u x rb μ

∫

∫

∞ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − = 0 0 )] ( ) ( [ exp ) (t e a k t x a du dx B x u x rb μ

∫

∫

∞ − − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 0 ) ( 0 ) ( exp ) (t e a du e dx B x k t x ax u x rb μ

∫

∞ − − − = 0 ) ( ) ( ) (t e S x e dx B k t x ax a x rb (16)

3.2.4 Laju Kelahiran Intrinsik Model Penduduk Quasi-Stabil

Dengan menggunakan aturan turunan untuk perkalian P(t) terhadap t, maka diperoleh:

∫

∫

∞ − − − ∞ − − − ₊ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 ) ( 0 ) ( _{( ) ( )( )} ) ( ) ( ) ( e dx dt d x S e t B dx e x S e t B dt d t P dt d k t x a x a x r x a x t k a x rb b

∫

∫

∫

∞ − − ∞ − − − ∞ − − − + = + = 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx e x S xe t kB t P r dx e x S xe t kB dx e x S e t B r x a x t k a x r b x a x t k a x r x a x t k x r b b b b (17) ) (t

rp _{diperoleh dengan membagi persamaan (17) dengan persamaan (16):}

) ( ) ( ) ( t P t P dt d t rp ₌

∫

∫

∞ − − − ∞ − − + = 0 ) ( 0 ) ( . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx e x S e t B dx e x S xe t kB t P r t r x a x t k a x r x a x t k a x r b p b b ₌rb₊kx(t) ₍₁₈₎

Dengan x(t)adalah umur rata-rata yang diperoleh dari penduduk quasi-stabil pada waktu t. Persamaan (18) menunjukkan perbedaan antara penduduk stabil dengan penduduk quasi-stabil pada pertumbuhan penduduknya, dimana pada pertumbuhan penduduk quasi-stabil mengandung k, k > 0 yaitu faktor perbaikan mortalitas.