KALKULUS III MATERI 3

MATA KULIAH

KALKULUS III (4 sks)

DOSEN : Ir.RENILAILI, MT

MINGGU KE 3

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Pengertian

Persamaan Differensial adalah hubungan antara variabel bebas x, variabel tak bebas y, dan satu atau lebih koefisien differensial y terhadap x.

Persamaan differensial menyatakan hubungan dinamik, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran-besaran yang berubah dan karena itu persamaan differensial sering muncul dalam persoalan- persoalan ilmu pengetahuan dan teknik. Orde suatu persamaan differensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut.

Contoh persamaan differensial untuk orde I ,II dan III

0 0 sin

0 .

2 3

3

2 2

2

2















e

x

dx y dy dx

y d

x dx y

y xy d

dx y

x dy

Pembentukan Persamaan Differensial

Dalam prakteknya, persamaan differensial dapat dibentuk dari pengkajian persoalan fisis yang dinyatakannya. Secara matematis persamaan differensial muncul bila ada konstanta sembarang dieleminasikan dari suatu fungsi tertentu yang diberikan.

Contoh 1 :

x B

x dx A

y d

x B x dx A

dy

ta kons

adalah B

dan A x B

x A y

cos sin

sin cos

tan ,

cos sin

2

2  









setelah dua kali differensial ternyata persamaan diatas tepat sama dengan persamaan semula hanya tandanya yang berlawanan.

Jadi



 0

2 2 2

2     y 

dx y y d

dx y

d persamaan orde 2.

CONTOH 2.

Bx Ax

y  ² 

dx iv y A d

iii dx A

y d

ii B

dx Ax dy

i x

B x

A y































































2 2 2

2

2

2 1

2 2













dx v y d dx B dy

dx B y x d

dx dy

dx B y x d

dx dy

B dx Ax

dy















 2

2 2 2

2 2

2 2 1 2









 



 



 



 Diketahui : fungsi

Ditanya : Bentuklah persamaan differensial dari fungsi diatas

Penyelesaian :

Substitusi persamaan ii dan iv

PEMECAHAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Untuk memecahkan differensial, kita harus mencari fungsi yang memenuhi persamaan itu artinya yang membuat persamaan itu benar.

Hal ini berarti kita harus mengolah persamaan tersebut sedemikian rupa sehingga semua koefisien differensialnya hilang dan tinggallah hubungan antara y dan x. Ada 2 cara yang dapat dilakukan yaitu:

1. Dengan Integral langsung

c x

x y

x dx x

y

x x dx

dy dx x x dy









 



 













ln 3 4

5 5 4 5 4

4 5

3 2 2

3



2. Dengan pemisahan variabel

Jika persamaan yang diberikan berbentuk

, maka variabel y yang muncul diruas kanan mencegah kita memecahkannya dengan integrasi langsung. Karena itu kita harus mencari cara pemecahan yang lain misalkan kita tinjau persamaan dalam bentuk :

dan dalam bentuk yaitu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian fungsi x dan fungsi y, f (y).

 ^{x y}

dx f

dy  ,

   x f y dx f

dy  

  y f

x f dxdy 

 x dx f

dy 

 ^x   ^y 

dx

dy  1  1 

   ^x 

dx dy

y  

 1

1 1

   

   



^y



^{x x c}

dx x

y dy

dx x

dx dx dy y











 





 

 



2

2 1 1

ln 1 1

1 1 1

1

pada contoh tersebut kita ubh dulu menjadi :

kemudian integrasikan kedua ruasnya terhadap x :

Contoh 1

Contoh 2

 

 

c x

x y

x dx dx y

dy

x dx x y

dy

dx x

y dy

x

dx xy

y dy

x

xy dx y

x dy











 













 



ln ln

1

1 .

.

LATIHAN SOAL-SOAL

   



^yx



^{dxdy x}

y dx xy

dy

dx y x dy

x dx y

dy

x y dx

dy

1 cos . sin

5 . 4

3 cos

. 3

1 2

. 2

. 1

2

 















