Model Penyebaran Penyakit Menggunakan Proses Percabangan
Arba Esnawati1, Respatiwulan2, dan Sugiyanto3 Universitas Sebelas Maret
email: [email protected]1, [email protected]2, [email protected]3
Abstrak
Penyebaran penyakit memiliki dua kemungkinan yaitu terinfeksi atau tidak terinfeksi setelah kontak dengan individu terinfeksi sebelumnya. Satu individu terinfeksi dapat menginfeksikan individu lain dan seterusnya disebut proses percabangan. Tujuan dari penelitian ini yaitu untuk menurunkan ulang proses percabangan dan menerapkannya pada penyebaran penyakit. Proses percabangan dimulai dengan satu individu terinfeksi pada generasi ke-0 yang kemudian disebut induk. Jika pola banyaknya individu terinfeksi dari induk mengikuti karakteristik suatu distribusi maka proses percabangan dapat menggunakan fungsi pembangkit probabilitas. Fungsi pembangkit probabilitas dapat menentukan rata-rata dan variansi pada generasi ke-𝑛. Hasil penelitian dari penurunan ulang proses percabangan diperoleh kesimpulan bahwa banyaknya individu baru yang terinfeksi pada generasi ke-𝑛 + 1 yaitu jumlah dari banyaknya individu terinfeksi pada generasi ke-𝑛. Penerapan pada penyebaran penyakit diketahui pada setiap generasi jumlah individu baru yang terinfeksi semakin meningkat.
Kata kunci: Proses Percabangan, Rata-rata, Variansi
The Model Of Spread Disease Using Branching Process
Arba Esnawati1, Respatiwulan2, dan Sugiyanto3 Universitas Sebelas Maret
email: [email protected]1, [email protected]2, [email protected]3
Abstract
The spread of disease has two possibilities, being infected or not after contact with infected individuals. One infected individual can infect other individuals and so on is called branching process. The purpose of this research was to figure out the branching process and apply it to the spread of disease. The branching process begins with one infected individual in the-0th generation which is called initial. If the pattern of the number of infected individuals from the initial follows the characteristics of a distribution, the branching process can use a probability generating function (pgf). The mean and variance in the-nth generation can be determined using the probability generating function (pgf). The result of this research derivation the branching process to find out the number of individuals to-(𝑛 + 1) is the sum of the number of offspring from the first individual to the- 𝑋𝑛 individual.
Application to the spread of the disease and it is known that the number of newly infected individuals from each generation is increasing.
Keywords: Branching Process, Mean, Variance
PENDAHULUAN
Menurut Nangi dkk. (2019), suatu penyakit bersifat epidemi jika banyaknya individu terinfeksi pada satu populasi semakin lama semakin banyak dengan laju penularan besar.
Epidemi tidak hanya menimbulkan korban jiwa yang tinggi tetapi juga mengakibatkan
penyebaran suatu penyakit supaya dapat dilakukan tindakan yang tepat sehingga penyakit tidak menyebar dengan luas. Untuk mengetahui bagaimana pola penyebaran penyakit menular dapat menggunakan model statistika dengan bantuan proses percabangan.
Proses percabangan merupakan suatu proses stokastik dengan setiap individunya bereproduksi secara random dan independen antar individu yang lain. Proses percabangan suatu individu terinfeksi berbentuk mirip diagram pohon. Satu individu terinfeksi dapat menginfeksikan individu lain maka terbentuklah cabang baru. Proses percabangan dapat diterapkan untuk epidemi. Individu yang sudah terinfeksi tidak dapat terinfeksi lagi oleh individu yang lain. Banyaknya individu terinfeksi pada saat generasi 𝑛 hanya bergantung pada generasi 𝑛 − 1. Generasi adalah sekelompok individu yang terinfeksi dari individu yang sama.
Menurut Taylor dan Karlin (1998), suatu individu pada masa hidupnya akan menghasilkan individu dengan jumlah yang random (𝐼) untuk mempertahankan spesiesnya agar tidak punah, dimana distribusi probabilitasnya adalah
𝑃𝑟𝑜𝑏{𝐼 = 𝑘} = 𝑝𝑘 untuk 𝑘 = 0,1,2, …
adalah probabilitas individu yang terinfeksi sebanyak 𝑘 individu dengan 𝑘 merupakan nilai dari banyaknya 𝐼 dengan 𝑝𝑘 ≥ 0 dan ∑∞𝑘=0𝑝𝑘 = 1. Banyaknya individu terinfeksi pada generasi ke-0 dinotasikan dengan 𝑋0 sedangkan pada generasi ke-𝑛 dinotasikan dengan 𝑋𝑛.
Menurut Walpole dkk. (2011) penyebaran penyakit memiliki dua kemungkinan hasil yaitu individu rentan dapat terinfeksi atau tidak terinfeksi setelah melakukan kontak dengan individu terinfeksi sebelumnya. Jika pola banyaknya individu yang terinfeksi dari individu yang sama mengikuti karakteristik suatu distribusi maka proses percabangan dapat menggunakan fungsi pembangkit probabilitas (pgf). Pgf merupakan suatu fungsi pembangkit yang dapat digunakan untuk membangkitkan probabilitas 𝑝𝑘. Distribusi yang memiliki karakteristik banyaknya hasil percobaan terjadi hanya bergantung pada interval waktu tertentu saja dan independen antarinterval lain adalah distribusi Poisson, sehingga sesuai untuk digunakan pada proses percabangan ini.
Berdasarkan latar belakang di atas, dilakukan penurunan ulang proses percabangan pada penyebaran penyakit menggunakan pgf lalu dilakukan penerapan. Pgf pada dapat digunakan untuk mencari nilai rata-rata dan variansi dari pgf untuk mengetahui bagaimana pemusatan dan penyebaran data.
METODE
Penelitian mengenai model penyebaran penyakit menggunakan proses percabangan diawali dengan menurunkan ulang proses percabangan pada penyebaran penyakit kemudian disusun asumsi-asumsi berdasarkan penelitian Allen (2008) seperti jumlah individu awal yang terinfeksi 𝐼0 ≥ 1 pada waktu ke-0, probabilitas terinfeksi bernilai sama untuk setiap individu, setiap individu yang terinfeksi saling independen antar individu lain, dan terdapat satu penyakit saja yang menyebar dalam suatu populasi. Selanjutnya menentukan pgf untuk individu baru yang terinfeksi sehingga dapat menentukan rata-rata dan variansi untuk proses percabangan pada penyebaran penyakit.
Langkah selanjutnya pada penelitian ini yaitu penerapan dengan sampel untuk simulasi banyaknya populasi N = 2000 individu yang memiliki kemungkinan tertular penyakit dengan nilai rata-rata penularan 𝜆 = 4,2732 ≈ 4,3 individu. Waktu yang dibutuhkan untuk penyebaran penyakit 𝑡 = 6 hari. Seorang individu mempunyai dua kemungkinan yaitu terinfeksi dan tidak terinfeksi, oleh karena itu dalam kasus penyebaran penyakit memiliki nilai probabilitas tertular (𝑝) sebesar 0,5. Dilakukan analisis sampai generasi ke-8
menggunakan bantuan software Mathematica 11.2 dan dihasilkan grafik banyaknya individu baru dari satu individu awal untuk data berdistribusi Poisson.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Individu 𝑋𝑛 pada generasi ke- 𝑛 menghasilkan individu baru yang terinfeksi dengan jumlah 𝐼1(𝑛) yaitu banyaknya individu terinfeksi dari individu pertama pada generasi 𝑛, lalu 𝐼2(𝑛) yaitu banyaknya individu terinfeksi dari individu kedua pada generasi 𝑛, dan seterusnya sampai 𝐼𝑋(𝑛)𝑛 . Populasi pada generasi ke-(𝑛 + 1) dapat dihitung berdasarkan sifat rantai Markov sebagai
𝑋𝑛+1 = 𝐼1(𝑛)+ 𝐼2(𝑛)+ ⋯ + 𝐼𝑋
𝑛 (𝑛),
dengan 𝐼𝑗(𝑛) adalah banyaknya individu baru yang terinfeksi dari individu ke-𝑗 pada generasi ke-𝑛. Proses penyebaran penyakit dari satu individu diperoleh jumlah dari seluruh individu sampai generasi ke-𝑛 dinotasikan dengan 𝐼𝑛 dan dinyatakan sebagai
𝐼𝑛 = 𝑋0+ 𝑋1+ 𝑋2+ ⋯ + 𝑋𝑛.
dengan 𝑋1 adalah banyaknya individu terinfeksi pada generasi pertama, 𝑋2 adalah banyaknya individu terinfeksi pada generasi kedua dan 𝑋𝑛 adalah banyaknya individu terinfeksi pada generasi ke-𝑛.
Fungsi pembangkit probabilitas (pgf) merupakan suatu fungsi pembangkit yang dapat digunakan untuk membangkitkan probabilitas 𝑝𝑘. Pgf untuk jumlah individu baru pada generasi pertama yang terinfeksi dapat dituliskan sebagai berikut
𝑓(𝑧) = ∑ 𝑝𝑘𝑧𝑘
∞
𝑘=0
(1)
untuk nilai 𝑧 ∈ 𝑅 dan 𝑝𝑘 adalah probabilitas individu yang terinfeksi sebanyak 𝑘 individu.
Pola pemusatan dan pola penyebaran dalam suatu distribusi dapat ditentukan menggunakan nilai rata-rata dan variansinya. Jika ∑∞𝑘=0𝑝𝑘 = 1, sehingga nilai rata-rata dan variansi 𝐼𝑛 yang memenuhi adalah
𝜇𝑘= 𝐸(𝑘) = ∑ 𝑘𝑝𝑘
∞
𝑘=0
dan
𝜎𝑘2 = E[(𝑘 − 𝜇𝑘)2] = E(𝑘2) − 𝜇𝑘2 = ∑ 𝑘2𝑝𝑘− 𝜇𝑘2
∞
𝑘=0
. Secara umum rumus rata-rata pada generasi ke-n didefinisikan sebagai
𝜇𝑛 = 𝐸[𝑋𝑛] = 𝜇𝑛 untuk 𝑛 = 0,1,2, … (2) Rumus variansi pada generasi ke-n didefinisikan sebagai
𝜎𝑛2 = {
𝜎2𝜇𝑛−1(𝜇𝑛 − 1)
𝜇 − 1 , 𝜇 ≠ 1 𝑛𝜎2, 𝜇 = 1
(3)
Distribusi Poisson bersifat diskrit dan memiliki fungsi distribusi probabilitas (pdf) seperti berikut
𝑝𝑥(𝑥) = 𝑓(𝑥) =𝜆𝑥𝑒−𝜆
𝑥! , 𝑥 = 0,1,2, …, (4)
dengan 𝜆 adalah rata-rata distribusi. Nilai pgf dari distribusi Poisson dapat ditentukan dengan
𝑃𝑘(𝑧) = 𝑓(𝑧) = ∑ 𝑝𝑘𝑧𝑘
∞
𝑘=0
= 𝑒−𝜆(1−𝑧)
untuk 𝑧 ∈ 𝑅. Jika ∑∞𝑘=0𝑝𝑘 = 1 nilai rata-rata dan variansi dapat ditentukan dengan persamaan (5) untuk rata-rata sedangkan persamaan (6) untuk variansi.
Nilai rata-rata
𝜇𝑘 = 𝐸[𝑘] = ∑ 𝑘𝑝𝑘 = 𝜆
∞
𝑘=0
(5) Nilai variansi
𝜎𝑘2 = E[𝑘2] − E[𝑘]2 = 𝜆 (6)
Pada generasi ke-𝑛 nilai mean dan variansi dari 𝐼𝑛 didefinisikan sebagai persamaan (7) dan persamaan (8) sebagai berikut
𝜇𝑛 = 𝐸[𝐼𝑋𝑛] = 𝜇𝑛 = 𝜆𝑛 (7)
untuk 𝑛 = 0,1,2, …, dan
𝜎𝑛2 = {
𝜎2𝜇𝑛−1(𝜇𝑛− 1)
𝜇 − 1 , 𝜇 ≠ 1 𝑛𝜎2, 𝜇 = 1.
Karena 𝜇𝑘 = 𝜆 dan 𝜎𝑘2 = 𝜆, maka 𝜎𝑛2 = {
𝜆2𝑛− 𝜆𝑛
𝜆 − 1 , 𝜆 ≠ 1 𝑛𝜆, 𝜆 = 1.
(8)
Hasil penerapan sampai generasi ke-8 menggunakan bantuan software Mathematica 11.2 dan dihasilkan grafik banyaknya individu baru dari satu individu awal untuk data berdistribusi Poisson sebagai berikut
Gambar 1. Hasil proses percabangan (a) generasi ke-1, (b) generasi ke-2 dan (c) generasi ke-3 Dari Gambar 1 (a) terdapat empat individu baru yang terinfeksi dalam kurun waktu enam hari. Pada Gambar 1 (b) terdapat 15 individu baru yang terinfeksi pada generasi ke-2 dari satu induk dengan waktu setiap generasi enam hari atau 12 hari kemudian. Pada Gambar 1 (c) terdapat 55 individu baru yang terinfeksi pada generasi ke-3 dari satu individu induk dengan waktu setiap generasi enam hari atau 18 hari kemudian. Analisis banyaknya individu baru yang terinfeksi menggunakan analisis deskriptif dari nilai rata-rata dan variansi terdapat pada Tabel 1.
Tabel 1. Banyaknya individu baru, rata-rata individu baru, dan variansi individu baru dari generasi ke-1 sampai ke-8
Generasi ke- Banyaknya Individu Baru
Rata-rata Individu Baru
Variansi Individu Baru
1 4 4,3 4,3
2 15 18,49 97,997
3 55 79,507 1.891,476
4 212 341,88 35.315,054
5 864 1.470,084 654.448,64
6 3.818 6.321,363 12.107.059,43
7 16.277 27.181,861 223.885.383,84 8 70.033 116.882,003 4.139.777.149,21
Menggunakan persamaan (7) untuk rata-rata artinya dari beberapa hasil data yang dibangkitkan pada generasi tersebut memiliki nilai disekitar nilai rata-rata dan persamaan (8) untuk variansi. Dari hasil yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa banyaknya individu baru yang terinfeksi mengalami peningkatan dari tiap generasi.
SIMPULAN
Kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini bahwa proses percabangan untuk banyaknya individu baru yang terinfeksi pada generasi ke-𝑛 dapat dituliskan menggunakan persamaan
𝑋𝑛+1 = 𝐼1(𝑛)+ 𝐼2(𝑛)+ ⋯ + 𝐼𝑋(𝑛)𝑛 .
Berdasarkan hasil simulasi pada penyebaran penyakit dengan nilai rata-rata penularan 𝜆 = 4,3 individu dan waktu yang dibutuhkan untuk penyebaran penyakit 𝑡 = 6 hari diperoleh banyaknya individu yang tertular dari generasi ke-0 sampai generasi ke-8 semakin meningkat.
DAFTAR PUSTAKA
Allen, L. J. (2008). An Introduction to Stochastic Epidemic Models. Dalam F. Brauer, P. v.
Driessche, and J. Wu, Mathematical Epidemiology (hal. 81-128). Springer.
Nangi, M. G., Yanti, F., dan Lestari, S. A. (2019). Dasar Epidemiologi. Yogyakarta : Deepublish.
Taylor, H. M., dan Karlin, S. (1998). An Introduction to Stochastic Modelling. Orlando, Florida : Academic Press.
Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., dan Yee, K. (2011). Probability Statistics for Engineers Scientist, 8th Ed. Pearson.
