LAPORAN PENELITIAN EFISIENSI ALGORITME ARITMETIK ( ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK PADA KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK

EFISIENSI ALGORITME ARITMETIK ( ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI

SIFAT GRUP SIKLIK PADA KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK

Oleh :

Dra. Eleonora Dwi W., M.Pd

Ahmadi, M.Si

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PANCASAKTI TEGAL

2012

PENDAHULUAN

Masalah keamanan merupakan salah satu aspek penting dari sebuah sistem informasi. Untuk menjamin keamanan sebuah informasi yang bersifat rahasia diperlukan suatu teknik pengamanan baik secara fisik maupun non fisik. Salah satu teknik pengamanan secara non fisik yaitu dengan mengenkripsi informasi rahasia menggunakan teknik kriptografi.

Kriptografi secara terminologi dasarnya terdiri dari dua tipe yaitu kriptografi simetrik dan kriptografi asimetrik atau sering disebut sebagai kriptografi kunci publik. Kunci simetris adalah jenis kriptografi yang paling umum digunakan. Kunci untuk membuat pesan yang disandikan sama dengan kunci untuk membuka pesan yang disandikan itu. Jadi pembuat pesan dan penerimanya harus memiliki kunci yang sama persis. Siapapun yang memiliki kunci tersebut termasuk pihak-pihak yang tidak diinginkan dapat membuat dan membongkar rahasia ciphertext. Contoh algoritme kunci simetris yang terkenal adalah DES (Data Encryption Standard). Karya ini menjadi alat keamanan komersial elektronik di banyak institusi keuangan di seluruh dunia hingga pertengahan tahun 1990-an. DES secara DES tak aman sejak juli 1998. Walaupun demikian DES telah melandasi prinsip-prinsip sandi simetrik modern yang dewasa ini muncul produk-produk penggantinya seperti : AES (Advanced Encryption Standard), Blowfish, 3DES, RC5, dan lain sebagainya.

Kunci asimetrik merupakan pasangan kunci kriptografi yang salah satunya digunakan untuk proses enkripsi dan yang satu lagi untuk dekripsi. Semua orang yang mendapatkan kunci publik dapat menggunakannya untuk mengenkripsikan suatu pesan,data ataupun informasi, sedangkan hanya satu orang saja yang memiliki rahasia tertentu dalam hal ini kunci privat untuk melakukan pembongkaran terhadap sandi yang dikirim untuknya. Pada algoritme kunci publik ini, semua orang dapat mengenkripsi data dengan memakai kunci publik penerima yang telah diketahui secara umum. Akan tetapi data yang telah terenkripsi tersebut hanya dapat didekripsi dengan menggunakan kunci privat

2

yang hanya diketahui oleh penerima. Contoh algoritme terkenal yang menggunakan kunci asimetrik adalah skema RSA yang ditemukan oleh Rivest, Shamir, dan Adleman pada tahun 1978. Skema ini didasarkan pada problem matematika yang sulit, yaitu pemecahan masalah faktorisasi integer besar. Bentuk praktis skema kunci publik lainnya ditemukan oleh ElGamal pada tahun 1985.

Skema ini didasarkan pada pemecahan problem logaritma diskret. Keamanan algoritme ini sangat tergantung pada pemilihan bilangan prima p. Semakin besar p maka algoritme ini akan semakin aman, akan tetapi semakin besar pula beban komputasi yang digunakan. Oleh karena itu pada masa sekarang, orang sudah mulai mencari alternatif lain untuk menggantikan aritmetik modular diantaranya aritmetik yang dibangkitkan struktur finite field ( ), kurva eliptik kriptografi, dan hipereliptik kriptografi.

Teori finite field mulai diperkenalkan pada abad ke tujuh dan abad ke delapan, dengan tokoh matematikanya Pierre de Fermat (1601-1665) dan Leonhard Euler (1707-1783) dengan kontribusinya pada khusus teori struktur finite field. Teori secara umum tentang finite field mulai dikerjakan oleh Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dan Evariste Galois (1811-1832), teori ini banyak dikembangkan dalam dunia aplikasi matematika, komputer, dan teori komunikasi.

3 BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi, lemma, dan teorema yang berkaitan dengan pembahasan.

3.1. Teori Grup

Definisi 3.1. Struktur aljabar 〈 ,⋇〉 tertutup terhadap operasi biner  disebut grup jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:

a) Operasi biner ⋇ bersifat asosiatif: ^a



^{b c}

 

^{ a b}



 , untuk setiap ^c , ,

a b cG.

b) Terdapat unsur identitas eG, untuk * pada G sehingga berlaku a e   e a a untuk setiap aG.

c) Untuk setiap aG ada unsur a^1G sehingga a a ^1a^1  . ( aa e ^-1 disebut invers a terhadap operasi *).

Grup G disebut grup komutatif atau grup abelian jika operasi * bersifat komutatif yaitu: a b  b a, untuk semua ,a b G .

Grup berhingga yaitu grup yang kardinalitasnya berhingga. Dalam hal ini kardinalitas suatu grup G disebut dengan order dari G, dinotasikan ord G atau

 

 

O G atau G .

Definisi 3.2. Jika H himpunan bagian atas grup G adalah grup di bawah operasi G, maka H subgrup dari G.

Teorema 3.3. (Uji satu langkah) Misalkan G grup dan H himpunan bagian yang tak kosong atas G. Maka H adalah subgrup atas G jika H tertutup di bawah operasi pembagian; yaitu jika . bilamana ,

Teorema 3.4. (Uji dua langkah) Misalkan G grup dan H himpunan bagian tak kosong atas G. Maka, H disebut subgrup dari G jika . bilamana ,

4

(tertutup terhadap perkalian), dan bilamana (tertutup terhadap invers)

Sebagai contoh, Z dan Q merupakan subgrup dari R terhadap operasi +.

Tentu saja ZQR dan masing-masing merupakan grup terhadap operasi yang sama yaitu +.

Misal G sembarang grup, aG, dan n bilangan bulat positif, maka:



kali

: ...

n n

a aa a,

1 1 1

kali

: ...

n

n

a^   , a a^{ } a = (aⁿ)^-1

dan a⁰: . e

Jika ada bilangan bulat tidak nol m sedemikian sehingga a^m , maka order e dari unsur a, notasi O a , didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil n

 

sedemikian sehingga aⁿ  . Jika tidak ada bilangan bulat tidak nol n sedemikian e sehingga aⁿ  , maka dikatakan a mempunyai order di tak hingga (infinity). e Ringkasan 3.5. Berikut ini 3 sifat dasar yang berkaitan dengan pengertian order.

1. Jika ^{O a}

 

^n, maka ada tepat n kuasa dari a (power of a) yang masing- masing berbeda, yaitu a⁰ e a a, , ²,...,a^n1.

2. Jika O a tak hingga, maka semua kuasa dari a berbeda. Artinya, jika r dan s

 

yaitu dua bilangan bulat yang berbeda, maka a^r a^s.

3. Misalkan a yaitu unsur dari grup G dan ^{O a}

 

^{n. Maka at}  jika dan ^e hanya jika t yaitu kelipatan dari n (t kelipatan n artinya ada bilangan bulat q sehingga t=nq).

Definisi 3.6. Misalkan H subgrup dari grup G. Himpunan bagian

= { ℎ|ℎ } atas G disebut koset kiri atas H memuat . Sedangkan himpunan bagian = {ℎ |ℎ } atas G disebut koset kanan atas H memuat . Teorema 3.7. (Teorema Lagrange) Misalkan H subgrup dari grup berhingga G.

Maka order dari H adalah pembagi dari order G.

Teorema 3.8. Order dari unsur grup berhingga G membagi order G.

5

Jika H merupakan subgrup dari grup G, indeks dari H di dalam G diartikan sebagai jumlah koset dari H di dalam G, notasinya



G H . sedangkan^:





^{G H:}



^G

 H

3.2. Grup Siklik

Grup G disebut siklik jika dan hanya jika ada unsur aG (a disebut generator) sehingga



ⁿ



G a  a n Z .

Dalam kasus G grup aditif, dapat ditulis

 

G a  na n Z .

Ringkasan 3.9. (Sifat-sifat Grup Siklik)

1. Jika grup G berorder n, maka G siklik jika dan hanya jika ada aG sehingga

 

O a n.

2. Setiap grup siklik yaitu abelian.

3. Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik.

4. Jika G a dan bG, maka ^{O b O a}

   

^.

5. Jika G yaitu grup siklik berorder n dan suatu bilangan bulat k n , maka ada bG sehingga ^{O b}

 

^{ . k}

6. Misalkan G yaitu grup abelian berorder mn dengan m dan n prima relatif. Jika G mempunyai suatu unsur a dengan ^{O a}

 

^m dan b dengan ^{O b}

 

^{ , maka n}

G yaitu grup siklik dengan G ab .

7. a yaitu generator dari G^r  a dengan G n jika dan hanya jika r dan n prima relatif.

3.3. Grup Homomorfisme dan Isomorphisme

Misal G dan H grup. Suatu homomorfisma (grup) dari G ke H yaitu suatu fungsi f G: H sedemikian sehingga untuk sembarang a dan b di dalam G,

     

f ab  f a f b .

6

Bayangan (Imej) dari f, dinotasikan Im f , yaitu

 

       

Im f  f G  f x xG . Kernel dari f, dinotasikan ker f , yaitu

 

     

ker f  xG f x e (secara implisit e yaitu unsur identitas dari f).

Sifat-sifat dasar homomorfisma dinyatakan dalam Ringkasan berikut ini.

Ringkasan 3.10. (Sifat-sifat Dasar Homomorfisma) Misalkan G dan H yaitu grup, f G: H homomorfisma, maka sifat-sifat berikut dipenuhi.

1. ^{f e}

 

^{ . e}

2. ( ) = ( ( )) untuk setiap aG. 3. Im f merupakan subgrup dari H.

 

4. ker f merupakan subgrup dari G.

 

Jika homomorfisme yang bijektif, maka f disebut isomorfisme.

3.4. Ring

Struktur aljabar dengan dua operasi biner yang paling umum yaitu Ring.

Definisi 2.11. Ring R adalah himpunan dengan dua operasi + dan x (disebut dengan penjumlahan dan perkalian) yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

a. R  adalah grup abelian ,

b. Operasi adalah asosiatif : ( ) = ( ) untuk setiap , ,a b c . R c. Berlaku hukum distributif atas R : Untuk setiap , ,a b c memenuhi R

( + ) = ( ) + ( ) dan ( + ) = ( ) + ( )

Ring R disebut komutatif jika perkaliannya bersifat komutatif. Ring R disebut mempunyai unsur kesatuan jika terdapat unsur 1 dengan 1 = 1 = ,

Definisi 3.12. Unsur bukan nol dari Ring komutatif R disebut pembagi nol jika ada unsur bukan nol sehingga . = 0

Definisi 3.13. Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 disebut daerah integral jika tidak memuat pembagi nol

7

Definisi 3.14. Karakteristik Ring R adalah sekurang-kurangnya integer positif sehingga = 0 untuk setiap . Jika tidak ada, R disebut berkarakteristik 0.

Teorema 3.15. Karakteristik daerah integral adalah 0 atau prima.

Teorema 3.16. Di dalam sembarang Daerah Integral D dengan karakteristik p,



^ab



^{p apbp} untuk semua unsur ,a bD.

Definisi 3.17. Field adalah suatu Ring komutatif, ada unsur kesatuan 1 dan setiap unsur tak nolnya mempunyai invers (multiplikatif)

Teorema 3.18. Daerah integral yang berhingga adalah field.

Akibat 3.19. Untuk setiap bilangan prima p, Ring Z_p integer modulo p, adalah field

Definisi 3.20. SubRing A dari Ring R disebut ideal dari R jika untuk setiap dan setiap , dan .

Teorema 3.21. Misal R Ring, I R, I tidak kosong. Himpunan bagian I disebut ideal jika memenuhi:

a. , → ( − )

b. dan → dan .

Untuk setiap Ring R, {0} dan R adalah ideal atas R. Ideal {0} disebut ideal trivial.

Misalkan R Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan . Suatu himpunan

〈 〉 = { | } merupakan ideal. Ideal yang demikian disebut ideal utama yang dibangun oleh .

Definisi 3.22. Suatu ideal I atas Ring komutatif R disebut ideal prima atas R jika , dan sehingga dan . Suatu ideal B atas Ring komutatif R disebut ideal maksimal atas R jika B adalah ideal atas R dan ⊆ ⊆ maka B = A atau B = R.

Misalkan Ring R dan I merupakan ideal dari R. Karena R merupakan grup terhadap penjumlahan dan I subgrup dari R, maka Ring faktor / dapat ditulis sebagai ⁄ = { + | }.

Teorema 3.23. Misal R Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. I ideal maksimal dari R. Maka R

I adalah field jika dan hanya jika I ideal maksimal.

8

Definisi 3.24. Suatu homomorfisma dari Ring R ke Ring R yaitu suatu fungsi ^' : '

f RR yang memenuhi, ∀ , berlaku : a. ^{f a b}



^



^{ f a}

 

^{ f b}

 

^{, dan}

b. ^{f ab}

 

^{ f a f b}

   

^.

Jika f surjektif, maka R disebut bayangan homomorfik dari R. ^' Kernel dari f diDefinisikan

     

ker f  xR f x 0 , dan range dari f diDefinisikan

     

ran f  f x xR .

Jika f homomorfisma yang bijektif, maka f disebut isomorfisma. Dalam hal ini R dan R dikatakan isomorfik, dinotasikan ⋍ ′ ^'

Teorema 3.25. Misal f R: R^' Ring homomorfisma. Maka

     

ker f  xR f x 0 merupakan ideal dari R.

Teorema 3.26. R I merupakan bayangan homomorfik dari R.

Teorema 3.27. (Teorema dasar homomorfisme) Misalkan f R: R^' merupakan epimorfisme, dan misalkan K yaitu kernel dari f. Maka ′ ≅ / .

3.5. Ring Polinomial

Misalkan R Ring komutatif dengan unsur kesatuan, dan x simbol yang tak tetap. Setiap ekspresi berbentuk + + ⋯ + + disebut polinomial dalam x dengan . Polinomial dalam x dapat ditulis dengan ( ), ( ), ( ), dan lain-lain. Misal ( ) = + + ⋯ + =

∑ merupakan sembarang polinomial, derajat dari polinomial ( ) yaitu bilangan terbesar n sehingga koefisien dari bukan nol dan dinotasikan dengan deg ( ).

Polinomial ( ) = 0 + 0 + ⋯ + 0 yang semua koefisiennya nol disebut polinomial nol, dan dinotasikan dengan ( ) = 0. Jika polinomial ( ) = , maka ( ) berderajat nol dan disebut polinomial konstan. Misalkan

( ) = + + ⋯ + + dan

9

( ) = + + ⋯ + + . Operasi penjumlahan dan

perkalian polinomial didefinisikan sebagai berikut :

( ) + ( ) = ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + ) + +

Dimana = 0 > = 0 > ,

( ). ( ) = + + +

Dimana, = + + ⋯ + + , untuk k = 0, …, m+n

Jika R Ring, maka [ ] menotasikan himpunan semua polinomial dalam x yang koefisiennya ada di R dengan operasi penjumlahan dan perkalian seperti yang didefinisikan sebelumnya.

Teorema 3.28. Misal R Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. Maka R[x]

merupakan Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1.

Teorema 3.29. Jika R adalah daerah integral, maka R[x] adalah daerah integral.

Definisi 3.30. Suatu polinomial ( ) [ ] irredusibel atas F bila f(x) tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian ( ), ℎ( ) dimana ( ), ℎ( ) [ ] keduanya berderajat lebih rendah dari f(x).

Teorema 3.31. Misal F field dan Ring polinomial F x . Jika

 

^{f x}

 

^{, ( )g x F x}

 

dengan g x  , maka ada polinomial unik

 

^{0 q x r x}

 

^{, ( )F x}

 

sehingga

     

( )

f x q x g x r x dengan r x  atau

 

^{0 derajat r x}

 

^{derajat g x}

 

^.

Teorema 3.32. Misal F field, I ideal tak nol di F[x], dan unsur ( ) [ ]. Ideal

= 〈 ( )〉 jika dan hanya jika ( ) merupakan polinomial tak nol berderajat terendah di I.

Teorema 3.33. Semua ideal dari [ ] merupakan ideal utama

Teorema 3.34. Misal F field dan ( ) [ ]. 〈 ( )〉 ideal maksimal jika dan hanya jika ( ) irredusibel atas F.

Teorema 3.35. 〈 ( )〉 ideal maksimal jika dan hanya jika [ ]/〈 ( )〉 field.

3.6. Perluasan Field

Definisi 3.36. Jika E field yang memuat subfield F, maka E disebut perluasan field dari F.

Definisi 3.37. Misal E perluasan field dari field F dan cE. c disebut algebraic atas F jika f c  untuk

 

^{0 f x}

 

^{F x}

 

yang tak nol.

10

Gambar 1. Perluasan Field F

Definisi 3.38. Misal E perluasan field dari field F dan cE algebraic atas F.

Polinomial monik p x merupakan polinomial irredusibel dengan akar c atas F

 

dinotasikan dengan ^irr



c F dan derajat dari polinomial irredusibel dengan akar ^,



c atas F dinotasikan dengan ^deg



^{c F ,}



Teorema 3.39. Misal F subfield dari field E, cE dan x tak tentu (indeterminate). Pemetaan c^:F x

 

E yang diDefinisikan dengan

    ^{ }

c f x f c

  dimana f x

 

a0a x1 ...a x_n ⁿ, ^{f x}

 

^{F x}

 

merupakan homomorfisma. Homomorfisma  disebut homomorfisma evaluasi dan berlaku _c

c

 

x c

  serta c

 

a  , a aF .

Kernel atas homomorfisma merupakan himpunan semua polinomial ( ) sehingga ( ) = ( ( )) = 0. Jadi, kernel( ) berisi semua polinomial ( ) [ ] sehingga c merupakan akar dari ( ). Misalkan kernel( ) dinotasikan sebagai , menurut Teorema 2.25 kernel untuk setiap homomorfisma merupakan ideal, sehingga merupakan ideal dari F[x]. Menurut Teorema 2.33 setiap ideal dari F[x] merupakan ideal utama. Karena merupakan ideal utama dan berdasarkan Teorema 2.32, (∃ ( )), = 〈 ( )〉 = { ( ) ( )| ( ) [ ]}

dengan ( ) polinomial berderajat terendah. Dengan Definisi 2.30 mudah untuk membuktikan bahwa ( ) merupakan polinomial irredusibel. Misalkan ( ) =

( ). ℎ( ). Sehingga 0 = ( ) = ( ). ℎ( ), ( ) = 0 atau ( ) = 0 dimana ( ), ℎ( ) . Hal ini tidaklah mungkin, karena ( ) merupakan polinomial berderajat terendah di dalam . Sehingga ( ), ℎ( ) merupakan polinomial berderajat lebih tinggi dari ( ). Maka menurut Definisi 2.30, ( ) merupakan polinomial irredusibel. Karena setiap konstanta pengali dari ( ) ada di maka

E c

 F

11

( ) monik. Sehingga dapat disimpulkan bahwa ( ) merupakan polinomial minimum dari c atas F.

Lalu bagaimana dengan Range dari ? Range = { ( ( ))| ( ) [ ]}

= { ( )| ( ) [ ]}

Dari penjelasan di atas diperoleh : [ ] → ( ) merupakan epimorfisme,

= 〈 ( )〉 dengan ( )polinomial irredusibel. Dengan menggunakan Teorema dasar homomorfisme, maka [ ]/〈 ( )〉 ≃ ( ). Menurut Teorema 2.34, jika ( ) polinomial irredusibel maka 〈 ( )〉 merupakan ideal maksimal. Dan berdasarkan Teorema 2.35 dapat disimpulkan bahwa [ ]/〈 ( )〉 merupakan field. Karena [ ]/〈 ( )〉 ≃ ( ), maka ( ) juga merupakan field.

Teorema 3.40. Misal F field dan p x polinomial tak konstan di

 

F x . Ada

 

suatu perluasan field E dari F dan unsur c di E sehingga c akar dari ^{p x .}

 

Definisi 3.41 V himpunan, F field, operasi di V yaitu penjumlahan dan perkalian skalar. V disebut ruang vektor atas F jika memenuhi aksioma berikut:

1. Untuk setiap a b,V

terdapat tunggal cV

sehingga tertutup terhadap penjumlahan: a bc

. 2. Untuk setiap a b c, , V

bersifat asosiatif:



^ab



^{c a}



^bc



^.

3. Terdapat tunggal identitas 0 V

, untuk setiap a V

sehingga 0 0

a    aa . 4. Untuk setiap a V

terdapat tunggal invers bV

sehingga 0

a bba

, b a . 5. Untuk setiap a b,V

bersifat komutatif: a bba . 6. Untuk setiap kF dan setiap a V

terdapat tunggal bV

sehingga tertutup terhadap perkalian: kab

. 7. Untuk setiap kF dan setiap a b,V

, ^{k a b}



^{ }



^{kakb.}

8. Untuk setiap k l, F dan setiap a V

,



^{kl a}



^{kala.}

9. Untuk setiap k l, F dan setiap a V

,

 

^{kl a k la}

 

^{ .}

12 10. Untuk setiap a V

, 1aa

; 1 unsur identitas di F  . ,

Definisi 3.42. Misal E perluasan field dari field F. Jika E ruang vektor atas F berdimensi hingga n, maka E disebut perluasan hingga berderajat n atas F. Derajat E atas F sama dengan n dinotasikan



^{E F:}



^{ . n}

Definisi 3.43. Jika field E dibangun oleh unsur satu c atas field F: ^{EF c}

 

^,

maka E disebut perluasan tunggal dari F dan unsur c disebut unsur primitif atau akar primitif untuk perluasan.

Teorema 3.44. Misal ^{EF c}

 

^dengan cE algebraic atas F, dan

 

deg c F, n, n 1. Setiap unsur  dari ^{EF c}

 

dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk  b₀ b c₁ ¹...b c_n1 ^n1, dimana biF x

 

.

Teorema 3.45. Derajat dari ( ) atas F sama dengan derajat dari polinomial minimum dari c atas F.

Sebagai contoh, i merupakan akar dari polinomial irredusibel + 1 atas R[x]. + 1 mempunyai derajat 2, menurut Teorema 2.44, [ ( ): ] = 2 dengan basisnya {1, i}. Setiap unsur dalam R[i] merupakan kombinasi linear dari 1 dan i yang berbentuk + dimana , . dan dinotasikan dengan ( ) = { + | , }.

Teorema 3.46. Misalkan ( ) [ ] merupakan polinomial irredusibel berderajat m, maka [ ]/〈 ( )〉 adalah finite field berderajat . Operasi penjumlahan polinomial dan operasi perkalian polinomial dilakukan dalam modulo ( ).

Teorema 3.47. Misal E perluasan field dari field F dan cE algebraic atas F.

Jika ^deg



^{c F,}



^{n, maka} F c ruang vektor atas F berdimensi-n dengan basis

 



^{1, ,c c2...,cn1}



^.

Lemma 3.48. Misal { , , … , } basis dari ruang vektor K atas F dan { , , … , } basis dari ruang vektor E atas K. Maka himpunan perkalian

, merupakan basis dari ruang vektor E atas field F.

13 BAB III

TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN

3.1. Tujuan Penelitian

Dalam penelitian ini peneliti mencoba mengkonstruksi algoritme aritmetik (5 ) didasarkan pada sifat bahwa (5 )^∗ merupakan grup siklik yang dibangkitkan dari akar primitif. Selain itu, peneliti ingin mengukur tingkat efisiensi algoritme hasil konstruksi.

3.2. Manfaat Penelitian 1. Manfaat teoritis

Manfaat yang bisa didapat dari penelitian ini adalah memberikan pemahaman baru bahwa materi kuliah aljabar abstrak dapat diaplikasikan ke dalam dunia komputer diantaranya ilmu kriptografi 2. Manfaat Praktis

Manfaat dari penelitian ini adalah :

a. Algoritme hasil konstruksi dapat dipakai pada operasi pembuatan kunci dalam ilmu kriptografi

b. Algoritme hasil konstruksi diharapkan mampu memberikan keamanan yang lebih baik dari algoritme-algoritme sebelumnya.

14 BAB IV

METODE PENELITIAN

4.1 Kerangka Pemikiran

Dari permasalahan di atas, maka peneliti mencoba menyelesaikan permasalahan tersebut dengan alur seperti pada Gambar 3.1 berikut :

4.2. Konstruksi Finite Field GF(5^m)

Dalam melakukan konstruksi finite field GF(5^m), yang akan dilakukan adalah sebagai berikut :

Langkah 1. Pilih polinomial irredusibel berderajat 5 atas Z5, f(x) Z5[x].

Polinomial f(x) membentuk field Z₅[x]/f(x). Kenapa kita memilih polinomial irredusibel ? karena dengan memilih polinomial irredusibel maka ada jaminan bahwa Z5[x]/f(x) merupakan field. Hal ini dijamin oleh proposisi 31.

Langkah 2. Berdasarkan teorema 62, definisikan :

(5 ) = { + + + ⋯ + | … Ζ }

Gambar 3.1: Diagram Alur Kerangka Definisikan fungsi polinomial

primitif ^{f x( ) F x}

 

Cari akar

 

⁰

  f  

Tentukan Basis dan F^

Konstruksi Finite Field:

   

^{( )}

F  F x f x

15 Ambil sembarang ( ), ( ) (5 );

( ) = + + + ⋯ +

( ) = + + + ⋯ +

 Operasi penjumlahan;

( ) + ( ) = ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + )

( + ), ( + ), ..., ( + ) Ζ

 Operasi perkalian;

( ) ∗ ( ) = ( ). ( ) ( ( ))

Langkah 3. Berdasarkan teorema 63, GF(5^m) mempunyai sifat grup siklik, sehingga GF(5^m) dapat ditulis dengan 1, , , … , .

Setelah kita dapat mengetes irredusibel, kemudian dibuat algoritma membangun polynomial primitif yang kemudian dipilih polynomial primitif yang untuk komputasi baik. Teorema berikut menjelaskan bagaimana cara mendapatkan polynomial primitif secara komputasi

Teorema 3.1. Misal p adalah bilangan prima dan misalkan factor-faktor prima yang berbeda dari p^m – 1 adalah r1, r2, …, rt maka polynomial irredusibel ( )= Ζ (x) adalah primitf jika dan hanya jika ∀ , 1 ≤ ≤ berlaku

≢ 1 ( ) .

Langkah 4. Mengkonstruksi aritmetika finite field melalui representasi

intejer yang diperoleh dari representasi polinomial primitif pada langkah 3.

Setelah melakukan konstruksi aritmetika finite field, kemudian mengetes algoritma yang diperoleh dari segi kecepatan dan kapasitas memori. Untuk melakukan hal tersebut digunakan notasi Big-O atau notasi Asymptotic.

16

HASIL DAN PEMBAHASAN

5.1. Pembahasan Teorema dan Lemma yang Dibutuhkan Dalam Konstruksi Aritmetik GF (5^m)

Teori finite field mulai diperkenalkan pada abad ke tujuh dan abad ke delapan, dengan tokoh matematikanya Pierre de Fermat (1601-1665) dan Leonhard Euler (1707-1783) dengan kontribusinya pada khusus teori struktur finite field. Teori secara umum tentang finite field mulai dikerjakan oleh Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dan Evariste Galois (1811-1832), teori ini banyak dikembangkan dalam dunia aplikasi matematika, komputer, dan teori komunikasi.

Dalam melakukan konstruksi finite field (5 ), langkah pertama yang dilakukan adalah dengan memilih polinomial irredusibel berderajat 5 atas Z , misalkan ( ) ϵ Z [x]. Kenapa kita memilih polinomial irredusibel f(x) ? karena dengan memilih polinomial irredusibel f(x), menurut Teorema 2.35 [ ]/

〈 ( )〉 merupakan field. Menurut Teorema 2.39 [ ]/〈 ( )〉 ≃ ( ), sehingga menurut Teorema 2.44 [ ]/〈 ( )〉 dapat ditulis sebagai

{ + + ⋯ + | , , … , }. Langkah selanjutnya

mengetes apakah polinomial irredusibel f(x) tersebut mempunyai akar atau tidak.

Hasilnya dipergunakan untuk mengkonstruksi perluasan field F. Teorema berikut menjelaskan bahwa [ ]/〈 ( )〉 ≃ ( ) ≃ (5 ).

Teorema 5.1. Misal p x yaitu polinomial irredusibel berderajat n atas

 

Z_p.

( ) = + + ⋯ + , , … , merupakan field.

Bukti:

Diketahui p x yaitu polinomial irredusibel berderajat m atas

 

Z_p. Misalkan : [ ] → ( ) yaitu fungsi yang didefinisikan ( ) = ( ) ( ).

Fungsi f dibawah operasi  dan  merupakan homomorfisma karena ( ( ) + ( )) = ( ( ) + ( )) ( )

= ( ( ) ( )) + ( ( ) ( )) = ( ( )) + ( ( ))

( ( ). ( )) = ( ( ). ( )) ( )

= ( ( ) ( )). ( ( ) ( )) = ( ( )). ( ( ))

Fungsi f surjektif karena ambil ( ) ( ) ( ) terdapat ( ) [ ] sedemikian hingga ( ( )) = ( ) ( )

Kernel dari f yaitu

( ) = ( ) [ ] ( ) = 0

= { ( ) [ }| ( ) ( ) = 0}

= 〈 ( )〉

Karena fungsi f homomorfisma dan surjektif maka f epimorfisma. Selanjutnya dengan memandang Teorema Dasar homomorfisma maka [ ]/〈 ( )〉 ≅

( ). Menurut Teorema 2.35 ^{F x}

 

^{p x}

 

field maka terbukti ( ) juga field.

Akibat dari teorema di atas, maka [ ]/〈 ( )〉 ≃ ( ) ≃ (5 ) sehingga diperoleh representasi (5 ) sebagai berikut .

1. field (5 ) = { + + ⋯ + | , , … , }

2. field (5 ) dapat dipandang sebagai ruang vektor atas berdimensi m dengan basis standar {1, , , … , }.

3. field GF(5^m) dapat dipandang sebagai vektor dengan koordinatnya

{ , , … , }, sehingga kita dapat menulis (5 ) = {[ , , … , ]| , , … , }.

Misal diberikan field hingga (5 ) dan didefinisikan (5 )^∗ yaitu himpunan unsur-unsur (5 ) yang bukan nol dan dinotasikan dengan (5 )\{0}. Dua teorema berikut menjelaskan bahwa (5 )^∗ merupakan grup siklik multiplikatif dan mempunyai generator c yang merupakan unsur primitif dari (5 ).

Teorema 5.2. ( )^∗ merupakan grup siklik multiplikatif ber order − 1.

Bukti:

Dari Definisi field ( )^∗ merupakan grup multiplikatif. Misal ( )^∗ Karena ( )^∗ ber order − 1 maka cⁱ mempunyai paling banyak − 1 nilai yang berbeda.   Z dengan 1 ≤r ^ ≤ − 1 sedemikian sehingga

r i i

c ^ c



^{c c cr i}



^{i c ci i}

 

 

¹

r i i

c c c^

  (Sifat Assosiatif)

r 1 c

  .

Dapat disimpulkan r Z minimum sehingga ^{ O c}

 

^{ . r}

Pilih c sehingga r sebesar mungkin. Akan ditunjukkan order l dari sembarang ( )^∗ yaitu membagi r. Untuk sembarang prima , misal r^ar' dan

b '

l l dimana r' dan l tidak dapat dibagi oleh ' . Maka c^a mempunyai order r',  mempunyai order ^l'  , dan ^b c^a mempunyai order ^l' ^br'. Dari sini diperoleh ba atau r tidak maksimal. Dapat disimpulkan setiap pangkat prima pembagi dari l juga pembagi dari r dan l r .

Maka setiap ( )^∗ memenuhi persamaan x  ^r 1 0. Artinya x ^r 1 dapat dibagi oleh

 

* F

x









 ^{. Karena ∃ − 1 ( )∗, ≥} − 1 tetapi ≤ − 1 maka diperoleh = − 1. Sehingga diperoleh

 

¹

*

n 1

p F

x x



 ^



  



^{dan. ( )∗ = , , , … , , = 1}

Teorema 5.5. Sembarang ( ) memuat suatu unsur primitif atau akar primitif.

Bukti:

Misal ( ) field berhingga berorder . Ambil c sebagai generator grup siklik ( )^∗. Dari Definisi 2.43 maka c merupakan unsur primitif atau akar primitif.

Karena (5 )^∗ merupakan grup siklik multiplikatif, maka terdapat (5 )^∗ sehingga (5 )^∗ = 〈 〉 = 1, , , . . . , . Sebagai akibatnya (5 ) = 0, 1, , , . . . , . Tabel berikut ini menunjukkan adanya hubungan antara representasi elemen primitif, representasi basis polinomial, dan representasi integer dalam (5 ) yang dibangun oleh polinomial primitif ( ) = + + 2

Tabel 1. finite field ( ) No. Elemen

primitif Representasi Basis Integer

1 0 0 0

2 = 1 1 1

3 5

4 3 + 4 23

5 2 + 4 22

6 2 + 3 17

7 4 + 4 24

8 2 2

9 2 10

10 1 + 3 16

11 4 + 3 19

12 4 + 9

13 3 + 3 18

14 4 4

15 4 20

16 2 + 7

17 3 + 8

18 3 + 2 13

19 1 + 6

20 3 3

21 3 15

22 4 + 2 14

23 1 + 2 11

24 1 + 4 21

25 2 + 2 12

Kenapa kita perlu membahas polinomial minimum ? Karena polinomial minimum menjamin bahwa polinomial tersebut adalah irredusibel dan jika berunsur primitif merupakan polinomial primitif. polinomial primitif inilah yang akan kita gunakan dalam mengkonstruksi algoritme aritmetik (5 ).

Definisi 5.4. polinomial minimum M x dari c atas

 

Z_p merupakan polinomial monik berderajat terendah dengan koefisien dari Z_p sehingga ^{M c  .}

 

⁰

Teorema 5.5. Misalkan m(x) adalah polinomial minimum dengan unsur α dalam finite field GF(p^m). Maka

(i) m(x) irredusibel

(ii) jika α akar dari polinomial f(x) dengan koefisien didalam GF (p), maka m(x) membagi f(x)

(iii) m(x) membagi − (iv) derajat ( ) ≤

(v) Polinomial minimum berunsur primitif dari ( ) yang berderajat m merupakan polinomial primitif.

Bukti :

(i) Jika m(x) redusibel, maka ( ) = ( ) ( ). Sebagai akibatnya ( ) = 0. Karena tidak memuat pembagi nol, maka ( ) = 0 atau ( ) = 0. Hal ini kontradiksi dengan Definisi 5.4. Sehingga dapat disimpulkan bahwa ( ) polinomial irredusibel.

(ii) Dengan menggunakan algoritma pembagian, ( ) = ( ) ( ) + ( ), dimana derajat dari ( ) lebih rendah daripada derajat ( ). Karena ( ) = ( ) = 0, ( ) = 0. Dan karena derajat dari ( ) lebih rendah daripada derajat ( ), maka ( ) ≈ 0.

(iii) Dari pembuktian sifat (ii) terbukti m(x) membagi −

(iv) Karena ( ) dan ( ) ruang vektor berdimensi m atas ( ).

Ada + 1 sembarang anggota yaitu {1, , … , } yang tak bebas linear.

+ + ⋯ + = 0 dan terdapat = {1, 2, … , } sehingga ( ). Maka ∑ merupakan polinomial berderajat ≤ yang mempunyai akar c sehingga derajat ( ) ≤

(v) Misal ( ) unsur primitif. Menurut sifat 1, polinomial minimum ( ) berderajat d merupakan polinomial irredusibel. Dengan Teorema 5.1, gunakan ( ) untuk membangun field F ber order . Karena F memuat c dan semua unsur dari ( ), maka ≥ . Selanjutnya menurut sifat 4, derajat ( ) ≤ , mengakibatkan =

Dua teorema berikut menegaskan tentang eksistensi dan ketunggalan dari finite field (5 ).

Teorema 5.6. Semua field hingga ber order adalah isomorfik.

Bukti:

Misal F dan G field ber order . Misal ( ) polinomial minimum dari  F dan ( ) polinomial minimum lain dari G. Menurut Teorema 5.3,  F dan G merupakan unsur primitif atau akar primitif dari F dan dari G, dan dengan Teorema 5.5.5 merupakan polinomial primitif. Dengan Teorema 5.5.3,.

( )| − . Dan dari Teorema 5.5.4, derajat ( ) ≤ sehingga dengan Teorema 5.1, field F dan G dapat dianggap memuat semua polinomial dalam  dan  berderajat   , yaitu memuat polinomial modulo n 1 ( ). Maka dapat dikatakan pemetaan   merupakan isomorfima pemetaan F G.

Teorema 5.7. Untuk sembarang p prima dan bilangan bulat ≥ 1, maka ada tunggal field ber order yang dinotasikan dengan ( ).

Bukti:

Misal ( ). perluasan field hingga dari ( )..

Untuk = 1, GF p  Z .

 

p

Untuk > 1 bentuk F1GF p

 

.

Akan dibuktikan ( ) field yang memuat semua akar dari . −

Misal f x faktor irredusibel berderajat 1

 

2 dari − atas F . Menurut ₁ Teorema 5.1 dengan menggunakan p x

 

 f x1

 

dapat diperoleh field baru F . ₂ Misal f2

 

x faktor irredusibel berderajat 2 dari − atas F . Menurut ₂ Teorema 5.1 dengan menggunakan p x

 

 f2

 

x dapat diperoleh field baru F . ₃

….sampai diperoleh field F yang unik, memuat semua akar dari _r − .

Sehingga diperoleh: ( ) = − = ( ) ( ) … ( )

Berikut ini merupakan Teorema dan Lemma sub field dari ( ).

Lemma 5.8. Jika n, r, s bilangan bulat dengan n1,r1,s1, maka n^s 1n^r1 jika dan hanya jika s r .

Bukti:

Misal rQsR dimana 0R . s

1 1 1 1

1 1 1 1

r Qs R Qs r

R

s s s s

n n n n

n n n n n

    

   

    .

Maka n^Qs1 selalu dapat dibagi dengan n ^s 1.

Teorema 5.9.

i) ^{GF p}

 

^r memuat sub field (isomorfik dengan ) ^{GF p}

 

^s jika dan hanya jika s r .

ii) Jika ^{cGF p}

 

^{r , maka cGF p}

 

^s jika dan hanya jika c^ps  . Untuk c sembarang field jika c² c, maka c yaitu 0 atau 1.

Bukti:

i) ) Misal ^{cGF p}

 

^s merupakan unsur primitif maka c^ps1  sehingga 1

 

^{s 1}

O c  p  Karena ^{GF p}

 

^s sub field ^{GF p}

 

^{r maka cGF p}

 

^r

sehingga c^pr1  . Berdasarkan sifat dasar ketiga dalam Ringkasan 2.3, maka 1

1 1

s r

p  p  dan selanjutnya dengan Lemma 5.11 mengakibatkan s r .

) Misal ^{cGF p}

 

^s merupakan unsur primitif maka c^ps1  sehingga 1

 

^{s 1}

O c  p  . Dengan Lemma 5.11, karena s r diperoleh p^s1 p^r1. Karena p^s1 p^r1 dan ^{GF p}

 

^s sub field ^{GF p}

 

^r akibatnya c^ps1  1 sehingga ^{cGF p}

 

^{r .}

ii) ) Diketahui ^{cGF p}

 

^{r , maka cGF p}

 

^s . Dari Teorema Fermat setiap unsur ^{cGF p}

 

^{s memenuhi cps  . c}

) Misalkan ^{cGF p}

 

^r dan diketahui c^ps  . Dari i) karena c ^{GF p}

 

^{s sub}

field ^{GF p}

 

^{r maka cGF p}

 

^{s .}

= ↔ − = 0 ↔ ( − 1) = 0. Karena merupakan Daerah Integral dan tidak memuat pembagi nol diperoleh c  atau.0 − 1 = 0 ↔ = 1

Dari teorema di atas, kita bisa mengetahui bahwa sub field dari (5 ) adalah (5 ), (5 ), (5 ), (5 ), (5 ), dan (5). Secara jelas dapat digambarkan sebagai berikut :

Untuk mencari polinomial monik dan irredusibel dalam (5 ) digunakan teorema berikut ini.

Teorema 5.10. − = perkalian semua polinomial monik, irredusibel atas Zp yang derajatnya membagi m.

Bukti:

)

 Misal M x polinomial irredusibel atas

 

Z_p berderajat d, dimana | . Untuk kasus ^{M x}

 

 trivial. Asumsi ^{x M x}

 

 . Gunakan ^x M x untuk

 

membuat field, maka M x merupakan polinomial minimum. Misalkan

 

( ) =

− dan dari Teorema5.5.3: ( )| − . Dengan memandang Lemma (5 )

(5)

(5 ) (5 )

(5 ) (5 )

Gambar 2. Subfield dari (5 )

5.8, karena | maka − 1| − 1 dan − − ↔ − 1 − 1. Oleh karena itu ( )| − .

)

 Misal M x pembagi dari

 

− , polinomial irredusibel, dan berderajat d.

Akan ditunjukkan | . Asumsi. ( ) ≠ → ( ) ⁻¹− 1. Gunakan ^{M x}

 

untuk membuat field ^{GF p}

 

^d ber order p . Misal ^{d cGF p}

 

^d akar dari

 

M x dan ^{GF p}

 

^d merupakan unsur primitif dapat dinyatakan

2 1

0 1 2 ... _d 1 ^d

a a c a c a c

      _ ^ (*) (menurut Teorema 2.44)

Karena c akar dari M x maka

 

( ) = 0 ↔ − = 0 ↔ = ↔ . = . ↔ = 1. Dari (*) dan Teorema 2.16:



^{a b}



^{p apbp}

maka diperoleh − = 0 ↔ = ↔ = ↔ = 1.

Berdasarkan sifat dasar ketiga dalam Ringkasan 2.5 maka p^d 1 pⁿ 1. Selanjutnya dengan Lemma 5.8 diperoleh d n .

Dari teorema di atas kita dapat mencari polinomial irredusibel dan polinomial monik dalam (5 ) sebagai berikut :

 Untuk = 1

( ) = − = + 4 = ( + 4) = ( + 1)( + 4) = ( + 2)( + 3)( + 1)( + 4)

 Untuk = 2

( ) = − = + 4 = ( + 4)

= ( + 1)( + 4)

= ( + 2)( + 3)( + 1)( + 4)

= ( + 3)( + 2 + 4)( + 2)( + 3 + 4)( + 2) ( + 3)( + 1)( + 4)

= ( + 2)( + 3)( + 1)( + 1)( + 4)( + 3) ( + 2)( + 4 + 1)( + 3 + 4)( + + 1) ( + 2 + 4)( + + 2)( + 4 + 2)

 Dan seterusnya

Untuk memeriksa bahwa polinomial yang diperoleh merupakan polinomial irredusibel dan polinomial primitif digunakan dua teorema berikut ini.

Teorema 5.11. Jika p adalah prima dan m adalah intejer positif, maka berlaku : 1) Produk dari semua polinomial irredusibel monik dalam Ζp[x] yang derajatnya

membagi m atau faktor dari m sama dengan − .

2) Misalkan f(x) adalah polinomial berderajat m dalam Ζp[x], maka f(x) irredusibel atas Ζ_p[x] jika dan hanya jika ( ), − = 1, untuk setiap 1 ≤ ≤

Bukti :

1) Misalkan f(x) polinomial irredusibel atas Ζp berderajat m, dimana | . Untuk kasus f(x) = x trivial. Asumsi ( )≠ . Gunakan f(x) untuk membuat field GF(p^m), maka f(x) merupakan polinomial minimum. Misalkan ( )= −

dan dari Teorema 5.5.4 maka ( ) − 1. Dengan memandang Lemma 5.8 dan karena | maka − 1| − 1 dan − − ↔

− 1 − 1. Dengan demikian ( ) − . Sebaliknya misalkan f(x) pembagi dari − , polinomial irredusibel dan berderajat m. Akan ditunjukkan bahwa | . Asumsi ( ) ≠ → ( ) − 1. Gunakan f(x) untuk membuat field GF(p^m) ber order p^m. Misalkan ( ) adalah akar dari f(x) dan ( ) merupakan unsur primitif maka menurut Teorema 2.43 dapat dinyatakan sebagai = + + ⋯ + (*). Karena α adalah akar dari f(x), maka ( )= 0 ↔ − = 0 ↔ = ↔

. = . ↔ = 1.

Dari (*) dan Teorema 2.17 maka ( + ) = + sehingga diperoleh :

− = 0 ↔ = ↔ . = . ↔ = 1

Berdasarkan sifat ketiga pada Ringkasan 2.5 maka − 1| − 1.

Selanjutnya berdasarkan Lemma 5.8 maka diperoleh | .

2) Berdasarkan Teorema 5.11 1), bahwa setiap intejer positif ≥ 1, maka polinomial − adalah produk dari semua irredusibel monik berderajat membagi k. Jadi ( − , ( )) adalah pasti produk dari semua faktor linear f(x). Jika f(x) tidak mempunyai faktor linear maka ( − , ( ))

adalah pasti produk dari semua faktor irredusibel quadratik dari f(x). Jika f(x) tidak irredusibel maka harus dapat dibagi oleh beberapa polinomial irredusibel berderajat paling banyak /2 dan jika g(x) adalah faktor irredusibel dari f(x) berderajat minimum (misalkan k), maka ≤ /2. Jadi ( − , ( )) ≠ 1. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian.

Sebaliknya jika f(x) adalah irredusibel, maka − , ( ) = 1, untuk setiap 1 ≤ ≤ . Jadi untuk mengetes f(x) adalah irredusibel, hal ini cukup dites − , ( ) = 1 untuk setiap intejer positif 1 ≤ ≤

. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa f(x) adalah irredusibel Teorema 5.12. Misalkan p adalah bilangan prima dan misalkan mempunyai faktor-faktor prima yang berbeda dari p^m-1 adalah r1, r2, …, rt maka polinomial irredusibel ( ) ( )[ ] adalah primitif jika dan hanya jika untuk setiap 1 ≤ ≤ berlaku ≠ 1( ( ))

Bukti :

Misalkan p adalah bilangan prima dan misalkan faktorisasi dari − 1 adalah r₁, r₂, …, r_t , dimana r₁, r₂, …, r_t adalah polinomial irredusibel atas GF(p)[x].

Akan dibuktikan bahwa jika x adalah unsur primitif atas GF(p^m)* maka berlaku

≠ 1 ( ) untuk setiap 1 ≤ ≤

Misalkan d dinotasikan order dari x. Kita tahu bahwa d adalah pembagi dari

− 1 dan x adalah primitif jika dan hanya jika = − 1.

Pertama, andaikan bahwa ≡ 1( ( )) untuk beberapa i, maka jelas bahwa

≤ − 1/ sehingga pasti ≠ − 1. Sebaliknya, andaikan bahwa ≠ 1 ( ) untuk 1 ≤ ≤ dan juga ≠ − 1. Karena d adalah pembagi dari

− 1 dan < − 1 maka terdapat polinomial irredusibel ri dimana 1 ≤ ≤ sedemikian sehingga ri adalah pembagi dari ( − 1)/ . Tetapi ini berakibat bahwa d adalah pembagi ( − 1)/ . Dengan demikian ≡ ≡ 1( ( )). Hal ini

kontradiksi dengan pernyataan bahwa ≠ 1 ( )

Seperti yang telah dijelaskan dalam Bab III, bahwa (5 ) dapat direpresentasikan ke dalam bentuk polinomial dan vektor. Demi kemudahan komputasi dalam penelitian ini digunakan representasi vector. Berikut ini diberikan ilustrasi operasi penjumlahan dengan representasi vektor.

Misalkan diberikan vektor = (0, 1, 2, 3) sebagai representasi dari ( ) = + 2 + 3 dan vektor = (2, 2, 3, 1) sebagai reprentasi dari ( ) = 2 + 2 + 3 + dalam (5 ), maka

+ = (0, 1, 2, 3) + (2, 2, 3, 1) =

(0 + 2) 5, ( 1 + 2) 5, ( 2 + 3) 5, ( 3 + 1) 5 = (2, 3, 0, 4).

Untuk mengkonstruksi aritmetik GF (5^m) dalam penelitian ini langkah pertamanya adalah dengan memilih polinomial primitif berderajat m atas Z5, misal ( ) ∈ [ ] dimana ( ) = + + ⋯ + sehingga diperoleh unsur primitif α dengan M(α) = 0. Kemudian, tentukan basis dari GF(5^m) sebagai ruang vektor atas Z5, yaitu {1, α¹, α², …, α^m-1}. Dengan demikian, diperoleh

himpunan (5 ) = { + + ⋯ | , , … , ∈ (5)}.

Kemudian semua unsur dari (5 ) direpresentasikan ke dalam bentuk ruang vektor berdimensi m atas . Tabel berikut ini menunjukkan adanya hubungan antara representasi elemen primitif, representasi basis polinomial, representasi vektor penta, dan representasi integer dalam (5 ) yang dibangun oleh polinomial primitif ( ) = + + 2

Tabel 2. Representasi finite field ( ) No. Elemen

primitif Representasi Basis Vektor penta Integer

1 0 0 (0, 0) 0

2 = 1 1 (1, 0) 1

3 (0, 1) 5

4 3 + 4 (3, 4) 23

5 2 + 4 (2, 4) 22

6 2 + 3 (2, 3) 17

7 4 + 4 (4, 4) 24

8 2 (2, 0) 2

9 2 (0, 2) 10

10 1 + 3 (1, 3) 16

11 4 + 3 (4, 3) 19

12 4 + (4, 1) 9

13 3 + 3 (3, 3) 18

14 4 (4, 0) 4

15 4 (0, 4) 20

16 2 + (2, 1) 7

17 3 + (3, 1) 8

18 3 + 2 (3, 2) 13

19 1 + (1, 1) 6

20 3 (3, 0) 3

21 3 (0, 3) 15

22 4 + 2 (4, 2) 14

23 1 + 2 (1, 2) 11

24 1 + 4 (1, 4) 21

25 2 + 2 (2, 2) 12

Bagaimana memilih polinomial primitif? Sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya, polynomial primitif adalah polinomial irredusibel yang akarnya adalah generator dari GF(5)*. Oleh karena itu, diperlukan pemilihan polinomial irredusibel terlebih dahulu. Sesuai dengan Teorema 3.14, diperoleh Algoritme pengetesan polinomial irredusibel sebagai berikut :

Algoritme 5.1. Pengetesan polinomial irredusibel

Setelah kita mendapatkan polinomial irredusibel, kemudian memeriksa apakah polinomial irredusibel yang didapatkan tersebut merupakan polinomial primitif atau bukan. Untuk memeriksa polinomial irredusibel adalah primitif, digunakan Algoritme 5.2. Berdasarkan Teorema 3.15 diperoleh Algoritme 5.2 sebagai berikut :

Algoritme 5.2. Pengetesan polinomial primitif Deskripsi : Mengetes Vektor Apakah Irredusibel atau Redusibel Input : Vektor A

Output : True atau False

1. a = banyaknya unsur A – 1, = ( /2) dibulatkan ke bawah 2. W = [0, 1]

3. Untuk I dari 1 sampai m, lakukan secara berulang : 3.1. W = W pangkat 5 modulo A

3.2. U= Jumlahkan W dengan [0, 4] menggunakan algoritme 5.4

3.3. H = FPB(U,A)

3.4. h = banyaknya unsur H 3.5. jika h > 1, maka return(false) 4. Return (True)

Deskripsi : Mengetes Vektor Irredusibel Apakah Primitif atau Bukan Input : Vektor A

Output : True atau False

1. m = banyaknya unsur A – 1, h = 5^m – 1 2. F = faktorkan h

3. a = banyaknya unsur F

4. Untuk i dari 1 sampai a, lakukan secara berulang 4.1. k = h/i

4.2. H = [0, 1] pangkat k modulo A 4.3. Jika H = [1], maka return(false) 5. Return(True)

Untuk mempercepat komputasi, dipilih polinomial primitif yang bersuku terkecil. Hal ini sangatlah beralasan, sebab operasi pada finite field (5 ) dilakukan dalam modulo f(x), dimana f(x) merupakan polinomial primitif. Dengan memilih polinomial primitif bersuku terkecil akan mengakibatkan proses komputasi yang dijalankan lebih cepat dibandingkan dengan menggunakan polinomial primitif biasa. Adapun polinomial primitif yang sudah diperoleh dapat dilihat di Lampiran I.

5.2.1. Penjumlahan Polinomial

Seperti telah dijelaskan di atas, solusi yang digunakan di sini dengan menggunakan representasi vektor penta. Misal diberikan dua sembarang fungsi

polinomial ( ) = + + ⋯ dan ( ) = + + ⋯

maka bentuk field penjumlahannya adalah sebagai berikut :

( ) + ( ) = ( + ) + ( + ) + ⋯ +( + )

Fungsi polinomial a(x) direpresentasikan sebagai vektor penta

= [ , , … , ], sedangkan fungsi polinomial b(x) sebagai vektor

= [ , , … , ]. Operasi penjumlahan yang digunakan di sini yaitu instruksi xor. Sebagai contoh, diberikan sembarang fungsi polinomial ( )= 3 + 2 + 2 + 4 dan ( ) = 2 + . Maka bentuk representasi vektor penta

( ): = [3, 2, 2, 0, 4] dan bentuk representasi vektor penta ( ): = [2, 0, 0, 0, 1]. Untuk menghemat pemakaian ruang yang besar dalam komputasi, maka dilakukan reduksi nol pada vektor A atau B. Pada contoh di atas, vektor A dan vektor B memiliki elemen yang sama, maka penjumlahannya sebagai berikut :

C = A + B

= [(3+2) mod 5, (2+0) mod 5, (2+0) mod 5, (0+0) mod 5, (4+1) mod 5]

= [0, 2, 2, 0, 0].

Setelah diperoleh Vektor C, kemudian dilakukan reduksi nol sehingga :

= [0, 2, 2].

Algoritme 5.3. Penjumlahan polinomial

Pembentukan Algoritme 5.3. ini didasarkan pada Teorema 2.45.

Keistimewaan Algoritme ini adalah pada setiap melakukan operasi selalu melibatkan Algoritme Reduksi Nol. Algoritme Reduksi Nol dapat mengurangi jumlah operasi pada konstruksi algoritme-algoritme aritmetik berikutnya sehingga secara otomatis akan mampu mempercepat proses komputasi. Hal ini mengakibatkan banyaknya operasi pada Algoritme 5.4 ini dapat diminimalkan sehingga akan mempercepat proses komputasinya.

Algoritme 5.5. Algoritme Reduksi Nol Deskripsi : Menambahkan vektor A dan B dalam modulo 5

Input : Vektor = [ , , … , ], vektor = [ , , … , ], dan intejer positif m

Output : Vektor = [ , , … , ]

1. Tentukan vektor A, dan vektor B 2. Jika = [0], maka C = B

3. Jika B= [0], maka C = A 4. Jika s=t, maka

4.1. = {[( + ) 5, ( + ) 5, … , ( + ) 5]}

4.2. Lakukan reduksi nol dengan menggunakan algoritme 5.4 5. Jika s < t, maka

5.1. = {[( + ) 5, ( + ) 5, … , 5]}

Lainnya = {[( + ) 5, ( + ) 5, … , 5]}

6. Return (C)

Deskripsi : Mereduksi nol pada posisi sebelah kanan Input : Vektor T dan bilangan posotof t.

Output : Vektor

1. T = R, t = banyaknya unsur T

2. Untuk j selama T[t] = 0 dan t >1, lakukan berulang

2.1. Ganti unsur ke-j dari vektor T dengan himpunan kosong 2.2. t = t - 1

3. Return (R)

Algoritme Reduksi Nol di atas jika digunakan pada sebuah algoritme dapat mengurangi jumlah operasi pada algoritme itu sendiri sehingga secara otomatis akan mampu mempercepat proses komputasi. Cara kerja Algoritme ini adalah menghilangkan anggota sebuah vektor yang terletak di sebelah kanan dan bernilai nol.

5.2.2. Perkalian Polinomial

Dua algoritme berikut ini yaitu Algoritme 5.5 dan Algoritme 5.6 digunakan untuk menunjang Algoritme Perkalian sehingga proses komputasi yang digunakan akan lebih baik daripada melakukan perkalian biasa.

Algoritme 5.5. Kelipatan vektor

Algoritme 5.5 ini sangatlah baik karena hanya melibatkan perkalian vektor dengan skalar.

Deskripsi : Mengalikan vektor A dengan skalar n

Input : Vektor = [ , , … , ], dan intejer positif {0, 1, . . . , 4}

Output : Vektor

1. Jika n = 0, maka return([0]) 2. Jika n = 1, maka return(A) 3. Selainnya = ( ∗ ) 5 4. Return (C)