vii ABSTRAK
Antrian adalah suatu kondisi dengan subyek-subyek menuju suatu area untuk dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan oleh mekanisme pelayanan yang mengalami kesibukan. Masalah ini memerlukan model matematika untuk memahami perilaku sistem antrian. Model antrian dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial akan diulas dalam skripsi ini. Unsur-unsur antrian seperti model antrian, sikap subyek terhadap antrian, waktu tunggu, serta disiplin antrian mempunyai karakteristik yang harus dipelajari.
Dalam skripsi ini disiplin antrian yang digunakan adalah disiplin antrian prioritas yaitu pelayanan diberikan kepada subyek yang mempunyai prioritas yang lebih tinggi dibanding subyek yang lain. Model antrian yang diterapkan untuk menganalisis antrian layanan BPJS Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta yang bertujuan untuk mengevaluasi penyebab masalah antrian yang terjadi.
viii ABSTRACT
Queueing is a condition where the subjects go to a particular area to be served and face a lateness due to a busy-service mechanism. This problem needs a mathematical model to understand the queueing system behavior. The queueing model with Poisson distributed arrival and Exponential distributed service time will be discussed in this thesis. The elements of queue, such as the queue model, the subject behavior towards the queue, the waiting time, and the queue discipline respectively have characteristics that need to be studied.
i
MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN
BERDISTRIBUSI POISSON DAN WAKTU PELAYANAN
BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL
(Studi Kasus: Antrian Prioritas Layanan BPJS RS Panti Rapih)
SKRIPSIDiajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun oleh:
Amalya Widiastuti
NIM: 123114017
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
ii
THE QUEUEING MODEL WITH POISSON DISTRIBUTED
ARRIVAL AND EXPONENTIAL DISTRIBUTED SERVICE
TIME
(Case Study: Priority Queue of BPJS Service at
Panti Rapih Hospital)
A THESIS
Presented as a Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by:
Amalya Widiastuti
Student ID: 123114017
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
iii SKRIPSI
MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI
POISSON DAN WAKTU PELAYANAN BERDISTRIBUSI
EKSPONENSIAL
(Studi Kasus : Antrian Prioritas Layanan BPJS RS Panti Rapih)
Disusun oleh:
Nama: Amalya Widiastuti
NIM: 123114017
Telah disetujui oleh:
Dosen pembimbing skripsi
iv SKRIPSI
MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI
POISSON DAN WAKTU PELAYANAN BERDISTRIBUSI
EKSPONENSIAL
(Studi Kasus: Antrian Prioritas BPJS RS Panti Rapih) Disiapkan dan ditulis oleh:
Amalya Widiastuti NIM: 123114017
Telah dipertahankan dihadapan Panita Penguji Pada tanggal 16 November 2016 Dan dinyatakan memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji
Nama lengkap tanda tangan
Ketua: Sudi Mungkasi, Ph.D. ... Sekertaris: Y.G. Hartono, Ph.D. ... Anggota: Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. ...
Yogyakarta, Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Sanata Dharma
Dekan
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
*Jangan pernah menunda sesuatu, sebab menunda adalah
masalah.
Karya tulis ini ku persembahkan untuk:
Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat selesai,
Mama yang selalu mendoakan ku dan memberi perhatian serta kasih sayang hingga saat ini.
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 17 Oktober 2016
vii ABSTRAK
Antrian adalah suatu kondisi dengan subyek-subyek menuju suatu area untuk dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan oleh mekanisme pelayanan yang mengalami kesibukan. Masalah ini memerlukan model matematika untuk memahami perilaku sistem antrian. Model antrian dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial akan diulas dalam skripsi ini. Unsur-unsur antrian seperti model antrian, sikap subyek terhadap antrian, waktu tunggu, serta disiplin antrian mempunyai karakteristik yang harus dipelajari.
Dalam skripsi ini disiplin antrian yang digunakan adalah disiplin antrian prioritas yaitu pelayanan diberikan kepada subyek yang mempunyai prioritas yang lebih tinggi dibanding subyek yang lain. Model antrian yang diterapkan untuk menganalisis antrian layanan BPJS Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta yang bertujuan untuk mengevaluasi penyebab masalah antrian yang terjadi.
viii ABSTRACT
Queueing is a condition where the subjects go to a particular area to be served and face a lateness due to a busy-service mechanism. This problem needs a mathematical model to understand the queueing system behavior. The queueing model with Poisson distributed arrival and Exponential distributed service time will be discussed in this thesis. The elements of queue, such as the queue model, the subject behavior towards the queue, the waiting time, and the queue discipline respectively have characteristics that need to be studied.
ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Amalya Widiastuti
NIM : 123114017
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
Model Antrian Dengan Kedatangan Berdistribusi Poisson Dan Pelayanan
Berdistribusi Eksponensial
(Studi Kasus: Antrian Prioritas Layanan BPJS RS Panti Rapih)
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal 16 November 2016 Yang menyatakan
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Allah SWT atas berkat yang selalu menyertai penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Skripsi ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma.
Banyak tantangan dalam proses penulisan skripsi ini, namun dengan penyertaan Allah SWT serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya skripsi ini dapat diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah diberikan sehingga terselesaikannya skripsi ini.
2. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Program Studi Matematika sekaligus Dosen Pembimbing Akademik Matematika 2012. 3. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas
Sains dan Teknologi.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen Prodi Matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.
xi
Arum, Eni dan Adi yang selalu memberikan dukungan, doa, dan semangat sehingga terselesaikannya skripsi ini.
6. Sahabat BSD (Rian dan Fitri), teman-teman Matematika 2012 (Ajeng, Putri, Sila, Anggun, Noni, Manda, Happy, Dewi, Rian, Budi, Ega, Boby, Tika, Ferny, Juli, Ilga, Oxi, dan Risma), Nawacatur, Bovis, dan Nancy Amanda, Ensi, dan Linda yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, dan memberikan keceriaan serta dukungan selama masa kuliah. 7. Rumah Sakit Panti Rapih yang telah mengizinkan penulis melakukan
penelitian pada skripsi ini.
8. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Semoga segala doa, perhatian, dukungan, bantuan, dan cinta yang telah diberikan mendapatkan balasan dari Allah SWT.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penelitian selanjutnya. Harapan penulis, semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan menjadi referensi belajar yang baik.
Yogyakarta, 17 Oktober 2016 Penulis,
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INDONESIA ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRACT ... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ... ix
KATA PENGANTAR ... x
DAFTAR ISI ... xii
DAFTAR TABEL ... xv
DAFTAR GAMBAR ... xvi
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Rumusan Masalah ... 3
C. Batasan Masalah ... 3
D. Tujuan Penulisan ... 4
E. Metode Penulisan ... 4
F. Manfaat Penulisan ... 4
xiii
BAB II DASAR- DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA ... 7
A.Peluang ... 7
B. Nilai Harapan ... 17
C.Variansi ... 25
D.Fungsi Pembangkit Momen (FPM) ... 27
E. Distribusi Poisson ... 29
F. Distribusi Gamma ... 32
G.Distribusi Eksponensial ... 39
H.Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov ... 40
BAB III TEORI ANTRIAN ... 45
A.Proses Antrian ... 45
B. Unsur-Unsur Antrian ... 45
C.Aturan Distribusi Eksponensial ... 51
D.Proses Poisson ... 53
E. Waktu Antar Kedatangan ... 60
F. Hubungan Antara Distribusi Poisson dengan Distribusi Eksponensial.64 G.Model Antrian Poisson yang Diperumum ... 65
H.Antrian Poisson Khusus ... 70
I. Model Antrian dengan Pelayanan Tunggal Kapasitas Tak Hingga ... 75
J. Model Antrian dengan Pelayanan Kapasitas Tak Hingga ... 81
xiv
A. Sistem Antrian Pelayanan BPJS di Rumah Sakit Panti Rapih dan
Harapan Pasien ... 87
B. Analisis Deskriptif Data Waktu Kedatangan dan Waktu Pelayanan ... 93
C. Analisis Sistem Antrian Layanan BPJS ... 97
D. Analisis Perhitungan Performa Antrian ... 107
E. Evaluasi dan Saran Untuk Sistem Antrian ... 109
BAB V PENUTUP ... 110
A. Kesimpulan ... 110
B. Saran ... 111
DAFTAR PUSTAKA ... 112
xv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Fungsi peluang banyaknya bola merah yang terambil ... 12
Tabel 2.2 Fungsi probabilitas bersama... 15
Tabel 2.3 Fungsi probabilitas dari variabel acak ... 23
Tabel 2.4 Data suatu sampel acak ... 42
Tabel 2.5 Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov secara manual ... 43
Tabel 2.6 Uji Sampel tunggal Kolmogorov-Sminrov dengan SPSS... 44
Tabel 3.1 Hubungan antara distribusi Poisson dengan distribusi Eksponensial di antrian ... 64
Tabel 3.2 Sistem pelayanan pada Toko Grosir B&K ... 68
Tabel 3.3 Hasil perhitungan performa antrian dengan software MATLAB ... 85
Tabel 4.1 Pembagian tugas loket dalam melayani pasien ... 91
Tabel 4.2 Jawaban dari pertanyaan nomor 1 oleh responden ... 92
Tabel 4.3 Jawaban responden mengenai waktu mengantri ... 92
Tabel 4.4 Informasi kedatangan dan waktu pelayanan sistem antrian ... 94
Tabel 4.5 Statistik hasil uji distribusi kedatangan ... 96
Tabel 4.6 Statistik hasil uji waktu pelayanan ... 97
xvi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Antrian orang yang menunggu dilayani ... 2
Gambar 1.2 Antrian peti kemas yang menunggu dikirim ... 2
Gambar 2.1 Pemetaan ... 11
Gambar 3.1 Model antrian satu saluran satu fase ... 48
Gambar 3.2 Model antrian satu saluran multi fase ... 49
Gambar 3.3 Model antrian multi saluran satu fase ... 50
Gambar 3.4 Model antrian multi saluran multi fase ... 50
Gambar 3.5 Ilustrasi waktu tunggu ... 61
Gambar 3.6 Diagam transisi antrian Poisson ... 66
Gambar 3.7 Skema antrian Poisson khusus ... 71
Gambar 4.1 Ilustrasi antrian layanan BPJS RS Panti Rapih ... 87
Gambar 4.2 Pengambilan tiket antrian layanan BPJS ... 89
Gambar 4.3 Pasien yang menunggu untuk dilayani ... 89
Gambar 4.4 Pasien yang sedang mendapatkan pelayanan oleh petugas di loket (server) ... 90
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Antrian masih menjadi masalah yang sering ditemukan di fasilitas pelayanan umum. Antrian adalah suatu kondisi dengan subyek-subyek menuju suatu area untuk dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan oleh mekanisme pelayanan yang mengalami kesibukan. Dalam hal ini terjadi waktu tunggu yaitu waktu yang diperlukan dalam sebuah antrian. Antrian yang terbentuk dalam pelayanan terjadi akibat kurangnya jumlah pelayanan, banyaknya kedatangan, dan waktu tunggu yang lama. Kedatangan dan waktu pelayanan yang berbeda-beda, setiap orang yang terlibat dalam antrian akan memiliki waktu tunggu yang berbeda-beda. Terjadinya antrian merupakan sesuatu yang kurang baik dalam suatu pelayanan karena membuat orang yang terlibat dalam antrian harus menunggu untuk dilayani.
Berikut ini adalah contoh nyata sebuah antrian, yang ditunjukkan oleh Gambar 1.1 dan Gambar 1.2.
Gambar 1.1 Antrian orang yang menunggu dilayani.
Gambar 1.2 Antrian peti kemas yang menunggu dikirim.
Dalam karya tulis ini akan dibahas mengenai model antrian dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial dan juga akan dipelajari ukuran kinerja sistem dalam antrian seperti rata-rata banyaknya subyek dalam sistem antrian, rata-rata banyaknya subyek yang menunggu dalam antrian, waktu tunggu subyek yang dihabiskan dalam sistem, dan waktu tunggu subyek yang dihabiskan dalam antrian.
tulis ini, penulis melakukan penelitian dari suatu layanan antrian. Obyek yang dijadikan penelitian adalah antrian layanan BPJS di Rumah Sakit Panti rapih. Penulis akan mengambil data secara langsung dan mengolah data serta akan menganalisis ukuran kinerja sistem sehingga menghasilkan suatu usulan perbaikan.
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang dibicarakan pada tugas akhir ini adalah: 1. Bagaimana dasar-dasar teori antrian?
2. Bagaimana distribusi Poisson dan Eksponensial dapat dipergunakan dalam sebuah antrian?
3. Bagaimana ukuran kinerja sistem pada model antrian dengan kedatangan yang berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan yang berdistribusi Eksponensial?
C. Batasan Masalah
Dalam pembuatan tugas akhir ini ada beberapa hal yang dibatasi agar permasalahan tidak meluas atau tidak sesuai dengan tujuan awal. Berikut adalah batasan masalahnya:
1. Model yang dibahas adalah model dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
2. Model yang dibahas adalah:
a. Model antrian dengan pelayanan tunggal yaitu ∕ ∕ : ⁄∞⁄ .∞ b. Model antrian dengan pelayanan yaitu ∕ ∕ : ⁄∞⁄ .∞
4. Data yang digunakan adalah data antrian layanan BPJS di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta.
D. Tujuan penulisan
Penulisan ini bertujuan membahas dasar-dasar teori sebuah antrian, peranan distribusi Eksponensial dalam sebuah antrian serta penerapannya pada masalah antrian layanan BPJS di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta.
E. Metode Penulisan
Metode penulisan yang dipakai adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca referensi buku-buku pendukung dan jurnal yang mengenai antrian dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Jenis-jenis sumber pustaka yang digunakan dicantumkan dalam daftar pustaka.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diperoleh dari karya tulis ini adalah:
1. Bagi penulis: memahami mengenai teori antrian dan mampu menganalisis masalah antrian.
G. Sistematika Penulisan
BAB I : PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Metode Penulisan F. Manfaat Penulisan
BAB II : DASAR-DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA A. Peluang
B. Nilai Harapan atau Mean C. Variansi
D. Fungsi Pembangkit Momen (FPM) E. Distribusi Poisson
F. Distribusi Gamma G. Distribusi Eksponensial
H. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov
BAB III TEORI ANTRIAN A. Proses Antrian B. Unsur-Unsur Antrian
D. Proses Poisson
E. Waktu Antar Kedatangan
F. Model Antrian Poisson yang Diperumum G. Antrian Poisson Khusus
H. Model Antrian Tunggal dengan Kapasitas Tak Hingga I. Model Antrian dengan Pelayanan Kapasitas Tak Hingga
BAB IV: ANALISIS ANTRIAN LAYANAN BPJS RUMAH SAKIT PANTI RAPIH YOGYAKARTA
A. Sistem Antrian Pelayanan BPJS Rumah Sakit Panti Rapih
B. Analisis Deskriptif Data Waktu Kedatangan dan Waktu Pelayanan C. Analisis Sistem Antrian BPJS
D. Analisis Perhitungan E. Evaluasi dan Saran
7 BAB II
DASAR-DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA
Dalam Bab ini akan disajikan dasar-dasar teori peluang dan statistika sebagai landasan pembahasan skripsi ini.
A. Peluang
Definisi 2.1 Ruang Sampel
Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan simbol .
Contoh 2.1
Percobaan pelemparan sekeping koin sebanyak dua kali dengan kedua sisinya yaitu gambar dan angka, ruang sampel dari percobaan tersebut adalah
{ , , , }.
Simbol menyatakan “Gambar” pada sisi koin dan simbol menyatakan “Angka” pada sisi koin.
Definisi 2.2 Kejadian
Contoh 2.2
Percobaan pengambilan 3 buah bola yang diambil secara satu per satu tanpa pengembalian dari kantong yang berisi 9 buah bola dengan 3 buah bola berwarna hijau, 3 buah bola berwarna merah, dan 3 buah bola berwarna biru.
: Kejadian terambilnya bola pertama berwarna hijau.
Maka = { , , , , , , , , }
dengan menyatakan “bola berwarna hijau”, menyatakan “bola berwarna
merah”, dan menyatakan “bola berwarna biru”.
Definisi 2.3
Misalkan dan adalah adalah kejadian dari ruang sampel , maka: 1. Gabungan dari dua kejadian dinotasikan dengan
= { | � � }.
2. Irisan dari dua kejadian dinotasikan dengan = { | � � }.
3. Komplemen suatu kejadian dinotasikan � dengan
� = { � | }.
4. Selisih dari kejadian dan dinotasikan \ dengan
\ = �.
Definisi 2.4 Peluang
Diberikan ruang sampel dan kejadian dari . Peluang dari dinotasikan � yang memenuhi:
1. � . 2. � = .
3. Jika , , , …. adalah kejadian yang saling asing di maka
� … = ∑ � �
∞
�=
.
Definisi 2.5 Peluang Suatu Kejaadian
Diberikan kejadian pada ruang sampel , peluang terjadinya adalah
� =
dengan adalah banyaknya anggota terjadi dan adalah banyaknya anggota ruang sampel .
Contoh 2.3
Pelemparan koin sebanyak dua kali. Berapa peluang munculnya minimal 1 sisi
“Angka”?
Ruang sampel pada percobaan tersebut adalah
= { , , , }
dengan menyatakan “Angka” pada sisi koin dan menyatakan “Gambar” pada sisi koin. Jika adalah kejadian yang menyatakan terjadinya minimal munculnya
Definisi 2.6 Peluang Bersyarat
Diberikan dua kejadian dan dalam ruang sampel . Peluang kejadian setelah kejadian terjadi dinotasikan dengan � | ,
� | =� � , � > .
Dua kejadian dan saling bebas jika � = � � .
Contoh 2.4
Diberikan ruang sampel = { , , , , , } dan misalkan adalah kejadian bilangan genap di dan adalah kejadian bilangan yang lebih dari 3 di maka diperoleh = { , , } , = { , , }. Tentukanlah apakah dan saling bebas. Jawab:
= { , } berarti � = = ,
� = = dan � = = ,
oleh karena � � = ≠ � = maka dan tidak saling bebas.
Definisi 2.7 Variabel Acak
Variabel acak adalah fungsi bernilai real yang nilainya ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel.
Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital dan nilainya dinotasikan dengan huruf kecil. Misalkan merupakan variabel acak maka nilai dari adalah
Contoh 2.5
Percobaan pengambilan 2 buah bola tanpa pengembalian dari kantong yang berisi 4 buah bola berwarna merah dan 3 buah bola berwarna hijau. Misalkan variabel acak menyatakan banyaknya bola berwarna merah yang terambil.
Ruang sampel pada percobaan tersebut:
= { , , , }
dengan menyatakan bola berwarna “Merah” dan menyatakan bola berwarna
“Hijau”.
= banyaknya bola berwarna merah yang terambil.
Nilai numerik 0, 1, atau 2 dapat diberikan pada setiap titik sampel dimana nilai 0, 1, atau 2 merupakan besaran acak yang nilainya ditentukan dari percobaan.
ℝ
Gambar 2.1 Pemetaan .
Definisi 2.8 Variabel Acak Diskrit
Sebuah variabel acak dikatakan variabel acak diskrit jika himpunan dari kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas maka variabel random di atas disebut variabel random kontinu.
Definisi 2.9 Fungsi Probabilitas Diskrit
Himpunan pasangan terurut , � adalah suatu fungsi probabilitas diskrit untuk setiap kemungkinan hasil yang mungkin jika:
1. � untuk setiap � ℝ. 2. ∑ � = .
Contoh 2.6
Dari contoh 2.5 tentukan fungsi peluang banyaknya bola berwarna merah yang terambil.
Jawab:
Pada gambar 2.1 nilai adalah bilangan-bilangan yang menyatakan banyaknya bola berwarna merah yang terambil.
Tabel 2.1 Fungsi peluang banyaknya bola merah yang terambil.
�
� = =( (
( = ,
� = =( (
( = = ,
� = =( (
Definisi 2.10 Fungsi Probabilitas Kontinu
Fungsi adalah fungsi probabilitas (probability function) untuk variabel random kontinu , jika:
1. untuk setiap � ℝ. 2. −∞∞ = .
3. � = −∞∞ .
Contoh 2.7
Andaikan suhu dalam 0C dalam sebuah percobaan adalah variabel acak kontinu yang mempunyai fungsi densitas:
= { , − < <, lainnya
a. Buktikan bahwa adalah fungsi probabilitas. b. Tentukan � < .
Jawab:
a. Menurut definisi 2.10 (2) jelas ,
∫ = ∫ = |− =
− .
∞ −∞
Definisi 2.11 Distribusi Fungsi Kumulatif
Fungsi distribusi kumulatif dari sebuah variabel random diskrit dan kontinu didefinisikan sebagai berikut
= � =
{ ∑
∀
,jika diskrit,
∫
−∞ ,jika kontinu.
Definisi 2.12 Fungsi Probabilitas Bersama Diskrit
Fungsi , adalah fungsi probabilitas bersama diskrit jika variabel acak dan memenuhi:
1. , , ∀ , .
2. ∑ ∑ , = .
Untuk setiap di bidang , �[ , ] = ∑ ∑� , .
Contoh 2.8
Dua buah pensil dipilih secara acak dari kotak yang berisikan 3 buah pensil berwarna biru, 2 buah pensil berwarna merah, dan 3 buah pensil berwarna hijau. Jika adalah banyaknya pensil biru yang terpilih dan adalah banyaknya pensil merah yang terpilih. Tentukan fungsi probabilitas bersama untuk fungsi , . Jawab:
Misalkan , adalah kemungkinan terpilihnya pensil berwarna hijau dan pensil berwarna merah. Banyaknya kemungkinan terpilihnya 2 pensil dari kotak tersebut adalah ( = . Banyaknya kemungkinan terpilihnya 1 pensil merah dari 2 pensil merah di dalam kotak dan terpilihnya 1 pensil hijau dari 3 pensil hijau di kotak adalah ( ( = . Jadi , = = . Perhitungan yang sama dapat digunakan untuk mencari kemungkinan-kemungkinan pada kasus yang lainnya. Secara umum
diperoleh , = ( − −
(8 untuk setiap = , , ; = , , ; dan
+ .
Tabel 2.2 Fungsi probabilitas bersama.
Definisi 2.13 Fungsi Probabilitas Bersama Kontinu
Fungsi , adalah fungsi probabilitas bersama kontinu dengan variabel acak dan jika:
1. , , ∀ , .
2. −∞∞ −∞∞ , = .
, Total Baris
0 1 2
0 1
2 0
Contoh 2.9
Diberikan , sebagai berikut:
, = { + ,
,
, ,
Tunjukkan bahwa −∞∞ −∞∞ , = . Jawab:
Integral dari , adalah
∫ ∫∞ ,
−∞ ∞
−∞ = ∫ ∫ +
= ∫ + | ==
= ∫ ( + )
= + |
= +
= .
Definisi 2.14 Variabel Acak Saling Bebas
Misalkan mempunyai fungsi distribusi , mempunyai fungsi distribusi ℎ dan , mempunyai fungsi distribusi bersama , . Maka dan
dikatakan saling bebas jika dan hanya jika
, = ℎ
untuk setiap pasangan bilangan real , .
Jika dan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas bersama , dan fungsi distribusi dari masing-masing variabel dan adalah dan ℎ , maka dan saling bebas jika dan hanya jika
, = ℎ
untuk semua pasangan bilangan real , .
Jika dan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama , dan fungsi fungsi distribusi dari masing-masing variabel dan adalah dan ℎ , maka dan saling bebas jika dan hanya jika
, = ℎ
untuk semua pasangan bilangan real , .
Contoh 2.10
Pada contoh 2.8 variabel acak dan tidak saling bebas sebab berdasarkan definisi 2.14 dan saling bebas jika , = ℎ untuk setiap pasangan bilangan real , . Pasangan bilangan real , diperoleh = , ℎ = , dan
ℎ = × = ≠ , = .
B. Nilai Harapan
Definisi 2.15 Nilai Harapan atau Mean (Rata-rata)
= = ∑ ; jika adalah variabel acak diskrit,
= = ∫∞
−∞
; jika adalah variabel acak kontinu.
Contoh 2.11
Diberikan 7 sampel dengan 4 sampel tergolong tidak rusak dan 3 sampel lainnya tergolong rusak. Bila dilakukan pengambilan 3 sampel secara acak, tentukanlah nilai harapan terpilihnya sampel yang tidak rusak dari pengambilan tersebut. Andaikan variabel acak yang menunjukkan banyaknya komponen yang tidak rusak pada sampel. Fungsi probabilitas distribusi dari adalah
= ( ( −
( , = , , ,
sehingga diperoleh
= , = , = ,
nilai harapan adalah
= = + + + = = .
jadi nilai harapan dari terpilihnya sampel yang tidak rusak dari pengambilan tersebut adalah . .
Contoh 2.12
, = { , > , lainnya
Tentukanlah nilai harapan .
Menurut definsi nilai harapan diperoleh:
= = ∫∞ = ∫∞ = .
Nilai harapan dari adalah .
Definisi 2.16 Nilai Harapan Fungsi Variabel Acak
Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas dan adalah fungsi yang bernilai real dari . Nilai harapan adalah:
= [ ] = ∑ ; jika adalah variabel acak diskrit,
= [ ] = ∫∞
−∞
; jika adalah variabel acak kontinu.
Lemma 2.1
Diberikan suatu konstanta tak nol maka = . Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
= ∑ = ∑ = = .
Untuk variabel acak kontinu,
= ∫ = ∫ = . ∎
Lemma 2.2
Diberikan suatu konstanta tak nol maka = . Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
= ∑ = ∑ = .
Untuk variabel acak kontinu,
= ∫ = ∫ = . ∎
Teorema 2.1
Diberikan , suatu konstanta, + = + . Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.16 diperoleh sebagai berikut: untuk variabel acak diskrit,
+ = ∑ +
= ∑ +
= ∑ + ∑
Untuk variabel acak kontinu,
+ = ∫∞ +
−∞
= ∫ + ∫∞
−∞ ∞
−∞
= + . ∎
Teorema 2.2 Nilai Harapan dari Jumlahan Dua atau Lebih Fungsi Variabel
Acak
Nilai harapan dari jumlahan dua atau lebih fungsi variabel acak adalah
[ + ℎ ] = [ ] + [ℎ ].
Bukti:
Menurut Definisi 2.16 diperoleh sebagai berikut: untuk variabel acak diskit,
[ + ℎ ] = ∑[ + ℎ ]
= ∑[ + ℎ ]
= ∑ + ∑ ℎ
= [ ] + [ ].
Untuk variabel acak kontinu,
[ + ℎ ] = ∫ [ + ℎ ]
= ∫ + ∫ ℎ∞
−∞ ∞
−∞
= [ ] + [ℎ ]. ∎
Teorema 2.3 Nilai Harapan dari Selisih Dua atau Lebih Fungsi Variabel Acak
[ − ℎ ] = [ ] − [ℎ ].
Bukti:
Menurut Definisi 2.16 diperoleh: untuk variabel acak diskrit,
[ − ℎ ] = ∑[ − ℎ ]
= ∑[ − ℎ ]
= ∑ − ∑ ℎ
= [ ] − [ ].
Untuk variabel acak kontinu,
[ − ℎ ] = ∫ [ − ℎ ]
∞ −∞
= ∫ − ∫ ℎ∞
−∞ ∞
−∞
Contoh 2.13
Diberikan variabel acak dengan fungsi probabilitas sebagai berikut: Tabel 2.3 Fungsi probabilitas dari variabel acak .
0 1 2 3
Carilah nilai harapan = − . Jawab:
Dengan menggunakan Teorema 2.1, Teorema 2.2 dan Teorema 2.3 fungsi = − dapat ditulis sebagai berikut:
[ − ] = − + = − + ,
= ,
= ( ) + ( ) + + ( ) = ,
= ( ) + ( ) + + ( ) = ,
Jadi, nilai harapan = − adalah [ − ] = − + = .
Teorema 2.4 Nilai Harapan dari Perkalian Dua atau Lebih Variabel Acak
Bukti:
Menurut Definisi 2.14 dan Definisi 2.16 untuk , diskrit diperoleh,
= ∑ ∑ ℎ
= ∑ ∑ ℎ
= ∑ ∑ ℎ
= ∑
= .
Menurut Definisi 2.14 dan Definisi 2.16 untuk , kontinu diperoleh,
= ∫ ∫∞
−∞ ∞
−∞ ℎ
= ∫ [∫∞ ℎ
−∞ ]
∞ −∞
= ∫∞
−∞
= ∫∞
−∞
C. Variansi
Definisi 2.17 Variansi
Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas yang diketahui dengan mean . Variansi dari adalah:
� = [ − ] = ∑ − ; jika variabel acak diskrit,
� = [ − ] = ∫∞ −
−∞
; jika variabel acak kontinu.
Akar dari variansi adalah � dan disebut standar deviasi dari .
Contoh 2.14
Perhatikan Contoh 2.11. Tentukan variansi dari .
Diketahui bahwa = . dari perhitungan pada contoh 2.11 diperoleh:
= , = , = , = .
Variansi dari adalah
� = ∑ − .
=
= − . ( ) + − . ( ) + − . ( ) + − . ( )
= . .
Teorema 2.5
Variansi dari variabel acak adalah
Bukti:
Bila adalah variabel acak diskrit diperoleh,
� = ∑ −
= ∑ − +
= ∑ − ∑ + ∑ .
Menurut definisi nilai harapan = ∑ dan menurut definisi fungsi probabilitas diskrit yang ke (2) ∑ = untuk setiap fungsi probabilitas diskrit maka diperoleh
� = ∑ −
= − .
Bila adalah variabel acak kontinu diperoleh
� = ∫∞ −
−∞
= ∫∞ − +
−∞
= ∫ − ∫ + ∫ ∞ .
−∞ ∞
−∞ ∞
Menurut definisi nilai harapan = −∞∞ dan menurut fungsi probabilitas
kontinu yang ke (2) −∞∞ = untuk setiap fungsi probabilitas kontinu maka diperoleh
� = ∫ − ∫ ∞
−∞ ∞
−∞
= − . ∎
D. Fungsi Pembangkit Momen (FPM)
Fungsi pembangkit momen berguna untuk menyelesaikan masalah-masalah komputasi dalam statistika matematis.
Definisi 2.18
Momen ke-� dari variabel acak adalah dan dinotasikan ′ .
Definisi 2.19 Fungsi Pembangkit Momen (FPM)
Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak didefinisikan sebagai berikut
= .
Teorema 2.6 Fungsi Pembangkit Momen dari Jumlahan Variabel Acak
Misalkan , , … , adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen masing-masing adalah , , … , � .
Diketahui , , … , adalah variabel acak yang saling bebas maka menurut Teorema 2.4 dan Definisi 2.19 diperoleh:
=
(Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi) Pada skripsi tersebut, Teorema Ketunggalan dibuktikan secara umum dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu
� = �
dengan � adalah bilangan kompleks.
Perhatikan bahwa FPM adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik dengan mengganti = −� , bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila dan adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama yaitu
∫∞ �
−∞ = ∫
� ∞
maka = (skripsi hal 54).
Berdasarkan Teorema Ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.
E. Distribusi Poisson
Percobaan yang menghasilkan nilai numerik dari variabel acak yang menyatakan banyaknya kejadian khusus yang terjadi selama jangka waktu tertentu disebut percobaan Poisson. Misalnya variabel acak yang menyatakan banyaknya telepon yang masuk dalam kurun waktu 1 jam. Distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson. Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas diskrit.
Definisi 2.20 Distribusi Poisson
Distribusi probabilitas untuk variabel acak Poisson yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu didefinisikan sebagai berikut:
; = ! − , = , , , ….
dengan adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah tertentu yang dinyatakan dan adalah menunjukkan selang waktu.
Teorema 2.8 Nilai Harapan Distribusi Poisson
Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.15 diperoleh:
= ∑
! berdistribusi Poisson dan berdasarkan definisi
fungsi probabilitas diskrit ke- (2) ∑∞= = maka diperoleh
Teorema 2.9 Variansi Distribusi Poisson
Variansi dari variabel acak diskrit berdistribusi Poisson ; adalah = .
Bukti:
Teorema 2.10 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Poisson
Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak berdistribusi Poisson adalah
−
Bukti:
Misalkan = �, maka
= ∑� !−�
∞
=
= ∑� !−�
∞
=
= −�∑ �
!
∞
=
= � −�
= � −
= − .
∎
F. Distribusi Gamma
Definisi 2.21 Fungsi Gamma
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai berikut
Γ = ∫∞ − − , > .
Teorema 2.11 Sifat-sifat Fungsi Gamma
Berikut ini adalah sifat-sifat dari fungsi Gamma: 1. Γ = − Γ − untuk setiap > . 2. Γ = .
3. Γ = − ! untuk setiap bilangan bulat positif . Bukti:
1. Menggunakan definisi fungsi Gamma dan pengintegralan kalkulus secara parsial yaitu = − , dengan memisalkan = − maka
= − − , dan = − maka = ∞ − = − − |∞ sehingga
diperoleh
Γ = lim→∞− − − | − ∫ −∞ − − −
= lim→∞− − − | + ∫∞ − − −
= lim→∞− − − | + − ∫∞ − − −
= −lim→∞ − + − Γ −
= −lim→∞[exp( − ln − ] + − Γ −
= −lim→∞{exp [ − (ln − )]} + − Γ −
= − Γ − .
2. Berdasarkan definisi fungsi Gamma diperoleh:
Γ = ∫ − −
∞
= ∫∞ −
= lim→∞− − |
= − −
= . (2.1)
3. Berdasarkan definisi fungsi Gamma diperoleh:
Γ − = − ∫∞ − −
= − − ∫∞ − − −
= − ∫∞ − − −
= − Γ − , .
Γ = − Γ − (2.3)
= − − Γ −
= − − − Γ −
= − − − − Γ − … . Γ
= − − − − Γ − … .
= − !. ∎
Definisi 2.22 Distribusi Probabilitas Gamma
Variabel acak kontinu berdistribusi Gamma dengan parameter dan dengan fungsi densitas sebagai berikut:
= {
− −
Γ , untuk > , > , > , , selainnya.
Teorema 2.11 Nilai Harapan Distribusi Gamma
Nilai Harapan variabel acak kontinu yang berdistribusi Gamma adalah
= .
Bukti:
Misalkan = menurut nilai harapan dan definisi distribusi probabilitas Gamma
diperoleh:
misalkan = maka dan = = maka persamaan (2.4) menjadi berdasarkan definisi fungsi Gamma persamaan (2.5) menjadi
= − ! Γ +
= − ! Γ
= − ! − !
= (2.6)
karena = maka persamaan (2.6) menjadi
= . ∎
Teorema 2.12 Variansi Distribusi Gamma
Variansi variabel acak kontinu yang berdistribusi Gamma adalah
= .
Bukti:
Berdasarkan Teorema 2.5 akan dicari .
= ∫ −
−
Γ
∞
= Γ ∫∞ + −
= Γ [ + Γ + ]
= ∫∞ − ! − −
= +Γ Γ α
= + ,
= − (
= + −
= + −
= . ∎
Teorema 2.13 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Gamma
Fungsi pembangkit momen dari variabel acak kontinu berdistribusi Gamma , adalah
= − .
Bukti:
Misalkan = , berdasarkan Definisi Nilai Harapan dan Definisi Fungsi Pembangkit Momen diperoleh persamaan
=
= ∫∞ [Γ − − ]
= ∫ Γ∞ − −
misalkan = − atau =
−� dengan < maka = −�
sehingga Persamaan 2.7 menjadi
= ∫ Γ
menurut Definisi Fungsi Probabilitas Kontinu ke-(2) persamaan 2.8 menjadi
=
−
=
− .
G. Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial merupakan salah satu kejadian khusus dari distribusi Gamma yaitu ketika = dan = . Banyak sekali pengambilan keputusan untuk menyelesaikan suatu masalah dengan menggunakan distribusi Eksponensial. Misalnya waktu pelayanan pada subyek dalam sistem antrian.
Definisi 2.23 Distribusi Eksponensial
Variabel acak kontinu dikatakan berdistribusi Eksponensial dengan parameter , ditulis , bila mempunyai fungsi densitas sebagai berikut:
= { −, ,
lainnya
Teorema 2.14 Nilai Harapan Distiribusi Eksponensial
Nilai harapan dari variabel acak kontinu berdistribusi Eksponensial adalah
= .
Bukti:
= = × = . ∎
Teorema 2.15 Variansi Distribusi Eksponensial
Variansi dari variabel acak kontinu berdistribusi Exponensial ; adalah
Bukti:
= = × ( ) = . ∎
Teorema 2.16 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Eksponensial
Bila ~ , maka fungsi pembangkit momennya adalah
=
− .
Bukti:
= − =
− . ∎
H. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov
dan , dengan adalah fungsi distribusi sampel yang diamati atau fungsi distribusi empirik.
Definisi 2.24 Distribusi Sampel atau Distribusi Empirik
Misalkan , , … , adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris di definisikan sebagai berikut:
=
{
, < �
�
, � < < �+
,
dengan � adalah pengaruh urutan ke-� dan � menyatakan banyaknya nilai pengamatan dalam sampel yang kurang dari atau sama dengan dan menyatakan banyaknya pengamatan.
Definisi 2.25 Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov
Statistik uji Kolmogorov-Smirnov dinotasikan didefinisikan sebagai berikut: = max +, − .
+ = max[ − ].
− = max [ − ].
Prosedur dalam melakukan uji ini adalah sebagai berikut: 1. Tentukan hipotesis yaitu:
: =
2. Tentukan tingkat signifikasi yaitu .
3. Hitung dan yang diamati dan hitunglah − . 4. Tentukan wilayah kritis yaitu:
ditolak dan diterima bila > .
5. Carilah nilai dan nilai , diperoleh dari Lampiran 5. 6. Buatlah kesimpulan.
Untuk mempermudah pengujian, uji sampel Kolmogorov-Smirnov juga dapat dilakukan dengan SPSS.
Contoh 2.15
Diberikan data suatu sampel acak.
Tabel 2.4 Data suatu sampel acak.
Data
8 1 3 3 2
1 4 0 5 9
Apakah data tersebut berdistribusi Poisson atau tidak? Jawab:
1. : data berdistribusi Poisson. : data tidak berdistribusi Poisson.
3. Perhitungan secara manual: Rata-rata dari data adalah 3.6.
Tabel 2.5 Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov secara manual.
frek Fkum � − � + −
0 1 1 1 0.1 0.027324 0 0.0726763 0.027324 1 2 3 2 0.2 0.125689 0.1 0.0743109 0.025689 2 1 4 3 0.3 0.302747 0.2 -0.002747 0.102747 3 2 6 4 0.4 0.515216 0.3 -0.115216 0.215216 4 1 7 5 0.5 0.706438 0.4 -0.206438 0.306438 5 1 8 6 0.6 0.844119 0.5 -0.244119 0.344119 8 1 9 7 0.7 0.988329 0.6 -0.288329 0.388329 9 1 10 8 0.8 0.995976 0.7 -0.195976 0.295976
max + = . dan max − = . .
Perhitungan dengan SPSS:
Tabel 2.6 Uji Sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov dengan SPSS.
VAR00002
N 10
Poisson Parametera,,b Mean 3.6000
Most Extreme Differences Absolute .174
Positive .174
Negative -.169
Kolmogorov-Smirnov Z .551
Asymp. Sig. (2-tailed) .922
a. Test distribution is Poisson.
b. Calculated from data.
4. Daerah penolakan ditolak bila:
> tabel = . atau Asymp.Sig (2-tailed) < . 5. Kesimpulan:
Dari perhitungan diperoleh = . < tabel = . dan dari SPSS diperoleh nilai Asymp.Sig.(2-tailed) adalah = . > = . . maka diterima. Jadi dapat disimpulkan bahwa data berdistribusi Poisson.
45 BAB III
Teori Antrian
A. Proses Antrian
Antrian adalah suatu kondisi subyek-subyek menuju suatu area untuk dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan oleh mekanisme pelayanan yang mengalami kesibukan. Antrian sendiri timbul karena adanya ketidakseimbangan antara banyaknya subyek yang dilayani dengan pelayanannya.
Prinsip utama dalam situasi mengantri adalah subyek yang terlibat dalam antrian atau pelanggan (customer) dan fase atau pelayan (server). Pokok dari analisis antrian adalah kedatangan pelanggan diwakili dengan waktu antar kedatangan yang terjadi secara berturut-turut, untuk selanjutnya istilah waktu antar kedatangan ditulis dengan waktu kedatangan. Pelayanan diwakili dengan waktu pelayanan pada tiap pelanggan. Secara umum waktu antar kedatangan bersifat suatu kemungkinan, misalnya suatu pelanggan yang datang untuk membeli tiket bioskop atau bersifat telah ditetapkan, misalnya kedatangan pelamar pekerjaan untuk wawancara.
B. Unsur-Unsur Antrian
Dalam sebuah antrian terdapat unsur-unsur penting yaitu: 1. Distribusi kedatangan.
Erlang. Kedatangan pelanggan untuk masuk dalam sistem antrian terbagi menjadi dua yaitu:
a. Kedatangan secara individu. b. Kedatangan secara kelompok. 2. Distribusi pelayanan
Dalam distribusi pelayanan dibutuhkan pola pelayanan yaitu waktu pelayanan. Waktu pelayanan berupa variabel acak yang distribusi probabilitasnya diketahui. Pelayanan kepada pelanggan terbagi menjadi dua yaitu:
a. Pelayanan secara individu. b. Pelayanan secara kelompok. 3. Perilaku pelanggan pada antrian.
Perilaku pelanggan pada sistem antrian merupakan faktor yang penting. Perilaku pelanggan pada sistem antrian bisa mempengaruhi analisis pada barisan antrian. Perilaku manusia dalam sistem antrian berperan sebagai berikut:
a. Jockeying adalah suatu perilaku manusia untuk mengurangi waktu tunggu dengan berpindah dari antrian satu ke yang lainnya.
b. Balking adalah suatu perilaku dimana seseorang masuk dalam antrian dan menunggu hingga memperoleh pelayanan.
4. Peraturan pelayanan
Pelanggan pada sistem antrian dapat dilayani secara individual atau berkelompok. Peraturan pelayanan sangat penting sebab peraturan pelayanan meghasilkan keputusan yang digunakan untuk menyeleksi pelanggan pada sistem antrian, siapa yang akan dilayani terlebih dahulu. Terdapat empat cara dalam mengambil keputusan pada peraturan pelayan yaitu:
a. First in first out (FIFO)
First in first out (FIFO) bisa juga menggunakan istilah first come first served (FCFS). Aturan pelayanan ini menerapkan pelanggan pertama yang datang akan dilayani terlebih dahulu, misalnya pelanggan yang mengantri untuk melakukan transaksi dengan teller di bank.
b. Last in first out (LIFO)
Last in first out (LIFO) bisa juga menggunakan istilah last come first served
(LCFS). Aturan pelayanan ini menerapkan pelanggan yang terakhir datang akan dilayani terlebih dahulu, misalnya sistem antrian dalam elevator untuk lantai yang sama. Pelanggan yang pertama kali keluar adalah pelanggan yang terakhir masuk ke dalam elevator.
c. Random selection for service (RRS)
d. Priority service (PS)
Pada peraturan pelayanan Priority service (PS) berarti prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih tinggi dibanding pelanggan yang lain, misalnya seseorang yang mempunyai penyakit yang lebih serius akan dilayani terlebih dahulu.
5. Klasifikasi model antrian
Berdasarkan proses pelayanannya ada dua istilah yang dikenal pada struktur antrian. Istilah saluran atau baris pada antrian menunjukkan banyaknya jalur antrian yang tersusun secara paralel untuk memasuki sistem pelayanan sedangkan istilah fase menunjukkan banyaknya pelayanan yang tersusun secara seri. Saluran atau baris dapat berupa tunggal ataupun ganda begitu pula fase dapat berupa tunggal ataupun ganda.
Model antrian yang terjadi secara umum adalah sebagai berikut: a. Satu saluran satu fase
Satu saluran satu fase (single channel single phase) merupakan model antrian yang memiliki satu jalur antrian dan satu pelayanan. Contoh dari model ini adalah seseorang yang mengantri di sebuah bilik ATM.
b. Satu saluran multi fase
Satu saluran multi fase (single channel multi phase) merupakan model antrian yang memiliki satu jalur antrian dan beberapa fase pelayanan yang disusun secara seri. Beberapa fase pada model antrian ini menujukkan adanya dua atau lebih pelayanan yang dilakukan secara seri. Contoh dari model ini adalah seseorang yang mengantri berobat di sebuah rumah sakit yang harus melewati beberapa tahap yaitu, pendaftaran konsultasi dokter
pembayaran di kasir pengambilan obat di apotek rumah sakit.
Gambar 3.2 Model antrian satu saluran multi fase.
c. Multi saluran satu fase
Gambar 3.3 Model antrian multi saluran satu fase.
d. Multi saluran multi fase
Multi saluran multi fase (multi channel multi phase) adalah model antrian yang memiliki beberapa jalur antrian dan beberapa fase pelayanan yang disusun secara seri, berarti terdapat dua atau lebih fase pelayanan yang dilakukan secara berurutan atau seri. Contoh dari model antrian ini adalah produksi pewarnaan kertas yang prosesnya dimulai dari kertas dimasukkan ke dalam mesin pewarnaan kertas dimasukkan ke dalam mesin pemotong
kertas dipilah kertas dimasukkan ke dalam mesin pengepakan.
6. Ukuran sumber kedatangan
Sumber kedatangan pelanggan bisa bersifat terbatas atau tak terbatas. Sumber yang terbatas (finite source) berati bahwa pelanggan yang datang untuk mendapatkan pelayanan terbatas, seperti pada kerusakan pada mesin-mesin yang menunggu servis dari montir. Sumber yang tak terbatas (infinite source) adalah pelanggan yang terus datang tanpa henti seperti panggilan terhadap operator telepon.
C. Aturan Distribusi Eksponensial
Kedatangan subyek atau pelanggan pada sebuah antrian bersifat acak berarti peristiwa kedatangan pelanggan atau penyelesaian pelayanan tidak dipengaruhi oleh panjang waktu yang telah berlalu sejak terjadinya peristiwa sebelumnya.
Waktu pelayanan dan antar kedatangan yang acak ini dijelaskan menurut model antrian dengan distribusi Eksponensial. Pada Definisi 2.22 telah dijelaskan fungsi peluang distribusi Eksponensial.
= − , > .
Fungsi distribusi kumulatifnya adalah:
� = ∫ −
= − − .
hal tersebut tidak terikat pada lama waktu yang telah berlalu ketika terjadinya peristiwa pertama yaitu antara 08.02 hingga 08.20. Sifat distribusi Eksponensial semacam ini disebut sifat tanpa ingatan (memoryless atau lack of memory atau
forgetfulness).
Teorema 3.1 Sifat Tanpa Ingatan Distribusi Eksponensial
Dimisalkan adalah fungsi probabilitas Eksponensial dengan mewakili waktu kedatangan. Jika adalah interval waktu kejadian pertama dan ℎ adalah interval kejadian dari peristiwa terakhir maka sifat tanpa ingatan dari distribusi Eksponensial adalah
� > + ℎ | > = � > ℎ ,
untuk menunjukkan sifat tanpa ingatan pada distribusi Eksponensial:
� > = − � <
= − ,
dengan demikian,
� > + ℎ | > =� > + ℎ > � >
=�� > + ℎ>
= −−+ℎ
D. Proses Poisson
Definisi 3.1 Proses Stokastik
Proses stokastik { , � } adalah himpunan semua kemungkinan nilai pada suatu ruang sampel dengan adalah himpunan indeks yang berkaitan dengan waktu diskrit, = { , , , … }.
Definisi 3.2 Proses Membilang
Proses membilang { , } haruslah memenuhi kriteria sebagai berikut:
1. .
2. adalah bilangan bulat. 3. Jika < maka .
4. Untuk < , − menyatakan kejadian yang terjadi pada interval waktu , ].
Proses membilang juga mempunyai sifat orderliness yaitu peluang dari dua atau lebih kedatangan yang terjadi secara bersama-sama diabaikan.
Sifat lainnya dari proses membilang adalah tanpa memori (memorylessness) yaitu setiap titik dalam waktu proses membilang saling bebas dengan masa lalu.
Definisi 3.3 Kenaikan Bebas
banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu antara dan + yaitu + − .
Definsi 3.4 Kenaikan Stasioner
Proses membilang juga disebut proses kenaikan stasioner (stationary increments) jika distribusi dari banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu tertentu hanya tergantung pada panjang interval tersebut, tidak bergantung pada letak interval tersebut. Artinya banyaknya kejadian pada interval waktu + , + ] yaitu + − + mempunyai distribusi yang sama dengan banyaknya kejadian pada interval waktu , ] yaitu − untuk semua < ,
� + − = � = � .
Definisi 3.5 Proses Poisson
Proses membilang { , } adalah Proses Poisson dengan laju > jika : 1. = .
2. Banyaknya kejadian pada dua interval yang tidak tumpang tindih serta saling bebas yaitu untuk setiap > > > > , dan variabel acak − dengan variabel acak − adalah saling bebas.
3. Peluang ada � kejadian dalam interval waktu berdistribusi Poisson dengan mean untuk setiap , berlaku:
Definisi 3.6 Fungsi � � tidak ada kejadian dari interval ℎ > atau dapat ditulis sebagai berikut:
� ℎ = = − ℎ + ℎ . (3.1)
Definisi 3.7 Proses Poisson
Proses membilang { , } adalah Proses Poisson dengan laju > jika: 1. = .
2. Bersifat kenaikan stasioner.
3. � ℎ = = ℎ + ℎ .
Untuk menyatakan peluang bahwa ada kejadian � yang terjadi pada interval waktu , ] dengan berlaku:
� = � = � | = , � = , , , … .
Contoh 3.2
Misalkan adalah banyaknya ikan yang ditangkap pada waktu [ , ]. Andaikan ikan yang tersedia sangatlah banyak. Proses { ; } dapat dianggap sebagai proses Poisson, kesempatan menangkap ikan di sungai tidak tergantung dengan banyak ikan yang telah tertangkap. Dengan demikian pemancing yang baru saja tiba di sungai mempunyai kesempatan yang sama untuk menangkap ikan dengan pemancing yang sudah menunggu selama 4 jam menangkap ikan.
Teorema 3.2
Definisi 3.5 ekivalen dengan Definisi 3.7. Bukti:
Definisi 3.5 ⇛ Definisi 3.7
1. Definisi 3.5 ke-(1) dengan Definisi 3.7 ke-(1) sangatlah jelas ekivalen. 2. Pada Definisi 3.5 ke-(2) + − mempunyai distribusi yang sama
dengan . Artinya mempunyai kenaikan yang stasioner. 3. Sifat 3 Definisi 3.5:
Untuk � ℎ = = − ℎ ℎ
� ℎ = = ℎ ∑ − ℎ
Memenuhi sifat (3) pada Definisi 3.7.
� ℎ = − ℎ∑ − ℎ
bila mengambil nilai limitnya diperoleh:
= limℎ→ ℎ
Memenuhi sifat (4) pada Definisi 3.7. Definisi 3.7 ⇒ Definisi 3.5
2. Pada Definisi 3.4 tidka bergantung pada letak interval, artinya saling bebas.
3. Dari Definisi 3.7 diperoleh bentuk:
� = � = �
� + ℎ = � + ℎ = Definisi � = � = �
= � = , + ℎ − = Definisi Kenaikan Bebas
= � = � + ℎ − =
= � � ℎ Definisi Kenaikan Stasioner
= � − ℎ + ℎ
= � − ℎ� + ℎ .
Dari bentuk � + ℎ = � − ℎ� + ℎ diperoleh:
�′ = lim
ℎ→
� + ℎ − �
ℎ
= limℎ→ � − ℎ� ℎ+ ℎ − �
= limℎ→ − ℎ� ℎ + ℎ
= limℎ→ − � + ℎℎ
= − �
�′
Dari persamaan (3.4) dipilih � = sehingga diperoleh:
� =
� = + − ,
dengan syarat awal� = ,
� = − .
Untuk menunjukkan � = �
! − menggunakan induksi matematis.
Asumsikan benar untuk � − diperoleh:
� − =
− −
� − ! ,
dari persamaan (3.4) diperoleh:
� = � − !−
�
= �! +
� = �! + −
karena � = � = � = maka � = − �
! . ∎
E. Waktu antar kedatangan
= dan = untuk < . Kedatangan selanjutnya dilanjutkan dengan cara yang sama. Jadi + − adalah panjang waktu diantara saat terjadinya kedatangan ke-� + setelah kedatangan ke-�. Panjang selang inilah yang disebut waktu antar kedatangan.
Definisi 3.8
Misalkan menyatakan interval waktu dari kedatangan pertama. Untuk , misalkan adalah interval waktu antara kejadian ke- − dan kejadian ke- maka { , = , , , . . . } adalah barisan waktu antar kedatangan atau waktu antar kejadian.
Definisi 3.9 Waktu Tunggu
Waktu tunggu sampai waktu kedatangan ke- adalah
= + + ⋯ + . .
=
Gambar 3.5 Ilustrasi waktu tunggu.
Teorema 3.3 Waktu Antar Kedatangan
Bukti:
� = − � > = − �{ = } = − − .
Fungsi distribusi kumulatif dari adalah = − − oleh karena fungsi peluang adalah turunan dari fungsi distribusi kumulatif , maka fungsi peluang dapat diperoleh dengan cara berikut:
=
= ( − −
= − untuk .
Jadi waktu antar kedatangan berdistribusi Eksponensial dengan parameter . Untuk diperoleh dari peluang bersyarat dari kejadian pertama saat waktu .
� | = = − � > | =
= − � + − = | =
= − � + − = (Kenaikan bebas)
= − � = (Kenaikan stasioner)
= − −
= .
= � | = diatas tidak tergantung pada sehinga berdistribusi Eksponensial secara rekrusif dapat ditunjukkan bahwa saling bebas
Menurut Definisi 3.5 dan Definisi 3.7, untuk proses Poisson berdistribusi Poisson dengan parameter dan berdasarkan Teorema 3.3 , � =
, , … berdistibusi Eksponensial dengan parameter pada Persamaan 3.5 diperoleh waktu tunggu dengan = .
Teorema 3.4
Andaikan , � = , , … . saling bebas dan berdistribusi Eksponensial maka waktu tunggu berdistribusiGamma.
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa berdistribusi Gamma. Diberikan , , … , berdistribusi Eksponensial dengan = . Nilai harapan dari , , … , adalah
= = ⋯ = = .
Berdasarkan Teorema 21.6, fungsi pembangkit momen dari , , … , adalah
� =
− .
Berdasarkan definisi waktu tunngu, = + + ⋯ + dan Teorema 2.6 diperoleh:
�� = − × − × … − (sebanyak � kali)
=
−
Pari Persamaan (3.6) diperoleh hasil yang sama dengan fungsi pembangkit momen distribusi Gamma pada Teorema 2.13 dengan = dan = �, dan menurut Teorema 2.7, berdistribusi Gamma. ∎
F. Hubungan Antara Distribusi Posisson dengan Distribusi Eksponensial
Berikut ini akan dijelaskan hubungan antara distribusi Poisson dengan distribusi Eksponensial
Tabel 3.1 Hubungan distribusi Poisson dengan distribusi Eksponensial di antrian. Distribusi
Contoh 3.3
Kelahiran bayi pada suatu negara mempunyai mean 1 kelahiran setiap 12 menit. Laju kelahiran bayi berdistribusi Eksponensial. Hitunglah:
a. Rata-rata kelahiran bayi per tahun.
b. Peluang tidak ada bayi yang lahir pada satu hari. Jawab:
a. Kelahiran bayi per hari:
= × = kelahiran/hari.
Kelahiran bayi per tahun adalah:
= × = , kelahiran/tahun.
b. Peluang tidak ada bayi yang lahir pada satu hari dihitung dengan distribusi Poisson.
� = × − ×
! = − = .
Cara lain untuk menghitung peluang tidak ada bayi yang lahir pada satu hari sama saja dengan menghitung peluang waktu antar kelahiran yang berturutan lebih dari satu hari
�{ > } = − = .
G. Model Antrian Poisson yang Diperumum
berdasarkan kondisi jangka panjang atau perilaku keadaan tunak (steady state)pada antrian yaitu kondisi dengan rata-rata laju arus masuk sama dengan laju arus keluar.
Gambar 3.6: Diagram transisi antrian Poisson.
Terdapat istilah kedatangan dan keberangkatan (departure), istilah kedatangan merepresentasikan sebagai penambahan banyaknya pelanggan pada sistem antrian sedangkan istilah keberangkatan merepresentasikan sebagai pengurangan banyaknya pelanggan pada sistem antrian.
Peluang dapat ditentukan dari diagram transisi antrian Poisson. Sistem antrian pada status menyatakan banyaknya pelanggan dalam sistem antrian adalah . Peluang terjadinya lebih dari satu kejadian yang terjadi selama interval ℎ yang kecil dinyatakan dengan ℎ → diartikan bahwa untuk setiap > , dapat berubah menjadi dua kemungkinan yaitu − ketika keberangkatan terjadi pada laju atau + ketika kedatangan terjadi pada laju , ketika = dapat berubah menjadi ketika terjadi kedatangan pada laju . Pada tidak terdefinisi karena tidak ada keberangkatan yang terjadi ketika sistem kosong.
Berikut ini adalah simbol-simbol yang digunakan dalam sistem antrian: = banyaknya pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian.
= peluang kondisi keadaan tunak (steady state)dari pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian.
Model yang diperumum berasal dari yang merupakan fungsi dari dan . Peluang ini kemudian digunakan untuk menentukan langkah-langkah sistem kinerja seperti rata-rata panjang antrian, waktu tunggu antrian, dan rata-rata pelayanan.
Dalam kondisi keadaan tunak (steady state) untuk > laju arus masuk yang diharapkan sama dengan laju arus keluar. Kondisi ketika dapat berubah menjadi − atau + diperoleh:
Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan :
− � − + + � + .
Ekspektasi laju arus keluar dari keadaan :
� + � = + � .
Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan = Ekspektasi laju arus keluar dari keadaan
− � − + + � + = + � .
Pada Gambar 3.6 kondisi ketika = adalah: =
= ( ) .
Untuk = diperoleh:
+ = +
= ( )
secara umum diperoleh bentuk:
= ( − − …
− … ) , = , , ..
(3.7)
nilai ditentukan dari ∑∞= = .
Contoh 3.4
Toko Grosir B & K mengoperasikan 3 toko. Manager toko menggunakan jadwal untuk menentukan banyaknya stasiun pelayanan yang beroperasi. Berikut ini adalah banyaknya pelanggan dalam toko.
Tabel 3.2 Sistem pelayanan pada Toko Grosir B&K.
Banyaknya pelanggan dalam toko Banyaknya stasiun pelayanan yang beroperasi
1 – 3 1
4 – 6 2
Lebih dari 6 3
Jawab: Diketahui
= pelanggan per jam, = , , .. oleh karena terdapat 3 stasiun layanan yang beroperasi diperoleh:
= { × == , , = , , , = , , × = , = , , …
dengan demikian dari persamaan (3.7) diperoleh:
= ( ) =
= ( ) =
= ( ) =
= ( ) ( ) =
= ( ) ( ) =
= ( ) ( ) =
= ( ) ( ) ( ) − = ( ) − ,
nilai dari ditentukan dari persamaan berikut:
+ + + + + + + + + +...) =
dengan deret geometri yaitu:
∑ �
= − �, | | < , ∞
�=
diperoleh:
+
− ) =
= .
Oleh karena sudah diketahui maka bisa ditentukanlah untuk > . Misalnya berapa peluang jika hanya ada 1 stasiun pelayanan yang beroperasi? peluang tersebut dapat dihitung sebagai peluang maksimal terdapat 3 pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian,
+ + = + + ( ) ≈ . .
H. Antrian Poisson Khusus
Gambar 3.7 Skema antrian Poisson khusus.
Kedatangan pada sistem antrian adalah pelanggan per satuan waktu. Semua stasiun pelayan adalah identik, berarti laju pelayanan untuk setiap stasiun pelayan adalah pelanggan per satuan waktu. Banyaknya pelanggan pada sistem terdiri dari pelanggan yang sedang dilayani dan pelanggan yang sedang mengantri untuk dilayani.
Untuk mendeskripsikan suatu model antrian maka dibutuhkan suatu notasi untuk meringkas suatu karakteristik yang berpengaruh. Notasi yang digunakan adalah notasi Kendall. Berikut ini adalah format notasi Kendall:
⁄ ⁄ ∶ ⁄ ⁄
keterangan:
= Distribusi kedatangan. = Distribusi waktu pelayanan.
=Banyaknya pelayan pararel, = , , , ….
Antrian
Waktu pelayanan
Pelayanan (server)
Pelayanan (server)
= Peraturan pelayanan.
=Banyaknya maksimal pelanggan yang diperbolehkan dalam sistem antrian (pada antrian dan saat pelayanan).
= Ukuran sumber kedatangan.
Notasi standar untuk mewakili distribusi kedatangan dan pelayanan (simbol dan ) adalah:
= Kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson atau waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
= Waktu antar kedatangan atau pelayanan pelanggan telah ditentukan atau terjadwal.
= Distribusi Erlang.
= Distribusi umum waktu antar kedatangan. = Distribusi umum waktu pelayanan.
Notasi peraturan pelayanan (simbol ) yaitu: FCFS = First Come First Served.
LCFS = Last Come First Served. SIRO = Service in Random Order. PRI = Priority Service.
GD merupakan disiplin antrian secara umum berlaku pada sebagian besar sistem antrian (apabila tidak ada disiplin khusus yang mengikat) yaitu pelanggan yang pertama datang adalah pertama yang dilayani.
