BAB II DASAR- DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA
B. Nilai Harapan
D. Fungsi Pembangkit Momen (FPM) E. Distribusi Poisson
F. Distribusi Gamma G. Distribusi Eksponensial
H. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov
BAB III TEORI ANTRIAN A. Proses Antrian B. Unsur-Unsur Antrian
D. Proses Poisson
E. Waktu Antar Kedatangan
F. Model Antrian Poisson yang Diperumum G. Antrian Poisson Khusus
H. Model Antrian Tunggal dengan Kapasitas Tak Hingga I. Model Antrian dengan Pelayanan Kapasitas Tak Hingga
BAB IV: ANALISIS ANTRIAN LAYANAN BPJS RUMAH SAKIT PANTI RAPIH YOGYAKARTA
A. Sistem Antrian Pelayanan BPJS Rumah Sakit Panti Rapih
B. Analisis Deskriptif Data Waktu Kedatangan dan Waktu Pelayanan C. Analisis Sistem Antrian BPJS
D. Analisis Perhitungan E. Evaluasi dan Saran
BAB V: PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran
7 BAB II
DASAR-DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA
Dalam Bab ini akan disajikan dasar-dasar teori peluang dan statistika sebagai landasan pembahasan skripsi ini.
A. Peluang
Definisi 2.1 Ruang Sampel
Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan simbol .
Contoh 2.1
Percobaan pelemparan sekeping koin sebanyak dua kali dengan kedua sisinya yaitu gambar dan angka, ruang sampel dari percobaan tersebut adalah
{ , , , }.
Simbol menyatakan “Gambar” pada sisi koin dan simbol menyatakan “Angka”
pada sisi koin.
Definisi 2.2 Kejadian
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya .
Contoh 2.2
Percobaan pengambilan 3 buah bola yang diambil secara satu per satu tanpa pengembalian dari kantong yang berisi 9 buah bola dengan 3 buah bola berwarna hijau, 3 buah bola berwarna merah, dan 3 buah bola berwarna biru.
: Kejadian terambilnya bola pertama berwarna hijau.
Maka = { , , , , , , , , }
dengan menyatakan “bola berwarna hijau”, menyatakan “bola berwarna merah”, dan menyatakan “bola berwarna biru”.
Definisi 2.3
Misalkan dan adalah adalah kejadian dari ruang sampel , maka: 1. Gabungan dari dua kejadian dinotasikan dengan
= { | � � }. 2. Irisan dari dua kejadian dinotasikan dengan
= { | � � }. 3. Komplemen suatu kejadian dinotasikan � dengan
� = { � | }. 4. Selisih dari kejadian dan dinotasikan \ dengan
\ = �.
Definisi 2.4 Peluang
Diberikan ruang sampel dan kejadian dari . Peluang dari dinotasikan � yang memenuhi:
1. � . 2. � = .
3. Jika , , , …. adalah kejadian yang saling asing di maka
� … = ∑ � �
∞ �=
. Definisi 2.5 Peluang Suatu Kejaadian
Diberikan kejadian pada ruang sampel , peluang terjadinya adalah
� =
dengan adalah banyaknya anggota terjadi dan adalah banyaknya anggota ruang sampel .
Contoh 2.3
Pelemparan koin sebanyak dua kali. Berapa peluang munculnya minimal 1 sisi
“Angka”?
Ruang sampel pada percobaan tersebut adalah
= { , , , }
dengan menyatakan “Angka” pada sisi koin dan menyatakan “Gambar” pada
sisi koin. Jika adalah kejadian yang menyatakan terjadinya minimal munculnya
Definisi 2.6 Peluang Bersyarat
Diberikan dua kejadian dan dalam ruang sampel . Peluang kejadian setelah kejadian terjadi dinotasikan dengan � | ,
� | =� � , � > .
Dua kejadian dan saling bebas jika � = � � .
Contoh 2.4
Diberikan ruang sampel = { , , , , , } dan misalkan adalah kejadian bilangan genap di dan adalah kejadian bilangan yang lebih dari 3 di maka diperoleh = { , , } , = { , , }. Tentukanlah apakah dan saling bebas. Jawab:
= { , } berarti � = = , � = = dan � = = ,
oleh karena � � = ≠ � = maka dan tidak saling bebas.
Definisi 2.7 Variabel Acak
Variabel acak adalah fungsi bernilai real yang nilainya ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel.
Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital dan nilainya dinotasikan dengan huruf kecil. Misalkan merupakan variabel acak maka nilai dari adalah
Contoh 2.5
Percobaan pengambilan 2 buah bola tanpa pengembalian dari kantong yang berisi 4 buah bola berwarna merah dan 3 buah bola berwarna hijau. Misalkan variabel acak menyatakan banyaknya bola berwarna merah yang terambil.
Ruang sampel pada percobaan tersebut:
= { , , , }
dengan menyatakan bola berwarna “Merah” dan menyatakan bola berwarna
“Hijau”.
= banyaknya bola berwarna merah yang terambil.
Nilai numerik 0, 1, atau 2 dapat diberikan pada setiap titik sampel dimana nilai 0, 1, atau 2 merupakan besaran acak yang nilainya ditentukan dari percobaan.
ℝ
Gambar 2.1 Pemetaan .
Definisi 2.8 Variabel Acak Diskrit
Sebuah variabel acak dikatakan variabel acak diskrit jika himpunan dari kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas maka variabel random di atas disebut variabel random kontinu.
Definisi 2.9 Fungsi Probabilitas Diskrit
Himpunan pasangan terurut , � adalah suatu fungsi probabilitas diskrit untuk setiap kemungkinan hasil yang mungkin jika:
1. � untuk setiap � ℝ. 2. ∑ � = .
Contoh 2.6
Dari contoh 2.5 tentukan fungsi peluang banyaknya bola berwarna merah yang terambil.
Jawab:
Pada gambar 2.1 nilai adalah bilangan-bilangan yang menyatakan banyaknya bola berwarna merah yang terambil.
Tabel 2.1 Fungsi peluang banyaknya bola merah yang terambil.
� � = =( ( ( = , � = =( ( ( = = , � = =( ( ( = ,
Definisi 2.10 Fungsi Probabilitas Kontinu
Fungsi adalah fungsi probabilitas (probability function) untuk variabel random kontinu , jika:
1. untuk setiap � ℝ. 2. −∞∞ = .
3. � = −∞∞ .
Contoh 2.7
Andaikan suhu dalam 0C dalam sebuah percobaan adalah variabel acak kontinu yang mempunyai fungsi densitas:
= { , − < <, lainnya a. Buktikan bahwa adalah fungsi probabilitas. b. Tentukan � < .
Jawab:
a. Menurut definisi 2.10 (2) jelas ,
∫∞ = ∫− = |− = .
−∞
Definisi 2.11 Distribusi Fungsi Kumulatif
Fungsi distribusi kumulatif dari sebuah variabel random diskrit dan kontinu didefinisikan sebagai berikut
= � = { ∑ ∀ ,jika diskrit, ∫ −∞ ,jika kontinu.
Definisi 2.12 Fungsi Probabilitas Bersama Diskrit
Fungsi , adalah fungsi probabilitas bersama diskrit jika variabel acak dan memenuhi:
1. , , ∀ , .
2. ∑ ∑ , = .
Untuk setiap di bidang , �[ , ] = ∑ ∑� , .
Contoh 2.8
Dua buah pensil dipilih secara acak dari kotak yang berisikan 3 buah pensil berwarna biru, 2 buah pensil berwarna merah, dan 3 buah pensil berwarna hijau. Jika adalah banyaknya pensil biru yang terpilih dan adalah banyaknya pensil merah yang terpilih. Tentukan fungsi probabilitas bersama untuk fungsi , . Jawab:
Nilai dari pasangan terurut , yang mungkin adalah , , , , , , , , , , , .
Misalkan , adalah kemungkinan terpilihnya pensil berwarna hijau dan pensil berwarna merah. Banyaknya kemungkinan terpilihnya 2 pensil dari kotak tersebut adalah ( = . Banyaknya kemungkinan terpilihnya 1 pensil merah dari 2 pensil merah di dalam kotak dan terpilihnya 1 pensil hijau dari 3 pensil hijau di kotak adalah ( ( = . Jadi , = = . Perhitungan yang sama dapat digunakan untuk mencari kemungkinan-kemungkinan pada kasus yang lainnya. Secara umum
diperoleh , = ( − −
(8 untuk setiap = , , ; = , , ; dan
+ .
Tabel 2.2 Fungsi probabilitas bersama.
Definisi 2.13 Fungsi Probabilitas Bersama Kontinu
Fungsi , adalah fungsi probabilitas bersama kontinu dengan variabel acak dan jika: 1. , , ∀ , . 2. −∞∞ −∞∞ , = . , Total Baris 0 1 2 0 1 2 0 Total Kolom
Contoh 2.9
Diberikan , sebagai berikut:
, = { + ,
,
, ,
Tunjukkan bahwa −∞∞ −∞∞ , = . Jawab:
Integral dari , adalah
∫ ∫∞ , −∞ ∞ −∞ = ∫ ∫ + = ∫ + | == = ∫ ( + ) = + | = + = . Definisi 2.14 Variabel Acak Saling Bebas
Misalkan mempunyai fungsi distribusi , mempunyai fungsi distribusi ℎ dan , mempunyai fungsi distribusi bersama , . Maka dan
dikatakan saling bebas jika dan hanya jika
, = ℎ
untuk setiap pasangan bilangan real , .
Jika dan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas bersama , dan fungsi distribusi dari masing-masing variabel dan adalah dan ℎ , maka dan saling bebas jika dan hanya jika
, = ℎ
untuk semua pasangan bilangan real , .
Jika dan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama , dan fungsi fungsi distribusi dari masing-masing variabel dan adalah dan ℎ , maka dan saling bebas jika dan hanya jika
, = ℎ
untuk semua pasangan bilangan real , .
Contoh 2.10
Pada contoh 2.8 variabel acak dan tidak saling bebas sebab berdasarkan definisi 2.14 dan saling bebas jika , = ℎ untuk setiap pasangan bilangan real , . Pasangan bilangan real , diperoleh = , ℎ = , dan
ℎ = × = ≠ , = .
B. Nilai Harapan
Definisi 2.15 Nilai Harapan atau Mean (Rata-rata)
Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas yang diketahui. Mean atau nilai harapan dari adalah:
= = ∑ ; jika adalah variabel acak diskrit,
= = ∫∞
−∞
; jika adalah variabel acak kontinu.
Contoh 2.11
Diberikan 7 sampel dengan 4 sampel tergolong tidak rusak dan 3 sampel lainnya tergolong rusak. Bila dilakukan pengambilan 3 sampel secara acak, tentukanlah nilai harapan terpilihnya sampel yang tidak rusak dari pengambilan tersebut. Andaikan variabel acak yang menunjukkan banyaknya komponen yang tidak rusak pada sampel. Fungsi probabilitas distribusi dari adalah
= ( ( −
( , = , , ,
sehingga diperoleh
= , = , = ,
nilai harapan adalah
= = + + + = = .
jadi nilai harapan dari terpilihnya sampel yang tidak rusak dari pengambilan tersebut adalah . .
Contoh 2.12
Diberikan variabel acak yang mewakili masa hidup elektronik dalam jam dengan fungsi densitas sebagai berikut:
, = { , > , lainnya Tentukanlah nilai harapan .
Menurut definsi nilai harapan diperoleh:
= = ∫∞ = ∫∞ = .
Nilai harapan dari adalah .
Definisi 2.16 Nilai Harapan Fungsi Variabel Acak
Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas dan adalah fungsi yang bernilai real dari . Nilai harapan adalah:
= [ ] = ∑ ; jika adalah variabel acak diskrit,
= [ ] = ∫∞
−∞
; jika adalah variabel acak kontinu.
Lemma 2.1
Diberikan suatu konstanta tak nol maka = . Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
= ∑ = ∑ = = .
Untuk variabel acak kontinu,
= ∫ = ∫ = . ∎
Lemma 2.2
Diberikan suatu konstanta tak nol maka = . Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
= ∑ = ∑ = .
Untuk variabel acak kontinu,
= ∫ = ∫ = . ∎
Teorema 2.1
Diberikan , suatu konstanta, + = + . Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.16 diperoleh sebagai berikut: untuk variabel acak diskrit,
+ = ∑ +
= ∑ +
= ∑ + ∑
Untuk variabel acak kontinu, + = ∫∞ + −∞ = ∫ + ∫∞ −∞ ∞ −∞ = + . ∎
Teorema 2.2 Nilai Harapan dari Jumlahan Dua atau Lebih Fungsi Variabel Acak
Nilai harapan dari jumlahan dua atau lebih fungsi variabel acak adalah
[ + ℎ ] = [ ] + [ℎ ].
Bukti:
Menurut Definisi 2.16 diperoleh sebagai berikut: untuk variabel acak diskit,
[ + ℎ ] = ∑[ + ℎ ]
= ∑[ + ℎ ]
= ∑ + ∑ ℎ
= [ ] + [ ].
Untuk variabel acak kontinu,
[ + ℎ ] = ∫ [ + ℎ ]
∞ −∞
= ∫ + ∫ ℎ∞
−∞ ∞
−∞
= [ ] + [ℎ ]. ∎
Teorema 2.3 Nilai Harapan dari Selisih Dua atau Lebih Fungsi Variabel Acak
[ − ℎ ] = [ ] − [ℎ ].
Bukti:
Menurut Definisi 2.16 diperoleh: untuk variabel acak diskrit,
[ − ℎ ] = ∑[ − ℎ ]
= ∑[ − ℎ ]
= ∑ − ∑ ℎ
= [ ] − [ ].
Untuk variabel acak kontinu,
[ − ℎ ] = ∫ [ − ℎ ] ∞ −∞ = ∫ − ∫ ℎ∞ −∞ ∞ −∞ = [ ] − [ℎ ]. ∎
Contoh 2.13
Diberikan variabel acak dengan fungsi probabilitas sebagai berikut: Tabel 2.3 Fungsi probabilitas dari variabel acak .
0 1 2 3
Carilah nilai harapan = − . Jawab:
Dengan menggunakan Teorema 2.1, Teorema 2.2 dan Teorema 2.3 fungsi = − dapat ditulis sebagai berikut:
[ − ] = − + = − + ,
= ,
= ( ) + ( ) + + ( ) = ,
= ( ) + ( ) + + ( ) = ,
Jadi, nilai harapan = − adalah [ − ] = − + = .
Teorema 2.4 Nilai Harapan dari Perkalian Dua atau Lebih Variabel Acak Diberikan variabel acak dan yang saling bebas. Nilai harapan dari perkalian variabel acak tersebut adalah = .
Bukti:
Menurut Definisi 2.14 dan Definisi 2.16 untuk , diskrit diperoleh,
= ∑ ∑ ℎ
= ∑ ∑ ℎ
= ∑ ∑ ℎ
= ∑
= .
Menurut Definisi 2.14 dan Definisi 2.16 untuk , kontinu diperoleh,
= ∫ ∫∞ −∞ ∞ −∞ ℎ = ∫ [∫∞ ℎ −∞ ] ∞ −∞ = ∫∞ −∞ = ∫∞ −∞ = ). ∎