Materi Matematika I ina Materi Matematika I ina Materi Matematika I ina

MATEMATIKA I

MATERI:

1. Ketidaksamaan 2. Koordinat Cartesian

3. Persamaan Garis Singgung dan Garis Normal 4. Diffrential

5. Limit

6. Aplikasi Integral 7. Integral tak tentu

REFRERENSI

KALKULUS JILID 1, EDISI 8, PURCELL, ERLANGGA.

KALKULUS DIFFRENTIAL DAN INTEGRAL – FRANK AYRES, JR

PENILAIAN:

UTS, UAS , TUGAS/Kuis

SISTEM BILANGAN YG DIGUNAKAN ADALAH BILANGAN REAL (R). R

Q Z N  

DIMANA:

Z = HIMPUNAN BILANGAN BULAT

Q = HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL ( ), dimana q

I. KETAKSAMAAN

Adalah permasalahan yang menggunakan tanda-tanda sbb: CONTOH : 3x40

Langkah2 utk ketidaksamaan dalam bentuk pecahan 1. RUAS KANAN 0

2. FAKTORKAN

3. BUAT GARIS BILANGAN

4. MASUKKAN TANDA + ATAU – 5. TENTUKAN HIMPUNAN JAWAB

Contoh :

2. 0

TIPS: UNTUK MENGGAMBAR GARIS BILANGAN

1. Masukkan semua nilai yang didapat didalam garis bilangan. 2. Berilah tanda + , - , + , - secara bergantian apabila titiknya tunggal mulai dari sebelah kanan.

3. Apabila titiknya ada yang sama dan yg sama, dan jumlah yang sama genap. Maka tanda akan mengikuti tanda sebelumnya. 4. Carilah Titik pembuat nol ( x1,x2,... )

5. Tentukan himpunan jawab.

4. 1₁₃ 2_{ 1}

 x

x

5. 4 3 2 7 x x

I.2 NILAI MUTLAK

Definisi __ _ 0 ,

0 ,

x Jika x

x Jika x x

SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK:

1. 2. 3. 4.

KETAKSAMAAN DALAM NILAI MUTLAK 1.

2. 3. Contoh

1. 2. 3. 4.

5. 2 < I 3x +4I < 6

II & III. SISTEM KOORDINAT CARTESIUS

Dari suatu titik P ditulis (x,y) Q

P

- Menggambar grafik y= ax + b, y = x² , y = x³.

- Persamaan garis yg melalui titik (a,b) dengan gradient m adalah y-b = m (x-a)

- Persamaan garis yang melalui titik P(x1,y1) dan Q (x2,y2)

adalah

1 2

1

1 2

1

x x

x x y y

y y

    

- Dua garis yang sejajar gradiennya sama (m1=m2)

- Dua garis tegak lurus perkalian gradiennya -1 (m1.m2=-1)

Contoh: Tentukan nilai k sehingga garis kx-3y = 10, a. Sejajar dengan garis y= 4x + 3

b. Tegak lurus dengan garis y=-2x-5.

IV. DIFERENSIAL / TURUNAN

 Fungsi Eksplisit Y = F(X), DITULIS dy/ dx = f ’(X)

) (x f y 

dx

dy _{yf(u),uf(x)}

dx dy

m

x .

1 _m.xm1 _um _m.um1_.u'

x

e .

2 _ex _eu _eu_.u'

x

ln . 3

x

1 _lnu 1_.u'

u

Sinx

.

4 _{Cosx Sinu Cosu.u}'

Cosx

.

5 _{ Sinx Cosu  Sinu.u}'

Tgx

.

6 _Sec2_{x Tgu Sec}2_u.u'

Ctgx

.

7 _{ Cosec}2 _{x Ctgu  Cosec}2_u.u'

Secx

.

8 Secx.Tgx _{Secu Secu.Tgu.u}'

x Cosec .

9  Cosecx.Ctgx _{Cosecu  Cosecu.Ctgu.u}'

Aturan umum turunan:

1. Jika y = u. v maka dy/dx = u ‘ v + v ‘ u

2. Jika y = u. v.w maka dy/dx = u ‘ v w + v ‘ u w + u v w ‘ 3. Jika y = u /v maka dy /dx = (u ‘ v - v ‘ u) / v²

4. Aturan Rantai

Jika y = f (g (x)) maka dy/dx = dy/df . df/dg . dg/dx 5. Fungsi Parameter

Menentukan turunan fungsi invers trigonometri ( arc sin x, arc cos x, arc cotg x)

Contoh: y = arc cos 2x 2x = cos y

2 dx = - sin y dy

dy / dx = -2/sin y = -2 / ( )

 FUNGSI IMPLISIT

Bentuk Umum F(x,y)=0

Menentukan dy/ dx dg cara menurunkan secara total fungsi x dan y, ( differensial parsial) sbb:

∂F/∂x . dx + ∂F/∂y . dy = 0 ∂F/∂y . dy = - ∂F/∂x . dx dy/dx = - [∂F/∂x] / [ ∂F/∂y]

Soal-soal: Tentukan dy/dx dari soal- soal berikut 1. y lnCos2x 2. _y_4x2 _7 3 _2x3 _14 3. ₂ 2 ₄ 2

3 2

   

 

  

x x

y 4. y e 2xSin₂x Cos₂x

  

5. Sinx Cosy Cosx Siny16. x xy y x

xy 3 6 5

4 4 _{  }

7. 5y = arc cosec2x 8. y _SinSin _xx 3 1

3 1

  

Y 2x

IV. LIMIT DAN KEKONTINUAN

L Y=f(x)

a

Definisi:

Limitx→a f(x) = L adalah jika x →a (menuju a) maka grafik

y = f(x) → L (menuju L).

Limit Sepihak

- Limit kiri adalah Lim x→a- f(x) adalah jika x menuju a dari

kiri ( x →a- ₎

- Limit kanan adalah Limx→a+f(x) adalah jika x menuju a

dari kanan( x →a+ ₎

Jika Limx→a- f(x) = Limx→a+f(x) maka Limx→a f(x) ada atau f(x) mempunyai limit di titik x = a.

Akibatnya jika nilai limit kiri ≠ limit kanan maka f(x) tidak mempunyai limit di titik tersebut.

Kekontinuan Limit

F(x) kontinu di titik x=a Jika Limx→a- f(x) = Limx→a+f(x) =f(a)

Jika salah 1 syarat tdk dipenuhi maka f(x) disebut diskontinu Contoh:

Jika

a. Gambarkan grafik

b. Apakah f (x) mempunyai limit di titik x = 2 c. Apakah f (x ) kontinu di titik x = 2

VI. APLIKASI DIFERENSIAL

 Teorema L’Hospital

Digunakan untuk menghitung limit-limit yang berbentuk 0/0 atau ~/~)

= , stop sampai limit tidak

berbentuk 0/0 atau ~/~).

Contoh :

1.

2.

3.

4.

Menghitung limit pangkat ( )

Penyelesaian menggunakan Pemisalan. Contoh : 1

1

1

lim   

x

x x  



1 Bentuk

1

Contoh:

 Menggambar grafik y = f(x)

- Menentukan perpotongan dengan sumbu x dan sumbu y - Menentukan Titik Kritis/ Titik Belok (Syarat Y’₌₀₎

- Titik Kritis Maksimum jika Y”_{<0, Titik Kritis Minimum jika}

Y”_>0

- Cari Persamaan garis assymtot jika ada - Menggunakan titik bantu jika diperlukan

Contoh: Gambarkan grafik

Tentukan :

a. Selang naik dan turun

b. Titik maksimum atau minimum c. Titik Belok

Soal :

Gambarkan grafik2 berikut :

1. _y2_x3_ 6_x1 2. _yx4_{ 2x}3

3.  2_₁3 x x

y 4.

9 4

2 2

  

x x y

VII. INTEGRAL TAK TENTU/ ANTI TURUNAN

DEFINISI :

JIKA f(x) fungsi kontinu dan , dimana F’(x)= f(x) dan C konstanta.

Rumus Integral

1.

_dxd  f x  dx_f x _C

 ( ) ( )

2.

_uv dx _udx_vdx

3.

audxaudx,a konstanta

4.

1 , 1

1

1 _{ }

 



u du um C m

m m

5.

du_{u } u _C

 ln

6.

_

audu _lnau_aC,a0,a1

7.

eudu eu c

 



8.

SinuduCosuC

9.

CosuduSinuC

10.

tgudulnSecu C

11.

Ctgudu lnSinu C

12

Secudu lnSecutgu C

13

Cosecudu lnCosecu Ctgu C

14.

Sec2udu tguC

15.

Co_sec2uduCtguC

16.

SecutguduSecuC

17.

CosecuCtguduCosecuC

18.

  

 a C

u arcSin u

a du

19.

  

a arcsin

2

METODA INTEGRAL

1. Substitusi

Definisi : disubstitusi menjadi . Soal2:

2. Parsial

1. 5. arcSin2x dx

2.