PROYEK UAS PRAKTIKUM
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
2018
Ketentuan :
• Buat kelompok terdiri dari 6-7 orang (terdiri atas laki-laki dan perempuan serta gabungan dari kelas praktikum A, B, dan C).
• Nama-nama anggota kelompok 1-16 dikumpulkan oleh pewakilan angkatan, kemudian kirim ke OA Astlab paling lambat Kamis, 6 Desember 2018 pukul 20.00, dalam bentuk tabel kelompok.
• Masing-masing kelompok diharuskan mengerjakan soal sesuai nomor yang telah ditentukan.
No.
Kelompok No Soal
No.
Kelompok No Soal
No.
Kelompok No Soal
No.
Kelompok No Soal
1 1,17,20 5 5,18,23 9 9,23,32 13 13,26,32
2 2,19,32 6 6,24,28 10 10,20,27 14 14,28,30
3 3,22,25 7 7,25,30 11 11,18,31 15 15,19,28
4 4,30,31 8 8,19,29 12 12,22,24 16 16,18,21
Catatan : Boleh mengerjakan 2 dari 3 soal yang di tentukan. Dan untuk yang mengerjakan 3 dari
3 soal akan mendapatkan nilai tambah.
• Soal dikerjakan di Maple, Ms. Word dan Ms. PowerPoint.
• PROYEK UAS paling lambat dikumpulkan pada hari Jum’at, 14 Desember 2018 pukul 20.00 WIB ke web Astlab, dengan lampiran : laporan dalam docx/doc dan file presentasi, serta file
Maple. Disatukan dalam zip/rar.
Format upload file : No Kelompok_NPM Ketua_Nama Ketua
Soal :
1. Suatu himpunan 𝑆 dikatakan konveks jika seluruh segmen garis dari setiap titik di 𝑆 berada di 𝑆. Dengan kata lain, misal terdapat titik 𝑃 dan 𝑄 di dalam 𝑆, maka, 𝑃𝑄̅̅̅̅ ada di dalam 𝑆.
a) Berikan satu contoh himpunan konveks, kemudian buktikan dan gambarkan (jika memungkinkan)!
b) Misal 𝑆 adalah paralelogram yang memuat seluruh kombinasi linear 𝑡1𝑣1 + 𝑡2𝑣2 dengan 0 ≤ 𝑡1 ≤ 1 , 1 ≤ 𝑡2 ≤ 2
Apakah 𝑆 konveks? Buktikan!
2. Misal 𝐴 adalah matriks segitiga atas dengan 𝑛 baris dan 𝑛 kolom, dibentuk sebagai 𝐴 =
[𝑎11⋮ ⋯ 𝑎⋱ 1𝑛⋮
0 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
]
a) Jika 𝑎11, 𝑎12, 𝑎13, … 𝑎1𝑛, 𝑎21𝑎22, 𝑎23, … , 𝑎2𝑛, … , 𝑎𝑛𝑛 ≠ 0, berapakah Rank dari A? Berikan contoh!
b) Jika salah satu dari elemen segitiga matriks adalah 0, berapakah Rank dari A? Apakah jawaban sama dengan pertanyaan (a)? Bagaimana hal tersebut terjadi? Berikan contoh!
3. Misal, 𝑉 adalah ruang vektor. Didefinisikan pemetaan 𝑄 ∶ 𝑉 → 𝑉, dengan
𝑄(𝑓(𝑥)) =2𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)4 , 𝑓(𝑥) ∈ 𝑉
a) Apakah 𝑄 merupakan pemetaan linear?
4. Misal, 𝑉 ruang vektor yang dibangun oleh 𝑓1(𝑡) = 1, 𝑓2(𝑡) = 𝑡, 𝑓3(𝑡) = 𝑡2. Didefinisikan pemetaan 𝐷: 𝑉 → 𝑉 dengan 𝐷(𝑓(𝑡)) = 𝑓′(𝑡).
a) Ubah pemetaan ke dalam persamaan matriks yang bersesuaian dengan pemetaan 𝐷, kemudian berikan contoh!
b) Misal, 𝐷(𝑓(𝑡)) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡, konstruksi persamaan matriks yang baru dan beri contoh! Apakah ada hubungan antara pemetaan yang pertama dengan pemetaan yang kedua?
5. Misal, 𝑃: 𝑉 → 𝑉 pemetaan linear dengan 𝑃2 = 𝑃. Didefinisikan 𝑅 = 𝐼 − 𝑃 a) Ubah 𝑅2018 ke dalam bentuk yang paling sederhana!
b) Apakah 𝑘𝑒𝑟(𝑅) = 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒(𝑃) ? Buktikan!
6. Misal, 𝑃: ℝ3 → ℝ3 adalah pemetaan linear dengan 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 2𝑥 − 2𝑦, 3𝑥 +
3𝑧)
a) Apakah 𝑃 invertible? Buktikan!
b) Gambarkan grafik pemetaan untuk −2𝜋 ≤ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≤ 2𝜋, kemudian proyeksikan setiap grafik ke dalam bidang 𝑋𝑂𝑌, 𝑋𝑂𝑍, dan 𝑌𝑂𝑍!
7. Misal 𝑉 ruang vektor. Didefinisikan 𝑃: 𝑉 → 𝑉 dengan 𝑃(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … ) =
(0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … )
a) Tentukan 𝐾𝑒𝑟(𝑃)
b) Konstruksi pemetaan linear 𝐺: 𝑉 → 𝑉 sehingga 𝐺 ∘ 𝑃(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … ) = 𝐼, kemudian buat contoh salah satu pemetaannya!
8. Didefinisikan ||𝑓|| = √< 𝑓, 𝑓 > dengan < 𝑓, 𝑓 > = ∫ 𝑓 × 𝑓𝐷 a) Berapakah nilai dari ||𝑓|| dengan 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑥 pada interval [0, 𝜋]
b) Jika < 𝑓, 𝑔 > = ∫ 𝑓 × 𝑔02𝜋 , dengan 𝑓𝑛(𝑡) = cos (𝑛𝑡) , 𝑛 ≥ 0 dan 𝑔𝑛(𝑡) = sin(𝑛𝑡),
9. Misal, 𝑃 merupakan pemetaan berupa rotasi dengan arah terbalik dari jarum jam. Didefinisikan matriks rotasi terbalik dengan jarum jam sebagai berikut :
𝑅 = [cos (𝜃) − sinsin (𝜃) cos (𝜃) ](𝜃)
a) Cari matriks yang bersesuaian untuk rotasi searah jarum jam, tentukan hubungannya dengan matriks 𝑅!
b) Diketahui transformasi geometri lain, yaitu : translasi, dilatasi, dan refleksi. Tentukan transformasi mana yang berhubungan dengan 𝑅, jelaskan hubungannya dan berikan contohnya!
c) Apakah pemetaan 𝑃 linear? Jelaskan!
10.Misal, ℝ4 adalah ruang vektor.
a) Cari basis orthonormal untuk subruang dari ℝ4 yang dibangun oleh
(1,1,2,1), (1, −1,1,2), (−1,0,1,2)
b) Apakah ℝ, ℝ2 dan ℝ3 merupakan subruang dari ℝ4? Dapatkah kita mencari basis orthonormal dalam ℝ, ℝ2 atau ℝ3 dengan ruang ℝ4 ? Berikan pendapat!
11.Misal, 𝑉 adalah subruang dari fungsi yang dibangun oleh 𝑓(𝑥) = 𝑥 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥3. Carilah basis orthonormal untuk 𝑉!
12.Tentukan persamaan garis yang melalui (2, −4,5) dan sejajar bidang 3𝑎 + 𝑏 − 2𝑐 = 5 serta tegak lurus 𝑎+8
2 =
𝑏−5
3 =
𝑐+2 6
13.Misal, 𝑉 ruang vektor yang dibangun oleh 𝑓1(𝑡) = sin(𝑡) , 𝑓2(𝑡) = cos(𝑡) , 𝑓3(𝑡) =
cos (2𝑥). Didefinisikan pemetaan 𝐷: 𝑉 → 𝑉 dengan 𝐷(𝑓(𝑡)) = 𝑓′(𝑡)
a) Konstruksi matriks yang merepresentasikan pemetaan 𝐷!
14.Misal, 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks. 𝐴 adalah left inverse matrix dari 𝐵 jika 𝐴𝐵 = 𝐼 dan 𝐴 adalah right inverse matrix dari 𝐵 jika 𝐵𝐴 = 𝐼
a) Berikan satu buah matriks yang memiliki left inverse matrix, tetapi tidak memiliki
right inverse matrix. Berikan juga contoh yang sebaliknya!
b) Apa yang terjadi jika sebuah matriks memiliki left inverse matrix dan right inverse matrix? Apa yang terjadi jika sebuah matriks tidak memiliki left inverse matrix dan
right inverse matrix? Berikan contohnya!
c) Apakah sebuah matriks dapat memiliki lebih dari satu right inverse matrix atau left inverse matrix? Berikan contohnya!
15.Matriks permutasi adalah matriks persegi yang memiliki satu elemen bernilai 1 untuk tiap baris dan kolomnya dengan elemen lain bernilai nol.
a) Buat satu contoh matriks permutasi dengan ukuran 10 × 10
b) Apakah matriks permutasi merupakan matriks identitas? Apakah matriks identitas merupakan matriks permutasi? Jelaskan!
Carilah nilai dari (𝐴𝐷𝐵𝐸𝐶)−1. Kesimpulan apa yang bisa didapatkan dari pengerjaan soal tersebut?
17.Diketahui matriks-matriks dibawah ini
𝑀 = [20 −1 −21 9
𝐴 = [−7 106 3 121
[1 2 3] (gunakan metode AMS atau Stackmatriks) d. Bandingkan hasilnya dengan cara cepat.
18.Carilah nilai eigen, dan vector eigen dari matriks 𝑁 = [
2 22 20
Hitunglah determinan dari matriks 5𝐴, 4𝐵, 𝐴𝐵, (𝐶 + 𝐷) jika penjumlahan dilakukan pada baris kedua!
20.Plot fungsi berikut dengan domain (−∞, 3] dan kodomain [−10,20]
𝑓(𝑥) = ln|2𝑥| −𝑒𝑥1+ 𝑥 + sin (𝜋𝑥3 )
Carilah nilai numerik dari 𝑓(6,45)!
b. Carilah semua minor dari matriks 𝐴 dan 𝐵!
22.Diketahui titik 𝑢⃗ = (2, −1,3), 𝑣 = (1
2, 0, −1) dan 𝑤⃗⃗ = (−2,3,5)
a. Tentukan norm 2𝑢⃗ − 𝑣 + 6𝑤⃗⃗ ! b. Tentukan nilai 𝑢⃗ . 𝑣 dan 𝑣 . 𝑤⃗⃗ ! c. Tentukan (𝑢⃗ × 𝑤⃗⃗ ) × 𝑣 !
d. Gambarkan titik 𝑢⃗ , 𝑣 dan 𝑤⃗⃗ , lalu hubungkan ketiganya!
23.Diketahui vector-vektor dibawah ini
𝑎 ≔ 7𝑖 + 5𝑗 − 3𝑘, 𝑏 ≔ 5𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘
a. Carilah Panjang dari 𝑐 dimana 𝑐 = 𝑎 − 𝑏! b. Hitunglah hasil dari 𝑎 ∙ 𝑐 dan 𝑏 × 𝑐!
24.Ubah matriks berikut ke dalam bentuk esilon tereduksi dengan menggunakan stackmatrix, lalu bandingkan dengan menggunakan cara cepat!
𝑆 = [
1 2 1 4
2 4 3 1
3 −4 −1 2
−4 −8 −6 −2 ]
25.Selesaikan SPL berikut.
4𝑣 + 8𝑥 + 11𝑦 + 6𝑧 = 4761 7𝑤 + 9𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 5933
3𝑣 + 𝑤 + 3𝑥 + 4𝑦 = 1907 2𝑣 + 2𝑤 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1380
𝑣 + 𝑤 + 9𝑥 + 8𝑧 = 3921
Menggunakan cara manual, stackmatrix, AMS, rumus, dan cara cepat!
26.Carilah nilai eigen, dan vector eigen dari matriks 𝐾 = [
−3 1 −1 −7 5 −1
−6 6 −2]
27.Selesaikan SPL berikut.
𝑎 + 3𝑏 + 3𝑑 = 0 𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = −22
3𝑎 + 5𝑏 + 𝑐 − 2𝑑 + 2𝑒 = 2 4𝑎 + 3𝑏 − 3𝑐 − 𝑑 + 𝑒 = −11
2𝑎 + 6𝑏 + 6𝑑 = 55
Menggunakan cara manual, stackmatrix, AMS, rumus, dan cara cepat!
28.Carilah nilai eigen, dan vector eigen dari matriks 𝐴 = [
3 1 1 2 4 2 1 1 3]
!
29.Selesaikan SPL berikut
−3𝑗 + 5𝑘 + 3𝑙 + 𝑚 = 25 5𝑘 + 4𝑙 + 7𝑚 + 8𝑛 = 30 𝑗 − 𝑘 + 𝑙 + 2𝑚 + 3𝑛 = 18 −3𝑗 + 4𝑘 + 5𝑙 − 𝑚 + 9𝑛 = 29
3𝑗 + 𝑘 + 7𝑙 − 3𝑚 = 32
Menggunakan cara manual, stackmatrix, AMS, rumus, dan cara cepat!
30.Ditentukan 𝐴(4,7,0), 𝐵(6,10, −6), dan 𝐶(1,9,0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor 𝑢⃗ dan 𝑣 . Tentukan :
a. Besar sudut antara 𝑢 dan 𝑣 b. (𝑢⃗ × 𝑣 ) ∙ 𝑢⃗ dan 𝑣 ∙ (𝑢⃗ × 𝑣 )
c. Panjang (𝑢⃗ × 𝑣 ) ∙ 𝑢⃗ dan 𝑣 ∙ (𝑢⃗ × 𝑣 ) d. Gambarkan vektor 𝑢⃗ dan 𝑣
31.Diketahui vektor 𝑢⃗ = (𝑎3, 3,4𝑎) dan 𝑣 = (2, −7𝑎2, 9) dengan 0 < 𝑎 < 8. Tentukan : a. Nilai maksimum 𝑢⃗ ∙ 𝑣
b. (5𝑢⃗ − 3𝑣 ) + (𝑢⃗ ∙ 𝑣 )(𝑢⃗ + 𝑣 ) c. 𝑢⃗ × 𝑣
32.Diketahui matriks-matriks dibawah ini
𝑋 = [5 −1 30 −1 2
1 2 1]
𝑌 = [−31 2
0 3 −1]
Tentukan :
a. 3𝑋 − 5𝑌 + (𝑋𝑌)
