TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)

(1)

Transformasi Linier

Antonius CP

Outline

TRANSFORMASI LINIER

(Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)

Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc

PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember

Indonesia

(2)

Transformasi Linier

Antonius CP

Outline

Outline

1 _{Pengertian dan Sifat Transformasi Linier}

2 _{Transformasi Linier Antar Ruang Riil}

(3)

Transformasi Linier

Antonius CP

Outline

Outline

(4)

Transformasi Linier

Antonius CP

Outline

Outline

(5)

Transformasi Linier

Antonius CP

Pengertian dan Sifat TL

TL antar Ruang Riil Matriks TL

Transformasi Linier

Definisi

JikaF :V −→W adalah fungsi dari ruang vektorV ke ruang vektorW, makaF merupakantransformasi linier jika

1 _F_(u₊_v_{) =}_F_{(u) +}_f_(v₎_,_∀u,_v _∈_V

2 _F(ku) =_kF(u)_,∀u∈_V _{dan semua skalar}_k

Contoh 1

MisalkanAsebuah matriksm×n. FungsiT :Rn−→Rm

(6)

Transformasi Linier

Antonius CP

Transformasi Linier

Definisi

1 _F_(u₊_v_{) =}_F_{(u) +}_f_(v_),_∀u,_v _∈_V

2 _F(ku) =_kF(u)_,∀u∈_V _{dan semua skalar}_k

Contoh 1

dengan aturanT(x) =Ax merupakan transformasi linier,

(7)

Transformasi Linier

Antonius CP

Transformasi Linier

Definisi

1 _F_(u₊_v_{) =}_F_{(u) +}_f_(v_),_∀u,_v _∈_V

2 _F(ku) =_kF(u),∀u∈_V _{dan semua skalar}_k

Contoh 1

dengan aturanT(x) =Ax merupakan transformasi linier,

(8)

Transformasi Linier

Antonius CP

Transformasi Linier

Definisi

1 _F_(u₊_v_{) =}_F_{(u) +}_f_(v_),_∀u,_v _∈_V

2 _F(ku) =_kF(u),∀u∈_V _{dan semua skalar}_k

Contoh 1

(9)

Transformasi Linier

Antonius CP

Transformasi Linier

Contoh 2

MisalkanT :R2−→R2adalah perkalian oleh matriks

A=

cosθ −sinθ sinθ cosθ

yakni perputaranR2_{melalui sudut}_{θ, merupakan}

transformasi linier

Contoh 3

PemetaanT :V −→W dengan aturanT(v) =0,∀v ∈V

(10)

Transformasi Linier

Antonius CP

Transformasi Linier

Contoh 2

MisalkanT :R2−→R2adalah perkalian oleh matriks

A=

yakni perputaranR2_{melalui sudut}_{θ, merupakan}

transformasi linier

Contoh 3

PemetaanT :V −→W dengan aturanT(v) =0,∀v ∈V merupakan transformasi linier yang dinamakan

(11)

Transformasi Linier

Antonius CP

Transformasi Linier

Contoh 4

PemetaanT :V −→V dengan aturan T(v) =v,∀v ∈V

merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi identitas

Catatan

JikaT :V −→V merupakan transformasi linier, makaT

(12)

Transformasi Linier

Antonius CP

Transformasi Linier

Contoh 4

PemetaanT :V −→V dengan aturan T(v) =v,∀v ∈V

merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi identitas

Catatan

(13)

Transformasi Linier

Antonius CP

Transformasi Linier

Contoh 5

PemetaanT :V −→V yang didefinisikan oleh T(v) =kv

(14)

Transformasi Linier

Antonius CP

Transformasi Linier

Contoh 6

MisalV ruang hasilkali dalam danW subruang yang memiliki

S={w1,w2, ...,wr}

sebagai basis ortonormal. MisalT :V −→W dengan aturan

T(v) =<v,w1>w1+<v,w2>w2+...+<v,wr >wr

(15)

Transformasi Linier

Antonius CP

Transformasi Linier

Contoh 7

MisalkanV =R3_{dengan hasilkali dalam Euclidis.}

{(1,0,0),(0,1,0)}merupakan basis ortonormal untuk bidangxy. Jikav = (x,y,z)adalah sebarang vektor pada R3_{maka proyeksi ortogonal dari}_R3_{pada bidang}_xy

diberikan oleh

T(v) = (x,y,0)

Contoh 8

MisalV ruang berdimensindanSadalah salah satu

basisnya. MakaT :V −→Rn_{dengan aturan}

T(v) = (v)S

(16)

Transformasi Linier

Antonius CP

Transformasi Linier

Contoh 7

MisalkanV =R3_{dengan hasilkali dalam Euclidis.}

{(1,0,0),(0,1,0)}merupakan basis ortonormal untuk bidangxy. Jikav = (x,y,z)adalah sebarang vektor pada R3_{maka proyeksi ortogonal dari}_R3_{pada bidang}_xy

diberikan oleh

T(v) = (x,y,0)

Contoh 8

MisalV ruang berdimensindanSadalah salah satu basisnya. MakaT :V −→Rn_{dengan aturan}

T(v) = (v)S

(17)

Transformasi Linier

Antonius CP

Transformasi Linier

Contoh 9

MisalV adalah sebuah ruang hasilkali dalam danv0adalah

sebarang vektor tetap diV. MakaT :V −→R dengan aturan

T(v) =<v,v0>

(18)

Transformasi Linier

Antonius CP

Transformasi Linier

Contoh 10

MisalV =C[0,1]adalah ruang vektor dari semua fungsi riil yang kontinu pada selang 0≤x ≤1 dan misalkanW adalah subruang dariC[0,1]yang terdiri dari semua fungsi yang turunan pertamanya kontinu pada selang 0≤x ≤1. MakaD:W −→V dengan aturan

D(f) =f′

(19)

Transformasi Linier

Antonius CP

Transformasi Linier

Contoh 11

MisalV =C[0,1], makaJ :V −→Rdengan aturan

J(f) = Z 1

0

f(x)dx

(20)

Transformasi Linier

Antonius CP

Sifat Transformasi Linier

Teorema

JikaT :V −→W adalah transformasi linier, maka

Sifat 1

T(0) =0

Sifat 2

T(−v) =−t(v),∀v ∈V

Sifat 3

(21)

Transformasi Linier

Antonius CP

Sifat Transformasi Linier

Teorema

Sifat 1

T(0) =0

Sifat 2

T(−v) =−t(v),∀v ∈V

Sifat 3

(22)

Transformasi Linier

Antonius CP

Sifat Transformasi Linier

Teorema

Sifat 1

T(0) =0

Sifat 2

T(−v) =−t(v),∀v ∈V

Sifat 3

(23)

Transformasi Linier

Antonius CP

Sifat Transformasi Linier

Teorema

Sifat 1

T(0) =0

Sifat 2

T(−v) =−t(v),∀v ∈V

Sifat 3

(24)

Transformasi Linier

Antonius CP

Kernel dan Jangkauan

Definisi

JikaT :V −→W adalah transformasi linier, maka Kernel(atauruang nol) dariT adalah

ker(T) ={v ∈V|T(v) =0} JangkauandariT adalah

R(T) ={w ∈W|∃v ∈V,T(v) =w}

JikaT :V −→W adalah transformasi linier, maka ker(T)subruang padaV

(25)

Transformasi Linier

Antonius CP

Kernel dan Jangkauan

Definisi

R(T) ={w ∈W|∃v ∈V,T(v) =w}

(26)

Transformasi Linier

Antonius CP

Kernel dan Jangkauan

Definisi

R(T) ={w ∈W|∃v ∈V,T(v) =w}

(27)

Transformasi Linier

Antonius CP

Kernel dan Jangkauan

Definisi

R(T) ={w ∈W|∃v ∈V,T(v) =w}

(28)

Transformasi Linier

Antonius CP

Kernel dan Jangkauan

Definisi

R(T) ={w ∈W|∃v ∈V,T(v) =w}

(29)

Transformasi Linier

Antonius CP

Kernel dan Jangkauan

Definisi

R(T) ={w ∈W|∃v ∈V,T(v) =w}

(30)

Transformasi Linier

Antonius CP

Dimensi Kernel dan Jangkauan

Definisi

JikaT :V −→W adalah transformasi linier, maka dim(ker(T))disebutnulitas T

dim(R(T))disebutrank T

Contoh 1

MisalT :R2−→R2adalah perputaranR2melalui sudut π

4,

makaR(T) =R2_dan_ker_(T_{) =}_{₀_}_{. Sehingga}

rank(T) =2

dan

(31)

Transformasi Linier

Antonius CP

Dimensi Kernel dan Jangkauan

Definisi

Contoh 1

4,

makaR(T) =R2_dan_ker₍_T_{) =}_{₀_}_{. Sehingga}

rank(T) =2

dan

(32)

Transformasi Linier

Antonius CP

Dimensi Kernel dan Jangkauan

Definisi

Contoh 1

4,

makaR(T) =R2_dan_ker₍_T_{) =}_{₀_}_{. Sehingga}

rank(T) =2

dan

(33)

Transformasi Linier

Antonius CP

Dimensi Kernel dan Jangkauan

Definisi

Contoh 1

4,

makaR(T) =R2_dan_ker_(T_{) =}_{{0}. Sehingga}

rank(T) =2 dan

(34)

Transformasi Linier

Antonius CP

Dimensi Kernel dan Jangkauan

Contoh 2

MisalT :Rn_−→_Rm _{adalah perkalian oleh matriks}_A berukuranm×n. MakaR(T)adalah ruang kolomAdan ker(T)adalah ruang pemecahanAx =0. Sehingga

rank(T) =dim(ruang kolomA)=rank(A) dan

(35)

Transformasi Linier

Antonius CP

Teorema Terkait Dimensi

Teorema

JikaT :V −→W adalah transformasi linier dandim(V) =n maka

rank(T) +nulitas(T) =n

Teorema

JikaAadalah matriksm×nmaka dimensi ruang

pemecahan dariAx =0 adalah

(36)

Transformasi Linier

Antonius CP

Teorema Terkait Dimensi

Teorema

JikaT :V −→W adalah transformasi linier dandim(V) =n maka

rank(T) +nulitas(T) =n

Teorema

JikaAadalah matriksm×nmaka dimensi ruang pemecahan dariAx =0 adalah

(37)

Transformasi Linier

Antonius CP

TL antar Ruang Riil

Matriks TL

Transformasi dari

R

n

ke

R

m

Problem

JikaT :Rn_−→_Rm _{adalah sebarang transformasi linier,} maka dapatkah dicari sebuah matriksAyang berukuran m×nsehinggaT adalah perkalian olehA?

Solusi

Jikae1,e2, ...,enadalah basis baku untukRn danAadalah

matriksm×nyang vektor-vektor kolomnya adalah

T(e1),T(e2), ...,T(en), maka dapat dibuktikan bahwa

T(x) =Ax,∀x ∈Rn

Dengan demikian setiap transformasi linierT :Rn−→Rm

dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yakni

(38)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Transformasi dari

R

n

ke

R

m

Problem

Solusi

matriksm×nyang vektor-vektor kolomnya adalah T(e1),T(e2), ...,T(en), maka dapat dibuktikan bahwa

T(x) =Ax,∀x ∈Rn

Dengan demikian setiap transformasi linierT :Rn−→Rm

dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yakni

(39)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Transformasi dari

R

n

ke

R

m

Problem

Solusi

matriksm×nyang vektor-vektor kolomnya adalah T(e1),T(e2), ...,T(en), maka dapat dibuktikan bahwa

T(x) =Ax,∀x ∈Rn

(40)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Transformasi dari

R

n

ke

R

m

Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teorema berikut.

Teorema

JikaT :Rn_−→_Rm _{adalah transformasi linier, dan jika} e1,e2, ...,enadalah basis baku untukRn, makaT adalah

perkalian olehAdimana

A= [T(e1),T(e2), ...,T(en)]

Catatan

MatriksAdisebutmatriks baku untuk T

(41)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Transformasi dari

R

n

ke

R

m

Teorema

A= [T(e1),T(e2), ...,T(en)]

Catatan

(42)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Transformasi dari

R

n

ke

R

m

Teorema

A= [T(e1),T(e2), ...,T(en)]

Catatan

(43)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Transformasi dari

R

n

ke

R

m

Teorema

A= [T(e1),T(e2), ...,T(en)]

Catatan

(44)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Transformasi dari

R

n

ke

R

m

Teorema

A= [T(e1),T(e2), ...,T(en)]

Catatan

(45)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Transformasi dari

R

2

ke

R

2

Rotasi

JikaT :R2−→R2adalah perputaran terhadap titik asal melalui sudutθ, maka matriks baku untukT adalah

A=

Refleksi terhadap sumbuy

JikaT :R2_−→_R2_{adalah refleksi terhadap sumbu}_y_{, maka}

matriks baku untukT adalah

A=

−1 0

0 1

(46)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Transformasi dari

R

2

ke

R

2

Rotasi

JikaT :R2−→R2adalah perputaran terhadap titik asal melalui sudutθ, maka matriks baku untukT adalah

A=

Refleksi terhadap sumbuy

JikaT :R2_−→_R2_{adalah refleksi terhadap sumbu}_{y, maka}

A=

−1 0

0 1

(47)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Transformasi dari

R

2

ke

R

2

Refleksi terhadap sumbux

JikaT :R2_−→_R2_{adalah refleksi terhadap sumbu}_{x, maka}

A=

1 0

0 −1

Refleksi terhadap garisy =x

JikaT :R2−→R2adalah refleksi terhadap garisy =x,

maka matriks baku untukT adalah

A=

0 1 1 0

(48)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Transformasi dari

R

2

ke

R

2

Refleksi terhadap sumbux

JikaT :R2_−→_R2_{adalah refleksi terhadap sumbu}_{x, maka}

A=

1 0

0 −1

Refleksi terhadap garisy =x

JikaT :R2−→R2adalah refleksi terhadap garisy =x, maka matriks baku untukT adalah

A=

0 1 1 0

(49)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Transformasi dari

R

2

ke

R

2

Ekspansi dan Kompresi dalam arahx

JikaT :R2−→R2adalah ekspansi atau kompresi dalam arahx dengan faktork, maka akan memetakan titik(x,y) ke(kx,y). Sehingga matriks baku untukT adalah

A=

k 0 0 1

Ekspansi dan Kompresi dalam arahy

JikaT :R2−→R2adalah ekspansi atau kompresi dalam

arahy dengan faktork, maka akan memetakan titik(x,y) ke(x,ky). Sehingga matriks baku untukT adalah

A=

1 0

0 k

(50)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Transformasi dari

R

2

ke

R

2

Ekspansi dan Kompresi dalam arahx

JikaT :R2−→R2adalah ekspansi atau kompresi dalam arahx dengan faktork, maka akan memetakan titik(x,y) ke(kx,y). Sehingga matriks baku untukT adalah

A=

k 0 0 1

Ekspansi dan Kompresi dalam arahy

JikaT :R2−→R2adalah ekspansi atau kompresi dalam arahy dengan faktork, maka akan memetakan titik(x,y)

ke(x,ky). Sehingga matriks baku untukT adalah

A=

1 0 0 k

(51)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Transformasi dari

R

2

ke

R

2

Geseran dalam arahx

JikaT :R2_−→_R2_{adalah geseran dalam arah}_x _dengan

faktork, maka akan memetakan titik(x,y)ke(x+ky,y). Sehingga matriks baku untukT adalah

A=

1 k 0 1

Geseran dalam arahy

JikaT :R2_−→_R2_{adalah geseran dalam arah}_y _dengan

faktork, maka akan memetakan titik(x,y)ke(x,y +kx).

Sehingga matriks baku untukT adalah

A=

1 0

k 1

(52)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Transformasi dari

R

2

ke

R

2

Geseran dalam arahx

JikaT :R2_−→_R2_{adalah geseran dalam arah}_x _dengan

faktork, maka akan memetakan titik(x,y)ke(x+ky,y). Sehingga matriks baku untukT adalah

A=

1 k 0 1

Geseran dalam arahy

JikaT :R2_−→_R2_{adalah geseran dalam arah}_y _dengan

faktork, maka akan memetakan titik(x,y)ke(x,y +kx). Sehingga matriks baku untukT adalah

A=

1 0 k 1

(53)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Efek Geometri dari Transformasi Matriks

Resume

Jika diperhatikan maka matriks-matriks baku untuk geseran, kompresi, ekspansi dan refleksi merupakan matriks-matriks elementer. Dengan fakta ini maka teorema berikut dapat dibuktikan kebenarannya.

Teorema

JikaT :R2−→R2adalah perkalian oleh matriksAyang

invertibel, maka efek geometri dariT berupa geseran,

(54)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Efek Geometri dari Transformasi Matriks

Resume

Jika diperhatikan maka matriks-matriks baku untuk geseran, kompresi, ekspansi dan refleksi merupakan matriks-matriks elementer. Dengan fakta ini maka teorema berikut dapat dibuktikan kebenarannya.

Teorema

(55)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Hasil Lanjutan

JikaT :R2−→R2adalah perkalian oleh matriksAyang invertibel, maka

1 _{bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus} 2 _{bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah}

sebuah garis lurus melalui titik asal

3 _{bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah} garis-garis lurus yang sejajar

4 _{bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan}

titikP danQadalah segmen garis yang

menghubungkan bayanganP dan bayanganQ

(56)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Hasil Lanjutan

3 _{bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah}

garis-garis lurus yang sejajar

(57)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Hasil Lanjutan

3 _{bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah}

garis-garis lurus yang sejajar

(58)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Hasil Lanjutan

5 _{bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika}

(59)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Hasil Lanjutan

4 _{bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan} titikP danQadalah segmen garis yang

5 _{bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika}

(60)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Hasil Lanjutan

4 _{bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan} titikP danQadalah segmen garis yang

(61)

Transformasi Linier

Antonius CP

Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Masalah

(62)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

MisalkanV berdimensindengan basisB={u1,u2, ...,un}

danW berdimensimdengan basisB′ ₌_{v₁_,_v₂_{, ...,}_vm}.

Maka∀x ∈V,[x]_B ∈Rndan[T(x)]_B′ ∈R m_.

Jadi proses pemetaanx keT(x)akan menghasilkan pemetaan dariRnkeRmdengan memetakan[x]_B ke

[T(x)]_B′.

Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakan

menggunakan perkalian dengan matriksA, yakni

(63)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

danW berdimensimdengan basisB′ ₌_{v₁_,_v₂_{, ...,}_vm}. Maka∀x ∈V,[x]_B ∈Rndan[T(x)]_B′ ∈R

m_.

Jadi proses pemetaanx keT(x)akan menghasilkan pemetaan dariRnkeRmdengan memetakan[x]_B ke

[T(x)]_B′.

Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakan menggunakan perkalian dengan matriksA, yakni

(64)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

m_.

Jadi proses pemetaanx keT(x)akan menghasilkan pemetaan dariRnkeRmdengan memetakan[x]_B ke [T(x)]_B′.

(65)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

m_.

Jadi proses pemetaanx keT(x)akan menghasilkan pemetaan dariRnkeRmdengan memetakan[x]_B ke [T(x)]_B′.

(66)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

MatriksAberbentuk

A= [[T(u1)]B′,[T(u2)]B′, ...,[T(un)]_B′]

MatriksAdisebutmatriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B’dan disimbolkan

[T]_B_,_B′

JikaT operator linier, maka matriks untukT yang bertalian dengan basisBadalah

(67)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

MatriksAberbentuk

A= [[T(u1)]B′,[T(u2)]B′, ...,[T(un)]_B′]

[T]_B_,_B′

(68)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

MatriksAberbentuk

A= [[T(u1)]B′,[T(u2)]B′, ...,[T(un)]_B′]

[T]_B,B′

(69)

Transformasi Linier

Antonius CP

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

MatriksAberbentuk

A= [[T(u1)]B′,[T(u2)]B′, ...,[T(un)]_B′]

[T]_B,B′