Edisi 12 Maret Pekan Ke-4, 2007 Nomor Soal: 111-120

(1)

1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 12

Maret Pekan Ke-4, 2007

Nomor Soal: 111-120

111. Luas persegi panjang ABCD adalah 2007 cm2. Titik E dan F adalah titik tengah dari AB dan CD, sedangkan G dan H adalah titik pada BC dan AD sedemikian sehingga CG = 2 GB dan AH = 2 HD. Berapakah luas EGFH?

Solusi:



ABCD



ABBC 20062c3k

6 2006



ck



EGFH

 

 ABCD

 





AEH

 

 GCF

 

 EBG

 

 FDH









ABCD

 

2



AEH

 

 EBG







  



 _ _ _

 

 AB BC AE AH EB BG

2 1 2

1 2

ABBC



AEAHEBBG



2c3k



c2kck



6ck3ck 3ck

3 2007 1003,5 6

   cm2

112. Diberikan ABC di mana BC = 13 cm, AB = 14 cm, dan AC = 15 cm. Dengan menggunakan setiap titik sudut sebagai titik pusat dibuat lingkaran-lingkaran yang bersinggungan pada tiap sisinya. Hitunglah jari-jari ketiga lingkaran tersebut.

Solusi:

Dari gambar di sebelah diperoleh sistem persamaan:

14

2 1r 

r …. (1)

15

3 1r 

r …. (2)

13

3 2 r 

r …. (3)

Jumlah dari ketiga persamaan itu adalah





42

2r1r2 r3 

21

3 2 1r r  r

13

3 2 r 

r r₁r₂ r₃ 21

r₁1321

r₁8 15

3 1r 

r r₁r₂ r₃ 21

r₂ 1521

r2 6 14

2 1r 

r r₁r₂ r₃ 21

A

B

C r1

r1

r3 r3 r2 r₂

 



A B

C D

E

G F

H k

2k

c c

2k

(2)

2 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

14r₃21

r3 7

 jari-jari yang berpusat A, B, dan C masing-masing adalah 8 cm, 6 cm, dan 7 cm.

113. Dua lingkaran identik (sama) O1(r) dan O2(r) menyinggung dua sisi persegi ABCD yang panjang sisinya a. Dua lingkaran identik dengan pusat O3 dan O4 dengan jar-jari t, menyinggung dua sisi dari ABCD dan keduanya menyinggung secara luar kedua lingkaran O1 dan O2. Jika a = 9 cm dan r = 4 cm, hitunglah nilai t.

Solusi:

2

2 ₍ ₎

)

(t r r t

BC     t22trr2r22rtt2  4tr 2 tr CD

BC AB

AD   r rt t

a 2 





2

r t a 

r t a  

Jika a = 9 cm dan r = 4 cm, maka

4 9  t

2 3 t

1



t t = 1cm

Jadi, nilai t = 1 cm.

114. Buktikan bahwa luas daerah lingkaran yang diarsir sama dengan luas bagian dalam lingkaran.

Solusi:

Luas lingkaran besar π(2r)2 4πr2

Luas bagian dalam lingkaran 2πr2 2πr2

Luas daerah lingkaran yang diarsir 4πr2 2πr2 2πr2

Jadi, luas daerah lingkaran yang diarsir = luas bagian dalam lingkaran.(qed)

115. ABCD adalah sebuah persegi dengan pusat O. Lingkaran-lingkaran digambarkan sekitar A, B, C, dan D sebagai pusat, masing-masing dengan jari-jari AO, BO, CO, dan DO yang sama, yang berpotongan di P, Q, R, dan S. Jika AB = 8 cm, hitunglah luas daerah yang diarsir.



r



 

O1

O2

O₃

O4



 

O1

O2 O3

O4

(3)

3 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Solusi:

Panjang AB = 8 cm, sehinggaOASA4 2cm

Luas tembereng SO   r  OASA 2

1 π 360

90 2

o o

 

4 2 4 2 2

1 2 4 π 4

1 2

   



32π 16 4

1

  





8π16



cm2

Luas daerah yang diarsir = luas lingkaran – 8  luas tembereng

π

 

82 8



8π16



64π64π128128cm2

116. AOB adadah diameter dari lingkaran besar. Dua lingkaran kecil berdiameter APO dan OQB saling bersinggungan dan menyinggung lingkaran yang besar dari dalam. Dua lingkaran kecil berpusat di R dan S menyinggung lingkaran yang besar dan lingkaran-lingkaran yang berpusat di P dan Q. Jika a, b, dan c = 4 cm adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di O, P, dan R , carilah a: b : c dan nilai dari a dan b.

Solusi:

Perhatikan OQR siku-siku di O. c

b

QR  , OQb, dan ORac Menurut Teorema Pythagoras:

2 2 2

OR OQ

QR  





2 2





2

c a b c

b   

2 2

2 2 2

2

2bc c b a ac c

b      

ac a

bc 2

2  2 

2

2 2bc aca

Diketahui bahwa b a 2 1

 , sehingga

A B

C D

P

Q R

S

O

A B

C D

P

Q R

S

O

8 cm



  

P

S R

Q

A B

b b c

O a  c



  

P

S R

Q

(4)

4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

sehingga k

SA

Dengan cara yang sama diperoleh





(5)

5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

118. Sebuah panji berbentuk segitiga sama sisi dipancangkan vertikal pada dua pojoknya yang tingginya a dan b. Pojok ketiga tertanam di tanah. Tentukan luas panji tersebut.

Solusi:

Menurut Teorema Pythagoras:

2

   (kedua ruas dikuadratkan)



2 2



2 2



2 2

119. Diameter AB dari sebuah lingkaran panjangnya 2-angka bilangan bulat. Kebalikan dari angka itu menyatakan panjang tali busur CD yang tegak lurus pada diameter itu. Jarak dari titik potongnya H ke pusat O adalah bilangan rasional positif. Carilah panjang AB.

(6)

6 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

120. Luas segitiga siku-siku adalah 60 cm2 dan jumlah ketiga sisinya adalah 40 m. Carilah panjang hipotenusanya.

Solusi:

Luas segitiga adalah 60 2

Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh





2

Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh

(7)

7 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

b8

40 15

8

       



c b a b

a

815c40 c17