REGRESI LINEAR BERGANDA ( MULTIPLE LINEAR REGRESSION )

REGRESI LINEAR BERGANDA

(

MULTIPLE LINEAR REGRESSION )

Elty Sarvia, ST., MT.

Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri

Universitas Kristen Maranatha

Bandung

Banyak orang yang membuat kesalahan-kesalahan yang tidak perlu ketika terlalu tegang karena itu...

“BE ABLE TO WORK UNDER PRESSURE !” #

Pengantar

•

Pada sesi sebelumnya kita hanya

menggunakan satu buah X, dengan

model Y = a + bX

•

Dalam banyak hal, yang mempengaruhi

(X) bisa lebih dari satu. Model umum

regresi linear berganda adalah

Y = a + b

1

X

1

+ b

2

X

2

+ … + b

n

X

n

#

Ilustrasi

•

Apabila kita ingin mengetahui hubungan

antara

jumlah rumah yang terjual

dengan

jumlah pengeluaran iklan, maka analisa ini

disebut

Regresi Sederhana

.

•

Jika kita ingin meningkatkan akurasinya,

maka kita dapat menambah variabel lain,

misal jumlah agen penjualan, analisa ini

disebut

Regresi Berganda

.

#

Keuntungan Analisa Regresi Berganda

•

Kita dapat menggunakan informasi lebih

banyak sebagai variabel guna menduga

variabel dependen, dengan demikian

hasil estimasi kita menjadi lebih akurat.

•

Jadi

Regresi

Berganda

adalah regresi

yang menggunakan lebih dari 1 variabel

independen guna menduga variabel

dependen.

#

REGRESI LINEAR BERGANDA

Persamaan Regresi Linear Berganda :



Untuk Populasi :



Untuk Sampel :

Dimana : i = 1,2,,……n

a,b1,b2,…..bn adalah pendugaan atas B0,B1,B2 dan Bn ni n 2i

2 1i 1

i

A

B

X

B

X

...

B

X

Y

ˆ











ni n 2i

2 1i 1

i

a

b

X

b

X

...

b

X

Y

ˆ











#

REGRESI LINEAR BERGANDA

• Persamaan Regresi Linear Berganda (sampel) :

Y = peubah tak bebas

X1 = peubah bebas/ variabel independen ke-1

X2 = peubah bebas / variabel independen ke-2

Xn = peubah bebas / variabel independen ke-n a = konstanta

b1 = kemiringan ke-1 / Koefisien regresi untuk Variabel Independen ke-1

b2 = kemiringan ke-2 / Koefisien regresi untuk Variabel Independen ke-2

bn = kemiringan ke-n / Koefisien regresi untuk Variabel Independen ke-n n

n 2

2 1

1

X

b

X

...

b

X

b

a

#

Garis Regresi Berganda

• Persamaan garis tersebut dapat digambarkan dalam gambar 3 dimensi sbb :

Gambar 18. Persamaan Garis Regresi Berganda Penyimpangan

Nilai observasi

Nilai taksiran (Ŷ)

Bidang yang dibentuk dari titik-titik sampel

Ŷ = a +bX1+ bX2

#

REGRESI LINEAR BERGANDA

(

MULTIPLE LINEAR REGRESSION )

n a +

b

1

+

b

2

=

a +

b

1

+

b

2

=

a +

b

1

+

b

2

=



y



x1y



x2



x

1

x

2



2 2

x



x

2

y



x

1



x2



2

1

x



x

1



x

1

x

2

Dengan Metode Least Square, dapat diperoleh 3 persamaan yang dapat digunakan untuk menghitung konstanta a, b1,b2 dan bn adalah :

…..(1)

…..(2)

…..(3)

#

REGRESI LINEAR BERGANDA

(

MULTIPLE LINEAR REGRESSION )



Cara penyelesaian persamaan linear diatas

(memperoleh nilai a

, b

1

dan b

2

) dapat dilakukan

dengan sistem persamaan linear seperti SUBSTITUSI

&ELIMINASI, KAIDAH CRAMER, dll.



Rumus Koef. Determinasi Regresi Berganda :



Rumus Koef. Korelasi Regresi Berganda :

2

R R 



 











 1 1 ₂2 2

2

y b b

R xy xy

#

Contoh Soal :

12. Diketahui, bahwa penjualan rumah diipengaruhi oleh iklan di Media Cetak (dalam 1 minggu) dan iklan di TV (dalam 1 minggu) .

a. Dugalah persamaan regresi yang berbentuk :

b. Hitung nilai koefisien korelasi berganda dan koefisien determinasi berganda untuk soal diatas ! Jelaskan !

c. Dugalah parameter B1 dab B2 dengan α = 0,1

2 2 1 1X bX

b a Yˆ  

Penjualan (Y) Iklan Di Media Cetak (X1) Iklan di TV (X2)

7 4 1

12 7 2

17 9 5

20 12 8

# Jawab

Berdasarkan data diatas, diketahui bahwa :

4 a + 32 b1 + 16 b2 = 56 …… (1)

32 a + 290 b₁ + 159 b₂ = 505 …... (2) 16 a + 159 b1 + 94 b2 = 276 …... (3) 32

4

1 1



_

i

x 16

4

1 2





i

x 159

4

1 2

1 





i

x

x n = 4

290 4

1 2 1





i

x 94

4

1 2 2 





i

x 56

4

1







i

y

505 4

1 1 





i

y

x 4 ₂₇₆

1 2 



_

i

y

x 882

4

1 2_





i

y

a. Dugalah persamaan regresi yang berbentuk :

Jawab :

S Y = 5,715

#

Cara I. Substitusi

• Persamaan 1 dan 2 menghasilkan persamaan 4

(1) 4 a + 32 b1 + 16 b2 = 56 ( x 8)

(2) 32 a + 290 b1 + 159 b2 = 505 ( x 1 )

32 a + 256 b1 + 128 b2 = 448

32 a + 290 b1 + 159 b2 = 505

--34 b1 - 31 b2 = -57 (4)

• Persamaan 1 dan 3 menghasilkan persamaan 5

(1) 4 a + 32 b1 + 16 b2 = 56 ( x 4)

(3) 16 a + 159 b1 + 94 b2 = 276 ( x 1 )

16 a + 128 b1 + 64 b2 = 224

16 a + 159 b1 + 94 b2 = 276

#

Cara I. Substitusi (2)

• Persamaan 4 dan 5 akan diperoleh nilai b2

-1054 b1 - 961 b2 = -1767

-1054 b1 - 1020 b2 = -1768

-591 b2 = 1

b2 = 0,017

(4) -34 b1 - 31 b2 = -57 ( x 31)

(5) -31 b1 - 30 b2 = -52 ( x 34 )

• Nilai b2 disubsitusikan pada persamaan 4 : -57 = -34 b1– 31 b2

-57 = -34 b1– 31 (0,017) -57 = -34 b1– 0,527 -56,473 = -34 b1

b1 = 1,66

#

I. Substitusi (3)

• Nilai b1 dan b2 disubsitusikan pada persamaan 1 : 56 = 4a + 32 b1 + 16 b2

56 = 4a + 32 (1,66) + 16 (0,017) 56 = 4a + 53,12 + 0,272 4a = 2,608 a = 0,652

Sehingga Persamaan Regresi Berganda adalah :

Ŷ = 0,652 + 1,66X

1

+ 0,017 X

2

a= 0,652, artinya apabila X1 =X2= 0  nilai Ŷ=0,652  (0;0,652) dan (0;0,652) b1= +1,66 artinya apabila X2 konstan, kenaikan X1 sebesar 1 satuan akan menyebabkan

kenaikan (karena +)1,66 kali

b2= +0,017 artinya apabila X1 sebagai variabel bebas adalah konstan, maka kenaikan X2

sebesar 1 satuan akan menyebabkan kenaikan (karena +)0.017 kali . bn disebut koefisien regresi parsial. (- berarti penurunan)

#

Matriks Awal :

4 32 16 56 32 290 159 505 16 159 94 276

Determinasi A :

A = (4*290*94) + (32*159*16) + (16*32*159) – (16*290*16) – (4*159*159)-(32*32*94) A = 236

II. Kaidah Cramer

A =

4 32 16 4 32

32 290 159 32 290

16 159 94 16 159

# Determinasi A1 :

A 1 = (56*290*94) + (32*159*276) + (16*505*159) – (16*290*276) – (56*159*159)-(32*505*94) A 1 = 154

II. Kaidah Cramer (2)

A 1=

56 32 16 56 32

505 290 159 505 290

276 159 94 276 159

Determinasi A2 :

A2 =

4 56 16 4 56

32 505 159 32 505

16 276 94 16 276

A 2 = (4*505*94) + (56*159*16) + (16*32*276) – (16*505*16) – (4*159*276)-(56*32*94) A 2= 392

# Determinasi A3 :

A 3 = (4*290*276) + (32*505*16) + (56*32*159) – (56*290*16) – (4*505*159)-(32*32*276) A 3 = 4

II. Kaidah Cramer (3)

A 3 =

4 32 56 4 32

32 290 505 32 290

16 159 276 16 159

Nilai Konstanta : 0,652

236 152 A A a_ 1_{ }

1,66 236 392 A A

b 2

1  

0,017 236

4 A A

b 3

2  

Persamaan regresi linear bergandanya :

2 2 1 1X bX

b a Yˆ  

Ŷ = 0,652 + 1,66X1 + 0,017 X2 #

b. Hitung nilai koefisien korelasi berganda dan koefisien determinasi berganda untuk soal diatas ! Jelaskan !

Rumus Koef. Determinasi Regresi Berganda :



 



   

9558 , 0

882 276 * 017 , 0 505 * 1,66 R

y b b R

2 2

2 2 2 1 1 2

  

 

 



R

y x y x

Interpretasinya adalah bahwa 95,58% proporsi keragaman nilai peubah Y (volume penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X1 (Iklan di Media Cetak) dan Nilai peubah X2(Iklan di TV) melalui hubungan Linear. Sisanya 4,42% dijelaskan oleh hal lain.

Rumus Koef. Korelasi Regresi Berganda :

0,978 0,9558 R

R_ 2 _{ }

Maka terdapat hubungan kuat antar variabel iklan d Media Cetak dan iklan di TV dengan variabel penjualan (dependennya).

#

Estimasi Interval Parameter

• Pendugaan Parameter Koefisien regresi berganda B1 dan B2 membutuhkan hasil ukuran kesalahan duga standar bagi penduga b1 dan b2. Kesalahan duga standar demikian dapat diartikan sebagai :

• dimana

Standar deviasi error untuk regresi berganda rx1x2 = koefisien korelasi antara X1 dan X2.

Estimasi Interval Parameter

• Masing-masing dengan derajat bebas n – k - 1

• k = banyaknya parameter dalam model (variabel bebas)

• Maka interval keyakinan bagi pendugaan parameter Bi :

 nk  bi i i  nk  bi Maka Interval keyakinan bagi penduga B1 adalah:

   

Istilah Penting

•

Variabel

dependent

: suatu variabel dimana besarnya

tergantung pada variabel lain (peubah tak bebas).

•

Variabel

independent

:suatu variabel dimana

besarnya tidak tergantung pada variabel lain (peubah

bebas).

•

Error

: penyimpangan jarak vertikal titik-titik

pengamatan dengan titik pada regresi.

•

Measurement error

: pengukuran penyimpangan data

yang ditimbulkan karena melakukan kesalahan

dalam pengukuran (baik prosedur maupun alat)

#

Istilah Penting

•

Random error

: simpangan vertikal dari garis regresi

populasinya, atau error yang terjadi karena sifat

keacakan/random dan tidak dapat dihindarkan.

•

Sampling error

: simpangan yang diambil dari

sampel, atau error yang timbul akibat penggunaan

sampel yang kurang mewakili populasi.

•

Standard error estimate

: nilai ramalan penyimpangan

#

Istilah Penting

•

Koefisien Korelasi (r): koefisien yang mengukur kuat

tidaknya hubungan antara variabel X dan Y.

•

Jika r=0 menunjukkan bahwa tidak ada hubungan

linear antara variabel-variabel, namun mungkin

terdapat hubungan yang tidak linear.

•

Koefisien Determinasi (r

2

_{) : proporsi keragaman total}

nilai peubah Y yang dapat dijelaskan oleh nilai

peubah X melalui hubungan linier.

•

Koefisien Korelasi Parsial : Koefisien korelasi antara

dua variabel dalam regresi berganda yang bebas dari

pengaruh variabel lain (variabel lain konstan).

#

Regresi Non Linear

1.

Parabola Kuadrat Ŷ = a+bX+cX

2

2.

Parabola Kubik Ŷ = a+bX+cX

2

_+dx

3

3.

Eksponen Ŷ = ab

X

4.

Geometrik Ŷ = aX

b

5.

Hiperbola Ŷ = 1/(a+bX)

6. dll

#

Do You Know ? *

•

Jumlah sel otak manusia : 200

milyar

•

Otak dapat mengingat 100

milyar bit informasi (= 500

ensiklopedia)

•

Kecepatan berpikir > 300

mil/jam > kereta tercepat

•

Rata-rata jumlah pikiran

manusia dalam 24 jam adalah

4000

* Hasil penelitian Prof. Isaac Asimov dalam buku The Brain

Kemampuan otak kita

luar biasa!

#

Soal Responsi:

5. Terdapat 10 rumah tangga yang merupakan sampel acak dari suatu penelitian. Antara lain ditanyakan tentang banyaknya konsumsi atas komoditi tertentu (dalam satuan), harga komoditi (dalam satuan), dan pendapatan (dalam satuan).

Diketahui, bahwa permintaan terhadap komoditi tersebut untuk keperluan konsumsi (Y) akan dipengaruhi oleh harga ( X 1 ) dan pendapatan ( X 2 ). Hasil penelitian sbb :

Harga ( X 1 ) 2 3 5 4 6 2 3 4 5 6

Pendapatan ( X 2 ) 3 4 6 5 7 6 4 5 4 3

Keperluan konsumsi (Y) 5 8 8 9 9 13 6 9 4 3

a. Hitunglah a,b1, dan b2dari persamaan regresi Ŷ=a+b1X1+b2X2

b. Hitung nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasi untuk soal diatas ! Jelaskan !