FST UTY Press Yogyakarta

PENGANTAR

SIMUTATED

ANNEATING

PENGANTAR

SIMULATED ANNEALING

DAN APLIKASINYA

Dr. Suparman, M.Si., DEA

PENGANTAR SIMULATED ANNEALING DAN APLIKASINYA

Oleh : Dr. Suparman, M.Si., DEA Hak Cipta @ 2010 pada Penulis

Penerbit : FST UTY Press

Jl. Ringroad Utara, Jombor Sleman

Hak cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak buku ini sebagian atau seluruhnya, dalam bentuk dan dengan cara apa pun juga, baik secara mekanis maupun elektronis, termasuk fotokopi, rekaman, dan lain-lain tanpa izin tertulis dari penulis.

Edisi pertama

Cetakan pertama, 2010

Editor : Sugiyarto, M.Si., Ph.D

Desain Cover : Magistera Laningratum Setting : Ayudea Az Zahra Zulfa

Dr. Suparman, M.Si., DEA

Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya, ________ Yogyakarta : FST UTY Press, 2010

vi+52 hlm; 18,5 x 26,5 cm ISBN : 978-979-1334-30-3 Statistika : Buku Referensi

Kutipan Pasal 44 : Sangsi pelanggaran undang-undang hak cipta 1987

1. Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan atau memperbanyak suatu ciptaan atau memberi ijin untuk itu, dipidana dengan pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/atau denda paling banyak Rp 100.000.000,- (seratus juta rupiah).

Kata Pengantar

KATA PENGANTAR

Buku ini disusun berdasarkan penelitian dan pengajaran yang penulis lakukan selama lima tahun. Di samping itu, penulis juga telah mengkaji berbagai literatur dan hasil penelitian. Buku ini ditulis sebagai buku referensi untuk para peneliti, para pengajar di Perguruan Tinggi dan para mahasiswa dalam memahami Metode Simulated Annealing. Dalam buku ini disertakan beberapa aplikasinya sehingga membuat buku ini cocok juga untuk para praktisi yang ingin memahami Metode Simulated Annealing dan permasalahan yang bisa diselesaikan dengan metode ini.

Dalam buku ini dibahas berbagai hal, yaitu : 1) Simulated Annealing; 2) Estimasi Model Runtun Waktu Autoregresif; 3) Estimasi Model Runtun Waktu Subset Autoregresif; 4) Estimasi Model Runtun Waktu Moving Average; 5) Estimasi Model Runtun Waktu Subset Moving Average; 6) Estimasi Model Subset Autoregresif Moving Average; dan 7) Segmentasi Model Synthetic Aperture Radar.

Karena saya tidak mungkin menyelesaikan buku ini sendirian, daya ingin mengucapkan banyak terima kasih pada berbagai pihak yang telah mendukung kelancaran penulisan buku ini. Akhirnya penulis tetap mengharapkan berbagai masukan, kritik dan saran demi perbaikan karya di masa yang akan datang.

Yogyakarta, Juni 2010

Daftar Isi

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR iii

DAFTAR ISI v

BAB 1 SIMULATED ANNEALING 1

1.1 Pendahuluan 1

1.2 Pembentukan Ukuran 4

1.3 Perhitungan Fungsi Kepadatan 6

1.4 Simulated Annealing 8

BAB 2 ESTIMASI MODEL RUNTUN WAKTU AUTOGRESIF 11

2.1 Rumusan Masalah 11

2.2 Bayesian Hirarki 12

2.3 Metode MCMC 13

2.4 Algoritma SA 14

2.5 Aplikasi 14

2.6 Kesimpulan 18

BAB 3 ESTIMASI MODEL RUNTUN WAKTU SUBSET

AUTOGRESIF

19

3.1 Rumusan Masalah 19

3.2 Bayesian Hirarki 19

3.3 Metode MCMC 21

3.4 Algoritma SA 21

3.5 Kesimpulan 22

BAB 4 ESTIMASI MODEL RUNTUN MOVING AVERAGE 23

4.1 Rumusan Masalah 23

4.2 Bayesian Hirarki 24

4.3 Metode MCMC 25

4.4 Algoritma SA 26

4.5 Aplikasi 26

Daftar Isi

BAB 5 ESTIMASI MODEL RUNTUN SUBSET MOVING AVERAGE

31

5.1 Rumusan Masalah 31

5.2 Bayesian Hirarki 31

5.3 Metode MCMC 33

5.4 Algoritma SA 33

5.5 Kesimpulan 34

BAB 6 ESTIMASI MODEL RUNTUN WAKTU SUBSET

AUTOGRESIF MOVING AVERAGE

35

6.1 Rumusan Masalah 35

6.2 Bayesian Hirarki 36

6.3 Metode MCMC 37

6.4 Algoritma SA 38

6.5 Kesimpulan 38

BAB 7 SEGMENTASI MODEL SYNTHETIC APERTURE

RADAR

39

7.1 Rumusan Masalah 39

7.2 Pendekatan Bayesian 40

7.3 Metode SA 41

7.4 Aplikasi 42

7.5 Kesimpulan 45

Bab 1 Simulated Annealing

BAB

1

SIMULATED ANNEALING

1.1 PENDAHULUAN

Misalkan E menyatakan himpunan keadaan dan  menyatakan probabilitas keadaan pada E. Algoritma Metropolis-Hastings ([1], [2]) menghasilkan rantai Markov pada E yang mempunyai probabilitas stasioner sama dengan . Pembentukan rantai Markov tersebut mendasarkan pada kondisi reversibilite. Probabilitas 

disebut stasioner jika untuk kernel K dari rantai Markov pada E berlaku :



    E y ) x , y ( K ) y ( ) x (

untuk semua xE. Probabilitas  disebut reversibel untuk kernel K jika ) x , y ( K ) y ( ) y , x ( K ) x (  

untuk semua x,yE. Jelas bahwa reversibilite dari  berimplikasi pada stasionaritas untuk kernel K. Sifat ini digunakan untuk membentuk kernel K sedemikian sehingga  merupakan distribusi stasioner. Misalkan q menyatakan kernel bantu pada E. Dimulai dari xE, penarikan sebuah titik baru y dilakukan dalam 2 tahap : 1. Titik y ditarik menurut q(x,y)

2. Titik y diterima dengan probabilitas

          ) y , x ( q ) x ( ) x , y ( q ) y ( , 1 min ) y , x (

Kernel K didefinisikan sebagai





          



x y ) y , x ( 1 ) x , x ( q ) y , x ( K y x jika ) y , x ( ) y , x ( q ) y , x ( K

Bab 1 Simulated Annealing

Misalkan E menyatakan ruang yang dibentuk oleh dua ruang yang berbeda dimensinya.



E



_1xn1 

 

_{2 x}n2

dengan n1 dan n2 adalah bilangan bulat yang berbeda. Untuk

selanjutnya



_1xn1 _{ditulis dengan} n1_dan

 

_{2 x}n2_{ditulis dengan} n2_.

Dengan demikian himpunan E dibentuk oleh dua unsur yaitu unsur dari n1 dan unsur dari n2. Demikian pula, ukuran  dibentuk

oleh₁dibawa oleh n1 _dan 2

 dibawa oleh n2_.

Di dalam n1_atau n2_{, algoritma Metropolis-Hastings dapat}

berfungsi tanpa kesulitan. Sebaliknya perlu mendefinisikan tranformasi dari n1menuju n2atau sebalinya yang memenuhi

persamaan reversibilite. Idea dari Green ([3]), misalkan q menyatakan kernel instrumental dan menyatakan probabilitas penerimaan/penolakan. Maka harus dipenuhi





A (dx)



Bq(x,dx')(x,x')



B(dx')



Aq(x',dx) (x',x)

untuk semua A₁ dan B₂. Atau





A (dx)



Bq12(x,dx') (x,x')



B(dx')



Aq21(x',dx) (x',x)

Dimana q12 menyatakan kernel probabilitas dari n1menuju n2 dan

q12 menyatakan kernel probabilitas dari n2menuju n1.

Misalkan bahwa ukuran dan kernel mempunyai fungsi kepadatan terhadap ukuran Lebesque, maka





AxB

1(x)q12(x,x')(x,x')dxdx'



 BxA

2(x') q21(x',x)(x',x)dx'dx







AxB

2(x') q21(x',x)(x',x)dxdx'

Atau

) x (

1

 q₁₂(x,x')(x,x')=₂(x') q₂₁(x',x)(x',x)

Bab 1 Simulated Annealing           ) ' x , x ( q ) x ( ) x , ' x ( q ) ' x ( , 1 min ) x , ' x ( 12 1 21 2

Selanjutnya dibentuk ukuran  dalam himpunan ExE simetris dan memenuhi (dx) q(x,dx') mempunyai fungsi kepadatan

) ' x , x (

f dan (dx')q(x',dx) mempunyai fungsi kepadatan f(x',x)

terhadap . Ingatlah bahwa ukuran  adalah simetris jika dan hanya jika untuk semua fungsi terukur positif (x,y)diatas ExE berlaku ) dy , dx ( ) y , x ( ExE  



(y,x) (dx,dy)

ExE

  



Karena ukuran ini simetris, maka

) dx (

A





q(x,dx') (x,x')

B





f(x.x') (x,x') (dx,dx')

AxB

 





f(x'.x) (x',x) (dx,dx')

BxA   



) ' dx ( B 



q(x',dx) (x',x)

A





f(x'.x) (x',x) (dx',dx)

BxA

 





f(x.x') (x,x') (dx,dx')

BxA

 





Persamaan reversibilite menjadi

) ' dx , dx ( ) x , ' x ( ) x '. x ( f BxA  



f(x.x') (x,x') (dx,dx')

BxA

 





Agar supaya persamaan ini dipenuhi, cukup dipenuhi

) x , ' x (

f (x',x)f(x,x') (x,x')

untuk semua (x,x')ExE. Atau

Bab 1 Simulated Annealing

Permasalahan selanjutnya adalah bagaimana membentuk ukuran  yang simetris diatas ExE dan fungsi kepadatan f yang berkaitan dengan transformasi yang dilakukan.

1.2 PEMBENTUKAN UKURAN

Ide umum adalah melengkapi dua ruang n1_dan n2 _{untuk berada}

dalam ruang yang sama dimensinya. Misalkan m₁dan m₂adalah dua bilangan positif sedemikian sehingga

2 2 1

1 m n m

n   

Selanjutnya mendefinisikan transformasi-transformasi yang bersesuaian. Misalkan         ) x , x ( g ) x , x ( : g 1 2 1 n m n 2 2 1 1 dan         ) x , ' x ( g ) x , ' x ( : g 2 1 2 n m n 1 1 2 2

Anggap bahwa ada ijektivitas dari transformasi-transformasi terhadap komponen, yaitu untuk i =1, 2 berlaku

) , u ( g ) , u (

g_i   _i  

Anggap juga bahwa ada sebuah rumus inversi yang memungkinkan untuk kembali ke belakang. Untuk semua _xn1 _dan m1

1

x  ,

terdapat dengan tunggal m2

2

x  sedemikian sehingga



g (x,x ),x



x

g_{1 2 1 2}  . Definisikan juga sebuah fungsi h2 dari n1xm1 ke

dalam m2 _{dengan memisalkan x h (x,x )} 1 2

2  yang memenuhi

persamaan sebelumnya.

Secara simetris, untuk semua _x'n2_dan m2 2

x  terdapat

dengan tunggal m1

1

x  sedemikian sehingga g₂



g₁(x',x₂),x₁



x'.

Definisikan fungsi ha dari n2xm2 ke dalam m1 dengan memisalkan

) x , ' x ( h

Bab 1 Simulated Annealing



g (x,x ),h (x,x )



) x , x ( x : 1 2 1 2 1 m n m n 12 2 2 1 1        dan



g (x',x ),h (x',x )



) x , ' x ( x : 2 1 2 1 2 m n m n 21 1 1 3 2       

Untuk ilustrasi, misalkan n₁ 1dan n₂ 2. Maka lengkapi ruang 

dan ambil m₁ 1dan m₂ 0. Definisikan aplikasi g₁ dan g₂dengan cara berikut           ) x x , x x ( ) x , x ( g ) x , x ( : g 1 1 1 2 1 2 2 2 dan                  2 ' x ' x ) " x ( g ) ' x , ' x ( : x : g 2 1 2 2 1 2 1

Ingatlah bahwa E adalah berbentuk



_1xn1

 

_{2 x}n2 _{dan ukuran} 

simetris diatas ExE berdasarkan aplikasi g1 dan g2. Dimulai dengan

mendefinisikan pada n1_xn2 _{kemudian secara simetris pada} 2

1 m m

x

 dan akhirnya diperluas pada ExE. Pertimbangkan aplikasi



x,g (x,x )



) x , x ( x x : 1 2 1 m n m

n_{1 1 2 2}

      

Karena  adalah bayangan dari ukuran Lebesque  dari

2 1 n n

x

 melalui aplikasi maka dapat dimisalkan d.d. Untuk

1 n

A dan _Bn2 _berlaku

) AxB (

 



(x,x₁)n1xm1 xAdang₂(x,x₁)B



Definisi ini diperluas pada m1_xm2 _{melalui sifat simetris dengan}

memisalkan

) BxA (

 (AxB) untuk _An1_{dan B}n2_.

Akhirnya

) AxB (

 



_An1_xBn2







_An2_xBn1



Perhatikan bahwa

0 ) AxB ( 

 jika _An1 _{dan B}n1

Bab 1 Simulated Annealing

0 ) AxB ( 

 jika _An2 _{dan B}n2

Untuk sebuah fungsi dua variabel positif (x,y)pada ExE berlaku



  ExE ) ' dx , dx ( ) ' x , x (



     1 n 1 n x ) ' dx , dx ( ) ' x , x (



     2 n 2 n x ) ' dx , dx ( ) ' x , x (

Karena simetris maka juga berlaku



  ExE ) ' dx , dx ( ) ' x , x (



       1 n 1 n x ) ' dx , dx ( )) x , ' x ( ) ' x , x ( (

Akhirnya, untuk _An1_{dan B}n2_berlaku



  AxB ) ' dx , dx ( ) ' x , x ( 



  ExE B

A(x)1 (x') (x,x') (dx,dx')

1



     2 n 1 n_x 1 1 2 1 2 B

A(x)1 (g (x,x )) (x,g (x,x )) (dx,dx )

1

1.3 PERHITUNGAN FUNGSI KEPADATAN

Misalkan _xn1_{. Dipilih lompatan menuju} n2_{dengan probabilitas}

j(2,x) dan tinggal di n1_{dengan probabilitas 1-j(2,x). Ambil secara}

random titik m1 1

x  dengan distribusi bantu q1(x1) dan kemudian

dimisalkan x'g₂(x,x₁)

Misalkan ₁(x) dan ₂(x)adalah fungsi-fungsi kepadatan

terhadap ukuran Lebesque dari n1_dan n2_{. Maka}

) dx (

A





q(x,dx') (x,x')

B 





    2 n 1 n_x 1 2 B 1

A(x) (x)1 (g (x,x )))

1

j(2,x)(x,g₂(x,x₁)) q₁(x₁)dxdx₁

Bab 1 Simulated Annealing

Menurut kondisi inversi, untuk x dan x' yang diberikan terdapat dengan tunggal x1 sedemikian sehingga x'g₂(x,x₁). Dengan

demikian q₁(x₁)dinyatakan dengan q₁(x,x').

) dx (

A





q(x,dx') (x,x')

B









 

AxB

1(x)j(2,x) (x,x')q1(x,x')(dx,dx')

Sehingga fungsi kepadatan terhadap ukuran  dapat ditulis sebagai

) ' x , x ( q ) x , 2 ( j ) x ( ) ' x , x (

f _{1 1}

Dengan cara yang sama diperoleh

) ' dx ( B 



q(x',dx) (x',x)

A 





    1 m 1 n x 2 1 A 2

B(x') (x')1 (g (x',x ))

1

j(1,x')(x',g₁(x',x₂)) q₂(x₂)dxdx₂

Untuk menyatakan integral ini terhadap ukuran , lakukan perubahan variabel      ) x , x ( h x ) x , x ( g ' x 1 2 2 1 2

Jika integral di ruas kanan dinyatakan sebagai fungsi dari x dan x1

maka akan muncul jacobian

) x , x ( ) x , ' x ( 1 2   Sehingga ) ' dx ( B 



q(x',dx) (x',x)

A



Bab 1 Simulated Annealing







AxB

A 2

B(x') (x')1 (x)

1

j(1,x')(x',x) (dx,dx') ) x , x ( ) x , ' x ( ) x , ' x ( q 1 2

2 _ 

 Maka diperoleh ) x , ' x ( q ) ' x , 1 ( j ) ' x ( ) x , ' x (

f _{2 2}

) x , x ( ) x , ' x ( 1 2  

Probabilitas penerimaan menjadi

            ) x , x ( ) x , ' x ( ) ' x , x ( q ) x , 2 ( j ) x ( ) x , ' x ( q ) ' x , 1 ( j ) ' x ( , 1 min ) ' x , x ( 1 1 1 2 2 _.

1.4 SIMULATED ANNEALING

Algoritma reversibel jump Markov chain Monte Carlo yang diuraikan dalam bagian sebelumnya menghasilkan pengamatan

 

i

x dalam ruang keadaan E menurut distribusi .

Dalam bagian ini, diuraikan versi simulated annealing dari algoritma reversible jupm Markov chain Monte Carlo. Algoritma Simulated Annealing (lihat sebagai contoh [4]) menggunakan skema penurunan temperatur

 

T_i dan menghasilkan

 

i

x menurut distribusi          i T T ) x ( h ) x (

dimana h(x)log(x). Dengan menurunkan temperatur Ti menuju

0, nilai yang disimulasikan berada disekitar dekat sekali dengan minimum global dari fungsi h(x).

Bab 1 Simulated Annealing

temperatur Ti dicari secara empiris. Probabilitas

penerimaan/penolakan (x,x*) menjadi

       ) u , x ( ) u , x ( f ) u ( g ) x ( j ) u ( h ) x ( j , 1 min ) x , x ( 12 12 * * 21 * T            (x,x )

Bab 2 Estimasi Model Runtun Waktu Autoregresif

BAB

2

ESTIMASI MODEL RUNTUN WAKTU

AUTOREGRESIF

2.1 RUMUSAN MASALAH

Misalkan (Xt)tZ adalah suatu runtun waktu berharga riil. Runtun waktu (Xt)tZ dikatakan memiliki model AR dengan orde p, dinotasikan sebagai AR(p), jika (Xt)tZ memenuhi persamaan stokhastik berikut :



   

 p

1

i t i t

) p ( i

t X E

X tZ (2.1)

di mana orde pN, vektor koefisien



p



P

p p

p

p  ( ) ( ) 

2 ) ( 1 )

(  _, _{, ,}

 

dan (Et)tZ merupakan suatu barisan peubah acak berharga riil yang saling bebas dan masing-masing berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variansi 2 _{([5]). Data jumlah pembangkit tenaga}

listrik oleh industri listrik, jumlah pendaftaran mobil di suatu negara, jumlah penumpang pesawat udara dan data jumlah penjualan industri merupakan beberapa contoh data riil yang dapat dimodelkan oleh model AR.

Selanjutnya model AR (Xt)tZ disebut stasioner jika dan hanya jika persamaan suku banyak



 

 

 p

1 i

i ) p ( i a

1 ) a (

bernilai nol untuk nilai a di luar lingkaran dengan jari-jari sama dengan satu ([6]).

Berdasarkan data xt (t = 1, 2, …, n), selanjutnya kita akan

berusaha untuk menaksir harga p, (p)_{, dan} 2_.

Bab 2 Estimasi Model Runtun Waktu Autoregresif

2.2 BAYESIAN HIERARKI

Andaikan s



xp1,xp2,,xn



adalah suatu realisasi dari model AR(p). Jika nilai s0 



x1,x2,,xp



diketahui, maka fungsi kemungkinan dari s dapat ditulis kurang lebih sebagai berikut :









_{ }







            n 1 q t ) p ( 2 2 2 / ) p n ( 2 2 ) p ( , p , t g 2 1 exp 2 1 , , p s  (2.2) di mana







  pi1 ti ) p ( i t ) p ( x x , p , t g

untuk t = p+1, p+2, …, n dengan nilai awal xˆ1 xˆ2  xˆp 0 ([7]). Misalkan Sp adalah daerah stabilitas. Dengan menggunakan

transformasi





p

) p ( p ) p ( 2 ) p ( 1 ) p ( S , , , :

G        





p p 2 1 ) p ( ) 1 , 1 ( r , , r , r

r    

(2.3)

maka model AR (Xt)tZ stasioner jika dan hanya jika





p

p p _{r r}

r( )  1,, (1,1) ([8]). Selanjutnya fungsi kemungkinan dapat ditulis kembali sebagai :









_{ }



 _



           n 1 p t ) p ( 1 2 2 2 / ) p n ( 2 2 ) r ( ) ( G , p , t g 2 1 exp 2 1 , r , p s

 (2.4)

Penentukan distribusi prior untuk parameter-parameter tersebut di atas adalah sebagai berikut :

a) Orde p berdistribusikan Binomial dengan parameter λ :

p p p p p max max (1 )

C ) p

(     



b) Untuk orde q ditentukan terlebih dahulu, vektor koefisien _r(p)

berdistribusikan seragam pada interval (-1, 1)q_.

c) Variansi 2 _{berdistribusikan invers gamma dengan parameter}

α/2 dan β/2 :

) 2 /( exp ) ( ) 2 / ( ) 2 / ( ) ,

( 2 (1 /2) 2

2 /

2   

          

Di sini parameter λ diasumsikan berdistribusi seragam pada interval (0,1), nilai α diambil sama dengan 2 dan parameter β diasumsikan berdistribusi Jeffrey. Sehingga distribusi prior untuk parameter

) , ,

( ( ) 2

1 p r p 

H  dan H2 (,) dapat dinyatakan sebagai :

_{(H ,H )}

2

1 



p 







r p

 

 ,



2 ) p ( ) (

Bab 2 Estimasi Model Runtun Waktu Autoregresif

Menurut Teorema Bayes, maka distribusi a posteriori untuk parameter H1 dan H2 dapat dinyatakan sebagai :

_{(H ,H s)}

2

1 



s H1



(H1,H2) (2.6)

Distribusi a posteriori merupakan gabungan dari fungsi kemungkinan dan distribusi prior yang kita asumsikan sebelum sampel diambil. Fungsi kemungkinan bersifat obyektif sementara distribusi prior ini bersifat subyektif. Dalam kasus ini, distribusi a posteriori 



H1,H2s



mempunyai bentuk yang sangat rumit sehingga

tidak dapat diselesaikan secara analitis. Untuk mengatasi masalah tersebut, diusulkan metode MCMC.

2.3 METODE MCMC

Misalkan M = (H1, H2). Secara umum, metode Markov Chain

Monte Carlo (MCMC) merupakan suatu metode sampling, yaitu dengan cara membuat rantai Markov homogen M1,...,Mm yang

memenuhi sifat aperiodik dan irreduktibel ([9]) sedemikian hingga M1,...,Mm dapat dipertimbangkan sebagai variabel acak yang

mengikuti distribusi 



H1,H2s



. Dengan demikian M1,...,Mm dapat

digunakan sebagai sarana untuk menaksir parameter M. Untuk merealisasikan itu diadopsi algoritma Gibbs Hibrida ([9]) yang terdiri dari dua tahap :

1. Simulasi distribusi 



H2s



2. Simulasi distribusi 



H1,H2s



Algoritma Gibbs digunakan untuk mensimulasikan distribusi



H2s



 dan algoritma hibrida, yang mengabungkan algoritma Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo (RJMCMC) ([3]) untuk mensimulasikan parameter (_p,_r(p)) _{dengan algoritma Gibbs untuk}

mensimulasikan parameter σ2_{, digunakan untuk mensimulasikan}

distribusi 



H1,H2s



. Algoritma RJMCMC merupakan rampatan dari

algoritma Metroppolis-Hastings ([1], [9]).

Estimator yang dihasilkan oleh metode MCMC dalam dua tahap. Tahap pertama adalah estimator dari orde q. Tahap kedua adalah estimator dari parameter model AR dan variansi σ2 _yang

Bab 2 Estimasi Model Runtun Waktu Autoregresif

Untuk mendapatkan kecepatan dan efisiensi diperlukan suatu algoritma untuk menentukan estimator orde q, parameter model AR dan variansi σ2 _{secara bersamaan. Untuk keperluan itu, diusulkan}

algoritma Simulated Annealing (SA).

2.4 ALGORTIMA SA

Algoritma SA ([10]) diperoleh dengan menambahkan barisan temperatur T1,...,Tm dalam metode MCMC di atas. Selanjutnya

algoritma SA akan memproduksi suatu rantai Markov M(T1),...,M(Tm) yang tidak lagi homogen. Dengan suatu hipotesis

tertentu pada T1,...,Tm ([11]) maka M(Tm) akan konvergen menuju

suatu nilai yang memaksimumkan distribusi posteriori 



H1,H2s



.

2.5 APLIKASI

Sebagai ilustrasi, kita akan menerapkan metode ini untuk mengidentifikasi orde dan menaksir parameter data AR sintesis dan data riil. Studi simulasi ditempuh untuk mengkonfirmasi kinerja dari algoritma SA apakah dapat berkerja dengan baik. Sedangkan studi kasus diberikan untuk memberikan contoh penerapan penelitian dalam memecahkan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

Baik untuk data AR sintesis maupun data AR riil ini, kita akan menggunakan algoritma SA untuk mengidentifikasi orde dan mengestimasi parameter model AR yang bersesuaiaan. Untuk keperluan itu, algoritma SA dimplementasikan sebanyak 70000 iterasi dengan nilai awal temperatur T0 = 10 kemudian temperatur

diturunkan dengan faktor 0,995 hingga mencapai temperatur akhir T1400 = 0,01. Nilai orde q dibatasi maksimum 10 sehingga qmaks = 10.

Data AR Sintesis

Bab 2 Estimasi Model Runtun Waktu Autoregresif

MATLAB, dengan jumlah data n = 250, orde p = 2, ₁(2) 0,4162,

5377 , 0

) 2 ( 2 

 dan σ2 _{= 4.}

Gambar 2.1. Data AR Sintesis

Selanjutnya berdasarkan data dalam Gambar 2.1 orde p, parameter model AR, variansi σ2 _{akan ditentukan atau lebih tepat akan ditaksir}

dengan menggunakan algoritma SA. Penaksir orde, parameter model AR dan variansi σ2 _{yang dihasilkan oleh algoritma SA adalah p}ˆ _2,

4073 , 0

ˆ(2) 1 

 , ˆ₂(2) 0,5430 dan ˆ2_{= 3,5239.}

Data AR Riil

Bab 2 Estimasi Model Runtun Waktu Autoregresif

Gambar 2.2. Data Penjualan suatu Produk pada CV Jaya Warsa

Dengan melakukan pembedaan pertama terhadap data asli pada Gambar 2.2 akan menghasilkan suatu data stasioner yang plotnya ditunjukkan pada Gambar 2.3.

Gambar 2.3. Pembedaan Pertama Data Penjualan suatu Produk pada CV Jaya Warsa.

Seperti untuk kasus data sintesis, berdasarkan data pada Gambar 2.3 orde p, parameter model AR dan varisnsi _2 _diestimasi

dengan menggunakan algoritma SA. Hasilnya adalah pˆ 4,

5105 , 0

ˆ(4) 1 

 , ˆ₂(4) 0,3414, ˆ₃(4) 0,2809, ˆ₄(4) 0,2250 dan ˆ2₌

16,6262.

Bab 2 Estimasi Model Runtun Waktu Autoregresif

Udara (PJP2U) dalam negeri pada PT Angakasa Pura I Bandar Udara Internasional Adisutjipto Yogyakarta untuk 55 periode yaitu Januari 2001 sampai Juli 2005 ([13]). Terlihat jelas pada Gambar 4 bahwa data inipun tidak stasioner.

Gambar 2.4. Data Penjualan PJP2U dalam negeri pada PT Angakasa Pura I.

Untuk mendapakan data yang stasioner dilakukan pembedaan pertama dan hasilnya ditunjukkan pada Gambar 2.5.

Gambar 2.5. Pembedaan Pertama Data Penjualan PJP2U dalam Negeri pada PT Angakasa Pura I.

Bab 2 Estimasi Model Runtun Waktu Autoregresif

algoritma SA. Hasilnya adalah pˆ 1, ˆ₁(1) 0,3926 dan ˆ2_{= 6,8499 x}

107_.

2.6 KESIMPULAN

Uraian di atas, merupakan kajian teori tentang algoritma SA dan penerapannya pada identifikasi orde p, penaksiran vektor koefisien (p), dan penaksiran variansi σ2 _{dari model AR. Dari hasil}

simulasi menunjukkan bahwa algoritma SA dapat menaksir parameter-parameter itu dengan baik.

Bab 3 Estimasi Model Runtun Waktu Subset Autoregresif

BAB

3

ESTIMASI MODEL RUNTUN WAKTU

SUBSET AUTOREGRESIF

3.1 RUMUSAN MASALAH

Misalkan (Xt)tZ adalah suatu runtun waktu berharga riil.

Runtun waktu (Xt)tZ dikatakan memiliki model Subset

AutoRegresif dengan orde p, dinotasikan sebagai SAR(p), jika (Xt)tZ

memenuhi persamaan stokhastik berikut :

Z t E X

Xt _ip _mp_i tmi  t, 

) (

1  (3.1)

di mana orde pN dan vektor koefisien



p



p

m p

m p

p 

 ( ) ( ) )

( _{, ,}

1 



  .

Di sini, (Et)tZ merupakan suatu barisan peubah acak berharga riil

yang saling bebas dan masing-masing berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi σ2_{. Data kurs mata uang rupiah terhadap euro,} jumlah pendaftaran mobil di suatu negara, jumlah penumpang pesawat udara dan data jumlah penjualan industri merupakan beberapa contoh data riil yang dapat dimodelkan oleh model SAR.

Berdasarkan data xt (t = 1, 2, …, n), selanjutnya kita akan berusaha untuk menaksir harga

p, (p) _dan σ2_.

Untuk melakukan itu, kita akan menggunakan pendekatan Bayesian hierarki, yang akan diuraikan dalam bagian berikut ini.

3.2 BAYESIAN HIERARKI

Andaikan s



xp1,xp2,,xn



adalah suatu realisasi dari model

SAR(p). Jika nilai s0 



x1,x2,,xp



diketahui, maka fungsi

Bab 3 Estimasi Model Runtun Waktu Subset Autoregresif ) , , ( 2 1 exp 2 1 ) , ,

( 2 ( )

1 2 2 / ) ( 2 2 )

( n p

p t p

n

p _{g t p}

p s                _{ }  (3.2) di mana ) , , , ,

(_{t p q} (p) (q)

g   _i t mi

p m p i

t x

x _ 

 ( )

1 

untuk t = p+1, p+2, …, n dengan nilai awal xˆ1 xˆ2  xˆp 0.

Penentukan distribusi prior untuk parameter-parameter tersebut di atas adalah sebagai berikut :

a) Orde p berdistribusikan Binomial dengan parameter λ :

p p p p p max max (1 )

C ) p

(     



b) Untuk orde p ditentukan terlebih dahulu, vektor koefisien (p)

berdistribusikan normal dengan mean 0 dan variansi 1.

c) Variansi σ2 _{berdistribusikan invers gamma dengan parameter} α/2 dan β/2 :

) 2 /( exp ) ( ) 2 / ( ) 2 / ( ) ,

( 2 (1 /2) 2

2 /

2   

          

Di sini parameter λ diasumsikan berdistribusi seragam pada interval (0,1), nilai α diambil sama dengan 2 dan parameter β diasumsikan berdistribusi Jeffrey. Sehingga distribusi prior untuk parameter

) , ,

( ( ) 2

1 p  p 

H  dan H2 (,) dapat dinyatakan sebagai : )

, (H1 H2



(H1 H2)(H2)

(_p )((p) _p)₍2 _,₎₍₎₍₎₍_{) (3.3)}

Menurut Teorema Bayes, maka distribusi a posteriori untuk parameter H1 dan H2 dapat dinyatakan sebagai :

_{(H ,H s)}

2

1 



s H1



(H1,H2) (3.4)

Distribusi a posteriori merupakan gabungan dari fungsi kemungkinan dan distribusi prior yang kita asumsikan sebelum sampel diambil. Fungsi kemungkinan bersifat obyektif sementara distribusi prior ini bersifat subyektif. Dalam kasus ini, distribusi a posteriori 



H1,H2s



mempunyai bentuk yang sangat rumit sehingga

Bab 3 Estimasi Model Runtun Waktu Subset Autoregresif

3.3 METODE MCMC

Misalkan M = (H1, H2). Secara umum, metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC) merupakan suatu metode sampling, yaitu dengan cara membuat rantai Markov homogen M1,...,Mm yang memenuhi sifat aperiodik dan irreduktibel ([9]) sedemikian hingga M1,...,Mm dapat dipertimbangkan sebagai variabel acak yang mengikuti distribusi 



H1,H2s



. Dengan demikian M1,...,Mm dapat digunakan sebagai sarana untuk menaksir parameter M. Untuk merealisasikan itu diadopsi algoritma Gibbs Hibrida ([9]) yang terdiri dari dua tahap :

1. Simulasi distribusi 



H2 H1,s



2. Simulasi distribusi 



H1H2,s



Untuk mensimulasikan distribusi 



H2 H1,s



dipergunakan

algoritma hibrida. Algoritma hibrida merupakan penggabungan algoritma Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo (RJMCMC) ([3]) dan algoritma Gibbs. Algoritma RJMCMC dipergunakan untuk mensimulasikan distribusi 



H1H2,s



. Sedangkan algoritma Gibbs

dipergunakan untuk mensimulasikan distribusi 



H1H2,s



. Algoritma RJMCMC merupakan rampatan dari algoritma Metropolis-Hastings ([1], [2]).

Estimator yang dihasilkan oleh algoritma RJMCMC dalam dua tahap. Tahap pertama algoritma RJMCMC menghasilkan estimator untuk orde p. Tahap kedua algoritma RJMCMC menghasilkan estimator untuk parameter model SAR dan variansi σ2 _yang bersesuaian dengan orde p yang diperoleh pada tahap pertama. Untuk mendapatkan kecepatan dan efisiensi diperlukan suatu algoritma yang dapat menentukan estimator orde p, parameter model SAR dan variansi σ2 _{secara bersamaan. Untuk keperluan itu,} diusulkan algoritma Simulated Annealing (SA).

3.4 ALGORTIMA SA

Bab 3 Estimasi Model Runtun Waktu Subset Autoregresif

M(T1),...,M(Tm) yang tidak lagi homogen. Dengan suatu hipotesis tertentu pada T1,...,Tm ([11]) maka M(Tm) akan konvergen menuju suatu nilai yang memaksimumkan distribusi posteriori 



H1,H2s



.

3.5 KESIMPULAN

Uraian di atas, merupakan kajian teori tentang algoritma SA

Bab 4 Estimasi Model Runtun Waktu Moving Average

BAB

4

ESTIMASI MODEL RUNTUN WAKTU

MOVING AVERAGE

4.1 RUMUSAN MASALAH

Misalkan (Xt)tZ adalah suatu runtun waktu berharga riil. Runtun waktu (Xt)tZ dikatakan memiliki model MA dengan orde q, dinotasikan sebagai MA(q), jika (Xt)tZ memenuhi persamaan stokhastik berikut :

Xt q_j1 (_jq)Etj Et, tZ (4.1) di mana orde pN, vektor koefisien



q



q q

q

q  ( ) ( ) 

1 )

(  _{, ,}

 

dan (Et)tZ merupakan suatu barisan peubah acak berharga riil yang saling bebas dan masing-masing berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variansi 2 _{([5]). Data jumlah pembangkit tenaga}

listrik oleh industri listrik, jumlah pendaftaran mobil di suatu negara, jumlah penumpang pesawat udara dan data jumlah penjualan industri merupakan beberapa contoh data riil yang dapat dimodelkan oleh model MA.

Selanjutnya model MA (Xt)tZ disebut inversibel jika dan hanya jika persamaan suku banyak



 

 

 q 1 j

j ) q ( j a

1 ) a (

bernilai nol untuk nilai a di luar lingkaran dengan jari-jari sama dengan satu ([6]).

Berdasarkan data xt (t = 1, 2, …, n), selanjutnya kita akan

berusaha untuk menaksir harga q, (q)_{, dan} 2_.

Bab 4 Estimasi Model Runtun Waktu Moving Average

4.2 BAYESIAN HIERARKI

Andaikan s



xq1,xq2,,xn



adalah suatu realisasi dari model MA(q). Jika nilai s0 



x1,x2,,xq



diketahui, maka fungsi kemungkinan dari s dapat ditulis kurang lebih sebagai berikut :









_{ }







            n 1 q t ) q ( 2 2 2 / ) q n ( 2 2 ) q ( , q , t g 2 1 exp 2 1 , , q s  (4.2) di mana







 



_   q 1

j t j ) q ( j t ) q ( eˆ x , q , t g dan



     q 1 j t j

) q (

j t

t x eˆ

eˆ

untuk t = q+1, q+2, …, n dengan nilai awal eˆ1eˆ2 eˆq 0 ([7]). Misalkan Iq adalah daerah inversilibite. Dengan menggunakan

transformasi





q

) q ( q ) q ( 2 ) q ( 1 ) q ( I , , , :

F        





q q 2 1 ) q ( ) 1 , 1 ( , , ,        (4.3)

maka model MA (Xt)tZ inversibel jika dan hanya jika



_q



q

q) _{1, , ( 1,1)} (     

  ([14]). Selanjutnya fungsi kemungkinan dapat ditulis kembali sebagai :









_{ }



 _



            n 1 q t ) q ( 1 2 2 2 / ) q n ( 2 2 ) q ( ) ( F , q , t g 2 1 exp 2 1 , , q s  (4.4) Penentukan distribusi prior untuk parameter-parameter tersebut di atas adalah sebagai berikut :

a) Orde q berdistribusikan Binomial dengan parameter λ :

q q q q q max max (1 )

C ) q

(      

b) Untuk orde q ditentukan terlebih dahulu, vektor koefisien (q)

berdistribusikan seragam pada interval (-1, 1)q_.

c) Variansi 2 _{berdistribusikan invers gamma dengan parameter}

α/2 dan β/2 :

) 2 /( exp ) ( ) 2 / ( ) 2 / ( ) ,

( 2 (1 /2) 2

2 /

2   

          

Bab 4 Estimasi Model Runtun Waktu Moving Average

berdistribusi Jeffrey. Sehingga distribusi prior untuk parameter

) , ,

( ( ) 2

1 q  q 

H  dan H2 (,) dapat dinyatakan sebagai :

_{(H ,H )}

2

1 

 

q  



 q

 

 ,



2 )

q

( ₍₎₍_{) (4.5)}

Menurut Teorema Bayes, maka distribusi a posteriori untuk parameter H1 dan H2 dapat dinyatakan sebagai :

_{(H ,H s)}

2

1 



s H1



(H1,H2) (4.6)

Distribusi a posteriori merupakan gabungan dari fungsi kemungkinan dan distribusi prior yang kita asumsikan sebelum sampel diambil. Fungsi kemungkinan bersifat obyektif sementara distribusi prior ini bersifat subyektif. Dalam kasus ini, distribusi a posteriori 



H1,H2s



mempunyai bentuk yang sangat rumit sehingga

tidak dapat diselesaikan secara analitis. Untuk mengatasi masalah tersebut, diusulkan metode MCMC.

4.3 METODE MCMC

Misalkan M = (H1, H2). Secara umum, metode Markov Chain

Monte Carlo (MCMC) merupakan suatu metode sampling, yaitu dengan cara membuat rantai Markov homogen M1,...,Mm yang

memenuhi sifat aperiodik dan irreduktibel ([9]) sedemikian hingga M1,...,Mm dapat dipertimbangkan sebagai variabel acak yang

mengikuti distribusi 



H1,H2s



. Dengan demikian M1,...,Mm dapat

digunakan sebagai sarana untuk menaksir parameter M. Untuk merealisasikan itu diadopsi algoritma Gibbs Hibrida ([9]) yang terdiri dari dua tahap :

1. Simulasi distribusi 



H2s



2. Simulasi distribusi 



H1,H2s



Algoritma Gibbs digunakan untuk mensimulasikan distribusi



H2s



 dan algoritma hibrida, yang mengabungkan algoritma Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo (RJMCMC) ([3]) untuk mensimulasikan parameter (_p,_r(p)) _{dengan algoritma Gibbs untuk}

mensimulasikan parameter σ2_{, digunakan untuk mensimulasikan}

distribusi 



H1,H2s



. Algoritma RJMCMC merupakan rampatan dari

Bab 4 Estimasi Model Runtun Waktu Moving Average

Estimator yang dihasilkan oleh metode MCMC dalam dua tahap. Tahap pertama adalah estimator dari orde q. Tahap kedua adalah estimator dari parameter model MA dan variansi σ2 _yang

bersesuaian dengan orde q yang diperoleh pada tahap pertama. Oleh karena itu diusulkan suatu algoritma untuk menentukan estimator orde q, parameter model MA dan variansi σ2 _{secara simultan. Untuk}

keperluan itu, diadopsi algoritma Simulated Annealing (SA).

4.4 ALGORTIMA SA

Algoritma SA ([10]) diperoleh dengan menambahkan barisan temperatur T1,...,Tm dalam metode MCMC di atas. Selanjutnya

algoritma SA akan memproduksi suatu rantai Markov M(T1),...,M(Tm) yang tidak lagi homogen. Dengan suatu hipotesis

tertentu pada T1,...,Tm ([11]) maka M(Tm) akan konvergen menuju

suatu nilai yang memaksimumkan distribusi posteriori 



H1,H2s



.

4.5 APLIKASI

Sebagai ilustrasi, kita akan menerapkan metode ini untuk mengidentifikasi orde dan menaksir parameter data MA sintesis dan data riil. Studi simulasi ditempuh untuk mengkonfirmasi kinerja dari algoritma SA apakah dapat berkerja dengan baik. Sedangkan studi kasus diberikan untuk memberikan contoh penerapan penelitian dalam memecahkan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

Baik untuk data MA sintesis maupun data MA riil ini, kita akan menggunakan algoritma SA untuk mengidentifikasi orde dan mengestimasi parameter model MA yang bersesuaiaan. Untuk keperluan itu, algoritma SA dimplementasikan sebanyak 70000 iterasi dengan nilai awal temperatur T0 = 10 kemudian temperatur

Bab 4 Estimasi Model Runtun Waktu Moving Average

Data MA Sintesis

Gambar 4.1 merupakan data MA sintesis yang dibuat menurut persamaan (4.1) di atas dengan menggunakan bahasa pemograman MATLAB, dengan jumlah data n = 250, orde q = 3, ₁(3) 0,5900,

3616 , 0

) 3 ( 2 

 , ₃(3) 0,8936 dan σ2 _{= 0,49.}

Gambar 4.1. Data MA Sintesis

Selanjutnya berdasarkan data dalam Gambar 4.1 orde q, parameter model MA, variansi σ2 _{akan ditentukan atau lebih tepat akan}

ditaksir dengan menggunakan algoritma SA. Penaksir orde, parameter model MA dan variansi σ2 _{yang dihasilkan oleh algoritma}

SA adalah qˆ3, ˆ₁(3) 0,5700, ˆ₂(3) 0,3623, ˆ₃(3) 0,8811 dan ˆ2₌

0,5655.

Data MA Riil

Bab 4 Estimasi Model Runtun Waktu Moving Average

Gambar 4.2. Data Penjualan suatu Produk pada CV Jaya Warsa

Dengan melakukan pembedaan pertama terhadap data asli pada Gambar 4.2 akan menghasilkan suatu data stasioner yang plotnya ditunjukkan pada Gambar 4.3.

Gambar 4.3. Pembedaan Pertama Data Penjualan suatu Produk pada CV Jaya Warsa.

Seperti untuk kasus data sintesis, berdasarkan data pada Gambar 4.3 orde q, parameter model MA dan varisnsi 2 _diestimasi

dengan menggunakan algoritma SA. Hasilnya adalah qˆ2,

6285 , 0

ˆ(2) 1 

 , ˆ₂(2) 0,2025, dan σ2 _{= 15,4388.}

Bab 4 Estimasi Model Runtun Waktu Moving Average

Udara (PJP2U) dalam negeri pada PT Angakasa Pura I Bandar Udara Internasional Adisutjipto Yogyakarta untuk 55 periode yaitu Januari 2001 sampai Juli 2005. Terlihat jelas pada Gambar 4 bahwa data inipun tidak stasioner.

Gambar 4.4. Data Penjualan PJP2U dalam negeri pada PT Angakasa Pura I.

Untuk mendapakan data yang stasioner dilakukan pembedaan pertama dan hasilnya ditunjukkan pada Gambar 4.5.

Gambar 4.5. Pembedaan Pertama Data Penjualan PJP2U dalam Negeri pada PT Angakasa Pura I.

Bab 4 Estimasi Model Runtun Waktu Moving Average

algoritma SA. Hasilnya adalah qˆ1, ˆ₁(1) 0,3301 dan σ2 _{= 7,0977 x}

107_.

4.6 KESIMPULAN

Uraian di atas, merupakan kajian teori tentang algoritma SA dan penerapannya pada identifikasi orde q, penaksiran vektor koefisien (q)_{, dan penaksiran variansi} σ2 _{dari model MA. Dari hasil}

simulasi menunjukkan bahwa algoritma SA dapat menaksir parameter-parameter itu dengan baik.

Bab 5 Estimasi Model Runtun Waktu Subset Moving Average

BAB

5

ESTIMASI MODEL RUNTUN WAKTU

SUBSET MOVING AVERAGE

5.1 RUMUSAN MASALAH

Misalkan (Xt)tZ adalah suatu runtun waktu berharga riil.

Runtun waktu (Xt)tZ dikatakan memiliki model Subset Moving

Average dengan orde q, dinotasikan sebagai SMA(p,q), jika (Xt)tZ

memenuhi persamaan stokhastik berikut :

Z t E

E

X _j t kj

q k q

j t

t   _1 ( )  ,  (5.1)

di mana orde qN, vektor koefisien dan q



_kq _kq



q

q 

 ( ) ( ) )

( _{, ,}

1 



  .

Di sini, (Et)tZ merupakan suatu barisan peubah acak berharga riil

yang saling bebas dan masing-masing berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi σ2 _{([5]). Data kurs mata uang rupiah terhadap}

euro, jumlah pendaftaran mobil di suatu negara, jumlah penumpang pesawat udara dan data jumlah penjualan industri merupakan beberapa contoh data riil yang dapat dimodelkan oleh model SMA.

Berdasarkan data xt (t = 1, 2, …, n), selanjutnya kita akan

berusaha untuk menaksir harga q,(q) _dan σ2_.

Untuk melakukan itu, kita akan menggunakan pendekatan Bayesian hierarki, yang akan diuraikan dalam bagian berikut ini.

5.2 BAYESIAN HIERARKI

Andaikan s



xq1,xq2,,xn



adalah suatu realisasi dari model

SARMA(p,q). Jika nilai s0 



x1,x2,,xq



diketahui, maka fungsi

Bab 5 Estimasi Model Runtun Waktu Subset Moving Average ) , , ( 2 1 exp 2 1 ) , ,

( 2 ( )

1 2 2 / ) ( 2 2 )

( n q

p t q

n

q _{g t q}

q s               _{ }   (5.2) di mana ) , , , ,

(_{t p q} (p) (q)

g   _j t kj

q k q

j

t z

x  _ 

 ( ) 1 

untuk t = q+1, q+2, …, n dengan nilai awal eˆ1eˆ2 eˆq 0.

Penentukan distribusi prior untuk parameter-parameter tersebut di atas adalah sebagai berikut :

a) Orde q berdistribusikan Binomial dengan parameter μ :

q q q q Q max max (1 )

C ) q

(     



b) Untuk orde q ditentukan terlebih dahulu, vektor koefisien (q)

berdistribusikan normal dengan mean 0 dan variansi 1.

c) Variansi σ2 _{berdistribusikan invers gamma dengan parameter} α/2

dan β/2 :

) 2 /( exp ) ( ) 2 / ( ) 2 / ( ) ,

( 2 (1 /2) 2

2 /

2   

          

Di sini parameter μ diasumsikan berdistribusi seragam pada interval (0,1), nilai α diambil sama dengan 2 dan parameter β diasumsikan berdistribusi Jeffrey. Sehingga distribusi prior untuk parameter

) , ,

( ( ) 2

1 q q 

H  dan H2 (,) dapat dinyatakan sebagai :

) , (H1 H2 

(H1 H2)(H2)

(_q )((q) _q)₍2 _,₎₍₎₍_{) (5.3)}

Menurut Teorema Bayes, maka distribusi a posteriori untuk parameter H1 dan H2 dapat dinyatakan sebagai :

_{(H ,H s)}

2

1 



s H1



(H1,H2) (5.4)

Distribusi a posteriori merupakan gabungan dari fungsi

kemungkinan dan distribusi prior yang kita asumsikan sebelum sampel diambil. Fungsi kemungkinan bersifat obyektif sementara distribusi prior ini bersifat subyektif. Dalam kasus ini, distribusi a posteriori 



H1,H2s



mempunyai bentuk yang sangat rumit sehingga

Bab 5 Estimasi Model Runtun Waktu Subset Moving Average

5.3 METODE MCMC

Misalkan M = (H1, H2). Secara umum, metode Markov Chain

Monte Carlo (MCMC) merupakan suatu metode sampling, yaitu dengan cara membuat rantai Markov homogen M1,...,Mm yang

memenuhi sifat aperiodik dan irreduktibel ([9]) sedemikian hingga M1,...,Mm dapat dipertimbangkan sebagai variabel acak yang

mengikuti distribusi 



H1,H2s



. Dengan demikian M1,...,Mm dapat

digunakan sebagai sarana untuk menaksir parameter M. Untuk merealisasikan itu diadopsi algoritma Gibbs Hibrida ([9]) yang terdiri dari dua tahap :

1. Simulasi distribusi 



H2 H1,s



2. Simulasi distribusi 



H1H2,s



Untuk mensimulasikan distribusi 



H2 H1,s



dipergunakan

algoritma hibrida. Algoritma hibrida merupakan penggabungan algoritma Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo (RJMCMC) ([3]) dan algoritma Gibbs. Algoritma RJMCMC dipergunakan untuk mensimulasikan distribusi 



H1H2,s



. Sedangkan algoritma Gibbs

dipergunakan untuk mensimulasikan distribusi 



H1H2,s



.

Algoritma RJMCMC merupakan rampatan dari algoritma Metropolis-Hastings ([1], [2]).

Estimator yang dihasilkan oleh algoritma RJMCMC dalam dua tahap. Tahap pertama algoritma RJMCMC menghasilkan estimator untuk orde q. Tahap kedua algoritma RJMCMC menghasilkan estimator untuk parameter model SMA dan variansi σ2 _yang

bersesuaian dengan orde q yang diperoleh pada tahap pertama. Untuk mendapatkan kecepatan dan efisiensi diperlukan suatu algoritma yang dapat menentukan estimator orde q, parameter model SMA dan variansi σ2 _{secara bersamaan. Untuk keperluan itu,}

diusulkan algoritma Simulated Annealing (SA).

5.4 ALGORTIMA SA

Algoritma SA ([10]) diperoleh dengan menambahkan barisan temperatur T1,...,Tm dalam metode MCMC di atas. Selanjutnya

Bab 5 Estimasi Model Runtun Waktu Subset Moving Average

M(T1),...,M(Tm) yang tidak lagi homogen. Dengan suatu hipotesis

tertentu pada T1,...,Tm ([11]) maka M(Tm) akan konvergen menuju

suatu nilai yang memaksimumkan distribusi posteriori 



H1,H2s



.

5.5 KESIMPULAN

Uraian di atas, merupakan kajian teori tentang algoritma SA untuk pengidentifikasi orde q, penaksiran vektor koefisien (q)_{, dan}

Bab 6 Estimasi Model Runtun Waktu Subset Autoregresif Moving Average

BAB

6

ESTIMASI MODEL RUNTUN WAKTU

SUBSET AUTOREGRESIF MOVING

AVERAGE

6.1 RUMUSAN MASALAH

Misalkan (Xt)tZ adalah suatu runtun waktu berharga riil.

Runtun waktu (Xt)tZ dikatakan memiliki model Subset

AutoRegresif Moving Average dengan orde p dan q, dinotasikan sebagai SARMA(p,q), jika (Xt)tZ memenuhi persamaan stokhastik

berikut :

Z t E

E X

X j

j i

i t k

q k q

j t m t p m p i

t _1 ( )    _1 ( )  ,  (6.1)

di mana orde p,qN, vektor koefisien



p



p

m p

m p

p 

 ( ) ( ) )

( _{, ,}

1 



  , dan q



_kq _kq



q

q 

 ( ) ( ) )

( _{, ,}

1 



  .

Di sini, (Et)tZ merupakan suatu barisan peubah acak berharga riil

yang saling bebas dan masing-masing berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi σ2 _{([5]). Data kurs mata uang rupiah terhadap}

euro, jumlah pendaftaran mobil di suatu negara, jumlah penumpang pesawat udara dan data jumlah penjualan industri merupakan beberapa contoh data riil yang dapat dimodelkan oleh model SARMA. Berdasarkan data xt (t = 1, 2, …, n), selanjutnya kita akan

berusaha untuk menaksir harga p, q, (p)_,(q) _dan σ2_.

Bab 6 Estimasi Model Runtun Waktu Subset Autoregresif Moving Average

6.2 BAYESIAN HIERARKI

Andaikan s



xpq1,xpq2,,xn



adalah suatu realisasi dari

model SARMA(p,q). Jika nilai s0 



x1,x2,,xpq



diketahui, maka

fungsi kemungkinan dari s dapat ditulis kurang lebih sebagai berikut :









_



 



             n 1 q p t ) q ( ) p ( 2 2 2 / ) p n ( 2 2 ) Q ( ) p

( _{g t,p,q, ,}

2 1 exp 2 1 , , , q , p s  (6.2) di mana ) , , , ,

(_{t p q} (p) (q)

g   _i i _j t kj

q k q j m t p m p i

t x z

x _   _ 

 ( )

1 )

(

1  

untuk t = p+q+1, p+q+2, …, n dengan nilai awal xˆ1 xˆ2  xˆpq 0

(Shaarawy et al. _[16]).

Penentukan distribusi prior untuk parameter-parameter tersebut di atas adalah sebagai berikut :

a) Orde p berdistribusikan Binomial dengan parameter λ :

p p p p p max max (1 )

C ) p

(     



b) Orde q berdistribusikan Binomial dengan parameter μ :

q q q q Q max max (1 )

C ) q

(     



c) Untuk orde p ditentukan terlebih dahulu, vektor koefisien (p)

berdistribusikan normal dengan mean 0 dan variansi 1.

d) Untuk orde q ditentukan terlebih dahulu, vektor koefisien (q)

berdistribusikan normal dengan mean 0 dan variansi 1.

e) Variansi σ2 _{berdistribusikan invers gamma dengan parameter} α/2

dan β/2 :

) 2 /( exp ) ( ) 2 / ( ) 2 / ( ) ,

( 2 (1 /2) 2

2 /

2 _{  }

          

Di sini parameter λ dan μ diasumsikan berdistribusi seragam pada interval (0,1), nilai α diambil sama dengan 2 dan parameter β diasumsikan berdistribusi Jeffrey. Sehingga distribusi prior untuk parameter _H1 (_p,_q,(p),(q),2) _{dan H2} ₍_,_,_{) dapat dinyatakan}

sebagai :

) , (H1 H2



Bab 6 Estimasi Model Runtun Waktu Subset Autoregresif Moving Average

(_p )(_q )((p) _p)((q) _q)₍2 _,₎₍₎₍₎₍_{) (6.3)}

Menurut Teorema Bayes, maka distribusi a posteriori untuk parameter H1 dan H2 dapat dinyatakan sebagai :

_{(H ,H s)}

2

1 



s H1



(H1,H2) (6.4)

Distribusi a posteriori merupakan gabungan dari fungsi

kemungkinan dan distribusi prior yang kita asumsikan sebelum sampel diambil. Fungsi kemungkinan bersifat obyektif sementara distribusi prior ini bersifat subyektif. Dalam kasus ini, distribusi a posteriori 



H1,H2s



mempunyai bentuk yang sangat rumit sehingga

tidak dapat diselesaikan secara analitis. Untuk mengatasi masalah tersebut, diusulkan metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC).

6.3 METODE MCMC

Misalkan M = (H1, H2). Secara umum, metode Markov Chain

Monte Carlo (MCMC) merupakan suatu metode sampling, yaitu dengan cara membuat rantai Markov homogen M1,...,Mm yang

memenuhi sifat aperiodik dan irreduktibel ([9]) sedemikian hingga M1,...,Mm dapat dipertimbangkan sebagai variabel acak yang

mengikuti distribusi 



H1,H2s



. Dengan demikian M1,...,Mm dapat

digunakan sebagai sarana untuk menaksir parameter M. Untuk merealisasikan itu diadopsi algoritma Gibbs Hibrida ([9]) yang terdiri dari dua tahap :

1. Simulasi distribusi 



H2 H1,s



2. Simulasi distribusi 



H1H2,s



Untuk mensimulasikan distribusi 



H2 H1,s



dipergunakan

algoritma hibrida. Algoritma hibrida merupakan penggabungan algoritma Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo (RJMCMC) ([3]) dan algoritma Gibbs. Algoritma RJMCMC dipergunakan untuk mensimulasikan distribusi 



H1H2,s



. Sedangkan algoritma Gibbs

dipergunakan untuk mensimulasikan distribusi 



H1H2,s



.

Algoritma RJMCMC merupakan rampatan dari algoritma Metropolis-Hastings ([1], [2]).

Bab 6 Estimasi Model Runtun Waktu Subset Autoregresif Moving Average

estimator untuk parameter model SARMA dan variansi σ2 _yang

bersesuaian dengan orde p dan q yang diperoleh pada tahap pertama. Untuk mendapatkan kecepatan dan efisiensi diperlukan suatu algoritma yang dapat menentukan estimator orde p dan q, parameter model SARMA dan variansi σ2 _{secara bersamaan. Untuk}

keperluan itu, diusulkan algoritma Simulated Annealing (SA).

6.4 ALGORTIMA SA

Algoritma SA ([10]) diperoleh dengan menambahkan barisan temperatur T1,...,Tm dalam metode MCMC di atas. Selanjutnya

algoritma SA akan memproduksi suatu rantai Markov M(T1),...,M(Tm) yang tidak lagi homogen. Dengan suatu hipotesis

tertentu pada T1,...,Tm ([11]) maka M(Tm) akan konvergen menuju

suatu nilai yang memaksimumkan distribusi posteriori 



H1,H2s



.

6.5 KESIMPULAN

Uraian di atas, merupakan kajian teori tentang algoritma SA untuk pengidentifikasi orde p dan q, penaksiran vektor koefisien

) (p

Bab 7 Segmentasi Model Syntetic Aperture Radar

BAB

7

SEGMENTASI MODEL SYNTETIC

APERTURE RADAR

7.1 RUMUSAN MASALAH

Misalkan N adalah banyak piksel yang terdapat dalam suatu garis dari citra Synthetic Aperture Radar dan T adalah periode sampling. Persamaan garis tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk berikut ([15]) :

n n n r z

y  n1,2,,N (7.1)

dengan yn, rn, dan yn adalah masing-masing intensitas citra

Synthetic Aperture Radar hasil pengukuran, intensitas citra Synthetic

Aperture Radar, dan galat multiplikatif. Dalam berbagai citra

Synthetic Aperture Radar, termasuk citra pertanian, sifat-sifat dari rn

dan zn dapat didefinisikan sebagai berikut ([16]) :

(a) Intensitas Synthetic Aperture Radar rn merupakan fungsi

tangga. Persamaannya dapat ditulis sebagai :

K n h

r  n



nK 1,,nK1



(7.2)

dengan K = 0, 1, …, Kmaks. Di sini, nK adalah posisi terjadinya

perubahan ketinggian anak tangga ke K (dengan kesepakatan n0 = 1 dan nK+1 = N) dan hK adalah ketinggian anak tangga ke

k, dan K adalah jumlah anak tangga.

(b) Galat multiplikatif zn dimisalkan berbentuk variabel acak

yang mengikuti distribusi gamma dengan mean L dan variansi 1/L, ditulis zn ~ G(L, L),

 



n



1 L n L

n z exp Lz

) L ( L z

f 

  

N , , 2 , 1

n  _(7.3)

Besaran L menyatakan jumlah pengukuran yang dilakukan dan harga L diketahui.

Berdasarkan data yn (n = 1, 2, …, N), selanjutnya kita akan

berusaha untuk menaksir harga

Bab 7 Segmentasi Model Syntetic Aperture Radar

Untuk melakukan itu, kita akan menggunakan pedekatan Bayesian, yang akan diuraikan dalam bagian berikut ini.

7.2 PENDEKATAN BAYESIAN

Pendekatan Bayesian merupakan suatu metode untuk menaksir harga parameter θ = (K,n(K)_,h(K)_{) yang dilakukan}

berdasarkan pada informasi yang diperoleh dari data yn (dinyatakan

dalam distribusi peluang f(y )) dan informasi mengenai parameter

θ (dinyatakan dalam distribusi prior π(θ)).

Oleh karena galat zn ~G(L,L), maka distribusi peluang untuk

yn, f(yn ), dapat ditulis sebagai :

 

_            



 i 1 i i K 0 i ) n , n ( L i h ) n , n , y ( L exp h y

f i i1 (7.4)

dengan τ(a,b)=b-a, (y,a,b)b_na1 yn, dan simbol “” berarti

“sebanding pada”.

Untuk keperluan penggunaan pendekatan Bayesian, kita harus menentukan distribusi prior untuk parameter θ. Distribusi prior untuk parameter θ diambil sebagai berikut. Misalkan Kmaks

adalah jumlah anak tangga maksimum, maka K diasumsikan mengikuti distribusi Binomial dengan paramter Kmaks dan λ, ditulis

sebagai B(Kmaks, ).





K K K

maks maks ) 1 ( , K

K    

 K = 0, 1, …, Kmaks. (7.5)

Untuk harga K yang diberikan, kita mengasumsikan bahwa n(K)

mengikuti distribusi dibawah ini :







   



 K

0

i i 1 i ) K ( ) 1 n n ( K n (7.6)

dan h(K) _{mengikuti distribusi gamma invers dengan parameter} α _dan

β, ditulis sebagai IG(α,β).





] h [ exp h , , K h i 1 i K 0 i ) K (        



(7.7)

Persoalan yang ditimbul, di antaranya munculnya

hiperparameter φ=(θ,λ,β) dalam distribusi-distribusi prior di atas.

Untuk memudahkan persoalan, dalam ([19]) harga φ dianggap

Bab 7 Segmentasi Model Syntetic Aperture Radar dengan distribusi tertentu, yaitu λ mengikuti distribusi seragam pada interval (0,1), ditulis U(0,1), dan β mengikuti distribusi Jeffrey, ditulis sebagai J(0,∞). Sedangkan harga  diambil relatif kecil seperti dalam ([17]).

Dengan menggunakan teorema Bayes, maka distribusi posterior untuk θ, ditulis dengan (, y), dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari distribusi peluang untuk yi dan distribusi

prior untuk (θ,λ,β).

_



_{, y}

  

_{f y }

 

_{  }

 

_{ (7.8)}

Kemudian taksiran dari parameter  akan dilakukan berdasarkan distribusi posteriorinya. Misalnya, penaksir parameter θ yang membuat nilai distribusi posterior ( y) maksimum. Sayang sekali bahwa bentuk dari distribusi posterior ( y) sangat kompleks,

sehingga mustahil untuk menaksir harga parameter θ. Untuk

mengatasinya, kita akan mengadopsi metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC), khususnya metode Reversible Jump MCMC ([3]). Lebih khusus lagi versi Simulated Annealing (SA) dari Reversible Jump MCMC.

7.3 METODE SA

Secara umum, metode MCMC merupakan suatu metode sampling, yaitu dengan cara membuat rantai Markov homogen

θ1,θ2,...,θm yang memenuhi sifat aperiodik dan irreduktibel ([9])

sedemikian hingga θ1,θ2,...,θm dapat dipertimbangkan sebagai

variabel acak yang mengikuti distribusi ( y). Dengan demikian

θ1,θ2,...,θm dapat digunakan sebagai sarana untuk menaksir

parameter θ.

Di lain pihak dengan menambahkan barisan temperatur T1,T2,...,Tm dalam metode MCMC di atas, maka metode SA ([10])

akan memproduksi suatu rantai Markov θ(T1), θ(T2),..., θ(Tm) yang

tidak lagi homogen. Dengan suatu hipotesis tertentu pada T1,T 2-,...,Tm ([11]) maka (Tm) akan konvergen menuju suatu nilai yang

memaksimumkan distribusi posteriori ( y).