?･稲田大学審査学位論文（博士） ｜｜ lg lj lq la lti l/ i8 19 110 111 112 113 Kodak Color Control Patches ︳ ｡。 Ｌ・ ・ よ・・⋮⋮﹄・
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･-}皿'● -皿!● 一一早稲田犬学犬学院理工学研究科
博士論文
論文題目
システム設計に用いる数理モデルに関する研究
一逆問題を考慮した解決法−
AS吊dy
on M計hematica1 Models for System Des縦n
−ApPr皿ches with TnveFseProblems −
申請者
米田清
-目次
第１章 1.1 はじめに 研究の背景 ‥・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1.2 システム設計と逆問題 ‥・・・・・・・・・・ １３ 本研究のねらい・・・・・・・・ 1.4 システム設計における数理モデルの役割 ・・・・・・・・・・ 1.5 従来の研究 . 1.6 本論文の構成 第２章 2.1 エレベータ交通ＯＤ表の構成 問題の所在 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 2.2 実行駆動シミュレーション 2.3 交通実績の測定・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 2.4 行列均衡問題 ‥・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 2.5 整数ＯＤ表の構成法‥・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 2.6 実数解法・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 2.7 整数解法・・・・・・・・・・・・・・・ 2.7.1 メタ解法による方法 ・・・・・・・・・・・・・・・・・ 2､S ２ ２ 構成順序法 ９ 実時間測定と大規模問題‥‥‥‥ 10評価法． 2.10.1 Bootstrapping‥‥ 2.10.2整数解と実数解・・・・・・・・・ 2.11まとめ‥‥‥‥ 第３章 半導体生産工程の設備計画 3,1 問題の所在 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 3.2 提案する方式 ‥‥ 3.2.1 従来の計画法・・・・・・ １ １ １ rxl sQ I∼︵71 H QOCI∼OH３４４９￥1‘ CX︶CIQ QQC︶cxD CXD H HH¥H２CN CXI２２り乙 ３３３４４ ４４４４L1 :3.12,12 待ち行列網解析 3J3 逆問題‥‥． 3.2.4 最適化法‥・・・・・・・・ 3.2.5 逆問題の解法 ‥‥‥‥ 3.3 生産設備の計画問題 ・・・・・・・ ,３３１ 問題の定式化. 13.2 解法の例‥‥ 3.4 実験 3.-￨.1 実験方法‥‥． 3.4,2 実験結果. 3.圭3 評価 ‥. l.5 まとめ・・・・・・ 3.5.1 閉待ち行列網の使用 ・・・・・・・・・・・・・・・ 第４章 計迢I｣匍｣御盤の数値表示 4.1 問題の所在 ・・・・・・・・・ 4.2 逆問題‥‥‥‥ 4.3 定式化・・・・・・・・ 4.4 最適解‥・・・・・・ 4.5 近似解‥・・・・・・・・・・・ 4.6 例 ふ7 逆変換‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 4.8 まとめ‥‥． 第５章 おわりに 5.1 方法と応用 ‥ 5.2 展望と課題 ‥ 付録Ａ追加事例 Ａ１ 無線タグのプロトコル設計・・・・・・・・・・ A.2衛星の熱設計 ‥・・・・・・・・ A.3 スケジューリング，・・・・・・・・・・ 祁 50 52 53 55 一ｎ ＱＯ ｒ。︲ １∼ ln lQ Irl ’ . rt cyD C にりａリ 62 62 cg cg t︲CI０１４４″り CQ︶tQ C F’フーー’− ７ ’︷ｊ 78 78 80 82 82 83 8,5
図目次
□ 記述の変換作業としての股 L2 順問題‥‥‥ 1.3 逆問題‥．．． 計 1.4 逆問題による情報補充 ・・・・・・・ 1.5 逆問題による情報補充の運用 ‥． 2.1 0D表の順問題‥‥ 2.2 0D表の逆問題‥‥ 2.3 かごが空の状態から再び空になるまで ‥‥ 2,4 構成順序法 ‥ 1 1 1 ３４４’・り″１ 2.5 0D表評価のbootstrap手順・・・・・・・・・・・・・・・・・ 16 16 19 30 39 2.6 整数解と実数解を比較するb(lotstrap手順・・・・・・・・. 41 2.7 実数解と整数解のX2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・. 42 2.8 Metropolis loop 回数と目的関数の値 ・・・・・・・・・・・. 44 3.1 待ち行列網の順問題 ‥・・・・・・・・・・ 3.2 待ち行列網の逆問題 ‥・・・・・・・・・・ 3.3 アニーリングアルゴリズム 4.1 数値表示の因果構造 ・・・・・・・・・・・ ４２ 数値表示の逆問題‥・・・・・・・・・・・ 4.3 正規分布の一様分布による近似 ‥... 4.4 区間長沁に対する情報量の例・・・・・・ 4.5 桁たに対する情報量の例・・・・・・・・・ 4.6 桁口こ対する情報量‥‥‥‥ A.1 無線タグの順問題・・・・・・・・・ A.2熱伝達の因果関係‥・・・・・・・ A.3 ジョブショップ生産の因果関係‥ ｙＤ ７︶ｔ ｌ‘︲ ７︶ｏ trtuD QQQOt∼ 71 73 77 83 84 85LV jヽ.4 ジョブショップ生産の逆問題‥ 85
表目次
Ｉツ﹃ 士︱ 2.1 2.2 2,3 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 3.3 モデルの性格 本論文の扱う応用の範囲 小規模問題と大規模問題 20×20 0D 表推定の入力データの例 実数構成結果 Sim111ated annealing を用いた整数解法による構成結果 構成順序法による整数構成結果 ・・・・・・・・・・・・ 実行時間比較表‥‥‥‥ 評価回数による設備台数の差 最適解に至るまでの評価回数 平均中間在庫量の要求水準による設備台数の増減 Ｖ 8 14 り］９り りりりり 混 35 36 37 ｑ︶Ｏ Ln C 61第1章 はじめに
１ １．１ 研究の背景 製造技術が単純な製品は，国際市場で価格的に競争できないという状 況が広がっている．それにつれて，日本の製造業は次の点を特徴とする， いわばシステム的な性格を持つ製品に主力を移しつつある． 複雑化従来の製品より桁違いに多種類の部品から構成される． ソフト化製作にかかる費用の大きな部分が，ソフトウェアの開発と保守 に関わる． サービス化対価は，完成品に対してよりも，むしろ構築の過程に対して 支払われる． 短納期化納入にかかる時間が競争力に大きく影響する， 典型的には，たとえば工場の制御システムとか，ビル管理システム，座 席予約の窓ロ業務や銀行の自動預金でよく見られるオンライン・システム などがある．衛星，通信，計測，生産，交通などのシステムも含まれる． また，一般には特に高度技術製品とは考えられていない商品であっても， 高価格の個別受注品，いわゆる「インデントもの」については，システ ム的な性格を備えた製品として対処すべきであるという認識が徐々に受 入れられている． 上の諸例を要件に照らして見ると，まず，複雑で部品点数が多いこと は疑いない．次に，ﾉヽ−ドウェアとソフトウェアが必要であって，ソフ トウェアの比重が高い．サービス化に関しては，製品や製品仕様を示し て対価が決まるのではなく，むしろ仕様を固める交渉を含め，システム を構築する過程で価格が決まる傾向にある．商習慣もソフトウェアの有 料化や，システム製品の価格を構築のフェーズ毎に分割して設定すると いった方向に移行しつつある．そして納期は，発注先を決定する上で，し ばしば決定的な要因である．第１章 はじめに
短納期化か生産過程に及ぼす直接の影響は，システム構築の各ステップ
を短縮せよという要求に表れている．短納期化の鍵は，phase(1 appl･oach や,-:as(:a,il,mo西目7.-11において上流ないし川上に位置する作業を精密に 行い，手戻り，やりなおしをなくすことにある．上流の作業である要求 定義，仕様定義，システム設計などで失敗があると，それらに依存して 行われる下流の作業，すなわち実装，試験，調整などがむだになる． 本研究ではこれら上流にある作業のうち，システム設計に着目する．設 計の品質を高め，期間を短縮し，整合性を保ち，手戻りを防ぐ手段とし て，数理モデルを利用する．その際，モデルを運用しやすくするため，逆 問題の形に定式化して，次の用途に供する: 足りない情報を補充する． 結果の情報から原因を求める． 多すぎる情報を縮約する. (1.1) 矛盾する情報を整理する． １．２
システム設計と逆問題
システム設計は仕様書を設計書に変換する作業であ剤7. 4, 20, 161.仕 様書がシステムの満たすべき要件の記述なのに対して，設計書は要件を 満足するための具体的な手段を記述する．仕様書は非形式的および形式 的な記述からなりだ･っており，図1.1のように，設計書では非形式的な記 述が減って〔↓〕形式的な記述が増える（ｎ．したがって設計では仕様に は含まれていない情報があらたに必要になったり，矛盾する要求をまと める必要に迫られたりする． 以下では不足ないし矛盾する情報が特に数値的なものであるときを考 える．その場合，上の要求に応える手段には，次のようなものがある． 想定：経験に基づいて主観的に数値を決める． 調査：文献や統計調査から数値を決める． 数理モデル：関連する既知の数値から所望の数値を決める． う Q I １ ｒ ！ Ｉ Ｉ Ｘ ニのうち数理モデルは通常，因果関係の方向に沿って作る，たとえば代 表的な数理モデルである微分方程式や確率過程では，原因としての初期 状態を結果としての将来状態に結び付け，原因に対する結果の対応関係 として因果関係を表す．ほとんどの場合，所望の数値が結果に当り，所 望の数値に関連する既知の数値が原因に当る． 1.2.システム設計と逆問題 図1.1:記述の変換作業としての設計 ３ 因果関係は， 時間的な順序関係 (1.3) 非可逆性 の２点によ,って特徴づけられる．すなわち，原因が先にあって結果が後 にあり，結果を操作しても原因を直接，変えることはできない．たとえ ば微分方程式では初期状態を原因，将来状態を結果とみなす．たしかに 初期状態が時間的に先に決まっており，将来状態が後に決まる．また，制 御によって将来状態を変えたからと言･⊃て，既に定まっている初期状態 が変るわけではない． 実際には，結果とみなせる状態変数も，それらに影響を与えることか ら原因とみなせる状態変数も，複数あって複雑に絡み合っており，間接 原因や中間結果に見えるような状態変数もある．したがって何を直接の 原因と見なし，何を直接の結果と見なすかは，モデル作成の意図に依存 して決まる． 通常は，制御可能とみなす変数を原因，それらの関数で観測可能な変 数を結果とみなす．原因のうち所与として扱う変数を環境とよび，直接的 な原因からは切り離して考える．一般に因果関係に沿･ったモデルはに＝ を左辺の右辺による定義， l･ :＝原因 θ:＝環境 (1.4) /:＝因果関係 ｙ＝結果１ と 第Ｌ意 はじめに して，環境を媒介変数として原因を結果に対応づける ム:=i･Eり （1匍 なる形式に表せる．図1.2のように原因と環境を与えて結果を求めるこ とを，）￨回問題を解くという． 図1.2:順問題 これに対して図1.:3のように因果関係の逆方向に，結果から原因を求 める形の問題を逆問題と呼ぶ．何らかの先験情報を補充し，原因の妥当 原因.と 評価汗 先験情報 図1.3:逆問題 結果も/ 性を評価している点が順問題と異る特徴である．先験情報と評価が必要 なのは，以下の事情による． 順問題〔I.5〕のﾉ･.が全単射ならば，逆問題は単に パ →で (1刈 を求めるだけである．しかし一般にはハは単射とは限らず，その場合に は同一の結果.ｿを与える原因が複数ありうる．つまり原因が異っても，同 一の結果が得らてしまうことかあり，異る原因を結果からは識別できな 1.3.本研究のねらい ５ い．特に結果.りの観没』に誤差が伴うと，識刄｣は更に困難である．ここで 原因を一意に絞ろうとすれば，情報補充と評価が必要になる． また，．八が全射でない場合には，所望の結果1/をひきおこす原因Ｊ が必ずしも存在しない，すなわち，原因をどう調整しようと，所望の結 果は得られない．特に結果!ﾉの観測結果が矛盾を含むと，整合的な原因 はありえない．それでもなお原因を同定しようとすれば，やはり情報補 充と評価が必要になる． このように，逆問題は解の存在や一意性が保証されず，順問題よりも 解くことが難しい．更にたとえ,八が全軍射であっても，たとえばシミュ レーションのように複雑な手続きで定義されていると，その手続きから 出発して逆写像を実現する手続きを構成することは，実行しがたい． １．３
本研究のねらい
数理モデルによって所望の数値情報を求めるにはほとんどの場合，そ の情報を図1.2の結果の位置に置く．それに対して，図1.4の手順に従っ て，求める情報を図1.2の原因の位置に置くこともできる，これを逆問 題による情報補充とよぶ． 1.求めたい数値情報がある． 因果関係に着目し，その数値を間接的に推測することを目指す. 2.求める情報の帰結として生じる結果のうち， 所与ないし観測可能なものに着目する． ３求める情報を原因J，所与ないしは観測する情報lりを結果 として，因果関係石をモデル化する. 4.モデルの出力i/から入力1･を求める逆問題を設定し， その解法を作る． ５入出力が整合するように，求める数値を決める． 図1.4:逆問題による情報補充 数理モデルの応用で順問題を利用する方が普通である理由の１つは， 順問題の方が逆問題よりも解きやすいからである．それにもかかわらず， 逆問題による方が，所望の情報を得やすくなる場合かおりうる．それは 以下に述べるメカニズムによる．６ 第１章 はじめに 因果関係圧制における結果は環境と原因の関数として表わされる．関 数は全単射とは眠らないのでに隋報を縮約する．したがって 結果の情報量＜環境の情報量 − 結果の情報量＜原因の情報量 − け (1 7 ） 8 ） が成り立つ． 一般に情報量の小さいことがらの方が情報量の大きいことがらよりも， 想定や調査によって決めやすい．したが，て原因や環境を規定するより 伝結果を規定する方が簡単である．だからこそ仕様では結果のみを規 定し，そのような結果をもたらす要件，すなわち原因や環境は，設計に 任せる． 結果を規定して原因を求めるという逆問題の形式をとる場合，所望の 数値情報は図1.2の原因の位置に置くことになる，また，逆問題を解くた めに補充する先験情報は多くの場合，情報量が小さい，たとえば無知の 表現としての一様分布のようなもので済むことが多い．そこで結局，逆 問題を定養するためのデータの情報量は小さく，決めやすい．その代り 数学的な問題としては，順問題よりも解きにくい． よって次のような場合には，所望の数値を逆問題を解いて求めること が，他の方法に対して競争力を持つ. ・所望の数値を想定では決めにくい．あるいは，想定で決めると，精 度が低すぎる． ・所望の数値を調査では決めにくい．あるいは，調査で決めるには 費用や時間がかかりすぎる． ・所望の数値を順問題を解いて求めるためには，その数値を結果とす る原因や環境に当る数値が必要である．それら原因や環境に当る数 値が，ｲ可らかの理由で決めにくい． ・結果に当る数値が仕様や調査から決められる， ・逆問題が数学的ないし計算的に解ける． さらに，逆問題を直接は解かない場合でも，逆問題を考えることによっ て因果関係がはっきり認識され，環境に関する設計清報が得られること がある， 1.4，システム設計における数理モデルの役割 − 本論文では，このように所望の数値情報が数理モデルの逆問題を陰に 随に意識することによって，しばしば従来法よりも有利に求め得ること を示す．更に，逆問題によって数値情報を求める共通の手順を抽出する． こうして数理モデルをシステム設計における〔1,1〕に示した用途に使いや すくする． 逆問題を考慮して数値情報を求める方法には，図1.4に示した逆問題 による情報補充の手順の直接的な運用と間接的な運用がありうる．両者 をまとめて図1.5に示す．最後のステップである従来法との得失の比較 は，一般的には先の議論のとおり，順問題による方が解きやすく，逆問題 による方が入力データが得やすい． ・逆問題による情報補充の手順（図1.4）を用意する． その運用法には直接と間接とがある． 直接運用システム設計者が不足情報を補充する． 解手順をそのまま適用し，逆問題を直接，解く． 間接運用システム利用者が不足情報を補充する． 利用者の解利用者は手順に従う， 設計者の解利用者が手順に従えば情報を補充できるよ うに，システムパラメタを決める． ・従来法と得失を比較する． １．４ 図1.5:逆問題による情報補充の運用
システム設計における数理モデルの役割
自然科学ではモデル化する対象が，原理的には測定可能な現象である． それに対して，モデルがシステム設計のためであるときは，測定すべき 対象がまだできていない．そのため測定による検証は原理的にできない か，あるいは高価で実施できない場合が多い．反面，モデル化は設計作業 の一部なので，モデル化しやすいように対象を設計するという可能性が 開けている．たとえば無作為性を仮定すればモデルが作りやすいときは， 無作為性を保2正する機構を組込んで設計することが良く行われる．典型８ 第１章 はじめに 的には，ランダム性を仮定した通信プロトコルで，回路に乱数発生装置 を組込むような場合である．設計に使うモデルは用途も明確に限定され ており，科学の場合ほどは一般性，客観性を要求しない． 自然科学では通常，モデルに明確な作成期限はない．それに対して，シ ステム設計には納期があり，期間が限定された活動である．したがって モデルの作成は所定の時間内に結果が得られることを主眼とし，その運 用は大きな誤りを避けるように進める．そのため，自然科学のモデルほ どは厳密性を要求しない． 以上のように科学目的と設計目的とで，数理モデルは性格が異なる，違 いを表1.1にまとめる． モデル 測定可能性 客観性 厳密性 作成期限 用途限定 設計可能性 科学目的 ○○○△×× 設計目的×△△○○ ○ 表1.1:モデルの性格 期限内に検討結果が出なければ，モデルはシステム設計に役立たない． いつまでも結果を待ってはいられないので，見切りでサブシステムの設 計に着手してしまう．このような状況になると，統一的な原則が出る前 に個々の作業者の判断で仕事が進むことになり，全体としての整合性を 欠く設計になりやすい．複数の設計者が関係する設計で重要なのは統一 的な原則，方針が打出されており，個々の作業者に徹底されていること であ･って，その原則自体の妥当性には副次的な重要性しかない． 期限内に結果が出ない理由は，情報のありかたに求められることが多 い．すなわち，情報が足りない，情報が多すぎる，情報が互いに矛盾す る，などである．これらの問題に対処する正統的な対策は当然，各々，足 りない情報を収集する，多すぎる情報を統合する，矛盾する情報を整理 する，などにすぎない．しかし設計では時間制約が厳しく，このような 調査，分析，調整に時間をかける余裕はないことが多い．そこで実用的 には，直ちに手に入る情報だけを使って，できるだけ簡便に解決を図る 1.5.従来の研究 ９ ことになる．そのために数理モデルが用いられることは1.2に述べ，用 途を（1.1）にあげた． システム設計で特に逆問題への定式化が有用である理由は，表1.1に示 した科学目的のモデルとの違いによるところが大きい．戦略としては，科 学目的の場合ほど強く要求されない項目を多少は犠牲にしても，設計目 的で強く要求される項目を満足する．たとえば逆問題の解が一意でない 場合，状況証拠から原因を断定することは，科学目的には社会的に受入 れられなくても，設計目的なら許される． 1.5
従来の研究
逆問題とは広義には「観測された現象からその原因あるいはその現象 を成立させている内部機序を決定する問題」［6o］とされる．その内容は本 研究で扱うものよりも広い範囲に渡り，以下を含む褐1･ ・結果を観測ないし指定して原因を固定する問題. ・微分方程式に関する問題であって，指定された初期条件ないし境界 条件のもとで解く問題とは設定の異るもの． ・ある種の積分変換の逆変換を求める問題． 先に述べたとおり，この研究で扱う逆開題は，上記の最初の項目に上 げた場合にあてはまる定式化を用いる．結果から因果関係をさかのぼ,っ て原因を同定するという形式である． この意味での逆問題への対処法が最も体系的に整備されているのは，統 計学の分野である．データが結果で，推定すべき母数の値や『司定すべき モデルが原因である． 統計的推測において情報はデータの構造モデルとデータそのものの両 方から得られる．そのうちほとんどの情報は構造モデルがもたらしてお り，データのもたらす情報は，はるかに少い．これは，たとえば次の例 からわかる． 変量λ‘が平均μ＝０，分散 ･＝１の分布に従うなら，裾確率は Chebyshevの不等式昂づ円｣≦(D2
11〕 で抑えられる．例としてA: 一 一 3,7＝3を敢ると，
川仁子」
う ー一りり ぐ 0.111 一方，Ｚが正規分布に従うことを仮定すると， 焉｡3≦IZ]＝o.oo270 二二で A':＝標本の大きさ ｙル
ヅ
第１章 はじめに とし，.Vの標本を大きく取ってＺと同じ精度を出そうとすると，顔言回し
二 ｙ −り ＝〔〕.00270 ⇒ y＝42 すなわちこの場合，正規性の仮定はλ'を42個分，独立観測したことに 相当するだけの情報をもたらしている． このように，構造上の仮定を強めると大量のデータに相当する情報が 補充できる. Flshelの推測統計学は，古典的な記述統計学が大標本で得ていた情報 を，独立性や正規性の仮定で代替することによって，小標本での議論を可 能にした．しかもそれが実用上，役に立，たため，大きな成功を収めた. Bayes統計陶1は先験情報を導入することによって，Fisher統計より も更に強い仮定を導入して，観測情報を補う.Bayes統計では補充にあ てる情報源を個人の主観に求めた．しかしそれは，以下のような困難を もたらした． ・連続分布の場合，確率分布の持つ情報量は往々にして不定，要する に無限である．このような連続分布を個人に特定させることは，量 的に無限の情報を要求することであり，操作として実行できない. ・結論に客観性を求めるなら，先験情報の提供者として特定の個人を 仮定できない．そこで抽象的な代表人を想定して，それに備わって いるとされる知識や能力から，情報を補充する． 1.6.本論文の構成 11 これらのため，Baves統計は実用上は共役分布を前提とし，その母数を個 人に指定させるという程度になっている．共役分布族から事前分布を選 ぶということは，モデルを個人の知譜にもとづいて決めるという立場を 後退させ，計算のしやすさに重点を置いていることになる．共役分布を 前提とした上に，客観性を求めて代表人に無知識を仮定するなら，Fisher 統計による推測よりも手続きが複雑になるにもかかわらず，得られる結 果は多くの場合，大差がない．それについて，たとえば【3】では,｢立場が 大き＜違っても得られる結果に大差ないということが，推論の確からし さを支持する｣という考えが紹介されjている．しかし，他の方法ではで きないことができるようにならねば，より複雑な方法を導入する意味は 薄い. Baves統計とは異る有力な仮定の導入法に，最大エントロピー原理，あ るいはその一般化であるけ目互)情報量最小化原理[24,55,23,18,17,14] がある．この方法は，個人の知識をBavesの定理で取込む代りに，後述 するように，情報量最小化で取込む．そのため，知識が事前分布の形に まとまっていなくても，制約式として表現できれば取込める．この事前 分布の提供を要求しない点が，Bayes統計よりも使いやすい． 結局，強い仮定を導入することは，標本の代りになる．その点はFisher 統計よりもBayes統計の方がシステム設計用モデルの開発には使いやす い．事前情報が分布として与えられなくても扱える点は，Bayes統計よ りも情報量最小化原理の方が使いやすい． 以上のように逆問題を解く方法は主に構造的に強い仮定を導入するこ とによる．中でも情報量最小化法が有力である． なお，強い仮定を導入する代りに計算機上で標本の採取を多数回くりかえすという方法もあり，comput.er-intensive methods とかresampling とよばれている．これについては開発した算法の評価法と関連して２章 に触れる．この方法は原理的にはノンパラメトリック法なので，強い構 造を導入するほどには逆問題を解きやすくはできない．計算量が大きす ぎるためである． １．６
本論文の構成
本論文の構成を以下に示す． この第１章では問題を導入し，研究の位置づけを行ない，従来の研究 を概観した．12 第１章 はじめに 第２章ではエレ４−タ交通実績のII』定ﾄ↓8. 49, 56. 62]への応用をとりあ げる．通常のエレベータ交通実績の測定では，かご内にカメラを設置す るなどの方法によって，ある時間にどの階からどの階まで何人が移動し たかを調査する．それに対して本研究では，より簡単な測定による，乗 客の乗降のみの情報から，階対間の交通実績を構成する． システム設計のために欲しい情報は，発着譜対ごとの移動人数である． ここで用いる因果モデルは以下のとおり． 原因：発着階対ごとの移動人数 環境：かごの方向 因果：乗客を運搬する 結果：各階での乗降人数 ①9） 目的(1副に対応するのは，足りない情報の補充である．結果が観測値 として与えられ，逆問題を直接的に解くことによって原因を求める．同 じ結果を与える原因が離散的に複数あり得る点に特徴がある．その不足 情報を，システム仕様から想定される先験的な交通量をもとに補充する． これを制約式よりも変数の方が多い線形方程式系の整数解を求める逆 問題に定式化し，実数の情報量最小化問題に帰着して解く． 逆問題に定式化することによって，所望の数値である発着階対ごとの 移動人数が，従来法である想定によるよりも正確に，調査によるよりも 安価に求まる． この方法によ，て測定が自動化でき，交通量が頻繁に実測できるよう になった．従来は想定した交通需要に基いていたエレベータ・システム のシミュレーション評価が，実測に某く実行駆動シミュレーションでで きるようになり，予測精度と説得力が増した． 第３章では半導体生産工場の設備計画囮]への応用をとりあげる．通常 の設備計画では，まず各セルの機械台数と原料の投入量を与え，平均中 間在盧量をシミュレーションや待ち行列網で因果関係の順方向に沿って 計算する．それに対して本研究では，因果関係の逆方向に定式化し，原料 の投人皇と希望する平均中間在庫量を与えて，必要な設備台数を求める． システム設計のために欲しい情報は，各セルの設備台数である．ここ 1.6.本論文の構成 で用いる因果モデルは以下のとおり． 原因：各セルの設備台数 環境：品種構成，平均投入量 因果：開型の待ち行列網 結果：各セルの平均中間在康量 13 (1･側 目的汗いに対応するのは，結果の情報から原因を求めることである． すなわち，設備台数から平均中間在庫量を求めるという因果関係に沿っ た方向の問題が解けていることを利用して，逆方向の，希望する平均在 庫量を実現するような設備台数を求める問題を解く． これは離散最適化問題に定式化され，待ち行列網とメタ解法(mda-heuristics)を組合わせて解ける． 逆問題に定式化することによって，所望の数値であるセル毎の設備台数 が，従来法である順方向の解析によるよりも，正確かつ短時間で求まる． この方法によって，従来はクリーンルーム全体についてしか希望平均 在庫量が満足できなかったものが，クリーンルーム内の個々のセルにつ いて満足するように設備台数を設定できるようになり，中間在庫量を予 測管理しやすくなった． 第４章では計測装置における数値表示の最適桁数[痢を決定する問題へ の応用をとりあげる，誤差を伴う数値は，通常はじゆうぶん多くの桁数 を準備して，信頼区間で表したり，誤差範囲を付記して表記する．それ に対して本研究では，ある桁で打ち切った数値１つで，もとの誤差分布 を代表する． システム設計のために欲しい情報は，表示する桁数である．ここで用 いる因果モデルは以下のとおり． 原因：表示すべき分布 環境：表示する桁数 因果：数値表示 結果：桁数に丸めた数値 (1･川 目的(1.ｴ)に対応するのは，多すぎる情報を縮鮑することである．表示 したい分布を１つの数値で代表することによって，複雑な数値解釈を不 要にし，数値表示をとっさの判断に使えるようにする．こうすると制御 盤の監視者は，表示された１つの数値を読んで，その背後にある正規分
14 応用 H DI ３ 章 一３ t ln 目的 エレベータのOD表 半導体の生産設備 計測装置の数値表示 第１章 はじめに 用途(口) - 足りない情報を補充する 結果の情報から原因を求める 多すぎる情報を縮約する 矛盾する情報を整理する 因果モデル (1.9) (1.1o) (1.11) 表1.2:本論文の扱う応用の範囲 布の平均とばらつきの２母数について判断を下すことになる．この逆問 題の存在を意識することによって，数値の最適な表示桁数を求める．こ れは１母数の一様分布で２母数の正規分布を代表する逆問題に定式化し， 情報量最小化法で解く． 逆問題に定式化することによって，所望の数値である表示すべき桁数 が，従来法である天下りの基準によるよりも，最適性の意味がはっきり した形で求まる． この方法によって，従来は無意味な下位の桁まで表示していた測定数 値が，有効桁数のみ表示されるようになり，見てすぐわかる計測表示が 可能になった. (1.1)に上げた数理モデルのシステム設計における用途と，各応用との 対応関係は表1.2のとおり． これら３つの応用のうち，最初の２つは逆問題を直接的に解いてシス テム設計に必要な情報を得る． それに対して，最後の１つは逆問題を考えることによって間接的に情 報を得る．すなわち，最後の応用は以下のような構成である．必要な情 報は，数値をｲ可桁，表示するかである，そこで，その数値表示を見た監 視者が直観的に解くことになる逆問題を考える．その逆問題の解が妥当 なものになるように，表示桁数を設定する． 最初の応用では，モデルの用途が限定的であることを利用して，客観 性をある程度は犠牲にして解を求める．次の応用では，厳密性に多少，目 をつぶって短時間で逆問題の解が得られるようにする．最後の応用では， システムの．−ザが直面する逆問題を予想し，その解が妥当になるよう な設計を行う． 第５章はまとめである．研究の成果を要約Ｌ,今後の発展方向を考察 する． ここであげた応用はいずれも，システム製品の設計情報を得るために， 因果関係に沿ったモデルから出発して逆問題に定式化し，解決に成功し ている．これらにもとづき，設計情報を得るための数理モデルとして逆 問題への定式化は有効であると主張する．
第2章
2.1 15エレベータ交通ＯＤ表の
構成
問題の所在
高層ビルで縦に移動する手段は実際上，エレベータしかない．その計 画と運用は，利用者や建物の所有者にとって切実な開題である． どんな性能のエレベータを何台，用意すれば足りるか．サービスの対 象とする階をどう分割して，どのエレベータにどの階を受け持たせるか． どういうロジックで運転を管理すべきか． 判断にはシミュレーションを使うことが多い．さまざまな条件のもと でいろいろな指標を測定し，総合的に判断する．評価の基準は社会的な 要請によって変化する．たとえばエネルギー問題に関心が集まる時代に は電力の節約を特に重視するようになるし，日本では外国よりも乗り心 地を重視する傾向がある． シミュレーションの基礎データには，エレベータ群の仕様に関する部 分と，それを使う環境に関する部分がある．環境は，広義には上記の社 会的な背景まで含み，狭義には交通需要を指す．仕様はエレベータの製 造元が把握しているのに対して，交通需要は想定する部分が大きい．通 常，ビルの計画時には次のような手順で交通需要を設定する． 床面積と使用形態をもとに，各階の滞留人数を求める．単位時間あた り，人数の一定割合がエレベータを使うとして，禾｣用者数を算出する．利 用者がどの階からどの階へ行くかは，入居予定者の情報から，同一会社 の階どうしの往来を多くしたり，他のエレベータ群との乗り継ぎを考慮 して設定する．このように経験や仮定に依存するので，予想とピル稼動 後の実状とは食違う． 一方，ビル稼動後についてはエレベータ乗降客の自動測定技術が進み， 交通実績を用いてシミュレーションすることができるようになった． 本章では，まず実測データを用いてエレベータ群のシミュレータを駆 動する意義を論じる．次いで，それを可能にするエレベータ交通の測定俑 第 う 一 章 エレベータ交通ＯＤ表の構成 法を提案する．その方法は行列の行和と列和の情報から，行列の中身を 埋めるという，逆問題に基づく．これは行列均衡問題の一例でもあり，周 辺分布から同時分布を求める開題の特殊な例でもある． ここに表れる順問題は，図2.1の形であり，逆問題は図2.2のとおり である． 乗客毎の 出発，11』着階 出発，到着階毎の 乗客数 図2.1: OD 表の順問題 ２．２ 図 情報量 最小化 先験情報 2.2: OD 表の逆問題
実行駆動シミュレーション
階毎の 乗降 エレベータでは，利用客に対するサービスの水準を表す指標として，平 均待ち時間と長持ち率を良く使う．長持ち率というのは，待ち時間があ る一定よりも長くなる乗客の割合である．いずれの指標も利用者数が多 ければ悪く，少なければ良くなる，利用者数が同じ場合は，どの階から どの階へ移動するかというパターンの影響が大きい． 計算した性能指標が信頼できるためには，シミュレーションに用いる 交通需要が，そのピルの人々の動きを正確に反映している必要がある．そ こで，実際に現地で測定したデータを使いたい．これから建てるビルに 2.3.交通実績の測定 17 納入するエレベータでも，良＜似たビルの実測データが使えれば，想定 より望ましい． 性能指標として平均待ち時間だけを問題にする限りは，大雑把な評価 でも比較的，正確な値が得られる．しかし長待ち率は分布の裾確率なの で，仮定や近似に敏感である．そのため評価には特に実測値を使いたい． ところで，コンピュータを設計するための性能予測では，実行駆動シ ミュレーション(tra(le d,･ivensimlllalion)【411とよばれる評価を行う．こ れは写実的な，フィクションをできるだけ排除したシミュレーションで ある．手順は大略，以下のとおり． まず，既存の類似システムが稼働している環境で，性能指標に影響し そうな負荷状況を時系列的に測定する．たとえば実動している計算機に， どれだけの仕事がいつ発生したかを，ハードウェアやオペレーティングシ ステムに手を加えて測定する．その記録が実行履歴(trace)である，実行 履歴はいつ何が起きたかの歴史を記録した生に近いデータであって，モデ ルをあてはめてパラメタを推定した結果よりも量が桁違いに大きく，性 質も異なる， 次に，実行履歴どおりに負荷が発生したとして新設計の計算機でそれ を処理したら，性能指標がどうなるか，シミュレーションで評価する．こ うすれば，実用の場面でどの程度の性能が期待できるか，説得力のある 予測ができる， エレベータでも実行駆動シミュレーションを行いたい，この場合，実 行履歴は交通実績，すなわち， 移動したか，に当る． ２．３ 何階から何階へ 何人が bゝつ交通実績の測定
交通実績を測定するには，乗る前に配った札を降りた所で回収すると か，各エレベータにカメラを設置するなどの方法が取られていた．これ では高価すぎて長期の観測はできない．利用者としても，行動を監視さ れているような気がする．1S 第２章 エレベータ交通ＯＤ表の構成 そこで，かごにかかる荷重を人数に換算するなどの，より安価でプラ イバシーが守れる，自動測定が実用になっている．扉が開いてから荷重 が最低になるまでの減少分が降りた乗客に対応し，その時点から扉が閉 まるまでの増加分が乗込んだ乗客に対応する．奥にいる人を通すために 一時的にかごを降りる，という場合をうまく補正できれば，この方法で 乗降人数まではある程度の精度で出る． しかし，どの附からどの附へ何人が移動したかは，測定できない．た とえば，図2.3のような状況を考えよう．あるビルで下層階を出発した エレベータが，途中階に止まりながら上昇し，最後に反転して下降に入 る．その間に止まった附に番号を付けて，１附，２附などとよぶことにす る．つまり，途中で止まらなか･った附は無視して番号を付ける． 空だったエレベータに１階で５人乗込んだ．２附でまた１人乗った．３ 階では２人乗って，２人降りた．４附で４人降り，５階で２人降りて，再び 空になった．かごの絵の右端には，エレベータかご内にある，行先ボタ ンを表示してある．押されているものが黒，いないものが白である．問 題は，この聞，何附から何附に何人が移動したかである． 乗客の出発附を行に，行先附を列に並べて作った，次のような表をＯＤ
表（（lrigin-destination table）という．空白部分は０を表す．０Ｄ表の“?” 部分を埋めたい． ＯＤ H CXl el ４・り Σ １ 必要な部分だけを取り出して， を得る． 問題 ＯＤ ２ ３ ４ ５ ？ ？ ？ ‘７ ？ ？ ‘? ９ ２ ４ ２ Σ 一５ １ ２ ８ (2.1) ｎ ／ ｀ ぐ 2 ） 2.3.交通実績の測定 ５ ４ ３ ２ 工
●-
●-●-●-●-●-Ｊ
︲
﹃Ｊ﹄
J
●-●一一 19 ●-●-図2.3:かごが空の状態から再び空になるまで20 第２章 エレベータ交通ＯＤ表の構成 ２階に着く前に3.4.5階の行先ボタンが押されているから，１階から3,4,5 の各階に行った人が少なくとも１人ずつは，いたことがわかる．この確 定部分を差し引くと，問題は ＯＤ ︱り乙
上
Σ
３ ４ ５ ０ − １ り り１９ Σ 71 H 51 ３ ｔｉ５ (2.3) となる． 階床間の移動があって，はじめて各階での乗降が発生するので／ヽ?"部 分を原因，Σ部分を結果とみなせる．よってこれは結果から原因を求め る逆問題である． ２．４行列均衡問題
上のように行和と列和のつじつまが合うように行列の中身を埋める問 題は行列均衡問題(matrix balancing problem)[14,37]とよばれ，交通に 限らず通信，経済，会計，生物などいろいろな応用に現れる．ただし，狭 義の行列均衡問題では対称行列のみを扱う．本稿では対称行列にも正方 行列にも限らない．行和，列和は行列の要素から定まるものであるから， 一般の行列均衡問題も逆問題である． このままでは変数の方が方程式より多い腺形方程式系なので，解は不 定である．更に，乗降人数のつじつまが合わず，乗った人より降りた人 の方が多いなどという測定もあるので，解が存在しないこともある．そ の対策はいろいろあるので，以下では簡単のため，解が存在する場合に 限る， 解の一意性は，目的関数を設け，方程式を制約条件として，最適解を１ つだけ選び出すことによって保証する．その目的関数としては，Kullback-Leibler情報量を採る．理由は，思想的には最大エントロピー原理の枠に 納まることと，実利的には凸の分離可能な関数で扱いやすいとか，得ら れた解が自動的に非負条件を満たすことがある． 結局，最適化問題としては，(○)を階対，恥を移動人数，･iを行和， 2.5 整数ＯＤ表の構成法 ･らを列和として， ＯＤ表の実数構成問題 llllln Zi.jΣ︰
１
･.jlog でりｰ リリ となる．ここに印≦hjは， Σ･陥゜r･・Σ;ら゛jjj,〔〕≦2り １ CXI ぐ 21 4） これくらいだろうという先験的な予想であ る．つまり，迷ったら，つじつまの合う範囲で，人数秘･は予想％に近 い値を採用する．この値は，ボタン情報や停止階から０であることがわ かっているものと，特に発着の多い階の他は，普通は平等にとる．また， もともと０であることがわかっているもの，たとえば例題で(ら9＝(3,3) については，％＝Q3,3＝0なので，みj＝0，秘log訟＝０とする． 例題についてこれを解くと，解はOD
一
三
Σ
3 -O､667 0.333 0 - 2 4 -1.000 0.500 1.500 - 4 5 -0.333 0.拓7 0.500 2 Σ 一２ H Cxl ５ 汪5） である． 行先ボタンでわかった確定部分をもどして，図2.3に対応する解は 実数解 ＯＤ H Cxl CQ １ ０ 3 4 667 2.000 333 0.500 0 1.500 5 -1.333 0.167 0.500 Σ 一５ １ ２ となる． ２．５整数ＯＤ表の構成法
(2潤 上の実数解は使いにくい．パラメタを推定したいのではなく，間接的 な観測からＯＤ表を構成することが目的だから，「2階から５階へ0167人 移動したはずだ」なる情報は目的から外れており，実行駆動シミュレー22 第２章 エレペータ交通ＯＤ表の構成 ションの役には立たない．これは，上の定式化では人数が整数であると いう情報を活用しておらず，実数として扱っているために起きた． 整数であるという情報を使えば，パラメタ表でなくＯＤ表が構成でき， 実行駆動シミュレーションに使える． 実数解を整数解に直すには，実数を整数に丸めるだけではすまない．実 瓢〔2.6〕を四捨五入すると ＯＤ 6 CXI C9 ３ りｉＯＯ
Σド
４ 71¥CXI ４ ５ １０１ ２ Σ ＤＩり｀ ８ (2.7) となり，観測された乗降人数とつじつまがあわない．それでは，どのよ うにして整数解を得るかについては，2.7で論ずる． その中，いずれかの方法によって例題を解くと： ＯＤ H 71 C9 Σ ３ １００ １ ４ １１１ ３ ５ ００１ １ Σ CIHN ５ となる． 確定部分も入れた，図2.3に対応する解は整数解
ＯＤ贈
１９／一りＪ ９１００ ４ ワ︸ＩＩ ５ １０ １ Σ ︸０１Ｑｊ (2.8) (2刈 である． 2,6.実数解法 乗降数のつじつまを合せるだけなら，たとえば ＯＤ 圭りノ｀９り Σ ３ 51 0 C り 一 − ４ ¥H Q I ４ − ０ ワ｀ＯＩ ２ Σ ″︷り１ ２ − ８ 23 (2,10) でもまにあうけれど，このような移動であった可能性は(2.9)よりも低い． たしかに，情報量の意味でも，直観的にも，(2.1[])より(2.9)の方が(2.6) に近い． ２．６実数解法
行列均衡問題は統計の分野では周辺和の与えられた分割表(contingency tables with given ma頑nals)の問題として知られている．古くはStePhan が1942年に，｢周辺和の期待値が既知の時に，分割表に表れた観測数値 をどう調整するか｣という形で問題を扱っている[43].つまりStephan は，既知の理論的な期待値を確実なものとして捉え，観測値は誤差を伴っ ているから，理論に照して調整すべきものとした．これは現代の｢唯一， 動かせないのは観測データである．理論はモデルなので，目的によって 変る.｣という態度にはほとんど逆行しているのが興味深い，いずれにし ろ，数学的にはＯＤ表の実数構成と同様の問題に落ち，最小が法の一 種として解いている.1968年のlreland and Kullback [燎でも同じデータを引用して，情報 量最小化に定式化して解いている．その算法は分割表のために記述され ている．
それを線形等式制約下における情報量最小化の一般的な算法として記 述したのが1972年のDarroch and R.atcli汀による反復尺度法(iterative scalingmethod)｢6｣である． 反復尺旋法は定式化が一般的なだけに，効率が悪かった．それを再び 行列均衡問題に専用の形にして効率を上げたのがＲＡＳ法である[37]. 本研究で求めるのは整数解であって，実数解ではない，その方法は整 数解法を実数解法のくりかえしに帰着する．その目的に用いるには，実 数解法は実行時間さえ短ければ何でもかまわない．初期には反復尺旋法 を用いた．問題をＯＤ表の構成に限れば当時でも能率のより良い算法は
24 第２章 エレベータ交通ＯＤ表の構成 あった．しかし，別な応用で一般的な線形制約下での情報量最小化を行 う可能性があったので，反復尺度法を用いた．現在は，ネットワークフ ローの分野で開発されている速い算法である，ＲＡＳ法[37]が最高速なの で，それを用いている．
2.7 整数解法
2.7.1 メタ解法による方法 研究の初期に用いた解法を述べる．解法の方針は以下のとおりである. 1.実数解を整数部分と小数部分に分解する. 2.小数部分から，もとの最適化問題と同じ形の，縮小された整数問題 を構成する. 3.縮小された整数問題の制約条件を緩和して，無制約化する. 4.無制約の最適化開題をメタ解法で解く．定式化
実数解Ｘが(2.3)なので，小数部分xoと整数部分割に
Ｘ＝ｘｏ十割
と分解すると
ｌ 1.667 0.333 0 2.000 0.500 1.500 1.333 0.167 0.500 0.667 0.333 0 0.000 0.500 0.500 0.333 0.167 0.500 １００ り乙ＯＩ １００ 整数部分X1を確定として扱い，小数部分のみを配分する問題は ＯＤ H Cxl CQ Σ ３ ９ ︲ ・ り Ｉ ・ ０ − １ ４ ９ １ ？・９ ︲ ・ １ ５ ７ ゛ ？ ｌ ？ ︱ Ｉ ４ １ Σ １１ １ − ３ 」 (2円
(2ﾕ2) 2.7.整数解法 これは次の線形制約を表す． と書いて １ １ 工 １ １ １ １ １ １ １ １ 工 一 一 ルノ ００ ぶＬ１ ぶ１２ ｊｊＬ ぷ22 ＝/j １ １ １ 工 一 一 １１ １１ １１ 空白部分は０を表す． 以上で制約が決まった．以下で目的関数を決める．目的関数は ・先験ＯＤ表の関数で ・非負領域で定義され ・分離可能な ・凸関数 が望ましい．ここで分離可能とは坤う＝
Σ
ム(帽
の形にな，ていることで，０Ｄ表の場合なら，八割
＝Σ,
畠C仙）
25 (2.13) (2.14)26 第２章 エレベータ交通ＯＤ表の構成 である．分離可能性はメタ解法を使う限り，直接は必要ない．しかし将 来，たとえばLagl･ange緩和法や分枝限定法のような数理計画法を用いて 計算の高速化を図る場合，必ず必要になる性質なので，初めから満足し ておくことが望ましい． 情報量は上の条件を全て満たす．欠点は計算に対数が必要なことであ る．対数関数は連分数，あるいはその連分数を途中で打切って整理した 有理関数として実装するのが普通であり，計算量が大きい．メタ解法で は目的関数を極めて多数回，評価する必要があるので，その計算量は計 算時間に直接ひびく． 計算量が小さく，しかも情報量と同様の性質を持つものに，？関数が ある･【431でも，その一変種が用いられた．更にλ2関数と情報量関数と は漸近的に即直I顕なので，どちらを用いてもほぼ『司じ解が得られるだ ろうとも期待できる．以上の理由から，先験ＯＤ表を Q:＝頌』 として，目的関数はが関数 μ句＝y(x,Q) :=が(Ｘ濁)
＝Σ(伺
一
扁2/恥
を採る．先験ＯＤ表は，実数解の小数部分沁示＝xo ＯＤ H CXI Q！ Σ ３ ￨ ︲ 。CQ ｐｎ︾９り ρりりり ００ ０ − １ を採る． 結局，問題は ,/I図 祗･） 11？ ４ ００００ ０ｒａ ００ 0.500 - 1 工 0.333 0.167 0.500 - 1 ＝り(x､Qj 一 一 誹ぴ一心 げ㈹￨ム1)＝o} Σ １⊥１ １ − ３ 伴川 (2. 剛 2.7.整数解法 27 無制約化 メタ解法は直接は制約のある最適化を扱えないので，これを無制約の 問題に直す必要がある．それにはたとえば，訂を罰金のvectorとして， min(坦)−￨ボ{,む･一則} とすれば良い，Ｍをvectol･とするとscalarとするより自由度が高く，し たがって決める手間が増える．そこで，更に簡単には,訂をscalarにして Ｇ(巾=lig㈲￨￨ 0≦M:=罰金 として節子＝茄丿卜MG囲
minた(句 (2.17) とすれば良い． ここで．Ｍをどう採るかが実装上，問題になる．ＭはLagrange乗数 と密接に関係する．今，仮に（2･川でjむが連続ならば．最適値tﾉ‘では がなりたつので， ［ 面白 -jむ 灯こ 一 一 」 ･ l二I J・ ＝０ び すなわち，制約Ｇを１単位緩和することによって目的関数ｙがどれだ け小さくできるかを表す．む1が離散の場合でも同様に，訂は目的関数ｙ の改善と制約Ｇの１単位の緩和との比であることが期待される． ここでむの要素≒はいずれも同じくらいの大きさであることに注目 する．実際，江川に表れる几は小数部分xoの要素なので， Ｏ≦稲≦１2S 第２章 エレベータ交通〔〕Ｄ表の構成 を満足し，したがっていずれも同程度の大きさ２ｃである．すると.9削＝ .4｡一心の要素も，いずれも同程度の大きさであろう． Ｇ㈲＝￨吊 ＝(Σ①奏 はdimり次元の，-e(･tol･のnol･mなので，大略白limJこ比例する．一方 仙J＝ぞ(Ｘ,咄 一 一
Σ
(秘 ﾜ ， ｿﾞ2 は大略,::(limむに比例する．今，jむを最適値j♂の近くで１単位だけ動か して，./･㈲が(ｈＨ･単位ほど増加したとすると，Ｇ岡が,/削とは逆向 きにdi11り単位ほど減少するであろう．すなわち dimじ dimリ 原 ぶ 以上を要するに， ⇒ W:＝ 沁 沁 沁 力行） 一心匹Ｏ
古; dimU dimか dimc ￣’dinリ と設定して汪17）をメタ解法で解けば良い． この方法でメタ解法としてたとえば図3.3のsimulated annealing を採 用すれば，小さな問題は解ける．しかし大きな問題では， ・最適性の保証がない ・計算時間が10時間以上になることがある ・異る乱数系列を用いれば，異る結果が得られる など，不都合が多い． そのため，次節に述べる方法を工夫した． 2.8.構成順序法 ２．８構成順序法
29 乗客は１人ずつ到着すると考える．到着すると，その時点で最も実現確 率の高い，出発附と行先附の対を選ぶ．すなわち，乗客の到着はgreedy algorithmにしたがうというモデルである. λ:番目の乗客の到着を，出発附らと行先附刄の対 叫:ニ伍,ム) で表す．すると，それまでの到着順序は，系列 .s心:＝〈a1,‥･，ak〉 である．このような系列全体が与えられたとき，次に到着するた十１番目 の乗客の，出発階れと行先階j1の対がa叫1であるという事象の尤度は μQ+1lsよ＝Ｆ{瓜+1＝Q+11くal,…，扁} である． 最初の到着の尤度は先験ＯＤ表Ｑと乗降【祠,[ら1を仮定して構成した 実数ＯＤ表刄＝隔]で与えられる．そして，それぶ隣ほ番目の到着の尤 度は，乗降岡],hlと実数ＯＤ表戈を，それまでの到着4lh･‥心-1〉 について修正したものから計算される． 各到着a1の，それぞれの時点での尤度の積によって，系列４の尤度 を定義する: １ 別￡(祠):＝H￡(sj) f=1 最も尤度の高い系列は，各時点で最大尤度を与える到着の系列である．以 上は乗客がgreedy algorit,hmに従って到着するというモデルを詳しく記 述したにすぎない． このモデルから構成順序法156,57]とよぶ，図2,4の算法が導かれる． ここで，交通測定は実時間に行いたいという要求がある．記録を溜め てオフラインで処理するとなると，運行状態を監視する役には立だない し，情報を制御に使える可能性もなくなる， 実時間に測定するには，各エレベータかごが空になる度に構成順序法 を行う必要がある．したがってＯＤ表の実数構成を多数回，短時間のう30 第２章 エレベータ交通ＯＤ表の構成 ・ＯＤ表の実数構成問題を解く．その解を｛礼｝とする. ∀り !Jij:ニ［礼］. （2 ‰:=礼一!ﾉ心 （2 ここにﾚ）は整数部分･ （2
川
川
州
・制約を更新する． ・以下をΣJねI回くりかえす． −ＯＤ表の実数構成問題を解く．その解{仙}の最大の要 素をら.とする. −その階対(ゐ湖に交通があったとする． 四:二四十１． (hXに関わる制約を更新する． 先験情報を更新する．隔
稲
で
− ・隔jを解とする． 1戸 i＝j･または7･＝だ j≠ｈかつｊ≠ｋ こに(ヤ:＝max(o､･) 図2.4:構成順序法 2.9.実時間測定と大規模問題 31 ちに行うことになる．結局，０Ｄ表の実数構成を高速に行いたい．メタ解 法では無理でも，構成順序法ならこれができる． なお，同様の考え方で，複数の客が団体で到着する，集団到着へも拡 張できる．その場合は，集団の大きさを独立の分布で表現する．集団の 到着確率は個人が到着する場合の (出発階,行先㈲ の対ではなく， (出発階,行先階,人数) の３次元で表現する，ただし，このような算法は実装しておらず，実用 的な価値も未検討である．エレベータ乗客の到着モデルとしては個人到 着よりも集団到着の方がデータには良く適合する．その集団は行先階が 共通であることが多いので，群管理を行う上ではエレベータの性能に強 く関係する．したがって，このＯＤ表のデータを用いて精密な群管理を 行うのならば，意味があろう．2.9 実時間測定と大規模問題
(2.21) ここまでに述べた定式化では，解くべき問題はいつも小さい，これを 小規模問題とよぶ．しかし，応用によっては，問題が大きくなることも ある．たとえば設備の状況によって，エレベータ内外のボタンの情報が 取れず，しかも記録を溜めておいてあとで処理することがある．すると ほとんど全ての階対を同時に考慮することになるので，表はサービス対 象の階の数だけ行と列がある．これを大規模問題とよぷ．小規模，大規 模の違いを表2.1にまとめる． そのような大規模な整数ＯＤ表を構成する問題は，メタ解法ではワーク ステーションで十時間以上かか･って，不完全にしか解けなかった148,491. 構成順序法ではパソコンで数十秒かければ，最適な整数解が得られる．以 下に実例をあげる． 表2.2は，2()×20のＯＤ表構成問題の入力データ例である，表の中身 が先験ＯＤ表を.Σ欄が行和・列和を表している． 表2.3は実数の結果である．制約条件は満たされている．しかし０でな い項目が多く，あいまいである．32 対象階床 かごボタンの情報 ホールボタンの情報 対象時間 記録 第 小規模問題 ２章 ！停止した階のみ エレベータ交通ＯＤ表の構成 使用 使用 かごが空の状態から 再び空になるまで 少量 大規模問題 全サービス対象階 不使用 不使用 数十分程度の時間帯 大量 表2.1:小規模問題と大規模問題 表2.4は，simulated annealing による最適化を用いた整数の結果であ る．制約条件が完全には満たされていない．実行時間はworkstationで約 10時間かかった． 表2.5は，構成順序法による整数の結果である．制約条件は完全に満た されている．すなわち，従来の２つの手法に比べて，解の質が明らかに勝 る．０の項が多く,解像度は高い．実行時間はわずか24秒である． 2.9.実時間測定と大規模問題 ﾚ11 こ へ ￨ Q → ズ ） 一 ト ー f 一 一 1 コ → L つ → マ → 7 つ → C I ← → → こ 〃 Q C X D E｀ヽ C L の マ C つ 7 1 → こ 一 -→ ← 一 → こ → -→ 四 → → → f 一 例 → → → → → 一 口︷ Ｑこ Lの → CI ヴ ー→ ← → − − こ → r - i → ← ← ← → 四 → → T→ ← → こ 七 -き1 ｒ･ 『 -→ → 一 ← ○ → → → r - べ → → → r-り ← → → ｒり こ → → -りっ 1Q CM -← 一 r → こ → ← → -← → ← → ← ← → こ 七 → → 一 で し 応 ← ← → f-f -一 → → ← → → ← → ← → → こ → ら -→ -L応 C ljつ → -← → → → こ → ← ← → 四 → 七 四 -( ⊃ → → − − ← 二_ Ｃ 一 ト → → ← → ○ r 一 一 → 七 ← 七 ← ← → C ← ← ← ← ← ← -【 ヽ ヽ ← マ 一 ← → ← C ← → → ← ← → → ○ ← → y-・ ← ← ← → 一 CZD C Z D ご 刈 一 → r - り → r 一 一 こ → ← ← ← ← → C ← → → → → → ← → -Ｃゝ 々 LC -− ← → → C → → → → ← Ｃ 一 → → → r 一 『 → ← → ← 一 C ← Q こ ← 四 → ら → C ← → ← ← C ← ← → → → ← ← ← ← ← 一 → ← C り 1 J ← → → ← C → → → ○ → r 一 一 心 → → ← ← → ← ← → 一 ひi ← t こ C X ⊃ ← → 四 r → ｒ 一 C ← → 一 一 → → ← → ← ← 四 ← ← → Fs哨 ← -cnl ← CZ） 7つ ｰ ← → → ← C ← こ → → → → → ← ← r-･i → → → ← ← 一 々 ← ご y l r x l → ← 一 ← → C こ → → → → r → → → → → r 一 哨 一 ← ← ← -Uつ 四 → 一 ← → → ○ → y → ← → r → → → → 一 → r 州 ← ← r 一 一 ← -C j ） ← CXD CN 一→ → → 一 一 C → ← → → → r - Q r → -→ → -← → -← -卜− → こ こ → -→ 四 こ → C y 一 一 ｒ 一 四 → → r → ← → ← → ← ← → → ← -び⊃ → こ 一 口 → y - H ご → → r 一 吋 → → ← → ← ← ← J m-i 四 ← → 一 口ゝ → S に 一 こ 四 ← → こ ← ← → ← → → → ← → ← → → 一 → → 一C ぐyl ７ １ - ７ “ ７ １ -マ C jl ヴ フ l ? つ こ 一 C C → や ￨ → C X ） 7 1 心 r つ こ r つ 7 つ 心 り l σ l マ ヴ S F ヽ → 寸 卜 ヽ → で 『 一 ← り l Q → C I り l 一 で ？ 匹 ヤ l 応 Q L 芯 一 1 応 -ﾚ 1 33 写９祗ＩトＲべら佃毎布口︵︶呂×呂ら．四布
