Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
18
(2006), 147–182
Restriction theory of the Selberg sieve, with
applications
par
Ben GREEN
et
Terence TAO
R´esum´e. Le crible de Selberg fournit des majorants pour
cer-taines suites arithm´etiques, comme les nombres premiers et les nombres premiers jumeaux. Nous d´emontrons un th´eor`eme de restriction L2-Lp pour les majorants de ce type. Comme
ap-plication imm´ediate, nous consid´erons l’estimation des sommes d’exponentielles sur les k-uplets premiers. Soient a1, . . . , ak et
jecture de Hardy et Littlewood sur lesk-uplets premiers) d’ordre de magnitude correct. Une autre application est la suivante. En utilisant les th´eor`emes de Chen et de Roth et un «principe de transf´erence», nous d´emontrons qu’il existe une infinit´e de suites arithm´etiquesp1 < p2< p3 de nombres premiers, telles que cha-cunpi+ 2 est premier ou un produit de deux nombres premier.
Abstract. The Selberg sieve provides majorants for certain
arithmetic sequences, such as the primes and the twin primes. We prove anL2–Lprestriction theorem for majorants of this type.
An immediate application is to the estimation of exponential sums over primek-tuples. Leta1, . . . , ak andb1, . . . , bk be positive
inte-gers. Writeh(θ) :=Pn∈Xe(nθ), whereX is the set of alln6N
such that the numbersa1n+b1, . . . , akn+bkare all prime. We
ob-tain upper bounds forkhkLp(T),p >2, which are (conditionally on
the Hardy-Littlewood prime tuple conjecture) of the correct order of magnitude. As a second application we deduce from Chen’s the-orem, Roth’s thethe-orem, and a transference principle that there are infinitely many arithmetic progressions p1 < p2 < p3 of primes,
such thatpi+ 2 is either a prime or a product of two primes for
eachi= 1,2,3.
148 BenGreen, TerenceTao
BenGreen
School of Mathematics University of Bristol Bristol BS8 1TW, England
E-mail:[email protected]
URL:http://www.maths.bris.ac.uk/emabjg
TerenceTao
Department of Mathematics
University of California at Los Angeles Los Angeles CA 90095, USA
E-mail:[email protected]
