BarskyBenzaghou. 220KB Jun 04 2011 12:08:23 AM

(1)

de Bordeaux ₁₆_{(2004), 1–17}

Nombres de Bell et somme de factorielles

parDaniel BARSKY _etB´enali BENZAGHOU

Résumé. _{Dj. Kurepa a conjecturé que pour tout nombre}

pre-mier impair,p, la sommePp−1

n=0n! n’est pas divisible parp. Cette

somme est reliée aux nombres de Bell qui apparaissent en com-binatoire énumérative. Nous donnons une expression du n-ième nombre de Bell modulopcomme la trace de la puissancen-ième d’un élément fixe dans l’extension d’Artin-Schreier de degrépdu corps premier àpéléments. Cette expression permet de démontrer la conjecture de Kurepa en la ramenant à un problème d’algèbre linéaire.

Abstract. _{Dj. Kurepa has conjectured that for any odd prime}

numberp, the sumPp−1

n=0n! is not divisible byp. This sum is

rela-ted to the Bell numbers that occur in enumerative combinatorics. We give a formula for then-th Bell number modulopas the trace of then-th power of a fixed element in the Artin-Schreier exten-sion of degreepof the field withpelements. This formula allows us to prove the Kurepa’s conjecture by reducing it to a linear algebra problem.

1. Introduction.

Dj. Kurepa a conjectur´e dans [7] que sipest un nombre premier impair, la somme κp =Ppn−=01n! n’est pas divisible par p, par exemple

κ2= 2, κ3 ≡1 mod 3, κ5≡4 mod 5,

κ7≡6 mod 7, . . . , κ53≡13 mod 53, . . .

A. Gertsch a remarqué dans sa thèse, [4], que les nombres de Bell qui apparaissent en combinatoire énumérative sont liés aux κp (modp). En

effet si l’on notePn le n-i`eme nombre de Bell alors par d´efinition

Pn= n X

k=1

S(n, k)

oùS(n, k) est le nombre de Stirling de deuxième espèce, cf. [3]. Or

S(p−1, k)≡(p−1−k)! mod pZ, 1≤k≤p−1

(2)

et doncPp−1−1≡κp.

Nous utilisons cette remarque et les r´esultats que nous avons sur les nombres de Bell moduloppour d´emontrer cette conjecture.

1.1. Notations. Le n-i`eme nombre de Bell, Pn, compte le nombre de

partitions d’un ensemble à n-éléments en sous-ensembles non-vides. Leurs premières valeurs sont :

P0 = 1, P1 = 1, P2 = 2, P3 = 5, P4= 15, P5 = 52, . . . , P15= 1 382 958 545

Nous notons respectivementN={1,2, . . .}les entiers naturels,Zles entiers relatifs, Qles nombres rationnels.

Soit pun nombre premier, que nous supposerons impair sauf indication contraire. Nous notons F_p ≃ Z/pZ le corps premier à p éléments, F_p une clôture algébrique de F_p. Nous confondrons les éléments de F_p avec leurs antécédents dansZ par la surjection canonique deZsur F_p.

1.2. Résultats. Le résultat principal est la preuve de la conjecture de Kurepa au théorème 3. Nous montrons au théorème 1 que la fonction génératrice des nombres de Bell, F(x) = X

n≥0

Pnxn, est congrue modulo

pZ[[x]] à (la série de Taylor en zéro de) la fraction rationnelle :

(1) Fp(x) = Pp−1

n=0xn(1−(n+ 1)x). . .(1−(p−1)x) 1−xp−1₋_xp .

Remarque. Ce résultat se généralise aisément, on peut montrer que la série génératrice des nombres de Bell est congrue modulo phZ[[x]] à une fraction rationnelle Fp,h(x). On en déduit des congruences modulo phZ

pour les nombres de Bell en utilisant un peu d’analysep-adique. Ce point de vue est d´evelopp´e dans [2].

On poseFp(x) = X

n≥0

Pn,pxn, on a doncPn,p≡Pn (modpZ). La fraction

rationnelle Fp(x) possède un développement en série de Laurent à l’infini

not´eX

n≥0

−P−n,p

xn . On constate queP−1,p≡ p−1

X

n=0

n! (modpZ).

Soitθ−1 _{une racine dans}_F

p du polynˆomexp+xp−1−1 et soitFp =Fp[θ].

On montre au th´eor`eme 2 que, sicp = 1 + 2p+· · ·+ (p−1)pp−2, on a pour

n∈Z

Pn,p≡ −TrFp/Fp θ cp

TrFp/Fp θ

−cp−1+n

mod pZ

(3)

Nous en d´eduisons en particulier que

P−1,p≡ −TrFp/Fp θ cp_TrF

p/Fp θ

−cp−2_,

donc

P−1,p≡0 mod pZ⇐⇒TrFp/Fp θ

−cp−2

= 0.

On d´ecompose θ−cp _{sur la} _F

p-base normale de Fp, constitu´ee par les

´el´ements 1

θ+i (0 ≤i ≤ p−1). On pose θ

−cp ₌ p−1

X

i=0

λi

θ+i, (λi ∈ Fp). On

montre au lemme 9 que lesλi satisfont un système depéquations linéaires

que nous ne savons pas résoudre explicitement en toute généralité. Par contre on montre que l’on a toujours λ1 = 0, (cf. relations (16)), et que

κp = 0 ´equivaut `a λp−1= 0, (cf. lemme 10).

Pour montrer la conjecture de Kurepa nous raisonnons par l’absurde. Nous montrons au théorème 3 que, pour p premier impair, l’hypothèse

κp ≡0 (mod p) implique queλi = 0 pour 0≤i≤p−1, autrement dit que

θ−cp _{= 0, ce qui est absurde car l’´equation}_xp₋_x₋_{1 n’a pas}_x_{= 0 comme}

racine.

Nous remercions A. Robert pour avoir attiré notre attention sur ce problème. Nous remercions A. Junod et S. Zerroukhat de nous avoir si-gnalé des erreurs graves dans les versions antérieures.

1.3. Rappels sur les nombres de Bell. Nous rappelons tout d’abord la définition des nombres de Bell. Pour toutes les questions de combinatoire notre référence est Comtet, cf. [3].

D´efinition 1. Le n-i`eme nombre de Bell, Pn, est le nombre de partitions

d’un ensemble à néléments en sous-ensembles non-vides.

Lemme 1. Les nombres de Bell sont caractérisés par la relation de récur-rence suivante :

P0 = 1 et Pn+1=

n X

k=0

n k

Pk si n≥0.

Leur fonction g´en´eratrice ordinaire est :

F(x) =X

n≥0

Pnxn= X

n≥0

xn

(1−x). . .(1−nx)

D´emonstration : Pour la d´emonstration voir [3].

(4)

2. Nombres de Bell modulo p.

Nous notonsPn,pla r´eduction modulopZdu n-i`eme nombre de Bell que

nous confondrons avec l’image de Pn dansFp.

Nous utiliserons dans toute la suite la d´efinition classique suivante :

Définition 2. Soient G(x),H(x) deux fractions rationnelles de Q(x) , on suppose queG(x) etH(x)sont développables formellement au voisinage de zéro en séries de Taylor à coefficients entiers relatifs :

G(x) =X

n≥0

gnxn∈Z[[x]], H(x) = X

n≥0

hnxn∈Z[[x]].

On dira que G(x) est congrue à H(x) modulo pZ[[x]] si leurs séries de Taylor en zéro le sont, autrement dit :

G(x)≡H(x) mod pZ[[x]]⇐⇒X n≥0

gnxn≡ X

n≥0

hnxn mod pZ[[x]].

Avec cette d´efinition on a :

Th´eor`eme 1. Soit p un nombre premier et soit

Fp(x) = Pp−1

n=0xn(1−(n+ 1)x). . .(1−(p−1)x) 1−xp−1₋_xp

alors la fonction g´en´eratrice des nombres de Bell est congrue modulopZ[[x]] `

a Fp(x).

Démonstration : La preuve est élémentaire. On a :

X

n≥0

Pnxn= X

n≥0

xn

(1−x). . .(1−nx)

=

p−1

X

n=0

X

j≥0

xjp+n

(1−x). . .(1−(jp+n)x)

donc

X

n≥0

Pnxn=

=

p−1

X

n=0

X

j≥0

xn

(1−(jp+ 1)x). . .(1−(jp+n)x) ·

xjp

(1−x). . .(1−jpx).

On remarque que

xjp

(1−x). . .(1−jpx) ≡

xp

(1−x). . .(1−px)

j

(5)

et que

xn

(1−(jp+ 1)x). . .(1−(jp+n)x) ≡

xn

(1−x). . .(1−nx) mod pZ[[x]]. De l`a il vient imm´ediatement :

X

n≥0

Pn,pxn≡

≡ p−1

X

n=0

xn

(1−x). . .(1−nx)

X

j≥0

xp

(1−x). . .(1−px)

j

modpZ[[x]],

et en sommant la série géométrique enj, il vient finalement :

X

n≥0

Pn,pxn≡ Pp−1

n=0xn(1−(n+ 1)x). . .(1−(p−1)x)

(1−x). . .(1−(p−1)x)−xp mod pZ[[x]]

o`u par convention dans la sommePp−1

n=0xn(1−(n+ 1)x). . .(1−(p−1)x) le terme correspondant `a n=p−1 vaut xp−1_{, (on applique la convention}

classique : un produit vide vaut 1).

Corollaire 1. La (s´erie de Taylor en z´ero) de la fraction rationnelle Fp(x)

est congrue modulo pZ[[x]] `a

(2) Fp(x)≡

Pp−2

n=0Pn,pxn

+ (Pp−1,p−P0,p)xp−1

1−xp−1₋_xp mod pZ[[x]]

Démonstration : On a montré au théorème 1 que

X

n≥0

Pn,pxn≡ Pp−1

n=0xn(1−(n+ 1)x). . .(1−(p−1)x)

1−xp−1₋_xp mod pZ[[x]]

multiplions les deux membres par 1−xp−1−xp et identifions, il vient :

p−2

X

n=0

Pn,pxn+ (Pp−1,p−P0,p)xp−1 ≡

≡ p−1

X

n=0

xn(1−(n+ 1)x). . .(1−(p−1)x) modpZ[[x]].

On en d´eduit imm´ediatement que

Fp(x)≡ Pp−2

n=0Pn,pxn+ (Pp−1,p−P0,p)xp−1

1−xp−1₋_xp modpZ[[x]]

Nous allons étudier les zéros dansF_p du dénominateurDp(x) de la

(6)

Lemme 2. SoitDp(x) = 1−xp−1−xp. Notonsθ−i 1 ,1≤i≤p, les racines

deDp(x) dans Fp, elles v´erifient

– θ_ip=θi+ 1.

– θi 6=θj dans Fpsii6=j.

– F_p = F_p(θi) est une extension d’Artin-Schreier de degr´e p de Fp,

dont le groupe de Galois Gal(F_p/F_p), isomorphe à (Z/pZ,+), a pour générateur le Frobeniusσp: x7−→xp.

Démonstration : Le polynôme xp −x −1 = xpDp,1 x−1 est à racines

simples car d

dxDp,1(x) = (px+ (p−1)x)x

p−2_{. Il est irr´eductible sur}_F

p, cf.

[8]. On a θp_i −θi −1 = 0. On v´erifie que, dans Fp, si θ est une racine de

xp−x−1, alorsθ+ 1 aussi car :

(θ+ 1)p−(θ+ 1)−1 = (θp+ 1)−(θ+ 1) + 1 =θp−θ−1 = 0

donc dansF_p les racines deDp,1 sont 1

θ,

1

θ+ 1,..., 1

θ+ (p−1).

Le polynôme xp −x−1 est de type Artin-Schreier et on sait que ces polynômes engendrent des extensions séparables de F_p, dont le groupe de Galois Gal(Fp/Fp), isomorphe à (Z/pZ,+), est engendré par le Frobenius

σp :x7→xp, cf. [8].

Nous allons donner une expression des nombres de Bell modulopau théo-rème 1 comme la trace de certaines puissances deθ. Pour les propriétés des corps finis notre référence est [8].

Dans le lemme suivant nous donnons quelques propriétés élémentaires des racines θdu polynômexp−x−1 dans F_p.

Lemme 3. Soit θ une racine du polynˆome xp−x−1 dans F_p. Les autres racines dansF_p de ce polynˆome sontθ+i pour1≤i≤p−1. On a :

TrFp/Fp(θ

i_{) = 0} _pour ₀_≤_i_≤_p₋₂_,

−TrF_p/Fp(θ

−1_{) = TrF}

p/Fp(θ

p−1_{) = 1}_.

Posons :

tp=

pp₋₁

p−1 = 1 +p+· · ·+p

p−1_, _c

p =

pp₋_t p

p−1 = 1 + 2p+· · ·+ (p−1)p

p−2_,

Notons encore,σp : x7−→xp, le Frobenius absolu deFp. Avec ces notations

on a dans F_p :

θps =σs_p(θ) =θ+s, θtp_{= 1}

(3)

nθcpp−1 ₌_θ

(4)

σ_ps θcp₌_θcp_·_θ₍_θ_{+ 1)}_{. . .}₍_θ₊_s₋₁₎_.

(7)

D´emonstration : On a vu que le polynˆome xp₋_x₋_{1 engendre une}

ex-tension d’Artin-Schreier, Fp = Fp[θ] de Fp. Un g´en´erateur de Gal(Fp/Fp)

est le Frobenius absolu, σp, qui `a a ∈ Fp associe σp(a) = ap. On a bien

´evidemment dans Fp :

σ_pi(θ) =θpi =θ+i pour i∈Z, et (θ+i)p−(θ+i)−1 = 0

TrF_p_/_F_p(1) = TrF_p_/_F_p(θ) =. . .= TrF_p_/_F_p(θp−2) = 0

TrFp/Fp(θ

p−1_{) = Tr} Fp/Fp

1

θ+ 1−1

= TrFp/Fp

1

θ

et il est ´evident que T rFp/Fp

1

θ

= −1 car le polynˆome r´eciproque de

xp₋_x₋_{1 est}_xp₊_xp−1₋_1.

La norme deθ surF_p est par d´efinition :

NFp/Fp(θ) =θ

1+p+···+pp−1

=θtp

cette norme vaut 1 car le polynˆome minimal de θ est xp −x −1. Donc l’application

N−→F_p

n7−→θn

est périodique de période divisanttp, par conséquent θcp p−1

=θpp−tp ₌_θ_.

Un calcul ´el´ementaire montre quecp =

pp₋_t p

p−1 = 1+2p+· · ·+(p−1)p

p−2_∈

N.

Considérons l’élémentθcp _de_F

p, alors :

σp θcp=θpcp =θp· pp−tp

p−1 ₌_θcp+pp−tp ₌_θcp_×_θpp ₌_θcp_×_{θ .}

On montre alors facilement par r´ecurrence que :

σ_ps θcp₌_θcp_×_θ₍_θ_{+ 1)}_{. . .}₍_θ₊_s₋₁₎_.

Remarque. La relation θcpp−1₌_θ_{montre que}_θcp_{est une racine (}_p₋

1)-i`eme deθ dans F_p, les racines (p−1)-i`emes de θ sont exactement les nθcp

pour 1≤n≤p−1.

Lemme 4. Soit θ une racine dansF_p du polynˆome xp₋_x₋₁ _{et soit}

Fp(x) = X

θp₌_θ₊₁ µθ

1−θx

la décomposition de Fp(x) en éléments simples dans Fp(x). On a :

(6) µθ =−θ−cp−1TrFp/Fp θ cp₌

(8)

D´emonstration : On a dans F_p :

µθ= Pp−1

n=0θ−n(1−(n+ 1)θ−1). . .(1−(p−1)θ−1)

−θ1−p .

Donc :

µθ =− p−1

X

n=0

(θ−(n+ 1)). . .(θ−(p−1)) =− p−1

X

n=0

(θ+ 1). . .(θ+n)

avec la convention que pourn= 0 le terme correspondant dans la derni`ere somme vaut 1.

D’apr`es la relation (5) on a

µθ=−θ−cp−1

θcp_{1 +}_θ₊_θ₍_θ_{+ 1) +}_{· · ·}₊_θ₍_θ_{+ 1)}_{. . .}₍_θ₊_p₋₂₎

=−θ−cp−1 p−1

X

i=0

σi_p θcp

=−θ−cp−1_Tr

Fp/Fp θ cp

.

On a aussi d’apr`es le corollaire 1 :

µθ=− P0,p·θp−1+P1,p·θp−2+· · ·+Pp−2,p·θ+ (Pp−1,p−P0,p).

D´efinition 3. La fraction rationnelle Fp(x)∈Fp(x)poss`ede un

d´eveloppe-ment de Laurent au voisinage de l’infini que l’on note :

(7) Fp(x) =−

X

n≥1

P−n,p

xn .

En effet on a

Fp(x) = Pp−1

n=0xn(1−x(n+ 1)). . .(1−x(p−1)) 1−xp−1₋_xp

= 1

x

Pp−1

n=0(x−1−x(n+ 1)). . .(x−1−(p−1))

x−p₋_x−1₋₁

il est clair que l’on peut développer cette dernière expression en série de Laurent.

Th´eor`eme 2. On a dans F_p, pour n∈Z

(8) Pn,p=−TrFp/Fp θ

cp_·_TrF p/Fp θ

−cp−1+n_.

D´emonstration : On tire du lemme 4 que dansF_p on a pourn∈Z:

Pn,p= X

θp₌_θ₊₁ µθθn.

Le lemme 4 permet d’écrire l’expression précédente sous la forme

Pn,p=− X

θp₌_θ₊₁

TrF_p/Fp θ

(9)

Or les racines du polynˆomexp₋_x₋_{1 dans}_F

p se d´eduisent de l’une d’entre

elle par l’action des puissances successives du Frobenius. On en d´eduit que dansF_p on a :

Pn,p=−TrFp/Fp θ cp_TrF

p/Fp θ

−cp−1+n_,

d’o`u la formule (8).

3. Preuve de la conjecture de Kurepa.

Posons pour tout nombre premierκp =Ppn−=01n!. Nous sommes mainte-nant en mesure de d´emontrer la conjecture de Dj. Kurepa, cf. [7] :

κp n’est pas divisible par p sip >2.

Lemme 5. Avec les notations pr´ec´edentes on a dans F_p :

P−1,p=Pp−1,p−P0,p, et P−1,p= p−1

X

n=0

n! =κp

D´emonstration : On a vu au corollaire 1 que dans F_p,

Fp(x) =

P0,p+P1,px+· · ·+Pp−2,pxp−2+ (Pp−1,p−P0,p)xp−1

1−xp−1₋_xp

d’o`u la premi`ere expression deP−1,p (comparer avec l’introduction).

Pour la deuxi`eme expression, soit

Fp(x) = Pp−1

n=0xn(1−(n+ 1)x). . .(1−(p−1)x) 1−xp−1₋_xp ,

d’après la définition 3 cette fraction rationnelle possède un développement

en s´erie de Laurent not´e :F(x) =−X n≥1

P−n,p

xn . On a donc par identification :

(9) P−1,p= p−1

X

n=0

(−1)p−n−1₍_n_{+ 1)(}_n_{+ 2)}_{. . .}₍_p₋₁₎

En rempla¸cantn parp−(p−n) dans l’expression pr´ec´edente il vient

P−1,p= p−1

X

n=0

(−1)p−(n+1)₍_p₋₍_p₋₍_n_{+ 1))(}_p₋₍_p₋₍_n_{+ 2))}_{. . .}₂_·₁

et en r´eduisant modulopil vient

P−1,p≡ p−1

X

n=0

n! (modp)

(10)

Lemme 6. Les ´el´ements deF_p, 1

D´emonstration : On remarque tout d’abord que par d´efinition les 1

θ+i,

Par ailleurs on a

TrF_p/Fp

Finalement on a montr´e que :

(11)

Autrement dit les

1

θ+i

, 0 ≤ i ≤ p−1, forment une base auto-duale

pour la forme bilinéaire non dégénérée sur F_p,hx, yi = TrFp/Fp(xy) cf. [8].

On tire imm´ediatement de la relation (11)

αi= TrFp/Fp

Z

θ+i

On peut remarquer de mani`ere alternative que dansF_p : 1

θ+i = (θ+i)

p−1₋_{1 = (}_θ₊_i_{+ 1)(}_θ₊_i_{+ 2)}_{. . .}₍_θ₊_i₊_p₋₁₎_.

Autrement dit les 1

θ+i, 0 ≤ i ≤ p−1, sont au coefficient −1 pr`es les

valeurs en θ des polynˆomes d’interpolation de Lagrange sur les points 0, 1,... p−1, ce qui suffit `a montrer qu’ils forment uneF_p-base de Fp.

On tire imm´ediatement de la relation (10) que si Z ∈ Fp avec Z = p−1

X

i=0

αi

θ+i, (αi ∈Fp) alors TrFp/Fp(Z) =− p−1

X

i=0

αi.

Remarque. Tous les calculs qui suivent sont faits dansF_p. Lemme 7. On a l’´equivalence i) ⇐⇒ii)

i): la constante de Kurepa,κp = 0! + 1! +· · ·+ (p−1)!, est premi`ere `a

p

ii): TrFp/Fp

1

θcp₍_θ₋₁₎

6

= 0

D´emonstration : On a vu au lemme 5 que

κp ≡0 mod p

⇐⇒ P−1,p≡0 mod p

et au th´eor`eme 2 que P−1,p =−TrFp/Fp θ

cp_·_TrF p/Fp θ

−cp−2_.

Or −TrF_p_/_F_p θcp ₆_{= 0 dans} _F

p, par exemple parce que P0,p = 1, (on

peut en fait calculer sa valeur en fonction dep). On a donc n´ecessairement

κp= 0⇐⇒TrFp/Fp(θ

−cp−2_{) = 0}_.

Or d’apr`es le lemme 3 on a θ−cp−2 ₌_θ−pcp_θ−1 ₌_σ

p θ−cp(θ−1)−1

, et il est ´evident que

TrFp/Fp(θ

−cp−2_{) = Tr}

Fp/Fp σp θ

−cp₍_θ₋₁₎−1

= TrFp/Fp θ

−cp₍_θ₋₁₎−1

.

Nous allons calculer les composantes λi, 0 ≤ i ≤ p−1, de θ−cp sur la

F_p-base de F_p, 1

θ+i, 0≤ i≤ p−1 sous l’hypoth`ese κp = 0. Nous allons

(12)

contredit ´evidemment θ−cp−2 ₆_{= 0, puisque} _θ ₆_{= 0 en tant que racine du}

On a d’une part d’apr`es le lemme 3

(15) θ−pcp ₌

On a d’autre part

(13)

par cons´equent

De cette relation on tire imm´ediatement que si p >2

(16) θ−cp−1 ₌ 1

La rapprochement des relations (15) et (16) donne si p >2

p−1

et en identifiant les coefficients de (θ+i)−1 _{dans les deux membres on} obtient les relations annonc´ees.

La relationλ0−λ1=λ0 impliqueλ1= 0. Le cas p= 2 se traite

directe-ment.

Lemme 10. Avec les notations du lemme 8 on a

(14)

Démonstration : On vérifie directement queκ2 = 0!+1! = 2. On supposera donc dans toute la suite de la démonstration quep >2.

On garde les notations du lemme 9. On pose donc

θ−cp₌ p−1

X

i=0

λi

θ+i, λi∈Fp.

On raisonne par l’absurde en supposant que pour p > 2 on a κp ≡ 0

(modp). D’apr`es le lemme 10 on a alorsλp−1 = 0. En tenant compte de la relationλp−1= 0, le lemme 9 donne alors la relation

(17)

p−1

X

i=1

λi

i −λ0 = 0.

Posons

X0=λ0, et Xi=

λ0−λi

i , pour 1≤i≤p−1.

Avec ces nouvelles inconnues le syst`eme (13) et (14) devient sous les hy-poth`esesp >2 et κp = 0, (⇔λp−1 = 0) :

p−1

X

i=1

Xi =X0 (18)

          

         

X1 =X0

X2 =−X1+X0

X3 =−2X2+X0 ..

.

Xi =−(i−1)Xi−1+X0 ..

.

Xp−1 =−(p−2)Xp−2+X0. (19)

– La relation (18) provient de la relation (17) et de la remarque suivante :

si p >2 alors

p−1

X

i=1 1

i = 0 et donc

p−1

X

i=1

λi

i −λ0=

p−1

X

i=1

λi−λ0

i −λ0.

– Les relations (19) proviennent des relations (14) par un simple chan-gement de variable.

Remarque. L’hypoth`ese κp = 0 n’est pas utilis´ee pour les relations (19)

(15)

On tire facilement par r´ecurrence des relations (19) que pourp >2 :

En effet faisons l’hypothèse de récurrence : – Pour 2≤i≤p−1 on a relations (19) donnent en tenant compte de l’hypothèse de récurrence :

Xi+1 =−i·X0

Les relations (20) sont d´emontr´ees.

Avec la convention habituelle qu’un produit vide vaut 1, il vient si d≥

(16)

Ajoutons membre `a membre les relations (20) il vient :

Or, toujours avec la convention qu’un produit vide vaut 1, on a :



On vient donc de montrer que :

(21) (p >2 etκp= 0) =⇒

p−1

X

i=1

Xi= 0

et donc en comparant la relation (21) avec la relation (18) il vient :

(22) (p >2 et κp = 0) =⇒X0= 0.

Or X0 = λ0, reportons la valeur λ0 = 0 dans les relations (14) il vient imm´ediatemment en utilisant la relation λ1 = 0 donn´ee au lemme 9 :

(23) (p >2 etκp= 0) =⇒ 0 =λ0=λ1 =λ2=· · ·=λp−2 =λp−1.

On a donc montr´e que :

(24) (p >2 etκp = 0) =⇒θ−cp = 0

ce qui est absurde car θ 6= 0 puisqu’il est racine de xp −x−1 = 0. La d´emonstration de la conjecture de Kurepa est compl`ete.

Bibliographie

[1] D. Barsky,Analysep-adique et nombres de Bell. C. R. Acad Sc. Paris série A,282_(1976), 1257–1259 & Groupe d’Étude d’Analyse Ultramétrique. (Y. Amice_,Ph. Robba_{), 3-i`}_eme

ann´ee, 1975/76, expos´e n◦_11.

(17)

[4] A. Gertsch Hamadene_,Congruences pour quelques suites classiques de nombres ; sommes de factorielles et calcul ombral. Thèse présentée à la faculté des sciences pour obtenir le grade de docteur ès sciences, Université de Neuchâtel, février 1999.

[5] A. Gertsch_&A. Robert_,Some congruences concerning the Bell numbers. Bulletin of the Belgian Mathematical Society Simon Stevin vol.3(1996), 467–475.

[6] A. Junod_,A Generalized Trace Formula for Bell Numbers. A paraˆıtre dans Expositiones Mathematicae.

[7] Dj. Kurepa_,On the left factorial function!n. Math. Balkanica vol.1_{(1971), 147–153.} [8] R. Lidl_&H. Niederreiter_,Introduction to finite fields and their applications. Revision

of the 1986 first edition. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

[9] Ch. Radoux_,Nombres de Bell modulo p premier et extensions de degr´e p de Fp. C. R.

Acad. Sc. Paris, s´erie A,281_{, s´}_{eance du 24 novembre 1975, 879–882.} [10] A. Robert_,A course inp-adic Analysis. G.T.M.198_{, Springer-Verlag, 2000.}

DanielBarsky

Universit´e Paris 13 Institut Galil´ee

LAGA, URA CNRS n◦₇₄₂

Av J.-B. Cl´ement

F-93430 VILLETANEUSE, France

E-mail:[email protected]

B´enaliBenzaghou

USTHB

Facult´e de Math´ematiques El Alia BP 32

Bab Ezzouar

1611 ALGER, Alg´erie