ix
DWI PUTRI EFESIA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2010
ix DWI PUTRI EFESIA. Model Input-Output dalam Masalah Network Flow. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan RETNO BUDIARTI.
Proses produksi adalah suatu proses yang dilakukan oleh dunia usaha untuk mengubah input menjadi output. Menurut jenis output dan aktivitasnya, dunia usaha dapat diklasifikasikan ke dalam berbagai sektor yang saling berkaitan. Untuk itu, diperlukan model yang mampu menganalisis keterkaitan antarsektor tersebut, yaitu model input-output (IO). Dalam model IO dikenal tabel IO yang menyajikan informasi tentang transaksi antara barang dan jasa yang terjadi antarsektor ekonomi yang disajikan dalam bentuk matriks dengan jumlah seluruh input harus sama dengan jumlah seluruh output. Pada karya ilmiah ini, ditunjukkan bahwa transaksi antarsektor yang terjadi dalam tabel IO dapat dianalisis dengan menggunakan network flow. Melalui teori network terbukti bahwa setiap sektor memiliki peranan baik sebagai produsen maupun konsumen. Keseluruhan sektor yang terkait dalam tabel IO dapat dianalisis dengan network flow. Melalui teori network flow terbukti bahwa jumlah seluruh input harus sama dengan jumlah seluruh output. Pada karya ilmiah ini, juga dibahas formulasi masalah meminimumkan biaya yang dikenal dengan masalah sirkulasi biaya minimum.
ix HANUM and RETNO BUDIARTI.
Production process is a process, which is done by industry, to transform input into output. According to the type of output and its activity, industry can be classified into various sectors, which are connected to each other. Therefore, a model to analyze the connection among sections is needed. The model is known as input-output model (IO model). IO model presents an IO table, which shows informations about the transaction between goods and services in each economic sector. Furthermore, the IO model also shows that the amount of all input is the same as the amount of all output. In this paper, the transaction of each economic sector in IO table is analyzed using network flow theory. The formulated network flow problem implies that each sector represents partly as a producer and also as a consumer. This paper also solves a minimum cost circulation problem.
ix
DWI PUTRI EFESIA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPERTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2010
ix
NIM
: G54053933
Menyetujui
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dra. Farida Hanum, M.Si. Ir. Retno Budiarti, MS.
NIP: 19651019 199103 2 002 NIP: 19610729 198903 2 001
Mengetahui:
Ketua Departemen,
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP: 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
ix Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat, rahmat dan kasih karunia-Nya baik sehat jasmani maupun rohani sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis sehingga membutuhkan bantuan, dukungan, dan semangat orang-orang yang telah berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. keluarga tersayang: papa dan mama yang selalu memberikan waktu untuk mendengar cerita suka dan duka selama penulisan karya ilmiah ini, doa dan semangat yang diberikan. Untuk kak Eva, bang Ridho, Aam, Erma, Sutoyo, Rional, Jetro, bapatua dan inangtua Kaylla yang selalu mengingatkan untuk tetap berserah pada Yesus dan memotivasi untuk cepat-cepat lulus, serta sanak saudara lainnya;
2. Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, ilmu, dan doa;
3. Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu, saran, dan motivasi;
4. Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu dan saran; 5. semua dosen Departemen Matematika yang telah memberikan ilmu dan sarannya; 6. staf Departemen Matematika: pak Yono, mas Heri, mas Deny, mas Bono, bu Ade, dan bu
Susi yang selalu memberikan semangat dan doa;
7. teman-teman satu bimbingan: Bima Saputra, Rian Wahyuni, Yusep Maulana, dan Nur Wahyuni;
8. keluarga kecilku: Agnes, Ayu, Lisda, Nyoman, Ricken yang selalu memberikan waktu untuk mendengarkan cerita, memberi semangat, nasehat, doa dan persahabatnnya; 9. teman-teman Matematika 42: Achy, Acuy, Ardi, Awi, Ayeep, Bayu, Boy, Danu, Dendy,
Dewi, Die2, Djawa, Eko, Erlin, Ety, Eyyi, Fachri, Gita, Hapsari, Herry, Hesti, Hikmah, Idha, Ilie, Iput, Jane, Kinun, Lela, Lina, Luri, Mega, Mira, Mocco, Niken, Nofita, Nola, Oby, Otonk, Pipit, Rendi, Ridwan, Rima, Rita, Sapto, Septian, Siti, Tia, Titi, Vera, Vino, Vita, Warno, Wiwi, Yudi yang telah mewarnai kisah bahagia, sedih, susah selama tiga tahun berada di Departemen Matematika;
10. teman Matematika 43: Kabil yang telah memberikan waktunya, ilmu, dan semangatnya; 11. teman-teman kos Wisma Stevia: Ani, Anyez, Cece, Eboy, Mizz, Pola, Thesa, K’Valen,
Sonya, Beatrix, Yori, Cathy, Poppy, Dian, mas Jay beserta pendamping hidupnya yang selalu tabah mendengar teriakan selama tiga tahun satu atap bersamaku, menyemangatiku, dan melakukan hal-hal yang belum pernah dilakukan serta doa yang dipanjatkan;
12. bang Ico, bang Wastin, dan kak Ochie yang telah mengisi kehidupanku dan selalu memberikan semangat, hiburan, petuah, serta doa;
13. temanku Kiki dan Miu yang senantiasa memberikanku semangat, menghibur, dan mengerti keadaanku;
14. teman-teman panitia Natal CIVA 2008 yang telah mengajarkan arti berserah pada-Nya; 15. semua pihak yang ikut membantu baik secara moril maupun materiil.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Januari 2010
ix Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 25 Maret 1987 sebagai anak ketiga dari empat bersaudara, anak dari pasangan Drs. Osner Silalahi, S.Sos. dan Dorima Sihombing.
Pada tahun 1999 penulis lulus dari SD San Fransisco Balige kemudian tahun 2002 lulus dari SLTP Putri Cahaya Medan. Tahun 2005 penulis lulus dari SMAN 1 Pangkalpinang dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru). Pada tahun 2006, penulis memilih jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II tahun ajaran 2007/2008 dan asisten mata kuliah Metode Statistika tahun ajaran 2008/2009. Penulis juga aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi keagamaan Keluarga Mahasiswa Katolik (KEMAKI) sebagai Koordinator bidang Komunikasi Eksternal tahun 2006/2007 dan organisasi himpunan profesi Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai Koordinator Departemen Kewirausahaan tahun 2006/2007. Selain itu, penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan, antara lain Anggota seksi Humas Politik Expose tahun 2005, Anggota seksi Dana dan Usaha (Danus) Natal Civa IPB 2006, Anggota seksi Dana dan Usaha Try Out SPMB se-Bogor 2007, Anggota Komdis (Komisi Kedisplinan) Ramah Tamah Civitas Matematika 2007, Peserta Pelatihan Penyegaran Materi Matematika Universitas 2007, Koordinator seksi Acara Natal Civa IPB 2008, Peserta Olimpiade Matematika Nasional Tingkat Mahasiswa 2008.
ix Halaman DAFTAR TABEL ... ix DAFTAR GAMBAR ... ix DAFTAR LAMPIRAN ... ix I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan ... 2 1.3 Metode Penulisan ... 2 II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks ... 2
2.2 Teori Pengali Lagrange ... 5
2.3 Graf ... 5
2.4 Pemrograman Linear ... 9
2.5 Dualitas Pemrograman Linear ... 10
III MODEL INPUT-OUPUT 3.1 Model Kuantitas ... 15
3.2 Model Harga ... 17
3.3 Kombinasi Model Kuantitas dan Model Harga ... 18
3.4 Model Input-Output dalam Teori Network ... 20
3.5 Model Input-Output dalam Network Flow ... 23
3.5.1 Dualitas Network Flow ... 24
3.5.2 Input-Output dan Sirkulasi Biaya Minimum ... 26
IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan ... 27
4.2 Saran ... 27
DAFTAR PUSTAKA ... 28
ix 1 Hubungan antara variabel keputusan dan kendala pada masalah primal
dan masalah dual ... 11
2 Tabel input-output ... 12
3 Matriks gabungan input-output ... 13
4 Contoh matriks gabungan input-output ... 14
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Graf G = (V, E)... 5
2 Graf D = (V, A) ... 6
3 Sisi berarah menjauhi atau mendekati, suksesor, dan predesesor ... 6
4 Digraf D = (V, A) dengan loop di simpul c ... 6
5 Multidigraf ... 6
6 Pseudodigraf ... 7
7 Source dan sink ... 7
8 Network ... 7
9 Graf berarah dan matriks incidence ... 8
10 Graf takberarah dan matriks incidence ... 8
11 Graf berarah dari Tabel 4 ... 20
12 Graf berarah dari Tabel 3 ... 23
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Pembuktian Teorema 1 beserta Beberapa Teorema yang Mendukung Pembuktian Tersebut ... 302 Pembuktian Teorema 3 beserta Teorema yang Mendukung Pembuktian Tersebut ... 31
3 Syntax Program LINDO 6.1 untuk Menyelesaikan Contoh 8 beserta Hasil yang Diperoleh ... 32
4 Pembuktian Persamaan (3.11) ... 33
5 Syntax Program Mathematica 7.0 untuk Menyelesaikan Masalah Perubahan Vektor throughput pada Model Kuantitas beserta Hasil yang Diperoleh ... 34
6 Syntax Program Mathematica 7.0 untuk Menyelesaikan Masalah Perubahan Vektor throughput pada Model Harga beserta Hasil yang Diperoleh ... 34
7 Pembuktian Persamaan (3.21) beserta Beberapa Persamaan yang terkait dengan Pembuktian Tersebut ... 35
8 Syntax Program LINDO 6.1 untuk Menyelesaikan Masalah Primal pada Contoh 12 beserta Hasil yang Diperoleh ... 35
9 Syntax Program LINDO 6.1 untuk Menyelesaikan Masalah Dual pada Contoh 13 beserta Hasil yang Diperoleh ... 36
I PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
Proses produksi adalah suatu proses yang dilakukan oleh dunia usaha untuk mengubah input menjadi output. Contoh dunia usaha adalah pengusaha besar, seperti berbagai perusahaan yang banyak dikenal masyarakat, pengusaha kecil golongan ekonomi lemah yang menjajakan dagangan di kaki lima, pengusaha industri rumah tangga serta orang-orang yang memproduksi komoditas barang dan jasa. Menurut jenis output dan aktivitasnya, dunia usaha dapat diklasifikasikan ke dalam berbagai sektor. Klasifikasi sektor yang paling umum adalah pembagian sektor ke dalam tiga sektor, yaitu sektor primer, sekunder, dan tersier. Suatu sektor dianggap memproduksi satu jenis komoditas yang sesungguhnya merupakan komoditas agregat dari berbagai jenis komoditas yang dikelompokkan ke dalam sektor yang bersangkutan.
Output yang diproduksi oleh suatu sektor, misalkan saja sektor , didistribusikan ke dua pemakai. Pemakai pertama ialah pemakai yang menggunakan output untuk proses produksi lebih lanjut (menjadikan output sebagai bahan baku atau input-antara) sedangkan pemakai kedua adalah pelaku-pelaku ekonomi di dalam perekonomian. Pada umumnya terdapat empat pelaku ekonomi, yaitu rumah tangga, yang mendapatkan penerimaan rumah tangga dari upah dan gaji anggota rumah tangga serta memiliki pengeluaran berupa konsumsi rumah tangga; perusahaan, yang mendapatkan keuntungan usaha dan memiliki pengeluaran berupa investasi; pemerintah yang memperoleh pemasukan berupa pajak pemerintah dan memiliki pengeluaran berupa pengeluaran konsumsi pemerintah, investasi pemerintah, dan subsidi; dan pelaku ekonomi yang terakhir adalah luar negeri.
Dunia perekonomian tidak saja dipandang dari segi distribusi output tetapi juga segi input. Input yang dibutuhkan dalam proses produksi sektor bukan hanya input-antara (bahan baku) melainkan membutuhkan input-primer yang berupa faktor produksi, seperti tenaga kerja, modal, dan tanah. Penggunaan input-primer dalam proses produksi akan menghasilkan balas jasa faktor produksi, antara lain berupa gaji atau upah bila menggunakan input tenaga kerja. Balas jasa inilah yang disebut nilai tambah dari proses produksi tersebut.
Berdasarkan uraian di atas diperlukan suatu model yang mampu menganalisis keterkaitan antarsektor tersebut, yaitu model input-output (IO). Semenjak diperkenalkan oleh W. Leontief pada tahun 1930-an, model input-output (IO) telah berkembang menjadi salah satu alat analisis yang ampuh dalam melihat hubungan antarsektor dalam suatu perekonomian. Hubungan antarsektor ini mulai menjadi penting di pertengahan abad ini, sejak analisis pembangunan ekonomi tidak hanya mementingkan pertumbuhan ekonomi semata tetapi juga mulai melihat pembagian pertumbuhan di antara faktor-faktor produksi dan juga sumber-sumber pertumbuhan itu sendiri. Model IO Leontief didasarkan atas model keseimbangan umum (general equilibrium) (Nazara 2005).
Beberapa kegunaan dari analisis IO, antara lain untuk memperkirakan dampak permintaan-akhir terhadap output, nilai tambah, impor, penerimaan pajak, dan penyerapan tenaga kerja di berbagai sektor produksi; melihat komposisi penyediaan dan penggunaan barang dan jasa terutama dalam analisis terhadap kebutuhan impor dan kemungkinan substitusinya; mengetahui sektor-sektor yang pengaruhnya paling dominan terhadap pertumbuhan ekonomi dan sektor-sektor yang sensitif terhadap pertumbuhan perekonomian; serta menggambarkan perekonomian suatu wilayah dan mengidentifikasi karakteristik struktural suatu perekonomian wilayah (Firdaus et al. 2007).
Dalam model IO dikenal tabel IO yang menyajikan informasi tentang transaksi barang dan jasa yang terjadi antarsektor ekonomi yang disajikan dalam bentuk matriks dengan jumlah seluruh input harus sama dengan jumlah seluruh output. Tabel input-output menjadi dasar pembentukan tipe model input-output, yaitu model kuantitas dan model harga.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas bahwa transaksi antarsektor yang terjadi dalam tabel IO dapat dianalisis dengan menggunakan teori network. Melalui teori network akan terlihat bahwa setiap sektor memiliki peranan baik sebagai produsen maupun konsumen. Keseluruhan sektor yang terkait dalam tabel IO dapat dianalisis dengan network flow. Melalui network flow akan terlihat pula bahwa jumlah seluruh input harus sama dengan jumlah seluruh output.
Transaksi tidak terlepas dari masalah biaya yang dikeluarkan untuk melakukan transaksi tersebut. Pada umumnya para pelaku ekonomi sangat memperhatikan masalah tersebut. Adapun contoh biaya yang biasanya dikeluarkan adalah biaya transportasi, biaya tambahan, dll. Untuk itu, karya ilmiah ini akan mengkaji bagaimana cara meminimumkan biaya tersebut dengan memformulasi masalah ke dalam pemrograman linear. Dalam hal ini, formulasi tersebut dikenal dengan istilah sirkulasi biaya minimum. Formulasi tersebut diharapkan dapat membantu para pelaku ekonomi untuk meminimumkan biaya sehingga mampu memaksimumkan kuantitas output yang dapat diproduksi.
1.2 Tujuan
Adapun tujuan karya ilmiah ini meliputi: 1. menganalisis model IO sebagai salah satu
contoh kasus khusus dalam teori network dan network flow,
2. memformulasikan model IO dalam network flow, yaitu sirkulasi biaya minimum.
1.3 Metode Penulisan
Metode yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah adalah studi literatur. Materi karya ilmiah ini diambil dari jurnal yang berjudul Input-output models, directed graphs and flows in network yang ditulis oleh J. Asger Olsen pada tahun 1992. Selain itu, bahan-bahan yang menunjang penulisan karya ilmiah ini diperoleh dari buku dan situs internet yang terkait dengan topik karya ilmiah ini.
II LANDASAN TEORI
Untuk memahami masalah-masalah yang terjadi pada karya ilmiah ini diperlukan pengertian beberapa konsep berikut ini. 2.1 Matriks
Definisi 1 (Matriks)
Matriks adalah kumpulan angka (sering disebut elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebarnya direpresentasikan oleh banyaknya baris dan kolom.
Matriks yang berukuran dapat ditulis dalam bentuk berikut
.
(Supranto 1992) Definisi 2 (Matriks Diagonal)
Matriks berukuran disebut matriks diagonal jika untuk .
(Leon 2001) Berikut adalah contoh matriks diagonal
.
Definisi 3 (Matriks Identitas)
Matriks identitas berukuran adalah matriks dengan
.
(Anton & Rorres 2004) Definisi 4 (Invers Matriks)
Suatu matriks berukuran
dikatakan memiliki invers atau dapat dibalik jika terdapat matriks sehingga
. Matriks disebut invers dengan adalah matriks identitas.
(Leon 2001) Teorema 1 (Matriks Invers dan
Determinan)
Matriks dapat dibalik atau memiliki invers jika dan hanya jika det .
(Anton & Rorres 2004) Bukti: dapat dilihat di Lampiran 1
Matriks Partisi
Definisi 5 (Matriks Partisi)
Matriks partisi adalah matriks yang dibagi-bagi menjadi beberapa matriks yang lebih
1 , jika 0 , jika
kecil dengan cara menggambar garis-garis horizontal antara baris-baris dan garis-garis vertikal antara kolom-kolom.
(Leon 2001) Contoh 1
Misalkan diberikan matriks
.
Jika garis-garis digambarkan antara baris kedua dan baris ketiga serta antara kolom ketiga dan kolom keempat maka matriks akan terbagi menjadi empat submatriks, yaitu
, , , dan sehingga bentuknya
.
Definisi 6 (Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Partisi)
Misalkan matriks dan matriks merupakan matriks partisi yang berukuran . Penjumlahan dapat dilakukan bila banyaknya baris dan kolom untuk dan harus sama besarnya, sehingga diperoleh bentuk umum penjumlahan matriks partisi sebagai berikut
Misalkan dan , maka . (Supranto 1992) Contoh 2 Misalkan dan Jadi . Contoh 3 Misalkan dan Jadi .
Definisi 7 (Perkalian Matriks Partisi) Misalkan matriks berukuran
dan matriks berukuran merupakan matriks partisi. Perkalian dapat dilakukan jika banyaknya kolom matriks sama dengan banyaknya baris matriks sehingga diperoleh bentuk umum perkalian sebagai berikut
Misalkan dan , maka dengan . (Supranto 1992) Contoh 4 Misalkan dan Jadi .
Teorema 2 (Invers Matriks Partisi)
Misalkan matriks partisi dan invers matriks partisi dengan , , , dan merupakan matriks segi. Jika adalah submatriks tak singular dari matriks
maka
(Zhang 1999) Bukti: lihat Zhang 1999.
Contoh 5
Misalkan diberikan matriks partisi
,
maka dari Teorema 2: , dengan
Jadi
.
2.2 Teori Pengali Lagrange
Misalkan diberikan masalah minimisasi berkendala persamaan sebagai berikut
Minimumkan terhadap ,
dengan
yang merupakan fungsi kontinu dan terturunkan.
Solusi masalah di atas dapat dihampiri dari solusi masalah takberkendala, yaitu meminimumkan untuk sehingga diperoleh fungsi Lagrange sebagai berikut
,
dengan skalar disebut pengali Lagrange.
Misalkan merupakan minimizer dari , meminimumkan nilai , maka gradien fungsi Lagrange pada kondisi optimum sama dengan nol sedemikian sehingga
(Bertsekas 2003) 2.3 Graf
Suatu graf adalah pasangan terurut dengan himpunan takkosong dan berhingga dan himpunan pasangan takterurut yang menghubungkan elemen-elemen V, dinotasikan dengan . Elemen disebut verteks (node, simpul) sedangkan elemen disebut sisi (edge) dan dituliskan sebagai , yakni sisi yang menghubungkan simpul dengan simpul dengan .
(Foulds 1992) Graf yang dimaksud pada definisi di atas disebut graf takberarah (undirected graph). Ilustrasi graf takberarah dapat dilihat pada Gambar 1 berikut.
Gambar 1 Graf . Pada Gambar 1 diperlihatkan bahwa
e f d c a b
dan . Definisi 8 (Incident dan Adjacent)
Misalkan diberikan graf . Jika
dengan maka
dan dikatakan adjacent di dan incident dengan dan .
(Chartrand et al. 1993)
Pada Gambar 1, maka
dan dikatakan adjacent di dan incident dengan dan .
Definisi 9 (Derajat Simpul)
Derajat (degree) dari simpul , dinyatakan dengan deg , adalah banyaknya sisi yang incident dengan .
(Chartrand et al. 1993) Pada Gambar 1, terlihat bahwa deg . Definisi 10 (Graf Berarah/Digraf)
Graf berarah (digraph) adalah pasangan terurut dengan himpunan takkosong dan hingga dan himpunan pasangan terurut yang menghubungkan elemen-elemen di dinotasikan dengan . Elemen-elemen dari disebut sisi berarah (arc) dan dituliskan sebagai dengan .
(Foulds 1992) Ilustrasi graf berarah dapat dilihat pada Gambar 2 berikut.
Gambar 2 Graf . Pada Gambar 2 diperlihatkan bahwa
dan . Definisi 11 (Sisi Berarah Menjauhi atau
Mendekati, Suksesor, dan Predesesor)
Misalkan diberikan digraf . Jika maka sisi berarah ini dikatakan menjauhi simpul dan mendekati simpul . Simpul disebut predesesor bagi simpul dan simpul disebut suksesor bagi simpul .
(Foulds 1992) Ilustrasi suksesor dan predesesor dapat dilihat pada Gambar 3 berikut.
Gambar 3 Sisi berarah menjauhi atau mendekati, suksesor dan predesesor. Definisi 12 (Loop)
Loop adalah sisi, baik berarah maupun takberarah, yang incident dengan simpul yang sama.
(Foulds 1992) Ilustrasi loop pada digraf dapat dilihat pada Gambar 4 berikut.
Gambar 4 Digraf dengan loop di simpul c.
Pada Gambar 4 diperlihatkan bahwa
dan .
Definisi 13 (Multidigraf)
Suatu digraf dikatakan multidigraf bila graf tersebut memiliki lebih dari satu sisi berarah yang incident dengan suatu pasang
simpul.
(Foulds 1992) Ilustrasi multidigraf dapat dilihat pada Gambar 5 berikut. e f d c b a e f d c a c b d
Gambar 5 Multidigraf.
Gambar 5 dikatakan multidigraf karena simpul dan dihubungkan oleh dua sisi berarah, yaitu sisi berarah dan . Definisi 14 (Pseudodigraf)
Suatu digraf dikatakan pseudodigraf bila graf tersebut memiliki lebih dari satu sisi berarah yang incident dengan suatu pasang simpul dan memiliki loop.
(Foulds 1992)
Ilustrasi pseudodigraf dapat dilihat pada Gambar 6 berikut.
Gambar 6 Pseudodigraf.
Gambar 6 dikatakan pseudodigraf karena simpul dan dihubungkan dengan dua sisi berarah, yaitu sisi berarah dan dan terdapat loop di simpul .
Definisi 15 (Source)
Source adalah simpul dengan derajat masuk (indegree) nol.
(Chartrand et al. 1993) Definisi 16 (Sink)
Sink adalah simpul dengan derajat keluar (outdegree) nol.
(Chartrand et al. 1993) Ilustrasi source dan sink dapat dilihat pada Gambar 7 berikut.
Gambar 7 Source dan sink.
Pada Gambar 7, simpul sebagai source dan simpul sebagai sink.
Definisi 17 (Network)
Network adalah suatu graf berarah dengan setiap sisi berarahnya memiliki kapasitas, menerima flow, dan jumlah flow tidak melebihi kapasitas sisi berarah . Suatu flow, misalnya dinotasikan dengan adalah fungsi bernilai integer yang didefinisikan pada himpunan sisi berarah pada suatu network sedemikian sehingga
untuk setiap sisi berarah dengan menyatakan kapasitas sisi berarah bernilai taknegatif dan menyatakan flow sepanjang sisi berarah .
(Balakrishnan 1997) Ilustrasi network dapat dilihat pada Gambar 8 berikut. 1,1
4,5 4,4 3,5 3,4 2,3 2,2 1,2 Gambar 8 Network.
Pada Gambar 8, setiap sisi berarah memiliki dua buah bilangan. Bilangan pertama menunjukkan flow pada sisi berarah sedangkan bilangan kedua menunjukkan kapasitas. Misalkan, pada sisi berarah nilai flow adalah 3 sedangkan kapasitasnya sebanyak 5.
Definisi 18 (Network Flow)
Network flow merupakan suatu kasus dalam PL (Pemrograman Linear) yang memiliki struktur khusus dan menggunakan representasi graf. Bentuk suatu masalah network flow dikenal dengan sebutan masalah network flow biaya minimum (minimum cost network flow). Pada masalah ini, fungsi objektifnya berupa minimisasi biaya yang terkait pada sisi berarah dengan kendala-kendala yang meliputi kendala-kendala konservasi flow dan kendala pembatasan flow.
Misalkan network , biaya pengangkutan setiap unit flow komoditas pada sisi berarah dinyatakan dengan ,
t b c s a a c b d t s a c b d
banyaknya unit flow komoditas melalui sisi berarah untuk setiap
dinyatakan dengan , batas bawah dan batas atas banyaknya flow komoditas yang diangkut melalui sisi berarah untuk setiap
berturut-turut dinyatakan dengan dan , dan supply/demand pada simpul dinyatakan dengan . Formulasi umum suatu masalah network flow diberikan sebagai berikut.
Min
dengan kendala
Jika maka disebut supply pada simpul dan simpul disebut simpul supply. Jika maka disebut demand pada simpul dan simpul disebut simpul demand. Jika maka simpul disebut simpul transshipment. Batas atas, , disebut kapasitas sisi berarah.
Kendala pertama menyatakan kendala konservasi flow, yaitu kendala yang menjaga keseimbangan flow pada suatu simpul (flow yang masuk ke simpul sama dengan flow yang keluar dari simpul). Kendala kedua menyatakan kendala pembatasan flow, yaitu kendala yang membatasi banyaknya flow yang dapat melewati sisi berarah.
(Ahuja et al. 1993) Matriks pada Graf
Graf dapat direpresentasikan dalam bentuk
matriks. Untuk memahami masalah tersebut diperlukan pengertian beberapa konsep berikut.
Definisi 19 (Matriks Incidence)
Misalkan sebuah graf dengan simpul dan sisi (edge) maka matriks incidence
dari graf yang terdiri atas baris untuk setiap simpul dan kolom untuk setiap sisi (edge) dengan elemen dari matriks didefinisikan sebagai:
untuk graf berarah
untuk graf takberarah
merupakan simpul ke- dengan .
(Thulasiraman & Swamy 1992) Ilustrasi matriks incidence pada graf berarah dapat dilihat pada Gambar 9 berikut.
e1
e2 e3 e4
e5
e6 e7
Gambar 9 Graf berarah dan matriks incidence.
Pada graf dalam Gambar 9, misalkan ,
, , , dan
.
Ilustrasi matriks incidence pada graf takberarah dapat dilihat pada Gambar 10 berikut. e1 e2 e4 e3 e5 e6 e7 a c e b d a c e d b
1, jika sisi j incident dengan simpul
0, lainnya
1, jika sisi berarah meninggalkan simpul
-1, jika sisi berarah masuk simpul 0, lainnya
Gambar 10 Graf takberarah dan matriks incidence.
Pada graf dalam Gambar 10, misalkan ,
, , , dan
. Definisi 20 (Matriks Boole)
Matriks Boole berukuran adalah matriks dengan elemen-elemennya hanya terdiri atas dua nilai, yaitu
Pada karya ilmiah ini, matriks Boole yang digunakan terdiri atas dua jenis, yaitu matriks masukan dan matriks keluaran.
Matriks masukan didefinisikan sebagai
Matriks keluaran didefinisikan sebagai
(Olsen 1992) 2.4 Pemrograman Linear
Salah satu konsep dasar yang harus dipahami terkait dengan konsep pemrograman linear di antaranya adalah fungsi linear dan pertidaksamaan linear.
Definisi 21 (Fungsi Linear)
Misalkan menyatakan
suatu fungsi dalam variabel-variabel . Fungsi
dikatakan linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta ,
. (Winston 2004)
Sebagai contoh,
merupakan fungsi linear, sedangkan bukan fungsi linear. Jika fungsi linear dan sembarang bilangan maka
merupakan persamaan linear.
Definisi 22 (Pertidaksamaan Linear) Untuk sembarang fungsi linear
dan sembarang bilangan ,
pertidaksamaan dan
adalah pertidaksamaan linear.
(Winston 2004) Pemrograman linear (PL) atau linear programming adalah suatu masalah optimisasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut.
a) Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif.
b) Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear.
c) Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sembarang variabel pembatasan tanda menentukan harus taknegatif
atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted in sign).
(Winston 2004) Solusi PL mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 23 (Bentuk Standar PL) Pemrograman linear
min
terhadap (2.1)
dikatakan PL dalam bentuk standar, dengan dan vektor-vektor berukuran , vektor berukuran dan matriks berukuran yang disebut sebagai matriks kendala, dengan
.
(Nash & Sofer 1996) 1, jika sisi berarah
meninggalkan simpul 0, lainnya
1, jika sisi berarah masuk ke simpul
0, lainnya 1 0
Sebagai catatan, yang dimaksud dengan vektor berukuran adalah vektor yang memiliki dimensi (ukuran) .
Solusi Pemrograman Linear
Suatu masalah PL dapat diselesaikan dalam berbagai teknik, salah satunya adalah metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan satu solusi optimum bagi masalah PL dan telah dikembangkan oleh Dantzig sejak tahun 1963. Dalam pengembangannya, metode ini merupakan metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk menyelesaikan PL berbentuk standar.
Pada masalah PL (2.1), vektor yang memenuhi kendala disebut solusi PL (2.1). Misalkan matriks dapat dinyatakan sebagai , dengan adalah matriks taksingular berukuran yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan
merupakan matriks berukuran
yang elemen-elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Dalam hal ini matriks disebut matriks basis PL (2.1).
Misalkan dapat dinyatakan sebagai vektor , dengan adalah vektor variabel basis dan adalah vektor variabel nonbasis maka dapat dinyatakan sebagai
. (2.2) Karena matriks adalah matriks taksingular maka memiliki invers, sehingga dari (2.2)
dapat dinyatakan sebagai
. (2.3)
Definisi 24 (Solusi Basis)
Solusi dari suatu PL disebut solusi basis jika memenuhi syarat berikut:
i. solusi tersebut memenuhi kendala pada PL,
ii. kolom-kolom dari matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari solusi tersebut adalah bebas linear.
(Nash & Sofer 1996)
Definisi 25 (Solusi Basis Fisibel)
Vektor disebut solusi basis fisibel jika merupakan solusi basis dan .
(Nash & Sofer 1996) Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel diberikan pada Contoh 6.
Contoh 6
Misalkan diberikan PL (2.4) berikut: Min
terhadap
(2.4)
,
maka dari PL (2.4) diperoleh
dan .
Misalkan dipilih
dan ,
maka matriks basisnya adalah
Nilai vektor variabel nonbasis ditentukan dengan vektor nol sehingga . Dengan menggunakan matriks basis di atas diperoleh
(2.5)
Solusi (2.5) merupakan solusi basis karena memenuhi kendala pada PL (2.4) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (2.5), yaitu , bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (2.5) juga merupakan solusi basis fisibel karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.
Hal yang juga penting dalam konsep pemrograman linear adalah daerah fisibel dan solusi optimum yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 26 (Daerah Fisibel)
Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut.
(Winston 2004) Definisi 27 (Solusi Optimum)
Pada masalah maksimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Pada masalah minimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil. (Winston 2004) 2.5 Dualitas Pemrograman Linear
Menurut Nemhauser & Wolsey (1999), dualitas pemrograman linear (PL) berkaitan dengan sepasang masalah PL dan hubungan antarsolusi keduanya. Salah satu dari sepasang masalah PL ini disebut masalah primal dan lainnya disebut masalah dual.
Masalah dual dan primal berkaitan erat sedemikian sehingga solusi optimal dari salah satu masalah akan secara otomatis menghasilkan solusi optimal bagi masalah lainnya. Masalah dual adalah sebuah masalah PL yang diturunkan dari sebuah masalah PL primal dengan mengikuti kaidah-kaidah berikut.
1. Untuk setiap kendala masalah primal terdapat suatu variabel masalah dual. 2. Untuk setiap variabel masalah primal
terdapat suatu kendala masalah dual. 3. Koefisien dari sebuah variabel pada
kendala masalah primal membentuk koefisien yang terdapat pada ruas kiri kendala masalah dual yang bersesuaian dan koefisien fungsi objektif dan variabel terkait menjadi ruas kanan kendala masalah dual.
(Taha 1996) Secara ringkas, hubungan antara variabel-variabel kendala pada masalah primal dan masalah dual diberikan dalam tabel berikut. Tabel 1 Hubungan antara variabel keputusan
dan kendala pada masalah primal dan masalah dual
PRIMAL DUAL
Minimisasi Maksimisasi
Kendala tandanya Variabel
tidak dibatasi Variabel Kendala tandanya tidak dibatasi
Keterangan: dan menyatakan suatu bilangan
Berikut ini diberikan ilustrasi tentang dualitas dengan menggunakan Tabel 1.
Contoh 7
Misalkan diberikan masalah primal sebagai berikut: Min terhadap , takterbatas, dan maka dual dari masalah primal di atas adalah Max
terhadap
, , dan takterbatas Pada kondisi optimal, solusi masalah dual dan masalah primal akan menghasilkan nilai fungsi objektif yang sama. Hal ini disebutkan dalam teorema berikut.
Teorema 3 (Teorema Dualitas Kuat) Misalkan diberikan pemrograman linear primal dalam bentuk standar dan masalah dualnya. Jika salah satu dari masalah primal atau masalah dual tersebut memiliki solusi optimal maka masalah lainnya juga memiliki solusi optimal dan nilai fungsi objektif optimalnya adalah sama.
(Nash & Sofer 1996) Bukti: dapat dilihat di Lampiran 2.
Berikut ini diberikan ilustrasi Teorema 3. Contoh 8
Misalkan diberikan masalah primal sebagai berikut
max terhadap
Masalah dualnya adalah sebagai berikut min
terhadap
tidak dibatasi
Dengan menggunakan program LINDO 6.1 diperoleh solusi optimal dari masalah
primal adalah sebagai berikut , dan nilai fungsi objektifnya adalah . (Lampiran 3a).
Dengan menggunakan program LINDO 6.1 juga diperoleh solusi optimal dari masalah
dual sebagai berikut ,
, ,
, , ,
, dan . dan nilai fungsi objektifnya adalah (Lampiran 3b).
III MODEL INPUT-OUTPUT
Model input-output pertama kali diperkenalkan oleh Prof. W. Leontief pada tahun 1930-an. Prinsip dasar model ini adalah bagaimana cara menentukan agar setiap sektor dalam prosedur ekonomi tepat memproduksi sejumlah jenis barang untuk dapat memenuhi permintaan dari sektor-sektor lain dan sisanya untuk keperluan masyarakat (permintaan-akhir).
Klasifikasi sektor yang paling umum adalah klasifikasi ke dalam tiga sektor, yaitu primer, sekunder, dan, tersier. Kegiatan yang termasuk dalam sektor primer adalah kegiatan yang mengusahakan sumber daya alam, seperti sektor pertanian dalam arti luas (pertanian, perikanan, dan kehutanan), sektor pertambangan, dan sektor penggalian. Pada
umumnya sektor sekunder adalah sektor industri sedangkan sektor tersier adalah sektor yang menghasilkan komoditas jasa (Nazara 2005).
Model input-output Leontief ini didasarkan atas model keseimbangan umum (general equilibrium). Input-output menunjukkan bahwa di dalam perekonomian secara keseluruhan terjadi saling keterhubungan dan saling ketergantungan. Input suatu industri merupakan output industri lainnya, demikian sebaliknya. Dasar dari model ini adalah tabel IO yang menyajikan informasi tentang transaksi barang dan jasa selama periode waktu yang diberikan seperti pada Tabel 2.
Tabel 2 Tabel input-output
Ke
Dari Industri Permintaan akhir Jumlah output
Industri Input primer Jumlah input
(Olsen 1992) Keterangan:
: Matriks berukuran yang elemennya berupa transaksi input-ouput sektor industri. : Matriks berukuran yang elemennya berupa transaksi input-output antara sektor
industri dan sektor permintaan-akhir.
: Matriks berukuran yang elemennya berupa transaksi output antara sektor input-primer dan sektor industri.
: Matriks berukuran yang elemennya berupa transaksi output antara sektor input-primer dan sektor permintaan-akhir.
: Vektor kolom dengan elemen baris ke- , yaitu , merupakan penjumlahan elemen-elemen baris ke- matriks dengan elemen-elemen baris ke- matriks , dengan
.
: Vektor kolom dengan elemen baris ke- , yaitu , merupakan penjumlahan elemen-elemen baris ke- matriks dengan elemen-elemen baris ke- matriks , dengan
.
: Vektor baris dengan elemen kolom ke- , yaitu , merupakan penjumlahan elemen-elemen kolom ke- matriks dengan elemen-elemen kolom ke- matriks , dengan
.
: Vektor baris dengan elemen kolom ke- , yaitu , merupakan penjumlahan elemen-elemen kolom ke- matriks dengan elemen-elemen kolom ke- matriks , dengan
.
Tanda aksen menyatakan transpos dari suatu vektor. Baris dan kolom pada Tabel 2 (kecuali kolom ke-3 dan baris ke-3) menyatakan suatu transaksi. Pada Tabel 2, transaksi pada sektor industri merupakan transaksi-antara, yaitu transaksi yang terjadi antara sektor yang berperan sebagai konsumen (dinyatakan dengan kolom) dan sektor yang berperan sebagai produsen (dinyatakan dengan baris).
Isian sepanjang baris tabel IO, seperti pada Tabel 2, menunjukkan pengalokasian output yang dihasilkan oleh suatu sektor untuk memenuhi antara dan permintaan-akhir. Permintaan-antara adalah pengalokasian output suatu sektor dalam memenuhi kebutuhan input sektor-sektor lain untuk keperluan produksi. Permintaan-akhir adalah permintaan atas barang dan jasa untuk keperluan konsumsi.
Isian sepanjang kolom tabel IO, seperti pada Tabel 2, menunjukkan struktur input yang digunakan oleh masing-masing sektor dalam proses produksi baik berupa input-antara maupun input-primer. Input-input-antara merupakan input yang berasal dari sektor produksi dan digunakan dalam proses produksi lebih lanjut. Sebagai contoh, bahan bakar minyak, yang merupakan output sektor penyulingan minyak, merupakan input bagi sektor lainnya dan input bagi sektor transportasi. Dalam hal ini bahan bakar minyak adalah input-antara. Input-primer adalah balas jasa atas pemakaian faktor-faktor produksi yang terdiri atas tenaga kerja, tanah, dan modal.
Pada umumnya tabel IO dapat disajikan dalam bentuk matriks berikut.
Tabel 3 Matriks gabungan input-output
Ke Dari Input primer Industri Permintaan akhir Lingkungan Jumlah output Input primer Industri Permintaan akhir Lingkungan Jumlah input (Olsen 1992) Keterangan:
: Vektor kolom yang merupakan transaksi input-output antara sektor permintaan-akhir dan sektor lingkungan.
: Vektor kolom yang merupakan transaksi input-output antara sektor lingkungan dan sektor input-primer.
: Vektor baris yang merupakan transaksi input-output antara sektor lingkungan dan sektor input-primer.
: Vektor baris yang merupakan transaksi input-output antara sektor permintaan-akhir dan sektor lingkungan.
: Matriks yang elemennya berupa angka nol artinya tidak terjadi transaksi input-output. Tanda aksen menyatakan transpos dari suatu vektor.
Misalkan matriks didefinisikan sebagai submatriks dari matriks pada Tabel 3:
, (3.1) misalkan vektor didefinisikan sebagai input bagi sistem IO dengan
, (3.2)
dan misalkan vektor didefinisikan sebagai output dari sistem IO dengan
, (3.3) maka dapat didefinisikan matriks
.
Karena jumlah total input pada setiap transaksi di suatu sistem IO harus sama dengan jumlah total output pada setiap transaksi di sistem tersebut (Olsen 1992) maka jumlah kolom dan jumlah baris pada matriks gabungan input-output (Tabel 3) adalah sama.
Pada sistem IO dikenal juga vektor throughput, yaitu vektor yang berisi semua jumlah total output sistem IO (input-primer, industri, dan permintaan-akhir) yang didefinisikan sebagai
. (3.4)
Dari persamaan (3.1)-(3.3), vektor throughput dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan lain, yaitu
, (3.5a) dengan merupakan vektor kolom berukuran
yang banyaknya baris sesuai dengan banyaknya kolom matriks berukuran serta semua elemennya bernilai satu.
Dari persamaan (3.1), (3.2), (3.4), dan (3.5a). Persamaan (3.4) dapat dinyatakan
dalam bentuk persamaan (3.5a). Hal ini dapat dilihat pada pembuktian di bawah ini dengan memperhatikan Definisi 6 dan Definisi 7. Berdasakan ruas kanan pada persamaan (3.5a) diperoleh
,
dengan merupakan jumlah elemen-elemen kolom matriks , merupakan jumlah elemen-elemen kolom matriks , merupakan jumlah elemen-elemen kolom matriks , merupakan jumlah elemen-elemen kolom matriks
Selain dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan (3.5a), vektor throughput pada persamaan (3.4) dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan lain, yaitu
, (3.5b) dengan merupakan vektor kolom berukuran
yang banyaknya baris sesuai dengan banyaknya kolom matriks berukuran serta semua elemennya bernilai satu.
Dari persamaan (3.1), (3.2), (3.4), dan (3.5b). Persamaan (3.4) dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan (3.5b). Hal ini dapat dilihat pada pembuktian di bawah ini dengan memperhatikan Definisi 6 dan Definisi 7. Berdasarkan ruas kanan pada persamaan (3.5b) diperoleh
,
dengan merupakan jumlah elemen-elemen baris matriks , merupakan jumlah elemen-elemen baris matriks , merupakan
jumlah elemen-elemen baris matriks , merupakan jumlah elemen-elemen baris matriks .
Berikut ini diberikan contoh mengenai matriks gabungan input-output beserta penggunaan persamaan (3.5).
Tabel 4 Contoh matriks gabungan input-output
Ke Input Primer Industri Permintaan
Akhir Lingkungan Jumlah Output Dari Input Primer Pendapatan 0 0 80 60 0 0 0 140 Impor 0 0 0 100 0 0 0 100 Industri Pertanian 0 0 120 40 120 0 0 280 Pengolahan 0 0 80 0 30 90 0 200 Permintaan Akhir Konsumsi 0 0 0 0 0 0 150 150 Investasi 0 0 0 0 0 0 90 90 Lingkungan 140 100 0 0 0 0 0 240 Jumlah Input 140 100 280 200 150 90 240 (Olsen 1992) Keterangan: : Sektor pendapatan. : Sektor impor.
: Sektor industri pertanian (agriculture). : Sektor industri pengolahan (manufacturing). : Sektor konsumsi.
: Sektor investasi.
: Sektor lingkungan (environment). Contoh 9
Dari Tabel 4 dapat diperoleh matriks
dan vektor .
Karena matriks berukuran maka vektor yang tepat adalah
,
dengan
Tabel input-output menjadi dasar pembentukan tipe model input-output, yaitu model kuantitas dan model harga.
3.1 Model Kuantitas
Model kuantitas merupakan salah satu tipe model input-output yang memperhatikan banyaknya barang dan jasa yang keluar (kuantitas output). Pada model kuantitas, vektor throughput ditentukan dari vektor eksogen .
Beberapa asumsi yang digunakan pada model kuantitas adalah sebagai berikut. 1. Semua harga sama dengan satu.
2. Semua flow pada setiap transaksi adalah proporsional (sama rata).
Koefisien input merupakan koefisien yang menggambarkan jumlah input yang digunakan untuk memproduksi satu unit output sektor yang berasal dari sektor (Nazara 2005). Koefisien input dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut
,
(3.6)
dengan
: koefisien input, untuk dan .
: penggunaan input oleh sektor dari
sektor , untuk dan
.
: total input sektor , untuk . (Tarigan 2005) Sebagai ilustrasi koefisien input,
berarti bahwa untuk memproduksi satu unit output sektor 3 dibutuhkan input senilai 32 unit yang berasal dari sektor 2.
Dalam model kuantitas matriks koefisien input
, (3.7) diasumsikan stabil dan bebas terhadap perubahan .
Dalam kasus ini tanda bar pada persamaan (3.7) merupakan matriks dari koefisien input sedangkan simbol pada vektor berukuran mendefinisikan proses diagonalisasi vektor menjadi matriks diagonal yang berukuran . Proses diagonalisasi yang dimaksud adalah proses pengubahan elemen ke- pada vektor throughput menjadi elemen diagonal utama pada matriks .
Sebagai contoh:
Jika vektor throughput
didiagonalisasi, maka akan diperoleh matriks .
Berikut ini diberikan ilustrasi penggunaan persamaan (3.7).
Contoh 10
Dari Tabel 4 diketahui matriks
dan vektor throughput ,
sehingga diperoleh matriks koefisien input
.
Nilai 0.29 pada matriks (Contoh 10) memiliki arti bahwa untuk menghasilkan satu output bagi sektor pertanian diperlukan input sebesar 0.29 yang berasal dari sektor pendapatan.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa matriks
selalu memiliki invers berupa . Hal ini dapat dilihat dari setiap elemen vektor throughput
tidak bernilai nol dengan , , dan merupakan vektor-vektor kolom yang elemennya berupa total transaksi input-output antarsektor yang terjadi pada tabel IO. Karena matriks berupa matriks diagonal maka det . Berdasarkan Teorema 1 maka matriks memiliki invers.
Untuk memudahkan menyelesaikan masalah yang terjadi dalam model kuantitas dibutuhkan rumus yang seterusnya akan digunakan dalam karya ilmiah ini. Pada awal pembahasan model kuantitas dikatakan bahwa vektor throughput ditentukan dari vektor eksogen sehingga persamaan yang digunakan adalah persamaan (3.5b) (karena terdapat unsur ) dan persamaan (3.7). Berdasarkan persamaan (3.7) diperoleh lalu disubstitusikan ke dalam persamaan (3.5b) sehingga diperoleh
, (3.8a)
. (3.8b)
Dari persamaan (3.8b) dapat diperoleh
, (3.9)
dengan adalah matriks identitas.
Dari persamaan (3.7) diperoleh matriks
dengan matriks bukan matriks nol. Selanjutnya diperoleh juga matriks
dengan matriks bukan matriks identitas sehingga matriks merupakan matriks taksingular (determinan taknol).
Berdasarkan persamaan (3.9) diperoleh persamaan yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah yang terjadi dalam model kuantitas, yaitu
, (3.10) dengan
(3.11)
Bukti persamaan (3.11) dapat dilihat di Lampiran 4.
Selanjutnya akan diberikan ilustrasi perubahan kuantitas yang terjadi pada model kuantitas. Bila terjadi perubahan kuantitas salah satu sektor pada tabel IO maka akan memengaruhi kuantitas pada sektor yang lain. Hal ini dapat dilihat pada contoh berikut. Perhatikan Tabel 4. Misalkan terjadi kenaikan sebesar 10% pada transaksi input-output sektor investasi dari nilai 90 menjadi 99. Kenaikan tersebut menyebabkan perubahan pada vektor
menjadi .
Dengan menggunakan persamaan (3.10) dan program Mathematica 7.0 terlihat terjadi perubahan pada vektor throughput dari menjadi vektor throughput
(Lampiran 5).
Berdasarkan hasil vektor throughput yang baru, terlihatlah terjadi perubahan di sektor lain ketika terjadi penambahan kuantitas pada salah satu sektor. Salah satu sektor yang berubah adalah sektor pendapatan (dari 140 menjadi 146.057) artinya penambahan kuantitas pada salah satu sektor akan memengaruhi kuantitas sektor lain.
3.2 Model Harga
Model harga merupakan salah satu tipe model input-output yang memperhatikan harga input yang terjadi dalam tabel IO. Pada model harga, vektor throughput yang dilambangkan dengan (vektor harga untuk tiap unit output) ditentukan dari vektor eksogen (vektor harga pada sistem input).
Beberapa asumsi yang digunakan pada model kuantitas digunakan juga pada model harga dengan asumsi tambahan yang diperlukan adalah setiap vektor harga bernilai satu pada level awal.
Menurut Olsen (1992), matriks sistem pada harga sekarang diasumsikan sebagai
, (3.12)
dengan merupakan vektor throughput harga yang didefinisikan sebagai
, (3.13)
dengan merupakan harga pada sektor input-primer, merupakan harga pada sektor industri, dan merupakan harga pada sektor permintaan-akhir. Simbol yang digunakan pada persamaan (3.12) menyatakan sebuah matriks atau vektor yang diukur pada harga yang berlaku sekarang.
Karena persamaan (3.5a) juga harus berlaku pada harga sekarang, maka
menjadi
,
(3.14a) . (3.14b) Menurut Olsen (1992), dalam model harga, vektor throughput harga sekarang pada sistem IO dan vektor eksogen harga sekarang didefinisikan sebagai
, (3.15) dan
, (3.16) dengan merupakan vektor eksogen harga pada sistem input.
Untuk memudahkan menyelesaikan masalah yang terjadi dalam model harga dibutuhkan rumus yang seterusnya akan digunakan dalam karya ilmiah ini.
Dari persamaan (3.14b) yang kedua ruasnya dikalikan diperoleh
, (3.17) lalu berdasarkan persamaan (3.15) maka persamaan (3.17) dapat dinyatakan dalam bentuk
, (3.18) dengan sehingga persamaan (3.18) dapat dinyatakan dalam bentuk berikut
, (3.19) dengan berupa matriks taksingular. Berdasarkan persamaan (3.19) diperoleh persamaan yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah yang terjadi dalam model harga adalah sebagai berikut
. (3.20) Selanjutnya akan diberikan ilustrasi perubahan harga yang terjadi pada model harga. Bila terjadi perubahan harga salah satu sektor pada tabel IO maka akan memengaruhi harga pada sektor yang lain. Hal ini dapat dilihat pada contoh berikut. Perhatikan Tabel 4. Berdasarkan asumsi tambahan pada model harga, diperoleh vektor harga input pada level
awal . Misalkan
terjadi kenaikan harga pada sektor impor sehingga terjadi perubahan pada vektor
eksogen menjadi
, maka dengan menggunakan persamaan (3.20) dan program Mathematica 7.0 terlihat bahwa perubahan pada vektor menghasilkan vektor throughput
(Lampiran 6). Hal ini membuktikan bahwa perubahan harga pada salah sektor akan memengaruhi harga pada sektor lain.
3.3 Kombinasi Model Kuantitas dan Model Harga
Kombinasi kedua model ini dapat dilihat dari persamaan (3.10) pada model kuantitas dan persamaan (3.20) pada model harga yang bila digabungkan menghasilkan persamaan berikut
. (3.21) Bukti persamaan (3.21) dapat dilihat di Lampiran 7.
Persamaan (3.21) menyatakan bahwa jumlah total output pada harga sekarang (ruas kiri) sama dengan jumlah total input pada harga sekarang (ruas kanan).
Dalam kombinasi model harga dan kuantitas akan ditemui masalah dualitas antara harga dan kuantitas. Masalah dualitas yang
terjadi adalah masalah memaksimumkan kuantitas output yang dihasilkan atau meminimumkan biaya input yang terjadi pada transaksi model input-output. Solusi yang dihasilkan dari masalah dualitas yang terjadi pada model input-ouput dapat diinterpretasikan dari solusi masalah pemrograman linear. Adapun bentuk masalah pemrograman linear tersebut adalah sebagai berikut
Minimumkan
dengan kendala (3.22) Dalam persamaan (3.22) terlihat bahwa dapat dinyatakan dalam bentuk lain, yaitu
karena dalam karya ilmiah ini sektor input primer dilambangkan dengan .
Bentuk masalah pemrograman linear pada persamaan (3.22) menyatakan bagaimana meminimumkan harga input yang terjadi dalam transaksi input-output dengan kendala seluruh permintaan-akhir terpenuhi dan asumsi bahwa koefisien input konstan atau stabil terhadap perubahan vektor throughput
.
Untuk menyelesaikan persamaan (3.22), digunakan metode pengali Lagrange. Didefinisikan fungsi Lagrange
, (3.23) dengan merupakan vektor pengali Lagrange. Dalam kondisi optimum gradien fungsi Lagrange sama dengan nol, sehingga diperoleh
, (3.24) , (3.25) dengan . Persamaan (3.24) dan (3.25) yang diperoleh dengan menggunakan gradien fungsi Lagrange saat kondisi optimum ternyata merupakan bentuk rumus model kuantitas (persamaan (3.10)) dan model harga (persamaan (3.20)).
Berikut ini diberikan ilustrasi mengenai penggunaan persamaan (3.24) dan persamaan (3.25).
Contoh 11
vektor dan
vektor
Berdasarkan Contoh 10 diperoleh
dan
.
Dengan menggunakan program Mathematica 7.0 diperoleh
.
Persamaan (3.24)
Dalam kondisi optimum, gradien fungsi Lagrange pada persamaan (3.24) sama dengan nol sehingga diperoleh
(3.26) lalu kedua ruas pada persamaan (3.26) dikali dengan matriks sehingga diperoleh
.
Berdasarkan hasil vektor throughput yang diperoleh dengan menggunakan metode pengali Lagrange dan program Mathematica 7.0, terlihatlah perbedaan yang tidak terlalu signifikan dengan nilai vektor throughput yang ada pada Tabel 4, yaitu
. Hal ini menunjukkan bahwa vektor throughput dapat diperkirakan hasilnya dengan menggunakan rumus pada kombinasi antara model kuantitas dan model harga, khususnya rumus pada persamaan (3.24). Persamaan (3.25)
Dalam kondisi optimum, gradien fungsi Lagrange pada persamaan (3.25) sama dengan nol sehingga diperoleh
(3.27) dengan , merupakan vektor pengali Lagrange.
Kedua ruas persamaan (3.27) dikali dengan matriks sehingga diperoleh
Berdasarkan hasil vektor harga yang diperoleh dengan menggunakan metode pengali Lagrange dan program Mathematica 7.0, terlihatlah perbedaan yang tidak terlalu signifikan dengan nilai vektor harga yang diasumsikan bernilai 1 pada level awal, yaitu . Hal ini
menunjukkan bahwa vektor harga dapat diperkirakan hasilnya dengan menggunakan rumus pada kombinasi antara model kuantitas dan model harga, khususnya rumus pada persamaan (3.25).
3.4 Model Input-Output dalam Teori
Network
Model input-output merupakan kasus khusus dari konsep umum teori network flow yang secara luas digunakan dalam bidang riset operasi dan electrical network. Umumnya, teori network dapat dipandang sebagai bentuk aljabar matriks.
Dalam karya ilmiah ini, konsep penting teori network diperkenalkan pada contoh matriks gabungan input-output (Tabel 4). Pada contoh tersebut, graf berarah
memiliki sisi berarah dan simpul yang didefinisikan sebagai berikut
1. himpunan simpul
merupakan sekumpulan simpul berupa sektor yang melakukan transaksi pada tabel IO,
2. sisi berarah berada dalam sekumpulan sisi berarah jika terjadi transaksi dari simpul ke simpul . Ilustrasi graf berarah tersebut dapat dilihat pada Gambar 11 berikut.
12,150 C I 9,120 10,30 11,90 13,90 4,120 8,40 F En 5,80 3,80 6,60 7,100 2,100 Pn M 1,140
Gambar 11 Graf berarah dari Tabel 4. Setiap sisi berarah pada Gambar 11 terdapat dua buah bilangan yang menyatakan urutan sisi berarah dan banyaknya transaksi yang dilakukan. Misalnya, pada sisi berarah terjadi transaksi dari simpul menuju simpul
sebesar 30 dengan urutan sisi berarah ke-10. Hal yang perlu diperhatikan adalah urutan simpul dan sisi berarah tak perlu sama tergantung tujuan tertentu asalkan tepat kegunaannya.
Gambar 11 merupakan salah satu contoh graf berarah yang diperoleh dari Tabel 4. Graf berarah dapat dinyatakan dalam bentuk matriks dengan berbagai cara. Dalam hal ini Gambar 11 dapat dinyatakan dalam dua bentuk matriks Boole, yaitu matriks masukan dan matriks keluaran . Kedua matriks tersebut berukuran dengan menyatakan banyaknya simpul dan menyatakan banyaknya sisi berarah yang didefinisikan dalam bentuk berikut
(3.28) dan (3.29)
Pada Gambar 11 diperoleh
1, jika sisi berarah meninggalkan simpul
0, lainnya
1, jika sisi berarah masuk ke simpul
0, lainnya Ag
dan
Keseluruhan sisi berarah yang incident dengan semua simpul yang ada pada Gambar 11 baik sisi berarah yang masuk ke simpul maupun sisi berarah yang keluar dari simpul dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks incidence. Dalam hal ini matriks incidence berukuran dinyatakan dalam bentuk berikut
. (3.30)
Dari Gambar 11 diperoleh matriks , matriks , dan persamaan (3.30). Pada kasus ini diperoleh matriks adalah sebagai berikut.
Seluruh kolom yang ada pada matriks tersebut bila per kolom dijumlahkan akan menghasilkan nilai nol. Hal ini menunjukkan bahwa setiap sisi berarah hanya memiliki satu simpul awal dan satu simpul akhir dengan asumsi bahwa nilai -1 berarti simpul bertindak sebagai simpul akhir dan nilai 1 berarti simpul bertindak sebagai simpul awal (Olsen 1992). Sebagai contoh, pada kolom pertama baris pertama bernilai -1 berarti simpul sebagai simpul akhir dan kolom pertama baris tujuh bernilai 1 berarti simpul sebagai simpul awal. Bila keduanya dijumlahkan akan menghasilkan nilai nol berarti sisi berarah
memiliki satu simpul awal dan
satu simpul akhir, yaitu sebagai simpul akhir dan sebagai simpul awal.
Matriks , , dan merupakan matriks keluaran, matriks masukan, dan matriks incidence yang mengikutsertakan simpul lingkungan dalam network tersebut. Simpul-simpul yang ikut dalam network pada matriks incidence, antara lain , , , , , , dan, . Simpul lingkungan diperbolehkan tidak diikutsertakan tanpa mengurangi informasi yang ada. Bila simpul lingkungan tidak dikutsertakan dalam network maka matriks incidence yang dilambangkan dengan memiliki bentuk sebagai berikut
Secara umum, matriks dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut.
, (3.31)
dengan subscript merupakan bagian dari simpul input (simpul input-primer, yaitu ), merupakan bagian dari simpul-antara (simpul industri, yaitu ), dan merupakan bagian dari simpul output (simpul permintaan-akhir, yaitu ).
Demikian halnya dengan matriks , matriks diperbolehkan tidak mengikutsertakan simpul lingkungan dalam network sehingga diperoleh matriks masukan yang dilambangkan dengan dengan bentuk sebagai berikut
Secara umum, matriks dapat dinyatakan dalam bentuk berikut
, (3.32)
dengan subscript merupakan bagian dari simpul-antara (simpul industri, yaitu ) dan merupakan bagian dari simpul output (simpul permintaan-akhir, yaitu ).
Selanjutnya, diperoleh pula matriks keluaran tanpa simpul lingkungan dilambangkan dengan dengan bentuk sebagai berikut
Matriks , , , , , dan yang telah diperoleh menunjukkan bahwa setiap sektor yang bertindak sebagai simpul dan sisi berarah dalam graf berarah memiliki hubungan satu sama lain. Inilah yang menunjukkan bahwa teori network dapat
diterapkan dalam model input-output, yaitu setiap simpul yang berupa sektor-sektor terjadi saling keterhubungan dan ketergantungan. Tidak hanya itu saja, setiap sisi berarah yang memiliki bobot dapat didefinisikan dalam bentuk matriks bobot yang dilambangkan dengan serta didefinisikan sebagai
(3.33) dengan diasumsikan sebagai bobot di setiap sisi berarah .
Dalam hal ini bobot setiap sisi berarah dapat dilihat pada Gambar 11 ataupun Tabel 4. Sisi berarah yang memiliki bobot pada Gambar 11, yaitu dinyatakan dalam bentuk vektor bobot berukuran yang dilambangkan dengan .
Telah dikatakan bahwa matriks merupakan matriks bobot yang elemennya berupa semua bobot atau transaksi yang terjadi di setiap sisi berarah yang ada. Matriks dapat dinyatakan dalam bentuk lain yang di dalamnya melibatkan matriks keluaran dan masukan serta vektor bobot. Hal ini menunjukkan bahwa terjadi transaksi dari simpul sejumlah bobot tertentu sebesar menuju simpul yang secara umum matriks
direpresentasikan dalam bentuk
. (3.34) Bila matriks menggunakan matriks keluaran dan masukan tanpa mengikutsertakan simpul lingkungan diperoleh matriks bobot yang memiliki arti yang sama dengan matriks seperti pada persamaan (3.1), yaitu keseluruhan transaksi output yang terjadi pada model input-output dan bentuknya sebagai berikut
. (3.35) 3.5 Model Input-Output dalam Network
Flow
Dalam teori graf, network flow merupakan sebuah graf berarah dengan sisi berarahnya
, jika sisi berarah berada dalam himpunan sisi berarah E 0, lainnya
memiliki kapasitas dan flow. Jumlah flow yang ada pada sisi berarah tidak boleh melebihi kapasitas sisi berarah tersebut. Sisi berarah pada network digunakan untuk mewakili network dengan kemampuan mengangkut flow, misalnya cairan, komoditas, manusia, uang atau elektron-elektron. Secara tipe, flow pada network ditetapkan dengan tiga sisi berarah berbobot yang masing-masing merepresentasikan jumlah flow pada sisi berarah, kapasitas sisi berarah maksimal, dan biaya per unit yang melalui sisi berarah. Pada umumnya, flow sebenarnya adalah peubah sedangkan kapasitas dan biaya unit adalah tetap (konstanta).
Suatu peubah flow harus memenuhi kondisi kekekalan simpul pada network, yaitu setiap flow yang masuk ke simpul harus sama dengan setiap flow yang keluar dari simpul. Pada kasus model input-output, misalkan merupakan vektor yang mewakili semua flow pada sisi berarah dalam graf berarah maka kondisi kekekalan simpul yang harus dipenuhi adalah sebagai berikut
. (3.36) Pada persamaan (3.36) terlihat bahwa simpul lingkungan diikutsertakan dalam kondisi kekekalan simpul. Namun bila simpul lingkungan tidak diikutsertakan akan diperoleh kondisi kekekalan simpul yang menyerupai persamaan throughput yang telah diperoleh pada persamaan (3.4) sebagai berikut
, (3.37) dengan disebut sebagai vektor sirkulasi
, merupakan flow atau nilai transaksi yang terjadi pada sistem input, merupakan flow atau nilai transaksi yang terjadi pada sistem industri, dan merupakan flow atau nilai transaksi yang terjadi pada sistem output.
Persamaan (3.37) dapat dibuktikan melalui matriks masukan, matriks keluaran, dan vektor sirkulasi berikut ini. Dari Tabel 3, misalkan simpul sektor input-primer, simpul sektor industri, simpul sektor permintaan-akhir, dan simpul sektor
lingkungan diperoleh graf berarah seperti Gambar 11 sebagai berikut.
3, 1, 4, 2, 6, 5,
Gambar 12 Graf berarah dari Tabel 3. Berdasarkan Gambar 12 diperoleh matriks masukan, matriks keluaran, dan vektor sirkulasi sebagai berikut
Berdasarkan ruas kiri pada persamaan (3.37) diperoleh
Berdasarkan ruas tengah pada persamaan (3.37) diperoleh
3.5.1 Dualitas Network Flow
Masalah primal dan dual berkaitan erat sedemikian sehingga solusi optimal dari salah satu masalah akan secara otomatis menghasilkan solusi optimal bagi masalah lainnya. Dalam praktiknya, masalah yang sering ditemukan adalah menentukan flow pada network, meminimumkan beberapa fungsi dalam vektor sirkulasi pada model input-output (seperti topik dalam karya ilmiah ini), dan sebagainya. Masalah meminimumkan berkaitan dengan kemampuan manusia untuk meminimumkan biaya atau pemborosan, misalnya meminimumkan pemborosan energi.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas masalah dualitas yang ada, yaitu masalah primal berupa meminimumkan biaya satu unit yang melewati sisi berarah yang dikenal dengan vektor sirkulasi dan masalah dual berupa memaksimumkan kuantitas output.
Adapun bentuk masalah primal pada karya ilmiah ini adalah sebagai berikut
Minimumkan dengan kendala
(3.38)
dengan koefisien pada fungsi objektif merupakan biaya satu unit yang melewati sisi
berarah . Masalah pemrograman linear pada persamaan (3.38) dikenal dengan masalah flow maksimal, yaitu mencari flow maksimal pada network dengan meminimumkan biaya satu unit yang melewati sisi berarah . Kendala pertama pada persamaan (3.38) dikenal sebagai kondisi kekekalan simpul
yang menunjukkan kendala keseimbangan primal (kendala sistem). Dari sudut pandang matematis, pembatasan berarti vektor sirkulasi tidak dapat dipilih secara bebas dari ruang vektor tetapi harus dipilih dari ruang bagian
berdimensi . Hal ini
menunjukkan bahwa vektor sirkulasi berukuran dengan menyatakan banyaknya sisi berarah yang mengandung flow tidak sembarangan dipilih harus sesuai dengan banyaknya sisi berarah yang ada pada matriks incidence .
Kendala kedua pada persamaan (3.38) disebut kendala elemen network yang menunjukkan bahwa sifat berbagai sisi berarah berhubungan dengan flow yang terjadi atau dapat dikatakan bahwa kendala ini merupakan tambahan kendala-kendala lainnya yang berhubungan dengan fungsi objektif.
Berikut ini salah satu contoh masalah primal seperti pada persamaan (3.38).
Contoh 12
