III MODEL INPUT-OUTPUT
3.4 Model Input-Output dalam Teori
Network
Model input-output merupakan kasus khusus dari konsep umum teori network flow yang secara luas digunakan dalam bidang riset operasi dan electrical network. Umumnya, teori network dapat dipandang sebagai bentuk aljabar matriks.
Dalam karya ilmiah ini, konsep penting teori network diperkenalkan pada contoh matriks gabungan input-output (Tabel 4). Pada contoh tersebut, graf berarah
memiliki sisi berarah dan simpul yang didefinisikan sebagai berikut
1. himpunan simpul
merupakan sekumpulan simpul berupa sektor yang melakukan transaksi pada tabel IO,
2. sisi berarah berada dalam sekumpulan sisi berarah jika terjadi transaksi dari simpul ke simpul . Ilustrasi graf berarah tersebut dapat dilihat pada Gambar 11 berikut.
12,150 C I 9,120 10,30 11,90 13,90 4,120 8,40 F En 5,80 3,80 6,60 7,100 2,100 Pn M 1,140
Gambar 11 Graf berarah dari Tabel 4. Setiap sisi berarah pada Gambar 11 terdapat dua buah bilangan yang menyatakan urutan sisi berarah dan banyaknya transaksi yang dilakukan. Misalnya, pada sisi berarah terjadi transaksi dari simpul menuju simpul
sebesar 30 dengan urutan sisi berarah ke-10. Hal yang perlu diperhatikan adalah urutan simpul dan sisi berarah tak perlu sama tergantung tujuan tertentu asalkan tepat kegunaannya.
Gambar 11 merupakan salah satu contoh graf berarah yang diperoleh dari Tabel 4. Graf berarah dapat dinyatakan dalam bentuk matriks dengan berbagai cara. Dalam hal ini Gambar 11 dapat dinyatakan dalam dua bentuk matriks Boole, yaitu matriks masukan dan matriks keluaran . Kedua matriks tersebut berukuran dengan menyatakan banyaknya simpul dan menyatakan banyaknya sisi berarah yang didefinisikan dalam bentuk berikut
(3.28) dan (3.29)
Pada Gambar 11 diperoleh
1, jika sisi berarah meninggalkan simpul
0, lainnya
1, jika sisi berarah masuk ke simpul
0, lainnya Ag
dan
Keseluruhan sisi berarah yang incident dengan semua simpul yang ada pada Gambar 11 baik sisi berarah yang masuk ke simpul maupun sisi berarah yang keluar dari simpul dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks incidence. Dalam hal ini matriks incidence berukuran dinyatakan dalam bentuk berikut
. (3.30)
Dari Gambar 11 diperoleh matriks , matriks , dan persamaan (3.30). Pada kasus ini diperoleh matriks adalah sebagai berikut.
Seluruh kolom yang ada pada matriks tersebut bila per kolom dijumlahkan akan menghasilkan nilai nol. Hal ini menunjukkan bahwa setiap sisi berarah hanya memiliki satu simpul awal dan satu simpul akhir dengan asumsi bahwa nilai -1 berarti simpul bertindak sebagai simpul akhir dan nilai 1 berarti simpul bertindak sebagai simpul awal (Olsen 1992). Sebagai contoh, pada kolom pertama baris pertama bernilai -1 berarti simpul sebagai simpul akhir dan kolom pertama baris tujuh bernilai 1 berarti simpul sebagai simpul awal. Bila keduanya dijumlahkan akan menghasilkan nilai nol berarti sisi berarah
memiliki satu simpul awal dan
satu simpul akhir, yaitu sebagai simpul akhir dan sebagai simpul awal.
Matriks , , dan merupakan matriks keluaran, matriks masukan, dan matriks incidence yang mengikutsertakan simpul lingkungan dalam network tersebut. Simpul-simpul yang ikut dalam network pada matriks incidence, antara lain , , , , , , dan, . Simpul lingkungan diperbolehkan tidak diikutsertakan tanpa mengurangi informasi yang ada. Bila simpul lingkungan tidak dikutsertakan dalam network maka matriks incidence yang dilambangkan dengan memiliki bentuk sebagai berikut
Secara umum, matriks dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut.
, (3.31)
dengan subscript merupakan bagian dari simpul input (simpul input-primer, yaitu ), merupakan bagian dari simpul-antara (simpul industri, yaitu ), dan merupakan bagian dari simpul output (simpul permintaan-akhir, yaitu ).
Demikian halnya dengan matriks , matriks diperbolehkan tidak mengikutsertakan simpul lingkungan dalam network sehingga diperoleh matriks masukan yang dilambangkan dengan dengan bentuk sebagai berikut
Secara umum, matriks dapat dinyatakan dalam bentuk berikut
, (3.32)
dengan subscript merupakan bagian dari simpul-antara (simpul industri, yaitu ) dan merupakan bagian dari simpul output (simpul permintaan-akhir, yaitu ).
Selanjutnya, diperoleh pula matriks keluaran tanpa simpul lingkungan dilambangkan dengan dengan bentuk sebagai berikut
Matriks , , , , , dan yang telah diperoleh menunjukkan bahwa setiap sektor yang bertindak sebagai simpul dan sisi berarah dalam graf berarah memiliki hubungan satu sama lain. Inilah yang menunjukkan bahwa teori network dapat
diterapkan dalam model input-output, yaitu setiap simpul yang berupa sektor-sektor terjadi saling keterhubungan dan ketergantungan. Tidak hanya itu saja, setiap sisi berarah yang memiliki bobot dapat didefinisikan dalam bentuk matriks bobot yang dilambangkan dengan serta didefinisikan sebagai
(3.33) dengan diasumsikan sebagai bobot di setiap sisi berarah .
Dalam hal ini bobot setiap sisi berarah dapat dilihat pada Gambar 11 ataupun Tabel 4. Sisi berarah yang memiliki bobot pada Gambar 11, yaitu dinyatakan dalam bentuk vektor bobot berukuran yang dilambangkan dengan .
Telah dikatakan bahwa matriks merupakan matriks bobot yang elemennya berupa semua bobot atau transaksi yang terjadi di setiap sisi berarah yang ada. Matriks dapat dinyatakan dalam bentuk lain yang di dalamnya melibatkan matriks keluaran dan masukan serta vektor bobot. Hal ini menunjukkan bahwa terjadi transaksi dari simpul sejumlah bobot tertentu sebesar menuju simpul yang secara umum matriks
direpresentasikan dalam bentuk
. (3.34) Bila matriks menggunakan matriks keluaran dan masukan tanpa mengikutsertakan simpul lingkungan diperoleh matriks bobot yang memiliki arti yang sama dengan matriks seperti pada persamaan (3.1), yaitu keseluruhan transaksi output yang terjadi pada model input-output dan bentuknya sebagai berikut
. (3.35) 3.5 Model Input-Output dalam Network
Flow
Dalam teori graf, network flow merupakan sebuah graf berarah dengan sisi berarahnya
, jika sisi berarah berada dalam himpunan sisi berarah E 0, lainnya
memiliki kapasitas dan flow. Jumlah flow yang ada pada sisi berarah tidak boleh melebihi kapasitas sisi berarah tersebut. Sisi berarah pada network digunakan untuk mewakili network dengan kemampuan mengangkut flow, misalnya cairan, komoditas, manusia, uang atau elektron-elektron. Secara tipe, flow pada network ditetapkan dengan tiga sisi berarah berbobot yang masing-masing merepresentasikan jumlah flow pada sisi berarah, kapasitas sisi berarah maksimal, dan biaya per unit yang melalui sisi berarah. Pada umumnya, flow sebenarnya adalah peubah sedangkan kapasitas dan biaya unit adalah tetap (konstanta).
Suatu peubah flow harus memenuhi kondisi kekekalan simpul pada network, yaitu setiap flow yang masuk ke simpul harus sama dengan setiap flow yang keluar dari simpul. Pada kasus model input-output, misalkan merupakan vektor yang mewakili semua flow pada sisi berarah dalam graf berarah maka kondisi kekekalan simpul yang harus dipenuhi adalah sebagai berikut
. (3.36) Pada persamaan (3.36) terlihat bahwa simpul lingkungan diikutsertakan dalam kondisi kekekalan simpul. Namun bila simpul lingkungan tidak diikutsertakan akan diperoleh kondisi kekekalan simpul yang menyerupai persamaan throughput yang telah diperoleh pada persamaan (3.4) sebagai berikut
, (3.37) dengan disebut sebagai vektor sirkulasi
, merupakan flow atau nilai transaksi yang terjadi pada sistem input, merupakan flow atau nilai transaksi yang terjadi pada sistem industri, dan merupakan flow atau nilai transaksi yang terjadi pada sistem output.
Persamaan (3.37) dapat dibuktikan melalui matriks masukan, matriks keluaran, dan vektor sirkulasi berikut ini. Dari Tabel 3, misalkan simpul sektor input-primer, simpul sektor industri, simpul sektor permintaan-akhir, dan simpul sektor
lingkungan diperoleh graf berarah seperti Gambar 11 sebagai berikut.
3, 1, 4, 2, 6, 5,
Gambar 12 Graf berarah dari Tabel 3. Berdasarkan Gambar 12 diperoleh matriks masukan, matriks keluaran, dan vektor sirkulasi sebagai berikut
Berdasarkan ruas kiri pada persamaan (3.37) diperoleh
Berdasarkan ruas tengah pada persamaan (3.37) diperoleh
3.5.1 Dualitas Network Flow
Masalah primal dan dual berkaitan erat sedemikian sehingga solusi optimal dari salah satu masalah akan secara otomatis menghasilkan solusi optimal bagi masalah lainnya. Dalam praktiknya, masalah yang sering ditemukan adalah menentukan flow pada network, meminimumkan beberapa fungsi dalam vektor sirkulasi pada model input-output (seperti topik dalam karya ilmiah ini), dan sebagainya. Masalah meminimumkan berkaitan dengan kemampuan manusia untuk meminimumkan biaya atau pemborosan, misalnya meminimumkan pemborosan energi.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas masalah dualitas yang ada, yaitu masalah primal berupa meminimumkan biaya satu unit yang melewati sisi berarah yang dikenal dengan vektor sirkulasi dan masalah dual berupa memaksimumkan kuantitas output.
Adapun bentuk masalah primal pada karya ilmiah ini adalah sebagai berikut
Minimumkan dengan kendala
(3.38)
dengan koefisien pada fungsi objektif merupakan biaya satu unit yang melewati sisi
berarah . Masalah pemrograman linear pada persamaan (3.38) dikenal dengan masalah flow maksimal, yaitu mencari flow maksimal pada network dengan meminimumkan biaya satu unit yang melewati sisi berarah . Kendala pertama pada persamaan (3.38) dikenal sebagai kondisi kekekalan simpul
yang menunjukkan kendala keseimbangan primal (kendala sistem). Dari sudut pandang matematis, pembatasan berarti vektor sirkulasi tidak dapat dipilih secara bebas dari ruang vektor tetapi harus dipilih dari ruang bagian
berdimensi . Hal ini
menunjukkan bahwa vektor sirkulasi berukuran dengan menyatakan banyaknya sisi berarah yang mengandung flow tidak sembarangan dipilih harus sesuai dengan banyaknya sisi berarah yang ada pada matriks incidence .
Kendala kedua pada persamaan (3.38) disebut kendala elemen network yang menunjukkan bahwa sifat berbagai sisi berarah berhubungan dengan flow yang terjadi atau dapat dikatakan bahwa kendala ini merupakan tambahan kendala-kendala lainnya yang berhubungan dengan fungsi objektif.
Berikut ini salah satu contoh masalah primal seperti pada persamaan (3.38).
Contoh 12
vektor , dan
vektor
Dari Gambar 11 diperoleh matriks incidence . Nilai-nilai yang ada dalam vektor pada Contoh 12 berupa biaya satu unit yang melewati sisi berarah yang ditentukan sembarang. Namun sebenarnya, nilai-nilai vektor tersebut sesuai dengan biaya perkiraan yang dikeluarkan perusahaan saat periode tertentu.
Misalkan diberikan masalah primal sebagai berikut
min
dengan kendala
Masalah primal di atas memiliki solusi optimal sebagai berikut , ,
, , , ,
, , , ,
, , dan fungsi
objektif sebesar 460000 dengan menggunakan program LINDO 6.1 (Lampiran 8).
Masalah primal pada persamaan (3.38) memiliki masalah dual sebagai berikut. Maksimumkan
dengan kendala
(3.39) Masalah dual pada persamaan (3.39) memiliki dua variabel, yaitu variabel simpul network yang menunjukkan kendala keseimbangan primal dan variabel slack yang menunjukkan kendala lainnya seperti pada masalah primal (persamaan (3.38)) berupa
.
Berikut ini contoh masalah dual dari masalah primal (persamaan (3.38)).
Contoh 13 max
tak terbatas
Masalah dual di atas memiliki solusi optimal
sebagai berikut , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
dan fungsi objektif sebesar 460000 dengan menggunakan program LINDO 6.1 (Lampiran 9).
3.5.2 Input-Output dan Sirkulasi Biaya minimum
Pada pembahasan sebelumnya telah ditunjukkan bahwa model IO memenuhi kondisi network flow yaitu flow yang keluar sama dengan flow yang masuk dan model IO dapat dinyatakan dalam masalah dualitas (seperti Pembahasan 3.5.1). Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa masalah model input-output dapat dinyatakan dalam bentuk masalah pemrograman linear, yaitu sirkulasi biaya minimum. Hal inilah yang penting untuk menjawab tujuan karya ilmiah ini. Namun hal tersebut agak sulit dibuktikan. Untuk itu, dibutuhkan sebagai persediaan dari sektor ke sektor atau dengan kata lain persediaan dari baris ke kolom pada tabel IO sehingga diperoleh
, (3.40) dengan merupakan koefisien input persediaan dan merupakan vektor throughput penerimaan dari transaksi .
Seperti pada pembahasan sebelumnya mengenai model input-output bahwa semua koefisien input dapat digabungkan dalam sebuah matriks koefsien input. Dalam hal ini matriks koefisien input dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut
. (3.41) Berdasarakan persamaan (3.41). Bila ruas kiri persamaan (3.41) dikalikan dengan
matriks keluaran maka akan diperoleh matriks koefisien input seperti pada persamaan (3.7).
. (3.42) Dari ruas kiri dan tengah persamaan (3.42) diperoleh
Berdasarkan persamaan (3.35), yaitu dan persamaan (3.7) diperoleh
.
Masalah pemrograman linear pada persamaan (3.22) dapat dinyatakan dalam bentuk masalah sirkulasi biaya minimum yaitu bentuk permasalahan yang memperhatikan masalah biaya yang melewati setiap sisi berarah secara keseluruhan dengan bentuk sebagai berikut
Minimumkan dengan kendala
(3.43)
Berikut ini diberikan contoh masalah sirkulasi biaya minimum seperti pada persamaan (3.43).
Contoh 14
Misalkan vektor
dan vektor .
Berdasarkan Tabel 4 dan persamaan (3.41) diperoleh
,
, dan
.
Berdasarkan persamaan (3.43) diperoleh bentuk pemrograman linear sebagai berikut Min
dengan kendala
Jadi nilai fungsi objektifnya adalah 240. IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan
Model input-output merupakan salah satu contoh kasus khusus konsep umum teori graf, yaitu network dan network flow. Adapun dasar model input-output merupakan tabel IO yang menyajikan informasi tentang transaksi barang dan jasa yang terjadi antarsektor disajikan dalam bentuk matriks dengan jumlah input sama dengan jumlah output.
Melalui teori network terbukti bahwa setiap sektor yang ada dalam bidang perekonomian memiliki peranan baik sebagai produsen maupun sebagai konsumen. Tidak hanya itu saja melalui teori network flow yang mengatakan bahwa flow masuk sama dengan flow keluar dapat membuktikan bahwa dalam model input-output jumlah input harus sama dengan jumlah output.
Permasalahan yang sering dialami pelaku ekonomi dalam melakukan transaksi input-output adalah meminimumkan biaya yang terjadi. Berdasarkan konsep network flow ditemukan formulasi yang memudahkan pelaku ekonomi untuk meminimumkan biaya tersebut. Formulasi itu dikenal dengan sirkulasi biaya minimum. Dalam formulasi tersebut, hal yang akan diminimumkan adalah harga input pada sektor model input-output dengan memperhatikan kendala yang harus terpenuhi yaitu flow masuk sama dengan flow keluar.
4.2 Saran
Pada karya ilmiah ini telah dibahas mengenai model input-output merupakan salah satu contoh kasus permasalahan dalam network flow yaitu sirkulasi biaya minimum.
Penulis menyarankan untuk selanjutnya dilakukan pembahasan mengenai model input-output dalam electrical network yang lebih
modern dibandingkan dengan teori graf yang sudah cukup lama dikenal.