INTEGRAL
PENGERTIANBila diketahui :
y = F(x) + C maka y ’ = F ’(x)
y ’ adalah turunan dari y sedangkan y adalah integral (anti turunan) dari y ’ dan dapat digambarkan :
differensial differensial Y Y’ Y” Integral integral
Integral tak tentu : Disebut juga sebagai anti turunan, merupakan integral tanpa batas yang selalu memuat nilai konstanata (C) yang tak tentu nilainya.:
F’(x) dx = F(x) + C
Integral tertentu : Integral dengan bentuk fungsi (di ruas kanan) tertentu dan disertai batas integrasi, ditulis :
b
aF(a)
F(b)
F(x)
(x)dx
F'
ba RUMUS DASAR 1.
. xn 1 c 1 n a dx x a n
dx
x1 dx x 1 =
n x
c
2. cosx dx = sin x + C sinx dx = -cos x + C sec2x dx = tg x + C cosec2x dx = -cotg x + C sec x . tg x dx = sec x + C cosec x . cotg x dx = -cosec x + C SIFAT 1. {F(x) G(x)} dx = F(x) dx G(x) dx 2. k F(x) dx = k F(x) dx 3.
b
a a bF(x)dx
F(x)dx
4.
b
a c b c aF(x)dx
F(x)dx
F(x)dx
5.
a
aF(x)dx
0
PENERAPAN INTEGRAL - menghitung luas - menghitung vol- menghitung panjang busur
1. Menghitung luas daerah berdasar batas sumbu x
L1 =
b ay
dx L2 = -
c by
dx berdasar batas sumbu yL1 =
b ax
dy L2 = -
c bx
dy luas daerah diantara 2 kurva
luas daerah arsiran :
b a )dx y (y L 2 12. Menghitung volume benda putar Kurva y = f(x) diputar 360 o thd sb. x V =
b a 2y
dx Kurva x = f(y) diputar 360 o thd sb. yV =
b a 2x
dy x = a x = b x = c L1 L2 y = a y = b y = c L 1 L 2 Y = a Y = b x = a x = b Y1 = f(x) Y2 = g(x) x = a x = b Y = f(x) x y = a x = f(y) y = b y xIN
TE
G
RA
L
3. Menghitung panjang busur suatu kurva
dx
1
d
b a dx dy 2 AB
Teknik pengintegralan 1. Cara biasaArahkan pada operasi penjumlahan (+/-) 2. Cara substitusi a.
.(ax b) C 1 n 1 . a 1 dx b) (ax n n 1 b.
(x) g' d.g(x) (x). F[g(x)]g' (x)dx F[g(x)].g' c. Trigonometri:
a2 dxx2 x = a sin t dx = a cos t dt
a2 dxx2 x = a . tg t dx = a . sec2 t dt
x2 dxa2 x = a sec t dt dx = a . sec t. tg t dt 3. Integral parsial : u dv = u . v - v . duDengan bentuk v du lebih sederhana dari u dv
Integral Pecah Rasional
1.
a.n(ax b) c 1 b ax dx 2.
(x q)dx b dx p) (x A q) p)(x (x dx 3.
p)(x q)2 (x dx
(xAp)(xBq)(xCq)2dx 4.
p)(ax bx c) (x dx 2
xApaxBx2bxCcdxSoal-soal latihan :
1. Jika f(x)
(3x22x6)dx dan f(0)6, maka f(x) = … (A) x3 + 6x2 x 6 (B) x3 x2 + 6x 6 (C) x3 6x2 + x 6 (D) x3 x2 6x 6 (E) x3 + x2 + 6x 6 2. Jika f(x)
2ax(a1)dx, f(1)3, dan 0 ) 2 (f , maka nilai a adalah a. 2 b. – 2 c. – 3 1 d. 21 e. –21
3. Jika F'(x)8x2 dan F(5)36, maka F(x) = a. 8x2 2x 159 b. 8x2 2x 154 c. 4x2 2x 74 d. 4x2 2x 54 e. 4x2 2x 59 4. Jika f(x)
(3x22x5)dx dan f(1)0, maka f(x) = … a. 2x3 + 2x2 5x 6 b. 4x3 2x2 + 5x 4 c. x3 x2 + 2 5x 2 5 d. x3 x2 + 5x 5 e. x3 + x2 + 5x 75. Jika f(x)
(x22x1)dx dan f(1)0, maka f(x) = … a. 3 1x3 x2 + x 3 1 b. 3 1 x3 2 x2 + 2 x 3 1 c. 3 1 x3 + 2 x2 2 x 3 1 d. 3 1 x3 + x2 x 3 1 e. 3 1 x3 + 2x2 2x 3 1 Y = f(x) A B d x = a x = b xIN
TE
G
RA
L
6. F'(x)(x1)(x2). Jika 2 3 ) 3 ( F , maka F(x) = a. 3 1x3 + 2 3x2 + 2x b. 3 1x3 + 2 3x2 – 2x c. 3 1x3 + 2 3x2 + 2x – 3 d. 3 1x3 + 2 3x2 + 2x + 3 e. (x + 1)2 42) x ( 2
7. Bila F(x)
(4x)dx, maka grafik y f(x) yang melalui (8,0) paling mirip dengan a. b. c. d. e. 8.
1 0 2 dx ) x ( f dan
1 2 2 dx ) x ( f 2 , maka
2 0 ... dx ) x ( f a. 3 b. 1 c. 0 d. – 1 e. – 2 9.
2 1 3 ... x dx a. 83 b. 8 5 c. 6463 d. 1 641 e. 8 710. Nilai a > 0 yang memenuhi
a 0 6 dx ) 1 x 2 ( adalah … a. 2 b. 5 c. – 2 d. 3 e. – 3 11. Jika 10 3 dx x 2 1 a 0 3 2
, (2x 3)dx 4 b 0
dana, b > 0, maka nilai a22abb2 adalah ….
a. 10 b. 15 c. 20 d. 25 e. 30
12. Jika p banyaknya faktor prima dari 42 dan q akar positif persamaan: 3x25x20 , maka (5 3x)dx ... p q
a. 3 3 2 b. 2 2 1 c. 2 2 1 d. 3 3 1 e. 5 2 113. Jika n > 0 dan memenuhi persamaan
2 n 0 3 2nx)dx 3n x (
, maka nilai n samadengan … . a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 14. Jika x 3 x 3 1 y 3 , maka
2 4 (dxdy) dx 1 2 a. 6 13 b. 6 14 0 8 0 8 8 8 8 8 8 0 8IN
TE
G
RA
L
c. 6 15 d. 6 16 e. 6 17 15.
sin2xcosx dx= .... a. 3 1 sin3x + C b. 3 1 cos3x + C c. 3 1sinx 3 1 sinx cos2x + C d. 3 1cosx 3 1 cos sin2x + C e. 3 1cosx + 3 1 cos sin2x + C 16.
sin3xcosxdx = a. 4 1sin4x + C b. 4 1cos4x + C c. 4 1cos2x + C d. 3 1 sin2x + C e. 3 1 sin4x + C 17. 2cos2xdx 0
= … a. 2 1 b. 0 c. 2 d. 1 e. 3 18.
0 2 dx ) 2 x 5 sin( = … a. 1 b. 5 1 c. – 1 d. 5 1 e. 0 19. Jika
w 0 dt ) t cos t (sin ) w ( f , maka 6 f = … a. 2 3 1 b. 2 3 1 c. 32 3 d. 2 3 1 e. 1 + 3 20.
2 0(1 cosx)sinxdxadalah …
a. 0 b. 0,5 c. – 0,5 d. 1,5 e. – 1,5 21.
2 0 dx x sin ) x cos 1 ( adalah a. 0 b. 0,5 c. 0, 05 d. 0,5 e. 1,522. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 5
x 6 x
y 2 dan sumbu x adalah …
a. 3 30 b. 3 31 c. 3 32 d. 3 33 e. 3 34
23. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola
2
x
y dan garis y adalah … 4 a. 3 23 b. 3 25 c. 3 27 d. 3 32 e. 3 35
24. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
2
x
y dan garis yx2 adalah … a. 7,5 b. 3 c. 10,5 d. 6,5 e. 4,5
IN
TE
G
RA
L
25. Luas daerah yang dibatasi kurva x
3 x
y 2 dan garis y x adalah … a. 3 28 satuan luas b. 10 satuan luas c. 3 32 satuan luas d. 3 34 satuan luas e. 12 satuan luas
26. Luas daerah dibawah parabola y3xx2
dan diatas garis yx3 adalah a. 9 b. 9 3 2 c. 10 3 2 d. 11 e. 11 3 2
27. Luas daerah yang dibatasi oleh
parabolay3x2 4x1 dan yx1 adalah.. a. 3 7 b. 2 c. 3 5 d. 2 3 e. 2 1
28. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola
2 x y dan y4x2 adalah … a. 8 2 b. 3 16 2 c. 4 2 d. 3 8 2 e. 2
29. Luas daerah yang dibatasi parabola y x2 dan garis2xy30 adalah…
a. 5 24 b. 4 32 c. 3 32 d. 3 31 e. 3 29
30. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
2
) 2 x (
y dan garis y = x adalah a. 4 6 1 satuan luas b. 4 6 2 satuan luas c. 4 6 3 satuan luas d. 4 6 4 satuan luas e. 4 6 5 satuan luas
31. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh busur parabola y 4x2 dan y2 2x adalah
… a. 6 1 b. 4 1 c. 3 1 d. 2 1 e. 1
32. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
2
x x 2
y , sumbu-x dan garis x 3 sama dengan … a. 8 b. 4 c. 3 8 d. 3 4 e. 0
33. Luas daerah yang dibatasi kurva 4
x 3 x
y 2 , sumbu x, garis x 2 dan
6 x adalah …. a. 5 3 1 satuan luas b. 7 3 1 satuan luas c. 12 3 2satuan luas d. 20 satuan luas e. 20 6 5satuan luas
34. Luas daerah yang diarsir adalah … a. 169 b. 2 c. 2 2 1 d. 2 8 1 1 2 x 2y = 0 1
IN
TE
G
RA
L
e. 2
83
35. Luas kurva yang diarsir a. 10 3 2 b. 8 c. 2 3 2 d. 531 e. 12
36. Luas daerah yang diarsir (lihat gambar) = … a. 4 5 b. 5 7 c. 1 d. 5 6 e. 76
37. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x
2 x
y 2 , sumbu-x dan garis x 3 adalah
a. 0 b. 1 3 1 c. 2 3 2 d. 8 e. 4
38. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan sumbu-x, seperti pada gambar adalah 32. Ordinat puncak parabola adalah …
a. 4 b. 8 c. 12 d. 16 e. 18
39. Luas daerah berikut yang diarsir dapat dinyatakan dengan … (1) 4 0
2 dx + x 8 4
( 2 – x + 4) dx x (2) 4 0
2 dx + x 8 4
( 2 + x + 4) dx x (3) 4 0
( y – 2 1y2 + 4) dy (4) 4 2
( 2 1y2 – y + 4) dy40. Luas daerah yang dibatasi oleh
kurvay sin2x, sumbu x, garis x6dan garis x 3adalah …. a. 4 1 b. 2 1 c. 2 1 ( 3 1) d. 1 e. 2 1 ( 3 +1)
41. Jika luas bidang yang dibatasi oleh garis x
2 3
y , y500x dan sumbu x antara x = a dan x = b menyatakan banyaknya karyawan suatu pabrik yang berpenghasilan antara a ribu rupiah dan b rupiah, maka karyawan yang berpenghasilan di atas 400.000 adalah … a. 5 2 bagian b. 3 1 bagian c. 5 1 bagian d. 152 bagian e. 151 bagian
42. Jika M = biaya marginal, T = biaya total, dan B = jumlah barang yang diproduksi, diperoleh hubungan M = dT/dB. Jika diketahui bahwa M = 4B + 5 dan biaya tetap (biaya untuk produksi nol) adalah Rp.20.000,- maka biaya total untuk memproduksi 1000 barang adalah … a. Rp 25.000 b. Rp 65.000 c. Rp 2.025.000 d. Rp 8.005.000 e. Rp 8.010.000 43. Jika f
x cos2xdx
dan g
x xf'
x maka 2 x g' = a. sin x x sin2x 2 2 b. sin2xxsin2x 0 1 2 3 x = y2 B(2,0) A(1,1) y = x 2 0 2 0 (4,0)IN
TE
G
RA
L
c. sin x 2 x sinx 2 2 d. sin2xxsin2x e. sin x x sin2x 2 2 44. Untuk 8 x 8 maka
1 tg22x tg42x tg62x ...dx a. 21tg 2x +k b. 21cos2x +k c. 12cos 2x +k d. 21sin 2x +k e. 21sin 2x +k 45. Diketahui f(x )dxax2bxc
, dan a 0.Jika a, f(a)., 2b membentuk barisan aritmatika, dan f(b) = 6, maka 1f(x)dx
0
= a. 174 b. 214 c. 254 d. 134 e. 11446. Turunan pertama fungsi f(x) ialah 1 x 4 3 jika 5 ) 1 ( f maka f(2) = … a. 6 b. 7 21 c. 8 21 d. 831 e. 9
47. Diketahui dfdx(x)3 x , jikaf(4)19 maka f(1) = a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
48. Gradien garis singgung kurva y f(x) di titik )
y , x
( adalah 3x24x6. Jika kurva melalui )
14 , 1
( maka ia memotong sumbu y di a. (0, 5) b. (0, 421) c. (0, 4) d. (0, 3) e. (0, 2) 49. Jika f(x)axb, 1 dx 1 0f(x)
dan
2 1 f(x)= 5 maka a + b = a. 3 b. 4 c. 5 d. – 3 e. – 450. Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x,y) sama dengan 2 x 5. Jika kurva ini melalui titik (4,7) maka kurva tersebut memotong sumbu y di … a. (0,11) b. (0,10) c. (0,9) d. (0,8) e. (0,7)
51. Gradien garis singgung grafik fungsi )
x ( f
y di setiap titik P(x,y) sama dengan dua kali absis titik P tersebut. Jika grafik fugsi itu melalui titik (0,1) maka f(x) = … a. x2 + x 1
b. x2 + x 1
c. x2
d. x2
e. x2 + 1
52. Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x,y) adalah 3 x. Jika kurva ini melalui titik (4,9) maka persamaan garis singgung kurva ini di titik yang berabsis 1 adalah … a. 3x y 1 = 0
b. 3x y + 4 = 0 c. 3x y 4 = 0 d. 3x y + 8 = 0 e. 3x y 8 = 0
53. Tururnan kedua dari f(x) adalah 2 x 6 ) x ( ''
f . Jika grafik y f(x) melalui titik (1,6) dan garis singgung y f(x) di titik A mempunyai gradien 4, maka f(x) = a. x3 – x2 + 5x + 1 b. x3 – x2 + 4x + 2 c. x3 – x2 + 3x + 3 d. x3 – x2 + 2x + 4 e. x3 – x2 + x + 5 54. Diketahui dxdFaxb, F(0)F(1)3; 5 ) 0 ( F ) 1 ( F , maka a + b = a. 8 b. 6 c. 2 d. – 2
IN
TE
G
RA
L
e. – 4
55. Jika gambar dibawah ini adalah grafik
dx ) x ( df
y , maka dapat disimpulkan bahwa
fungsi f(x) =
a. Mencapai nilai maksimum di x = 1 b. Mencapai nilai minimum di x = 1 c. Naik pada interval {x x < 1}
d. Selalu memotong sumbu-y di titik (0,3) e. Merupakan fungsi kuadrat
56. Sebuah kurva melalui titik (0,1) dan (1,2). Jika gradien garis singgungnya disetiap titik (x,y) adalah ax 1, maka kurva itu adalah … a. Lingkaran
b. Parabol c. Hiperbol d. Elips e. garis lurus
57. Kecepatan atau laju pertumbuhan penduduk suatu kota untuk t tahun yang akan datang dinyatakan sebagai.
t 400t 600 tN ,0t9
Jika banyak penduduk saat ini adalah 5.000 jiwa, maka banyak penduduk 9 tahun yang akan datang adalah
a. 37.000 Jiwa b. 35.000 Jiwa c. 33.000 Jiwa d. 32.000 Jiwa e. 30.000 Jiwa
58. Apabila fungsi f(x) dapat diintegralkan pada selang axb berlakulah … a.
b a f(x) dx = f(b) – f(a) b.
b a f(x) dx +
a b f(x)dx = 2
b a f(x) dx c.
b a f(x) dx
a b f(x)dx = 0 d.
b a 2f(x) dx = 2 f(b – a) e.
b a f(x) dx +
a b f(x)dx = 059. Jika f(x) dan g(x) dapat diintegralkan dalam selang axb dan g 0 maka
(1)
b a f(x) g(a)dx = g(a)
b a f(x) dx (2)
b a b a (f(a) g(x))dx f(a)(b a) g(x)dx (3) ) a ( g dx ) x ( f b a
=
b ag(a) ) x ( f dx (4)
b a b a b a (f(x) g(x))dx f(x)dx g(x)dx60. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x
sin
y , y cosx dan sumbu x untuk 2 x 0 adalah … a. 2 dx 0 (sinx cosx)
b.
2 0 (cosx sinx)dx c. 4 dx 0sinx
2 dx 4 x cos
d. 4 dx 0cosx
2 dx 4 x sin
e. 4 dx 0sinx
+ 2 dx 4 x cos
61. Diketahui
x c 2dt t ) x ( f . Jika f(2)193maka kurva memotong sumbu x pada a. (0,0)
b. (1,0) c. (2,0) d. (3,0) e. (193 ,0)
62. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola 2 x x 6 y dan yx22x adalah … a. 32 b. 3 20 c. 3 64 d. 16 e. 21
63. Grafik fungsi f(x) melalui titik (3,12). Jika 2 x 2 ) x ( '
f maka luas daerah yang dibatasi kurva y f(x), sumbu x, sumbu y, dan garis
2 x adalah … a. 4 b. 9 c. 11 1 0 1 4 3 3 x y
IN
TE
G
RA
L
d. 19 e. 27
64. Daerah D1 dibatasi oleh parabola y x2,
garis y = 4, dan garis x = c dan daerah D2
dibatasi oleh parabola y x2, garis x = c, dan sumbu x. Jika luas D1 = luas D2, maka
luas siku empat yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, garis y = 4 dan garis x = c adalah … a. 3 4 b. 3 8 c. 3 16 d. 5 e. 3 20
65. Dua buah parabola P1 dan P2 memotong
sumbu x pada dua titik yang sama yaitu (2,0) dan (2,0) dan memotong sumbu y positif masing-masing di titik A dan B (0B > 0A). Jika 0A = 4 dan luas antara dua parabola tersebut adalah 3 32 maka persamaan parabola P2 adalah … a. y = 3(x2 – 4) b. y = 2,5(x2 – 4) c. y = 2,5(x2 + 4) d. y = 103 (x2 – 4) e. y = 2(x2 – 4)
66. Grafik fungsi y = cosx disinggung oleh garis g di titik (
2
,0) dan oleh garis h di titk ( 2 ,0). Kurva grafik fungsi kosinus tersebut garis g dan garis h membatasi daerah D. Luas daerah D adalah a. 8 2 1 b. 4 2 1 c. 4 2 2 d. 2 2 4 e. 2 8
67. Titik A(3,9), B(2,4), C(2,4) dan D(3,9) terletak pada parabola y x2, garis AC dan BD berpotongan di titik P. Jumlah luas daerah PAB dan daerah PCD adalah
a. 12 b. 373
c. 15 d. 18 e. 323
68. Luas daerah yang dibatasi oleh garis 2 1 y dan kurva 22 x 1x y dapat dinyatakan sebagai integral tertentu :
a. dx 1 x 1 x 1 0 2 2
b. 2 dx x 1 x 1 1 0 2 2
c.
0111xx22 dx d. 2
1 0 2 2 dx x 1 x e. 2
1 0 1 x2dx x69. Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi y x, garis x = 4, dan sumbu x. Jika fungsi linier
kx
y (k konstanta) membagi daerah D atas dua bagian yang luasnya sama, maka k = … a. 2 1 b. 3 1 c. 4 1 d. 5 2 e. 8 3
70. Jika D adalah daerah yang dibatasi parabol
2
x x 4
y serta garis yang melalui (4 , 0) dan puncak parabol, maka luas D adalah a. 34
b. 163 c. 20 3 d. 26 3 e. 28 3
71. Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu y, kurva y sinx,y cosx, dan garis x adalah a. 2 b. 2 c. 2 + 2 d. 2 2 e. 2 2 y = x2 y 4 x c x A (2,0) (2,0) B y P2 P1
IN
TE
G
RA
L
72. Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi x
1
y , garis x = 1, garis x = 4 dan sumbu-x. Jika garis x = c memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama, maka c = a. 2
b. 5 c. 214 d. 212 e. 6
73. Luas daerah dalam kuadran I yang dibatasi oleh y4x2, y 3x, dan y , dapat 0
dinyatakan sebagai a.
1 0 3x)dx x (4 2 b.
2 0 3x)dx x (4 2 c.
2 0 2 x )dx 3 (3x d.
1 0 dx 3x
2 1 dx ) x (4 2 e.
1 0 dx 3x
2 1 4)dx (x274. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
4y
x , garis x 2, sumbu-x, dan garis 4
y dapat dinyatakan sebagai a.
4 0 dx ) x 4 1 (4 2 b.
2 0 dx x 4 1 2 +
4 2 dx 4 c.
2 0 dx x 4 1 2 +
4 2 dx 4) x 4 1 ( 2 d.
2 0 dx x 4 1 2 +
4 2 dx ) x 4 1 (4 2 e.
2 0 dx x 4 1 2 +
3 2 dx ) x 4 1 (4 275. Luas daerah dalam kuadran pertama yang dibatasi oleh y x2, y2x dan sumbu-x dapat dirumuskan sebagai
a. 2(2 x x )dx 0 2
b. 1(2 x x )dx 0 2
c. 2(x x 2)dx 0 2
d. 1x dx 0 2
2(x 2)dx 1
e. 1(2 x)dx 0
+ 2x dx 1 2
76. Luas daerah antara kurvay(x1)3, garis1
y , garis x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai a.
2 1 3dx ) 1 x (
2 1 dx b.
2 1 3dx ) 1 x ( +
2 1 dx c.
2 0 0 1 3 0 1 dx ) 1 x ( dx dx +
2 0 3dx ) 1 x ( d.
2 0 0 1 3 0 1 dx ) 1 x ( dx dx
2 0 3dx ) 1 x ( e.
2 1 dx
0 1 3dx ) 1 x ( +
2 0 3dx ) 1 x (77. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi x
cos
y dan turunannya pada selang 2 3 x 2 adalah a. 3 b. 2 2 c. 4 d. 5 e. 6
78. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
2
x x 2
y , sumbu-x, garis x 1 dan x 2 adalah … a. 2 b. 37 c. 38 d. 3 e. 103
79. Luas daerah yang diarsir adalah … a. 21 6 b. 21 2 1 12 2 c. 21 2 1 12 3 d. 12 3 1 12 e. 21 3 1 12 y = 1 – 2sin 2x y x 1
IN
TE
G
RA
L
80. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
2 5 x y ,
2 x 5y , sumbu x positif dan garis 10 x adalah a. 365 b. 4 c. 4 61 d. 465 e. 561
81. Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva px
y dan garis y = x dalah 3 2 , maka p a. 6 3 1 b. 2 c. 2 5 d. 2 atau – 2 e. 2 5 atau 2 5
82. Diberikan grafik fungsi y x2 2x
1
.
Jika M adalah nilai minimum fungsi tersebut maka luas daerah yang diarsir adalah a. 78 satuan luas
b. 89 satuan luas
c. 47 satuan luas
d. 43 satuan luas
e. 1 satuan luas
83. Daerah D terletak di kuadran I yang dibatasi oleh parabola y x2, parabola
2
x 4
y , dan garis y = 4. Volume benda putar yang terjadi bila D diputar terhadap sumbu y adalah … a. 3 b. 4 c. 6 d. 8 e. 20
84. Daerah D dibatasi oleh kurva y sinx,
x
0 dan sumbu x. Jika daerah D diputar terhadap sumbu x, maka volume benda putar yang terjadi adalah …
a. b. 0,52
c. 2
d. 2 e. 22
85. Garis g menyinggung kurvay sinx di titik (,0). Jika daerah yang dibatasi oleh garis g, garis
2 1
x dan kurva y sinx diputar mengelilingi sumbu x, maka volume benda putar yang terjadi adalah
a. 16 2 (2 8) b. 16 2 (2 6) c. 24 (2 2 6) d. 8 2 (2 6) e. 8 2 (2 8) y x = 10 y =