BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Aksioma dan Teorema
Dalam penulisan skripsi ini, dijabarkan beberapa aksioma dan teorema yakni sebagai berikut :
Aksioma 1
Untuk setiap kejadian , . Yakni bahwa probabilitas dari setiap kejadian adalah non-negatif.
Aksioma 2
, menyatakan bahwa jika setiap kejadian pasti untuk terjadi, maka probabilitas dari kejadian tersebut adalah 1.
Aksioma 3
Untuk jumlah kejadian saling asing yang tidak terbatas
Aksioma ini menyatakan bahwa untuk dua kejadian atau lebih yang saling asing, maka probabilitas dari suatu kejadian atau lebih yang terjadi adalah jumlah dari masing-masing probabilitasnya.
Bukti : Andaikan kejadian sedemikian hingga untuk Karena
, maka kejadian adalah kejadian saling asing, untuk Berdasarkan aksioma 3, diperoleh :
Teorema 2
Untuk kejadian yang saling asing
Bukti : Andaikan kejadian tak terbatas dimana dimana adalah kejadian yang diberikan dan untuk . Maka untuk kejadian yang tak terbatas ini adalah saling asing dan
Melalui aksioma 3,dapat diperoleh :
Untuk setiap kejadian
Bukti : Andaikan kejadian dan saling asing dan
Teorema 4
Untuk setiap kejadian
Bukti : Dari aksioma 1 diperoleh . Jika , maka dari teorema 3 yang mana ini berkontradiksi dengan aksioma 1, yang menyatakan probabilitas setiap kejadian harus non-negatif, maka sehingga .
Teorema 5 Jika , maka
Bukti : Pada gambar berikut :
Gambar 2.1 Himpunan
Dari gambar, kejadian adalah gabungan dari kejadian dan , sehingga
, dari aksioma 1, , maka .
S
B
B A
Teorema 6
Untuk dua kejadian dan , Bukti: Pada gambar berikut :
Gambar 2.2 Himpunan Dari gambar di atas dapat dituliskan
Dari teorema 2 didapat
Dari gambar.2 juga diperoleh
Maka
Sehingga
Teorema 7
Diberikan ruang sampel , jika S mempunyai N bagian dari kejadian untuk kejadian dari .
Bukti : Diberikan dimana setiap adalah titik sampel dari ekperimen. Untuk titik sampel dari probabilitas untuk semua , . Lalu diberikan
Teorema 8
Jika adalah sampel diskrit dengan elemen kejadian , dimana mempunyai , maka untuk kejadian
Bukti :
, jika , jika
Teorema 9
Jika , adalah partisi dari ruang sampel eksperimen dan untuk untuk kejadian dari , maka dapat di tulis:
Bukti :
adalah mutually exclusive (saling bebas), dimana dimana sehingga diperoleh adalah himpunan dari kejadian yang
mutually exclusive. Sekarang diperoleh diberikan , untuk itu
Tetapi Maka,
2.2 Probabilitas
Probabilitas suatu kejadian adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk . Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti. Misalnya, = 0,80 artinya probabilitas bahwa suatu kejadian akan terjadi sebesar 80% dan probabilitas tidak terjadi adalah sebesar 20%. Nilai probabilitas ini dapat dihitung berdasarkan nilai hasil pengamatan (obyektif) atau berdasarkan pertimbangan (subyektif).
Besarnya probabilitas terjadinya suatu kejadian adalah antara nol sampai satu. Atau dapat dapat dituliskan , dimana menyatakan nilai kemungkinan bagi munculnya kejadian . Dan jumlah semua kemungkinan dari seluruh hasil kejadian yang mungkin muncul adalah satu. Pernyataan tersebut dapat dituliskan
atau dimana menyatakan anggota ruang hasil.
Nilai probabilitas suatu kejadian dapat dihitung dengan rumus:
dimana: Probabilitas terjadinya kejadian
Banyaknya kejadian yang mungkin terjadi (populasi) Kejadian yang ingin diukur (sampel)
Contoh : Berapa probabilitasnya terambil kartu gambar hati dari satu set kartu bridge pada sekali pengambilan?
Jawab: (jumlah satu set kartu bridge)
(banyaknya kartu gambar hati dalam satu set kartu bridge) Sehingga dapat dihitung dengan mudah bahwa
2.3 Probabilitas Bersyarat
1. Bila dan mutually exclusive (kejadian yang saling meniadakan), maka :
2. Bila dan dua kejadian sembarang, maka
3. Bila ada kejadian yaitu yang mutually exclusive dan membentuk kejadian , maka :
4. Bila dan independent (bebas), maka :
5. Bila A dan B dependent (tidak bebas), maka :
, dimana
Probabilitas bersyarat adalah probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi. Notasi dituliskan dalam bentuk dan dibaca probabilitas A dengan syarat
Definisi : Jika A dan B adalah dua kejadian sedemikian hingga , maka :
2.4 Teorema Bayes, Probabilitas Prior dan Probabilitas Posterior
Teorema Bayes
Teorema Bayes berdasar pada probabilitas bersyarat. Dalam teorema Bayes, jika terdapat
saling meniadakan (mutually exclusive event), kemudian suatu kejadian di mana , maka :
dimana : = Probabilitas terjadinya kejadian Ai, dengan syarat terjadi
kejadian .
= Probabilitas terjadinya kejadian .
= Probabilitas terjadinya kejadian dengan syarat terjadi kejadian
dengan = .
Teorema Bayes tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut:
Probabilitas Prior
Probabilitas prior atau sering juga disebut sebagai probabilitas awal merupakan informasi awal yang menyatakan nilai probabilitas suatu kejadian.
Contoh : Anda ingin membeli 100 unit suku cadang sepeda motor. Lalu sebelum transaksi dilaksanakan, penjual mengatakan kepada Anda bahwa perusahaan mereka mentolerir 5% hasil produksi yang cacat dari semua barang hasil produksi mereka per bulannya. 5% atau 0,05 ini adalah nilai probabilitas awal yang anda ketahui tentang kondisi suku cadang yang hendak Anda beli tersebut. 0,05 inilah yang disebut sebagai probabilitas prior.
Probabilitas Posterior
Probabilitas posterior sering juga disebut probabilitas tambahan untuk mendukung probabilitas prior. Untuk lebih jelasnya, kembali pada contoh di atas, jika sekiranya dilakukan pemeriksaan kembali atas hasil produksi suku cadang pada bulan tersebut, lalu hasilnya didapat bahwa probabilitas suku cadang yang cacat ternyata tidaklah lagi 0,05 melainkan 0,10 atau 10 %. 0,10 atau 10% inilah yang disebut probabilitas posterior sebagai pengganti probabilitas prior yang diketahui sebelumnya.
2.5 Probabilitas Obyektif dan Probabilitas Subyektif
Pada umumnya probabilitas selalu dikaitkan dengan distribusi frekuensi yang menunjukkan seberapa seringnya (how frequently) suatu kejadian terjadi. Probabilitas sering diperkirakan dengan limit dari frekuensi relatif.
Didalam prakteknya nilai frekuensi relatif itu sendiri dipergunakan untuk memperkirakan nilai probabilitas. Misalnya kalau mata uang logam dilempar 1000 kali
kemudian gambar burung muncul 499 kali, maka = probabilitas untuk memperoleh gambar burung sebesar 499/1000 = 0,499 atau 0,5. Kemudian dikatakan, secara limit = 0,5 walaupun bisa terjadi dalam 100 kali lemparan, gambar burung mungkin muncul 90 kali.
Di dalam jangka panjang, kalau lemparan sampai ribuan kali, angka rasio atau perbandingan antrara munculnya dengan banyak lemparan ( , limitnya mendekati 0,5. Itulah sebabnya = 0,5. Analisis frekuensi relatif inilah yang pada dasarnya mendasari nilai kemungkinan pada pelemparan mata uang, dan disebut sebagai probabilitas obyektif.
Untuk memperoleh probabilitas obyektif dibutuhkan situasi dimana percobaan yang berulang-ulang dapat dilakukan atau sudah ada pengalaman sebelumnya.
Selain konsep probabilitas seperti di atas, kenyataan yang sering dihadapi adalah hal yang berbeda. Sering persoalan yang dihadapi adalah situasi yang belum pernah terjadi sebelumnya, misalnya : Apakah barang hasil produksi perusahaan akan dapat diterima oleh pasar, apakah seseorang yang meminjam uang akan mengembalikan uang yang dipinjamnya tepat pada waktu yang ditentukan dan lain sebagainya.
Untuk menghadapi persoalan semacam ini, dibutuhkan konsep probabilitas yang lain, yang dapat menerangkan ketidakpastian tanpa harus menggunakan berbagai data atau percobaan sebelum dapat dinyatakan nilai probabilitasnya. Probabilitas yang demikian adalah probabilitas subyektif.
Probabilitas subyektif mencerminkan tingkat keyakinan (confident level) seseorang terhadap suatu kejadian yang tak pasti dan ini didasarkan pada pengalaman dan informasi yang dia miliki pada saat itu. Oleh karena itu, pernyataan probabilitas semacam ini akan menghasilkan probabilitas subyektif. Selain itu, nilai probabilitas yang dihasilkan juga akan berbeda-beda antara orang yang satu dengan yang lain, karena pengalaman ataupun keterampilan yang mereka miliki.
Perbedaaan utama antara pandangan subyektif dan obyektif adalah pada pernyataan probabilitasnya (probability statement). Pandangan obyektif menyatakan probabilitas sebagai state of thing, yaitu ciri atau karakteristik suatu benda atau proses, sama halnya dengan berat, volume, cepat, lambat dan sebagainya. Sebaliknya pandangan subyektif menyatakan probabilitas sebagai state of mind atau suatu tingkat pengetahuan yang dimiliki oleh seseorang berkenaan dengan suatu keadaan.
2.6 Preferensi dan Teori Utilitas
Preferensi dapat dikatakan sebagai ketertarikan seseorang pada sesuatu. Di dalam konsep pengambilan keputusan, nilai preferensi ini akan diukur dengan tujuan diperoleh sebuah keputusan yang seolah-olah bersifat obyektif. Proposisi dasar perlakuan modern
mengenai utilitas adalah bahwa dimungkinkan untuk memperoleh suatu ekspresi angka mengenai preferensi seseorang.
Utilitas adalah angka yang mengekspresikan nilai pay-off sebenarnya sesuai dengan konsekuensi keputusan. Pay-off yang dimaksud disini dapat berupa satuan mata uang (smu), jumlah satuan barang ataupun bentuk-bentuk ukuran lain yang bentuknya sangat jelas. Untuk suatu himpunan hasil (set of outcomes) yang sudah dibuat peringkat berdasarkan preferensinya, dapat ditentukan nilai utilitasnya yang menjelaskan preferensi tersebut. Utilitas terbesar untuk hasil yang paling disukai, sedangkan semakin kecil nilai utilitas semakin tidak disukai.
Berikut dijabarkan beberapa asumsi untuk menentukan nilai utilitas yang mempunyai kesamaan bahwa nilai utilitas yang diperoleh hanya mengenai individu tunggal (hanya berlaku untuk perorangan) dan berperilaku taat azas (consistently) yang sesuai dengan seleranya. Dalam kata lain, kapanpun dan dimanapun, jika menghadapi persolan yang sama, keputusan yang aakan diambilnya akan sama.
Asumsi-asumsi tersebut adalah : 1. Peringkat Preferensi
Asumsi ini menyatakan bahwa seseorang dapat menentukan untuk setiap pasang hasil dan apakah Ia lebih memilih daripada , atau sebaliknya, atau tak membedakan sama sekali antara memilih maupun . Asumsi ini akan mudah dimengerti jika pay-off dalam bentuk satuan mata uang ataupun ukuran-ukuran kuantitatif lainnya. Peringkat preferensi akan menjadi lebih susah bila pay-off dinyatakan secara kualitatif. Selama preferensi terhadap dua hasil pilihan tidak dapat ditentukan, selama itu pula nilai utilitas tidak dapat diperoleh nilainya. 2. Transitivitas Preferensi
Asumsi kedua ialah apabila lebih disukai dari dan lebih disukai dari , maka jelas bahwa lebih disukai dari . Sifat yang demikian disebut transitivitas dan mencerminkan sifat taat azas dari seorang individu. Contohnya:
seseorang lebih menyukai buah durian daripada pepaya, dan Ia lebih menyukai pepaya daripada pisang. Sehingga sifat taat azasnya adalah bahwa Ia lebih menyukai durian daripada pisang.
3. Asumsi Kontinuitas
Asumsi kontinuitas menyatakan, ada beberapa permainan yang memiliki hasil terbaik dan terburuk sebagai hasilnya, namun ada kalanya bahwa seseorang menganggap sama preferensinya dengan hasil yang sedang (cukup) atau hasil diantara dua keadaan hasil yang sangat ekstrim tersebut.
4. Asumsi Substitutabilitas
Asumsi substitutabilitas menyatakan, memungkinkan untuk memperbaiki/merevisi suatu permainan dengan penggantian (substituting) suatu hasil dengan hasil lainnya, asalkan ada kesamaan. Dalam kata lain, seseorang bersedia untuk menukar hasil yang diperolehnya pada sebuah permainan dengan hasil yang ditawarkan pada permainan lain dimana Ia merasa tidak berbeda antara keduanya.
5. Asumsi Peningkatan Preferensi
Asumsi ini berkenaan dengan setiap pasangan kejadian dengan hasil yang sama yang mungkin dialami dalam sebuah permainan. Kejadian dengan nilai probabilitas terbesar untuk hasil yang lebih diinginkan, harus lebih disukai. Atau dalam artian lain, preferensi akan kejadian dengan probabilitas penerimaan hasil terbesar pasti lebih disukai daripada yang sebaliknya.
2.7 Fungsi utilitas
Sebelum dipakai dalam pengambilan keputusan, tentunya perlu diketahui bagaimana pengungkapan fungsi utilitas tersebut. Proses penjajagan ini juga harus dibuat sedemikian rupa agar nantinya dapat dipakai untuk mengungkapkan nilai preferensi dan tetap taat azas sehingga asumsi-asumsi utilitas pun dapat dipenuhinya.
Yang pertama sekali dilakukan dalam penjajagan fungsi utilitas adalah penentuan batasaan nilai. Penjajagan ini dilakukan setelah keseluruhan model yang mencakup ketidakpastian, probabilitas atau nilai kemungkinan dan kriteria penilaiannya adalah tunggal, sehingga hanya terdapat satu besaran yang digunakan.
Syarat utama agar sebuah fungsi utilitas dapat ditentukan adalah bahwa nilai maksimum dan nilai minimum dari persoalan yang sedang dihadapi tercakup dalam fungsi tersebut. Oleh karena itu, pengambil keputusan harus mampu untuk menentukan nilai maksimum dan minimum pada persoalan yang dihadapinya.
Selanjutnya, yang harus dilakukan adalah menggambarkan semua kumpulan titik-titik nilai ekivalen tetap dari sebanyak mungkin situasi dan membentuknya dalam sebuah kurve fungsi utilitas.
Contoh : ambil sebuah permasalahan dengan kriteria penilaian hasil dengan satuan matuan uang rupiah yang berkisar antara Rp. 5000,- sampai dengan Rp. 50000,-. Lalu kedua nilai di atas dijadikan sebagai batas-batas fungsi utilitas dengan Rp.5000,- sebagai batas terendah ( dinyatakan dengan utilitas sebesar nol sedangkan Rp.50000,- sebagi nilai tertinggi dinyatakan dengan utilitas sebesar . Dengan begitu, telah didapat 2 titik dalam kurve fungsi utilitas yaitu ( dan ( , lalu dapat dijajagi titik lainnya yang diperlukan.
Selanjutnya, untuk nilai ekivalen tetap ( , ( dan dapat dihitung nilai utilitasnya seperti berikut :
Sehingga secara keseluruhan, kelima titik fungsi utilitas di atas dapat digambarkan sebagai berikut :
Gambar.2.3 Penggabungan titik-titik hasil penjajagan kurva Utilitas
Secara matematis fungsi utilitas dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial, yang bentuk umumnya adalah:
dimana : = Fungsi utilitas untuk nilai x = batas bawah fungsi utilitas = batas atas fungsi utilitas
= 2,7182 (nilai eksponensial = parameter
Sehingga bila digambarkan, bentuk spesifiknya fungsinya ditentukan oleh besaran c. 0,25
0,50 1
2.8 Pohon Keputusan
Diagram pohon keputusan adalah suatu diagram berupa pohon bercabang-cabang yang menggambarkan hubungan antara alternatif keputusan/tindakan dengan kejadian-kejadian tak pasti yang melingkupi setiap alternatif dan hasil alternatif keputusan yang dipilih.
Saat pengambilan keputusan adalah saat dimana pengambil keputusan sepenuhnya memilih kendali dalam bertindak, sedangkan saat kejadian tak pasti adalah saat dimana faktor eksternal yang menentukan apa yang akan terjadi.
Notasi yang digunakan dalam diagram pohon keputusan adalah sebagai berikut : Tanda empat persegi sebagai simbol keputusan.
Tanda lingkaran sebagai simbol kejadian tak pasti.
Tahapan dalam penggambaran diagram pohon keputusan :
1. Tentukan terlebih dahulu kumpulan alternatif tindakan awal.
2. Tentukan kejadian tak pasti yang melingkupi alternatif tindakan awal. 3. Tentukan adanya alternatif tindakan lanjutan.
