Setijo Bismo Yuswan Muharam

Metode Numerik Metode Numerik

dan dan

Komputasi dengan FORTRAN dan PASCAL Komputasi dengan FORTRAN dan PASCAL

Setijo Bismo

Setijo Bismo

Yuswan Muharam

Yuswan Muharam

Setijo Bismo Yuswan Muharam

Metode Numerik: KOMPUTASI DENGAN FORTRAN77 DAN TURBO PASCAL

(Buku Kuliah Metode Numerik) Setijo Bismo @ 2011

Dapat dipakai untuk Kuliah Analisis dan Komputasi Numerik di Program-Program Studi Eksakta Hak Cipta dilindung Undang-Undang

- i -

K

A T A

P

E N G A N T A R

Segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadapan Allah swt, terutama berkat rahmat dan nikmat-nikmatNYA dan tentunya juga dengan seijinNYA, akhirnya bahan buku ini dapat diperiksa dan diedit kembali untuk para pembaca sekalian dalam bentuk yang baku pada tahun ini, setelah versi awal sebagai bahan diktat kuliah diselesaikan pada tahun 2008 dan revisinya pada tahun 2009 yang lalu. Buku ini secara umum dapat dipergunakan oleh kalangan mahasiswa sains dan teknologi, terutama untuk para mahasiswa yang mengambil kuliah metode numerik di lingkungan Fakultas MIPA dan Fakultas Teknik. Dan, alhamdulillah buku ini juga telah mengalami koreksi dan revisi oleh rekan sejawat Dr. rer. nat. Yuswan Muharam, MT., sehingga sejak tahun 2009 yang lalu sudah kami jadikan referensi sekaligus buku ajar resmi dari mata kuliah metode numerik di lingkungan Departemen Teknik Kimia FTUI.

Seperti telah dijelaskan pada cetakan atau versi pertama tahun 2008 yang lalu, sejak hilangnya cikal-bakal dan manuskrip buram dari bahan-bahan kuliah metode numerik ini (akibat pencurian pada tahun 2001 yang lalu), sebenarnya penulis sudah hampir berputus asa dan tidak berminat lagi menyusun dan menyelesaikan kembali buku kuliah ini. Namun, di sisi lain, rasa tanggung jawab disertai dengan pengalaman mengasuh mata kuliah Metode Numerik ini baik untuk program S1 reguler maupun S1 ekstensi sejak tahun 1995 yang lalu, rasanya terlalu berat untuk diabaikan begitu saja. Sekali lagi, syukur alhamdulillah, dengan pertolongan Allah swt dan juga dorongan kolega dan teman-teman mengajar di DTK-FTUI, akhirnya buku ini dapat saya selesaikan dan bahkan saya edit kembali penulisan manuskripnya dalam format yang baru seperti yang sekarang ini.

Sebagai suatu alat untuk membuat program komputasi numerik keteknikan, dari pengalaman mengajar selama ini, saya cukup merasakan betapa metode numerik ini sesungguhnya sudah mulai banyak ditinggalkan, bukan hanya oleh para mahasiswa bidang eksakta dan atau bidang teknik saja, namun juga oleh para pengajarnya sendiri. Fenomena tersebut di atas, termasuk juga antusiame membuat aplikasi program-program komputasi menggunakan bahasa-bahasa pemrograman (seperti: FORTRAN, PASCAL, C, dll), semakin memprihatinkan dari hari ke hari, terutama dengan semakin marak dan berkembangnya paket-

- ii -

paket piranti lunak untuk aplikasi matematika praktis, seperti MathLab, MathCAD, Mapple, dan lain-lain. Seolah-olah, setiap insan cendekia secara umum dan meluas berlomba-lomba mencari kepraktisan dan kemudahan hidup yang sebesar-besarnya.

Oleh karena itu pula, dengan tetap berbekal semangat yang sudah tidak muda dan segar lagi, penulis tetap bertekad untuk dapat menyajikan kepada para mahasiswa suatu ketrampilan komputasi yang mendasar dan tentunya sambil berharap dapat terkait erat dengan ketrampilan emosional selain ketrampilan intelegensia mereka, baik yang mengikuti program S1 atau pun S2. Sekurang- kurangnya, ketrampilan matematis keteknikan yang sudah langka peminatnya ini dapat dijadikan oleh para mahasiswa sebagai suatu referensi atau bahan rujukan tersendiri dalam mengembangkan diri sebagai insan-insan akademia yang berguna di masyarakat dan dengan selalu berbekal ketakwaan kepada Allah, Tuhan Yang Maha Esa.

Penulis juga sangat berharap, kelak dengan seijin Allah yang Maha Kuasa, buku metode numerik ini dapat dikembangkan lagi menjadi buku ajar yang berguna untuk para mahasiswa sekalian di lingkungan Fakultas Teknik di seluruh Indonesia. Tak lupa pula, penulis sangat berharap partisipasi dan masukan dari kolega dan atau teman-teman sekalian, juga para mahasiwa sekalian yang saya cintai, demi perbaikan dan penyempurnaan buku kuliah ini.

Semoga harapan-harapan dapat segera terwujud dan semoga pula, buku kuliah metode numerik ini tidak terlalu mengecewakan bagi para pembacanya, di manapun berada.

Depok, awal September 2010

Setijo Bismo Yuswan Muharam

- iii -

D

A F T A R

I

S I

Halaman

Kata Pengantar i

Daftar Isi iii

Daftar Gambar

Bab 1 – Pendahuluan Metode Numerik 1

1.1. Implementasi Metode Numerik 1

1.2. Bahasa Pemrograman dan Metode Numerik 2 1.3. Metode Numerik untuk Problem Komputasi di Teknik Kimia 4

Bab 2 – Analisis Galat dalam Kumputasi Numerik 9 2.1. Representasi Bilangan dan Komputasi Numerik 9 2.2. Berbagai Galat dalam Komputasi Numerik 13 2.3. Kehilangan Galat Berarti (Sigificance Error) 14

2.4. Derau (noise) dalam Evaluasi Fungsi 17

2.5. Underflow dan Overflow 18

2.6. Propagasi Galat 19

Bab 3 – Dasar-Dasar Pemrograman Numerik dalam FORTRAN dan PASCAL

20

3.1. Sekilas Tentang Bahasa FORTRAN dan PASCAL 20 3.2. Ciri-ciri Kompilator FORTRAN 77 dan Turbo PASCAL 23 3.3. Operator dan Sintaks Program FORTRAN 77 dan Turbo

PASCAL

31

3.4. Kisi-Kisi Dasar Pemrograman FORTRAN 77 dan Turbo PASCAL

33

3.5. Pernyataan Kondisional IF 43

3.6. Pernyataan Iterasi Suksesif 48

Bab 4 – Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) 52

4.1. Skalar, Vektor, Matriks dan SPAL 52

4.2. Solusi SPAL secara numeris 55

4.3. Sekilas tentang Solusi SPAL menggunakan metode langsung

56

4.4. Algoritma dan Metode Solusi SPAL dengan Eliminasi Gauss

57

4.5. Teknik Pivoting dalam Metode Eliminasi Gauss 60 4.6. Teknik Pivoting dalam Metode Eliminasi Gauss 60 4.7. Contoh Pemrograman FORTRAN untuk Metode Eliminasi

Gauss

62

- iv -

4.8. Prinsip Dekomposisi LU dan Matriks Identitas 66 4.9. Solusi SPAL yang berbentuk Matriks Tridiagonal 76

Bab 5 – Persamaan Aljabar Non Linier (PANL) 85

5.1. Solusi dengan Metode Titik Tetap 85

5.2. Solusi dengan Metode Bidang Paruh 89

5.3. Solusi dengan Metode Regula Falsi 95

5.4. Solusi dengan Metode Newton-Raphson 102

5.5. Solusi dengan Metode Secant 111

Bab 6 – Metode Diferensiasi Numerik 123

6.1. Diferensiasi Analitis dan Diferensasi Numerik 123

6.2. Metode Diferensiasi Selisih Maju 125

6.3. Metode Diferensiasi Selisih Tengah 127

6.4. Metode Diferensiasi Selisih Balik 130

6.5. Metode Diferensiasi Tingkat Lanjut 131

6.6. Metode Diferensiasi untuk Penentuan Puncak Kurva 133

Bab 7 – Metode Integrasi Numerik 140

7.1. Integrasi Analitis dan Integrasi Numerik 141

7.2. Dasar Aturan Trapesium 142

7.3. Aturan Trapesium dengan banyak panel (bilah jamak) 145

7.4. Metode Integrasi Romberg 151

7.5. Aturan Simpson-1/3 158

7.6. Aturan Simpson-1/3 dengan pias banyak 160

7.7. Aturan Simpson-3/8 163

7.8. Metode Kuadratur Gauss 167

Bab 8 – Solusi Numerik dari Persamaan Diferensial 176

8.1. Jenis dari Persamaan Diferensial 176

8.2. Sifat-sifat Persamaan Diferensial Biasa 177 8.3. Masalah Nilai Awal dan Nilai Batas dari PDB 178 8.4. Metode Solusi Numerik untuk Persamaan Diferensial 179

8.5. Metode Euler 182

8.6. Metode Taylor 186

8.7. Metode Runge-Kutta dan Turunannya 187

8.8. Metode Runge-Kutta Orde Tinggi 199

8.9. Beberapa Aplikasi Persamaan Diferensial 203

Daftar Pustaka 209

- v -

D

A F T A R

G

A M B A R

Halaman Gambar 2.1. Alur kurva dari fungsi f x( ) = x³ −2x² +3x−1 ¹⁷ Gambar 2.2. Pola ‘fuzzy curve’ pada saat harga δ = 0,00002 17 Gambar 2.3. Pola ‘fuzzy curve’ pada saat harga δ= 0,000020 18 Gambar 2.4. Garis “bilangan nyata” (real) yang terbagi atas 7 region 18

Gambar 3.1. Kompilator Compaq Visual Fortran yang sudah tidak

diproduksi lagi 21

Gambar 3.2. Kompilator Turbo Pascal yang juga sudah tak diproduksi lagi 22 Gambar 3.3. Fortran Coding Form (dari IBM) untuk penulisan program

FORTRAN 24

Gambar 3.4. Fortran Punch Card dan contoh program dalam bahasa

FORTRAN 25

Gambar 3.5. Blok struktur dan sintaks program dalam bahasa FORTRAN 26 Gambar 3.6. Blok struktur dan sintaks program dalam bahasa PASCAL 29 Gambar 3.7. Contoh program dalam Turbo PASCAL yang analogi dengan

gambar 3.4.

30

Gambar 4.1. Listing pemrograman FORTRAN untuk Eliminasi Gauss “tanpa strategi pivoting”

64

Gambar 4.2. Listing sub-program FORTRAN untuk Eliminasi Gauss dengan

“strategi pivoting”

65

Gambar 4.3. Program FORTRAN untuk implementasi Dekompisisi LU dengan Metode Doolittle

73

Gambar 4.4. Listing program FORTRAN untuk solusi SPAL dengan Dekomposisi LU

75

Gambar 4.5. Listing program FORTRAN untuk solusi SPAL dengan teknik Matriks Tridiagonal

80

Gambar 5.1. Representasi sekuens komputasi dari metode titik-tetap

dariy = g x( ) ⁸⁶

Gambar 5.2. Algoritma komputasi dari metode titik-tetap intuk persamaan ( )

y = g x ⁸⁷

Gambar 5.3. Geometri representasi titik-tetap dariy = g x( ) 87 Gambar 5.4. Listing pemrograman FORTRAN untuk metode titik-tetap pada

( )

y = g x ⁸⁸

Gambar 5.5. Rrepresentasi grafis dari metode bidang paruh (bisection) 90 Gambar 5.6. Algoritma komputasi dari metode bidang paruh (bisection) 91

- vi -

Gambar 5.7. Listing program FORTRAN sederhana (tanpa subroutine) untuk metode bisection

92

Gambar 5.8. Listing program FORTRAN dengan subprogram (subroutine) untuk metode bisection

93

Gambar 5.9. Listing program Turbo PASCAL dengan Procedure untuk metode bisection

94

Gambar 5.10. Rrepresentasi grafis dari Metode Regula-Falsi 95 Gambar 5.11. Algoritma komputasi dari metode Regula-Falsi 97 Gambar 5.12. Listing program FORTRAN 77 tanpa subroutine untuk Metode

Regula-Falsi

99

Gambar 5.13. Listing program Turbo PASCAL tanpa procedure untuk Metode Regula-Falsi

100

Gambar 5.14. Listing program FORTRAN 77 dengan subroutine untuk Metode Regula-Falsi

101

Gambar 5.15. Representasi garis tangent pada metode Newton-Raphson 104

Gambar 6.1. Program f’(x)-fd.pas untuk menghitung diferensiasi maju 126 Gambar 6.2. Hasil eksekusi (running) dari program f’(x)-fd.pas 126 Gambar 6.3. Program f’(x)-cd.pas untuk metode diferensiasi selisih tengah 129 Gambar 6.4. Hasil eksekusi dari program f’(x)-cd.pas seperti di atas 129 Gambar 6.5. Kurva fungsi y = f x( ) dengan 7 posisi titik puncak 133

Gambar 6.6. Kurva y x( ) = e^−sin(2x)⋅sin(5x) untuk dicari titik puncaknya 135 Gambar 7.1. Domain integrasi yang didefinisikan 140 Gambar 7.2. Domain interpretasi dari formula metode Riemann 141 Gambar 7.3. Metode Trapesium dan galat akibatnya 142 Gambar 7.4. Pendekatan integral menggunakan beberapa pias trapesium 146 Gambar 7.5. Contoh pemrograman untuk integrasi Romberg 157 Gambar 7.6. Contoh pemrograman lain untuk integrasi Romberg 158 Gambar 7.7. Posisi pendekatan integral di sebelah kanan dan kiri titik a 159 Gambar 7.8. Aturan Simpson 1/3 dengan pias banyak di sekitar titik a 161

Gambar 8.1. Representasi Progres Skematis dari Metode Euler 183 Gambar 8.2. Representasi grafis dari Metode RK-2 Titik Tengah 189 Gambar 8.3. Representasi Metode RK-2 Kelandaian Rerata 190 Gambar 8.4. Program Turbo Pascal untuk solusi dengan Metode RK-TT 195 Gambar 8.5. Program Turbo Pascal untuk solusi dengan Metode RK-KR 196 Gambar 8.6. Program Turbo Pascal untuk solusi dengan Metode RK-4 197 Gambar 8.7. Contoh Program Turbo Pascal untuk Metode RK-Gill 198

- vii -

Gambar 8.8. Contoh Program untuk komputasi sistem PDB dengan Metode RK-4

205

Gambar 8.9. Ilustrasi sistem mekanik pegas berbeban 206 Gambar 8.10. Ilustrasi sistem rangkaian listrik (RL) 207