Metode Numerik
Kontrak Perkuliahan dan Pengenalan Numerik
Identitas Mata Kuliah
• Nama Mata Kuliah : Metode Numerik
• Kode Mata Kuliah : IF 34221
• Kredit : 3 SKS
• Semester : IV
• Jurusan : Teknik Informatika / S1
Deskripsi Mata Kuliah
• Matakuliah ini merupakan matakuliah yang membahas tentang konsep dasar komputasi yang mengandung kesalahan
• Mempelajari metode-metode komputasi untuk penyelesaian masalah persamaan nonlinear, persamaan linear simultan,
interpolasi, turunan dan integral numerik.
Referensi
• Chapra, Steven, Applied Numerical Method with Matlab for Engineers & Scientist, Mc Grawhill, 2012.
• Munir, Rinaldi, Metode Numerik, Penerbit Informatika, Bandung, 2004.
• Sasongko, Setia Budi, Metode Numerik dengan Scilab, Penerbit Andi, Bandung, 2010
• H. Mathews., John, Numerical Methods for using Matlab, Prentice-hall Inc., 1999.
• Hernardi, Julan, Matematika Numerik dengan Implementasi Matlab, Penerbit Andi, 2012.
Aturan Perkuliahan
• Kehadiran minimal perkuliahan adalah 80 % dari total pertemuan di kelas, kecuali sakit atau ijin tertulis.
• Tidak ada ujian perbaikan. Ujian susulan hanya diijinkan jika ada ijin autentik yang bisa ditunjukkan setelah ujian.
• Mahasiswa yang terlambat lebih dari 15 menit tidak diperkenankan masuk ke kelas, demikian juga dosen, kecuali telah disepakati sebelumnya.
• Tugas masuk tepat waktu, toleransi keterlambatan
penyerahan tugas hanya satu hari dengan nilai dikurangi 20
• NA: : 20% Penilaian Afektif + 20% Tugas + 30% UTS + 30% UAS
Materi yang akan dipelajari
1. Deret Taylor, Pendekatan dan Kesalahan 2. Persamaan Non Linier
*Metode Biseksi *Metode Regula Falsi *Metode Newton Raphson *Metode Sekan
3. Sistem Persamaan Linier Simultan
*SPL *Metode Eliminasi Gaus
*Sistem Persamaan Linier *Metode Gauss -Jordan *Iterasi Jacobi *Iterasi Gauss-Seidel
Latihan dalam kelompok
Materi yang akan dipelajari
4. Penyajian Fungsi & Interpolasi Polinomial
*Interpolasi Lagrange
*Interpolasi Newton Selisih Terbagi
*Interpolasi Newton Greogry Maju *Interpolasi Newton Greogy
Mundur
5. Differansial Numerik
*Aproksimasi derivatif pertama -Foward Difference
-Backward Difference -Center Difference
-Aturan Lima Titik Terpusat *Aproksimasi derivatif kedua
6. Integral Numerik
*Metode Empat Persegi Panjang *Metode Trapesium *Metode Midpoint
*Metode 1/3 Simpson *Metode 3/8 Simpson
Latihan dalam kelompok
Yang Diperlukan selama perkuliahan Metnum
• Kalkulator
• Aplikasi Scilab dapat diakses di www.scilab.org
• Prasyarat : Matematika Dasar 2
Tujuan Pembelajaran Pertemuan 1
• Menjelaskan perbedaan solusi analitis dengan solusi numerik
• Menentukan pembulatan desimal berdasarkan aturan pembulatan
• Menjelaskan penyebab terjadinya galat
• Menggunakan deret Taylor untuk menghampiri nilai suatu fungsi
• Menghitung galat dari hasil perhitungan numerik
• Menjelaskan karakteristik dari perhitungan numerik
Mengapa perlu
mempelaj ari
Metode Numerik
?
Mengapa perlu
mempelaj ari
Metode Numerik
?
Alat penyelesaian masalah matematis (Sulit secara analitis)
Paket Program (Perlu pengetahuan dasar metnum)
Merancang aplikasi tanpa harus membeli
Sarana belajar pemrograman komputer
Memperkuat pengertian matematika
Pengertian Metode Numerik
• Metode numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk
memformulasikan masalah matematis agar dapat diselesaikan dengan
menggunakan operasi perhitungan.
Contoh Kasus 1
• Misalkan sebuah tabung diisi penuh air dengan tinggi tabung 7 cm dan kedalamnya dimasukkan sebuah
bola sehingga air dari tabung tumpah sebanyak 10 cm3. Ingin diketahui berapa ukuran diameter bola yang harus dimasukkan. Permasalahan ini
diformulasikan kedalam persamaan matematika menjadi
Vtabung Vbola Vairtumpah
?
2 4 3
7 10
r 3 r
3 2 30
4r 21r 0
Contoh Kasus 2
• Misalkan berikut ini adalah data dari jarak tempuh dan kecepatan sebuah mobil
• Dari data yang dimiliki dapat ditentukan posisi mobil pada detik ke-10 dengan menggunakan aproksimasi
Waktu (detik) 0 3 6 8 12
Jarak (meter) 0 40 85 130 210
Kecepatan
(m/det) 0 30 45 35 20
Metode Numerik Vs Metode Analitik
• Selalu Angka
• Menghampiri solusi sejati, dibuat seteliti mungkin (ada
error/galat)
• Solusi dalam bentuk fungsi matematika yang dievaluasi
menghasilkan nilai dalam bentuk angka
• Solusi sejati/eksak tidak selalu
ditemukan/dapat dihitung
Tahap – tahap Memecahkan Masalah dengan Numerik
• Pemodelan masalah dunia nyata ke persamaan matematika
• Penyederhanaan model → mengabaikan beberapa variabel/parameter
• Formulasi Numerik
Tentukan metode numerik yang akan dipakai (teliti, mudah diprogram, waktu eksekusi cepat dan tidak peka terhadap perubahan data cukup kecil.
Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih
• Pemrograman → menerjemahkan ke salah satu bahasa pemrograman
• Operasional program dijalankan dengan data uji coba
• Evaluasi bandingkan hasil run dengan prinsip dasar/hasil empiris
Sumber Kesalahan Aproksimasi dalam numerik
• Galat sebelum komputasi
Kesalahan Pemodelan, Keterbatasan alat ukur, data yang diambil hasil aproksimasi
• Galat selama komputasi
Galat akibat pembulatan (rounded error) Kesalahan akibat pembulatan
Galat akibat pemotongan (truncation error) sering disebut Galat Metode
Penggunaan hampiran sebagai pengganti persamaan eksak Cth: fungsi kontinu didiskritisasi dengan sejumlah titik, menghampiri nilai fungsi dengan deret Taylor
Galat Akibat Pembulatan
• Pemotongan (Chopping)
• Pembulatan terdekat (Rounding)
Bilangan Pemotongan Pembulata
n Bilangan Pemotonga
n Pembulata n
2.749 2.7 2.7 2.849 2.8 2.8
2.750 2.7 2.8 2.850 2.8 2.8
2.751 2.7 2.8 2.851 2.8 2.9
2.799 2.7 2.8 2.899 2.8 2.9
Amati Tabel diatas dan simpulkan aturan pembulatan terdekat untuk 1 desimal
Latihan (lakukan pembulatan 2 & 3 desimal)
Bilangan Pemotongan Pembulata
n Bilangan Pemotonga
n Pembulata n
5.3456 5.3456
28.6785 28.6785
52.5354 52.5354
235.7935 235.7935
7.245 7.245
Deret Taylor
• Tools untuk menurunkan metode numerik dan menghampiri fungsi
• Definisi
Andaikan f dan f ΄, f ΄΄,… kontinu pada selang [a,b]. Misalkan x0 ∈ [a,b] maka untuk x disekitar x0, x ∈ [a,b] maka f(x) dapat diekspansi ke dalam deret
Taylor menjadi
Jika x0 =0 maka deret Taylor ini disebut dengan deret Maclaurin Jika x - x0 = h maka deret Taylor dituliskan kembali menjadi
!
) ) (
! ( 2
) ) (
! ( 1
) ) (
( )
( )
( ( ) 0 0
2 0 0
0 0
0 m
x x x
x f x x
x f x x
f x
f x
f
m m
(0) !
! ) 2 0 ( )
0 ( )
0 ( )
( ( )
2
m f x
f x x
f f
x f
m m
( ) !
! ) 2
! ( )1 (
) ( )
( ( ) 0
2 0
0
0 m
x h h f
x h f
x f x
f x
f
m m
Contoh
• Hampiri fungsi ke dalam deret Taylor disekitar x0=1 f (x) sin(x)
) sin(
) (
) cos(
)
( ) sin( ) ( ) cos( ) (
) 4
(
x x
f
x x
f x x
f x x
f
2 3
2 3
( 1) ( 1) ( 1)
sin( ) sin(1) cos(1) ( sin(1)) ( cos(1)) ...
1! 2! 3!
0.8415 0.5403 0.4208 0.0901 ...
x x x
x
h h h
! ) ) (
(
! 2
) ) (
! ( 1
) ) (
( )
( )
(
0 0 ) (
2 0 0
0 0
0
m x x x
f
x x x
x f x x
f x
f x
f
m m
1
x h
(2) sin(2) ?
f
Galat ?
Bagaimana menghitung galat
Galat
Galat Mutlak
Galat Relatif
Galat Relatif Sejati
Galat Relatif Hampiran
t ˆ
E a a
galat mutlak
ˆ nilai hampiran terhadap nilai sejati
Et
a a
a
atau 100%
t t
t t
E E
a a
galat relatif
t
1 1
berhenti jika
r r
a a s
r
a a
a
galat toleransi
s
1 1
100%
r r
a
r
a a
a
Latihan
• Hampiri nilai ke dalam deret Taylor disekitar kemudian aproksimasi nilai x=1 dan lengkapi tabel dibawah ini
.
Suku ke - Nilai Hampiran Galat Eksak Galat Relatif
2x
e x0 0
Orde Hampiran
• Aproksimasi secara numerik dari solusi eksak membangun sebuah barisan yang konvergen ke suatu nilai x.
• has I l perhitungan numerik disetiap iterasi
• x nilai yang diharapkan adalah nilai solusi eksak
• Banyak kemungkinan barisan yang bisa konvergen
menuju x . Perbedaannya terletak dari kecepatan konvergensi.
• Untuk mengukur kecepatan konvergensi digunakan orde kekonvergenan yang dinotasikan dengan O (big – O).
1, ,....,2 n
x x x
1, ,....,2 n
x x x
lim n
n x x
xn
Orde Hampiran
• Misalkan konvergen ke bilangan untuk membesar. Jika terdapat konstanta positif p dan K sehingga
untuk semua n besar
• Maka dikatakan konvergen ke dengan orde kekonvergenan
• Persamaan ini menyatakan dengan kecepatan konvergensi
n n1 n
. 1
n K p
n
n n1
1 O p
n
1
n O p
n
n
1 np
Contoh
• Diberikan dua barisan berikut
• Memiliki dan
• Tentukan mana yang lebih cepat konvergen ?
• Persamaan diatas dapat dituliskan kembali menjadi dan
dengan
h<1 maka makin besar pangkat makin kecil galat dan semakin teliti penghampiran fungsinya
1 xn
n 23
yn
n
0 ( 1)
xn O n yn 0 O n 3
0 ( ) xn O h
3n 0
y O h h 1
n
Contoh Galat Akhir
Galat Pemotongan Galat Pembulatan
Hasil akumulasi dari galat pemotongan dan galat pembulatan -> Mengecek akurasi dan presisi
Presisi-> Stabilitas (seberapa rentan hasil aproksimasi)
Tidak akurat -> Bias
Tidak presisi ->Ketidak pastian (Uncertainty) Akurasi-> Ketepatan (seberapa dekat hasil aproksimasi)
2 4
cos(0.2) 1 0.2 / 2 0.2 / 24 0.980067
Hubungan akurasi dan presisi
Sumber Steven Chapra, Applied Numerical Method with Matlab for Engineers &
Scientist
Minggu depan
• Bawa Kalkulator
• Pelajari pengantar Scilab
• Instal Aplikasi Scilab
• Kabel Roll
