METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

METODE NUMERIK

TKM4104

Kuliah ke-2

DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

DERET TAYLOR

o Deret Taylor adalah alat yang utama untuk

menurunkan suatu metode numerik.

o Deret Taylor berguna untuk menghampiri fungsi ke dalam bentuk polinom

o Fungsi yang rumit menjadi sederhana dengan deret Taylor

DERET TAYLOR

Definisi :

Andai kata f dan semua turunannya, f’_,f’’_,f’’’_,…

menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan : x_oє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar x_o dan

x_є[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor :

DERET TAYLOR

Jika (x-x_o)=h, maka :

Contoh :

Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitar

x_o=1.

Penyelesaian :

f(x) = sin(x) f’’’_{(x) = - cos(x)}

f’_{(x) = -cos(x) f}(4)_{(x) = sin(x)}

DERET TAYLOR

maka :

Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar x_o=0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang

merupakan deret Taylor baku.

Contoh 1 : f(x)= sin(x) dimana x_o = 0 ... ) 1 sin( 24 ) 1 cos( 6 ) 1 sin( 2 ) 1 cos( ) 1 sin( ) sin( ) ( 4 3 2        x h h h h x f ... 0351 , 0 0901 , 0 4208 , 0 5403 , 0 8415 , 0 ) (x   h  h2  h3  h4  f

Penyelesaian :

Contoh 2 : f(x)=ex _{dimana x}

o=0 Penyelesaian : ) 0 cos( 6 ) 0 sin( 2 ) 0 cos( ) 0 sin( ) sin( ) ( 3 2 h h h x x f      ... ! 4 ) 0 ( ! 3 ) 0 ( ! 2 ) 0 ( ! 1 ) 0 ( ) ( 0 4 3 0 2 0 0            e e x e x e x x e x f x ... 120 6 ) sin( ) ( 5 3      x x x x x f ... ! 4 ! 3 ! 2 1 ) ( 4 3 0 2        e x x e x x x f x

DERET TAYLOR

Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga

banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor

dipotong sampai suku order tertentu.

Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n dinamakan

deret Taylor terpotong yg dinyatakan:

) ( ) ( ! ) ( .... ) ( ! 2 ) ( ) ( ! 1 ) ( ) ( ) ( '' ( ) 2 0 ' x R x f n x x x f x x x f x x x f x f n _{o n} n o o o o o          ) ( / ); ( )! 1 ( ) ( ) ( ( 1) ) 1 ( residu sisa galat disebut x c x c f n x x x R n _o n o n       

DERET TAYLOR

Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai suku order ke-n dapat ditulis :

dimana : ) ( ) ( ) (x P x R x f  _n  _n

DERET TAYLOR

) ( ! ) ( ) ( 1 o k n k k o n f x k x x x P



   ) ( )! 1 ( ) ( ) ( ( 1) ) 1 ( c f n x x x R n n o n     

Contoh : f(x)=sin(x); x_o=1; utk deret Taylor orde ke-n Penyelesaian : ) 1 sin( ! 4 ) 1 ( ) 1 cos( ! 3 ) 1 ( ) 1 sin( ! 2 ) 1 ( ) 1 cos( ! 1 ) 1 ( ) 1 sin( ) ( 4 3 2 4          x x x x x P ) cos( ! 5 ) 1 ( ) ( )! 1 4 ( ) 1 ( ) ( 5 ) 1 4 ( ) 1 4 ( 4 c x c f x x R Galat        

DERET TAYLOR

a.

Apa itu galat?

b.

Mengapa harus ada galat?

c.

Bagaimana menghitung galat?

d.

Bagaimana galat timbul?

o Solusi dengan metode numerik adalah solusi hampiran (aproksimasi) terhadap solusi eksak

o Galat (ε) adalah perbedaan antara solusi

hampiran dengan solusi eksak.

o Definisi: ε= a - â

ANALISIS GALAT

^ a a Mutlak Galat     % 100 : x a relatif Galat _R   % 100 : _^ x a hampiran relatif Galat _RA  

Misalkan : Contoh : : , ^ maka a sejati nilai terhadap hampiran nilai adalah a galat disebut a a ^    45 , 10 10,5; ^   a a





10

,

45



10

,

5





0

,

05

ANALISIS GALAT

Contoh :

Diketahui : a= 10/3; â = 3,333 Hitung : (a). Galat !

(b). Galat mutlak ! (c). Galat relatif !

(d). Galat relatif hampiran ! Penyelesaian :

(a). Galat : ε = a-â = 10/3 – 3,333

= 10.000/3000 – 9999/3000 = 1/3000 = 0,000333

(b). (c). (d).

Pendekatan lain, perhitungan numerik yg meng-gunakan pendekatan lelaran (iteration), ε_RA dihitung dengan cara :

dimana : a_r+1 = nilai hampiran lelaran sekarang a_r = nilai hampiran lelaran sebelumnya

0,01% 100% x (10/3) 0,000333 100% x : relatif Galat    a R   999 1 100% x 3,333 0,000333 100% x : hampiran relatif Galat  _^   a RA   1 1     r r r RA a a a  000333 , 0 ^     a a Mutlak Galat 

Proses lelaran dihentikan bila : |ε_RA| < ε_S

ε_S = Toleransi galat yang dispesifikasikan

Semakin kecil ε_S, semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya

Contoh :

Diketahui : X_r+1=(X_r3 _{+ 3)/6; r =0,1,2,3}

X_o= 0,5; ε_s= 0,00001 Hitung : ε_RA !

Penyelesaian : X_o = 0,5 X₁ = 0,4791667; X₂ = 0,4816638; X₃ = 0,4813757; X₄ = 0,4814091; X₅ = 0,4814052; s RA      0,043478  X ) X X ( 1 o 1 s RA      0,0051843 X ) X X ( 2 1 2 s RA      0,0005984  X ) X X ( 3 2 3 s RA      0,0000693 X ) X X ( 4 3 4 ! , 0000081 , 0 X ) X X ( 5 4 5 _berhenti s RA      

Secara umum terdapat dua sumber utama

penyebab galat dlm perhitungan numerik, yaitu : 1. Galat pemotongan (truncation error)

2. Galat pembulatan (round-off error) Ada sumber galat lain, yaitu :

1. Galat eksperimental 2. Galat pemrograman

o Galat ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak.

o Ekspresi matematika yg lebih kompleks diganti dengan formula yg lebih sederhana

o Tipe galat pemotongan bergantung pada metode komputasi yg digunakan untuk penghampiran shg kadang-kadang disebut juga galat metode.

Misalkan: turunan pertama f(x₁), dihampiri dengan formula :

dimana : h = lebar absis x_i+1

Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 ! Penyelesaian : f(x) = cos(x) f(4)_{(x) = sin(x)} f’_{(x) = - sin(x)} f’’_{(x) = - cos(x)} h x f x f x i i

f

'( ₁)  ( 1)  ( )

Maka : Galat pemotongan : ... ! 10 ! 8 ! 6 ! 4 ! 2 1 ) cos( ) ( 10 8 6 4 2         x x x x x x x f ) ( )! 1 ( ) ( ) ( ( 1) ) 1 ( c f n x x x R n n o n     

Nilai hampiran Galat pemotongan

) cos( ! 5 ) ( )! 1 4 ( ) 0 ( ) ( 5 ) 1 4 ( ) 1 4 ( 4 c x c f x x R      

Nilai R_n yg tepat hampir tdk pernah dapat kita

peroleh, karena kita tdk mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada selang

tertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilai maksimum yg mungkin dari |R_n| untuk c dalam selang yg diberikan, yaitu : )! 1 ( ) x -(x ) ( ) ( ) 1 ( o ) 1 (       n c f x R n n x c x n

Maks

o

Contoh-1 :

Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar x_o=1 untuk menghampiri ln(0,9) dan beri-kan taksiran untuk galat maksimum yang dibuat !

Penyelesaian : f(x) = ln(x) f(1) = 0 f’(x) = 1/x f’(x) = 1 f’’(x) = -1/x2 _f’_{(x) = -1} f’’’(x) = 2/x3 f’’’’_{(x) = 2} f(4)_{(x) = - 6/x}4 _f(4)_{(x) = -6} f(5)_{(x) = 24/x}5 _f(5)_{(c) = 24/c}5

Deret Taylor :

Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengan galat pemo-tongan < 0,0000034. ) ( 4 ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) ln( ₄ 4 3 2 x R x x x x x          ) ( 4 ) 1 , 0 ( 3 ) 1 , 0 ( 2 ) 1 , 0 ( 1 , 0 ) 9 , 0 ln( ₄ 4 3 2 x R          ) ( 1053583 , 0 ) 9 , 0 ln(    R₄ x 0000034 , 0 5! (-0,1) x c 24 ) 9 , 0 ( 5 5 1 9 , 0 4    

Maks

c R

Contoh-2 :

Hampiri nilai secara numerik, yaitu : dengan deret Maclaurin orde 8 !

Penyelesaian :

Deret Maclaurin orde 8 dari adalah :

dx ex



1 0 2 2 ) (x ex f  2

)

(

x

e

x

f



! 4 ! 3 ! 2 1 8 6 4 2 2 x x x x ex      dx x x x x dx ex ) ! 4 ! 3 ! 2 1 ( 8 6 1 0 1 0 4 2 2     





4617724 , 1 216 1 42 1 10 1 3 1 1 0 1 216 42 10 3 9 7 5 3              x x x x x x x

o Perhitungan dgn metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan nyata

o Dengan aplikasi computer, semua bilangan riil tdk dapat disajikan secara tepat

o Keterbatasan komputer dalam menyajikan

bilangan riil menghasilkan galat yang disebut

galat pembulatan.

Contoh :

1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan 0,166667.

Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 = -0,00000033. Kebanyakan komputer digital mempunyai dua cara penyajian bilangan riil, yaitu :

(a). Bilangan titik tetap (fixed point) Contoh : 62.358; 0,013; 1.000

(b). Bilangan titik kambang (floating point)

Contoh : 0,6238 x 103 _{atau 0,6238E+03} 0,1714 x 10-13 _atau

0,1714E-13

Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebut juga “Angka Bena” (significant figure).

Adalah angka bermakna, angka penting atau angka yg dapat digunakan dgn pasti.

Contoh :

43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3) 0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4) 0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2)

278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0) 0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)

Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan.

Contoh :

Galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4 sedangkan galat pembulatan timbul karena kita membulatkan nilai hampiran ke dalam 7 digit bena.

9800667

,

0

24

)

2

,

0

(

2

)

2

,

0

(

1

)

2

,

0

(

4 2









Cos

Galat pemotongan Galat pembulatan