3. PROSEDUR PELAKSANAAN

(1)

3. PROSEDUR PELAKSANAAN

3.1. Umum

Dalam pengujian elemen cangkang berbasis Kriging ini, struktur yang akan menjadi penguji adalah benchmark problems yang diambil dari literatur kemudian dimodifikasi ketebalannya (Belytschko et al., 1985; Dassault Systemes Simulia Corp, 2009; Knight, 1997; Simo et al., 1989; Ma, 1990; Macneal &

Harder, 1985; White & Abel, 1989; Wong, 2009). Benchmark problems yang dimodifikasi ketebalannya ini dibentuk sama dengan literatur dalam hal meshing dan pembebanan.

Pengujian ini menggunakan elemen cangkang berbasis Kriging dan elemen 3 dimensi solid (C3D20 dan C3D20RH) pada ABAQUS dengan berbagai kerapatan meshing untuk menguji keakuratan dari elemen cangkang berbasis Kriging. Pengujian ini dilakukan dalam 2 tahap:

1. Memodelkan benchmark problems keuali permasalahan Tapered Plate, dengan tebal konstan pada ABAQUS dan K-Shell kemudian dibandingkan dengan hasil eksak maupun referensi yang diambil dari literatur (Belytschko et al., 1985;

Dassault Systemes Simulia Corp, 2009; Knight, 1997; Simo et al., 1989; Ma, 1990; Macneal & Harder, 1985; White & Abel, 1989; Wong, 2009) untuk memastikan performa dan pemodelan elemen sudah tepat.

2. Memodelkan benchmark problems yang dimodifikasi dengan tebal tidak konstan pada ABAQUS dan K-Shell kemudian performa K-Shell dinilai dengan besaran perbedaannya dari elemen 3 dimensi solid ABAQUS.

Tabel 3.1. Elemen-Elemen yang Digunakan dalam Pengujian Nama

Elemen Deskripsi

C3D20 Elemen 3 dimensi, 20 titik

C3D20R Elemen 3 dimensi, 20 titik, reduced integration C3D20H Elemen 3 dimensi, 20 titik, formulasi hybrid

C3D20RH Elemen 3 dimensi, 20 titik, reduced integration dan formulasi hybrid

(2)

A K-Shell

Elemen cangkang segitiga lengkung berbasis Kriging dengan optimasi 4 lapis elemen, quartic polynomial basis, dan quartic spline

correlation function

3.2 Cook’s Membrane Problem

Sebuah balok pendek yang meruncing ini dijepit pada tumpuannya dan diberi beban sebesar 1 satuan ke arah sumbu y dan dengan tebal arah sumbu z konstan seperti pada Gambar 3.1.

F = 1

Gambar 3.1. Cook’s membrane problem dengan tebal konstan

Besaran material yang digunakan adalah E=1, ν=1/3, dan h=1.

Permasalahan ini diajukan oleh R.D. Cook. Displacement referensi arah sumbu y adalah 23.91 untuk tebal konstan (Simo et al., 1989; Ma, 1990;

Limsamphancharoen, 1995; Lomboy, 2007).

Sedangkan untuk tebal tidak konstan, semua besaran material yang digunakan tetap sama kecuali tebal dalam arah sumbu z. h arah sumbu z ketika x=0 adalah 5 dan ketika x = 48 adalah 1. Fungsi yang digunakan untuk mengubah tebal arah sumbu z ini merupakan fungsi terhadap x sebagai berikut:

ℎ(𝑥) = 5 − ₁₂¹ 𝑥 (3.1)

(3)

Cook’s Membrane Problem dengan tebal tidak konstan dapat dilihat pada Gambar 3.2.

Gambar 3.2. Cook’s membrane problem dengan tebal tidak konstan

Pengujian ini dilakukan dengan mesh 4x4, 8x8, dan 16x16. Hasil displacement untuk tebal konstan dapat dibandingkan dengan hasil referensi.

Kemudian untuk tebal tidak konstan akan diperhatikan keakuratannya terhadap elemen 3 dimensi solid dari ABAQUS. Demi memperjelas keterangan mesh dapat dilihat pada gambar-gambar di bawah ini:

Gambar 3.3. Mesh segiempat dan segitiga 4x4 cook’s membrane problem Sumber: Tanjoyo, F. dan Subianto, K.S. (2009)

(4)

3.3. Rhombic Plate

Sebuah pelat dengan tumpuan sederhana di sisi terluar, dibebani dengan beban merata sebesar 1 ke arah bidang gambar. Permasalahan Rhombic Plate untuk tebal konstan dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

(5)

α x

y

L

C O

B

Gambar 3.6. Rhombic plate dengan tebal konstan Sumber: Wong (2009)

Besaran material yang digunakan dalam Rhombic Plate adalah L=100, h=1,E=10 10× ⁶, ν=0.3, dan q=1. Displacement referensi pada titik C ke arah bidang gambar adalah 0.0462 (Babuska and Scapolla, 1989).

Untuk tebal tidak konstan, semua parameter tetap sama kecuali ketebalan arah bidang gambar. Ketika x=0, ketebalannya 1 dan saat x di ujung akhir, ketebalannya 10. Fungsi yang digunakan sebagai variasi ketebalan adalah sebagai berikut:

ℎ(𝑥) = 10 − ₅₀⁹ 𝑥 (3.2)

Rhombic Plate dengan tebal tidak konstan dapat dilihat pada Gambar 3.7.

Gambar 3.7. Rhombic plate dengan tebal tidak konstan

Pengujian menggunakan mesh 4x4, 8x8, 16x16, dan 32x32 kemudian untuk tebal konstan, dibandingkan dengan solusi referensi. Sedangkan untuk tebal tidak konstan, akan diperhatikan keakuratannya terhadap elemen 3 dimensi solid dari ABAQUS. Gambar-gambar di bawah ini akan memberi keterangan mesh yang dilakukan.

(6)

Gambar 3.8. Mesh segiempat dan segitiga 4x4 rhombic plate Sumber: Tanjoyo, F. dan Subianto, K.S. (2009)

Gambar 3.11. Mesh segiempat dan segitiga 32x32 rhombic plate Sumber: Tanjoyo, F. dan Subianto, K.S. (2009)

3.4. Cantilever Quarter Cylinder

Cantilever Quarter Cylinder dipaparkan oleh White dan Abel (1989).

Tumpuan pada ujung atas adalah jepit. Kemudian di ujung bawah dibebani dengan momen arah sumbu y sebesar 10 satuan tersebar merata sepanjang arah sumbu y. Permasalahan Cantilever Quarter Cylinder dapat dilihat pada Gambar 3.12.

(7)

Gambar 3.12. Cantilever quarter cylinder dengan tebal konstan Sumber: Wong (2009)

Besaran material yang digunakan dalam Cantilever Quarter Cylinder adalah L=10, R=10, h=1, E=10000, ν=0.3. Displacement arah sumbu x referensi pada titik 3 adalah dengan rumus oleh White dan Abel (1989):

2 2

edge 3

12(1 )mR

u Eh

ν

= − (3.3)

Dari rumus tersebut, dihasilkan displacement referensinya adalah 0.1092.

Berikutnya untuk tebal konstan akan dibandingkan dengan hasil referensi tersebut.

Untuk tebal tidak konstan, semua parameter tetap sama kecuali ketebalannya.

Ketika z=0, ketebalannya 1 dan saat z di ujung atas, ketebalannya 2. Fungsi yang digunakan sebagai variasi ketebalan yang akan di-plot-kan untuk menjadi koordinat bagi K-Shell adalah sebagai berikut:

𝑅 =_√𝑏₂_𝐶𝑜𝑠₂^{𝑎 𝑥 𝑏}_{𝜃+ 𝑎}₂_𝑆𝑖𝑛₂_𝜃 (3.4)

𝑋 = 𝑅 𝐶𝑜𝑠 𝜃 (3.5)

𝑍 = 𝑅 𝑆𝑖𝑛 𝜃 (3.6)

Cantilever Quarter Cylinder dengan tebal tidak konstan dapat dilihat pada Gambar 3.13.

x, u

y z

L

θ R m

1

5 21

25

3

(8)

Gambar 3.13. Cantilever quarter cylinder dengan tebal tidak konstan

Gambar 3.14. Mesh segiempat dan segitiga 4x4 cantilever quarter cylinder

(9)

Gambar 3.15. Mesh segiempat dan segitiga 8x8 cantilever quarter cylinder

Gambar 3.16. Mesh segiempat dan segitiga 16x16 cantilever quarter cylinder

Gambar 3.17. Mesh segiempat dan segitiga 32x32 cantilever quarter cylinder

(10)

L=50’

R=25’ 40^o

x y z

sym. sym.

SS

free A

B C

D 3.5. Scordelis-Lo Roof

Scordelis-Lo Roof berasal dari makalah Scordelis dan Lo (1964). Karena simetris, cukup hanya ¼ dari struktur tersebut yang dilakukan analisis.

Permasalahan Scordelis-Lo Roof dapat dilihat pada Gambar 3.18.

Gambar 3.18. Scordelis-lo roof dengan tebal konstan Sumber: Wong (2009)

Besaran material yang digunakan dalam Scordelis-Lo Roof adalah h=0.25’, E=432000, ν=0, q= berat sendiri sebesar 0.09 Kip. Displacement arah sumbu z referensi pada titik D adalah 0.3024 (Scordelis dan Lo, 1964). Berikutnya untuk tebal konstan akan dibandingkan dengan hasil referensi tersebut.

Untuk tebal tidak konstan, semua parameter tetap sama kecuali ketebalannya. Tebal AC=1’ dan BD=0.25’. Fungsi yang digunakan sebagai variasi ketebalan yang akan di-plot-kan untuk menjadi koordinat bagi K-Shell adalah sebagai berikut:

𝑅 =_√𝑏₂_𝐶𝑜𝑠₂^{𝑎 𝑥 𝑏}_{𝜃+ 𝑎}₂_𝑆𝑖𝑛₂_𝜃 (3.7)

𝑋 = 𝑅 𝐶𝑜𝑠 𝜃 (3.8)

𝑍 = 𝑅 𝑆𝑖𝑛 𝜃 (3.9)

Scordelis-Lo Roof dengan tebal tidak konstan dapat dilihat pada Gambar 3.19.

(11)

Gambar 3.19. Scordelis-lo roof dengan tebal tidak konstan

Pengujian menggunakan mesh 4x4, 8x8, 16x16, dan 32x32 kemudian untuk tebal konstan, dibandingkan dengan solusi referensi. Sedangkan untuk tebal tidak konstan, akan diperhatikan keakuratannya terhadap elemen 3 dimensi solid dari ABAQUS. Gambar-gambar di bawah ini akan memberi keterangan mesh yang dilakukan

Gambar 3.20. Mesh segiempat dan segitiga 4x4 scordelis-lo roof

(12)

Gambar 3.21. Mesh segiempat dan segitiga 8x8 scordelis-lo roof

Gambar 3.22. Mesh segiempat dan segitiga 16x16 scordelis-lo roof

Gambar 3.23. Mesh segiempat dan segitiga 32x32 scordelis-lo roof

(13)

3.6. Pinched Cylinder with End Diaphragms

Pinched Cylinder with End Diaphragms di analisis terhadap 2 gaya.

Karena simetris, cukup hanya 1 oktan dari struktur tersebut yang dilakukan analisis. Permasalahan Pinched Cylinder with End Diaphragms dapat dilihat pada Gambar 3.24.

Gambar 3.24. Pinched cylinder with end diaphragms dengan tebal konstan Sumber: Wong (2009)

Besaran material yang digunakan dalam Pinched Cylinder with End Diaphragms adalah L=600, R=300, h=3, E=3x10⁶, ν=0.3, P=1. Displacement arah sumbu z referensi pada titik P adalah 1.8248E-05 (Belytschko et al., 1985).

Berikutnya untuk tebal konstan akan dibandingkan dengan hasil referensi tersebut.

Untuk tebal tidak konstan, semua parameter tetap sama kecuali ketebalannya. Tebal ujung atas adalah 15 dan ujung bawah adalah 3. Fungsi yang digunakan sebagai variasi ketebalan yang akan di-plot-kan untuk menjadi koordinat bagi K-Shell adalah sebagai berikut:

𝑅 =_√𝑏₂_𝐶𝑜𝑠₂^{𝑎 𝑥 𝑏}_{𝜃+ 𝑎}₂_𝑆𝑖𝑛₂_𝜃 (3.10)

𝑋 = 𝑅 𝐶𝑜𝑠 𝜃 (3.11)

𝑍 = 𝑅 𝑆𝑖𝑛 𝜃 (3.12)

y

x z

R

P P

L/2 L/2

sym.

rigid

(14)

Pinched Cylinder with End Diaphragms dengan tebal tidak konstan dapat dilihat pada Gambar 3.25.

Gambar 3.25. Pinched cylinder with end diaphragms dengan tebal tidak konstan

Pengujian menggunakan mesh 4x4, 8x8, 16x16, dan 32x32 kemudian untuk tebal konstan, dibandingkan dengan solusi referensi. Sedangkan untuk tebal tidak konstan, akan diperhatikan keakuratannya terhadap elemen 3 dimensi solid dari ABAQUS. Gambar-gambar di bawah ini akan memberi keterangan mesh yang dilakukan

Gambar 3.26. Mesh segiempat dan segitiga 4x4 pinched cylinder with end diaphragms

(15)

(16)

3.7. Hemispherical Shell with 18 Degrees Cut-Off

Hemispherical Shell with 18 Degrees Cut-Off di analisis terhadap 2 gaya.

Karena simetris, cukup hanya 1/4 dari hemisphere tersebut yang dilakukan analisis. Permasalahan Hemispherical Shell with 18 Degrees Cut-Off dapat dilihat pada Gambar 3.30.

Gambar 3.30. Hemispherical shell with 18 degrees cut-off dengan tebal konstan Sumber: Wong (2009)

Besaran material yang digunakan dalam Hemispherical Shell with 18 Degrees Cut-Off adalah L=10, R=10, h=0.04, E=68.25x10⁶, ν=0.3. Displacement titik A dan B adalah 9.35E-02 (Simo et al., 1989). Berikutnya untuk tebal konstan akan dibandingkan dengan hasil referensi tersebut.

Untuk tebal tidak konstan, semua parameter tetap sama kecuali ketebalannya. Tebal ujung atas adalah 0.04 dan ujung bawah adalah 0.5.

Koordinat variasi ketebalan yang akan di-plot-kan bagi K-Shell adalah hasil import coordinates dari ABAQUS.

Hemispherical Shell with 18 Degrees Cut-Off dengan tebal tidak konstan dapat dilihat pada Gambar 3.31

18⁰

x y

z

10

F=1

Free Free

Sym.

A

B

(17)

.

Gambar 3.31. Hemispherical shell with 18 degrees cut-off dengan tebal tidak konstan

Gambar 3.32. Mesh segiempat dan segitiga 4x4 Hemispherical shell with 18 degrees cut-off

(18)

Gambar 3.33. Mesh segiempat dan segitiga 8x8 Hemispherical shell with 18 degrees cut-off

(19)

3.8. Twisted Cantilever Beam

Twisted Cantilever Beam diajukan oleh MacNeal dan Harder (1985) untuk menguji pengaruh lengkung pada elemen cangkang. Belytschko et al.

(1989) memberi catatan bahwa banyak elemen yang gagal pada ujian ini.

Permasalahan Twisted Cantilever Beam dapat dilihat pada Gambar 3.36.

Gambar 3.36. Twisted Cantilever Beam dengan tebal konstan Sumber: Wong (2009)

Besaran material yang digunakan dalam Twisted Cantilever Beam adalah L=12, h=1.1, b=0.32, E=29x10⁶, ν=0.22, F=1. Beban ini tidak bersama-sama diterapkan pada permasalahan ini. Tumpuan terjepit penuh. Displacement titik ujung dalam arah out-of-plane adalah 1.754E-03 (MacNeal dan Harder, 1985) dan arah in-plane adalah 5.424E-03 (MacNeal dan Harder, 1985). Berikutnya untuk tebal konstan akan dibandingkan dengan hasil referensi tersebut.

Untuk tebal tidak konstan, semua parameter tetap sama kecuali ketebalannya. Tebal pada tumpuan adalah 1.2 dan ujung akhir adalah 0.32. Fungsi yang digunakan sebagai variasi ketebalan yang akan di-plot-kan untuk menjadi koordinat bagi K-Shell maupun ABAQUS adalah sebagai berikut:

�^𝑥′_𝑦′� = �𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝑆𝑖𝑛 𝜃𝑆𝑖𝑛 𝜃 𝐶𝑜𝑠 𝜃 ��^𝑥_𝑦� (3.13)

𝑋^′ = 𝑋 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝑌 𝑆𝑖𝑛 𝜃 (3.14)

𝑌^′= 𝑋 𝑆𝑖𝑛 𝜃 + 𝑌 𝐶𝑜𝑠 𝜃 (3.15)

x y z

F

(in–plane)

F (out-of–plane)

(20)

Twisted Cantilever Beam dengan tebal tidak konstan dapat dilihat pada Gambar 3.37

Gambar 3.37. Twisted Cantilever Beam dengan tebal tidak konstan dan mesh segiempat 4x12

Pengujian menggunakan mesh 4x12, 4x24, dan 8x48 kemudian untuk tebal konstan, dibandingkan dengan solusi referensi. Sedangkan untuk tebal tidak konstan, akan diperhatikan keakuratannya terhadap elemen 3 dimensi solid dari ABAQUS. Gambar-gambar di bawah ini akan memberi keterangan mesh yang dilakukan.

Gambar 3.38. Mesh segiempat dan segitiga 4x12 twisted cantilever beam

(21)

3.9. Raasch Challenge Problem

Raasch Challenge Problem berbentuk seperti sebuah kait. Menurut Knight (1997), permasalahan ini menjadi begitu menarik untuk pengujian elemen shell sejak presentasi dari Harder pada Structures Technical Forum tahun 1991 MSC World Users’ Conference. Permasalahan ini menantang karena gabungan dari 3 ragam deformasi: lentur, puntir, dan geser. Disebut “Raasch challenge problem”, setelah Ingo Raasch dari BMW di Jerman melaporkan hasil yang tidak konvergen pada tahun 1991 saat ia menggunakan elemen shell dari software metode elemen hingga komersial MSC/NASTRAN (Knight, 1997; MacNeal et

(22)

al., 1998). Permasalahan Raasch Challenge Problem dapat dilihat pada Gambar 3.41.

Gambar 3.41. Raasch Challenge Problem dengan tebal konstan Sumber: Wong (2009)

Besaran material yang digunakan dalam Raasch Challenge Problem adalah R₁=14 in, R₂=46 in, h=2 in, b=20 in, E=3300 psi, ν=0.3, F=1 lb.

Tumpuan terjepit penuh. Displacement rata-rata referensi titik ujung dalam arah sumbu z adalah 4.9352 (Knight, 1997). Berikutnya untuk tebal konstan akan dibandingkan dengan hasil referensi tersebut.

Pengujian menggunakan mesh 5x34, 10x68, dan 20x136 kemudian untuk tebal konstan, dibandingkan dengan solusi referensi. Gambar-gambar di halaman berikut akan memberi keterangan mesh yang dilakukan.

R1=14 in

R2=46 in 30⁰

h=2 in

x y E=3300 psi ν=0.3

F=1 lb b=20 in

(23)

Gambar 3.42. Mesh segiempat dan segitiga 5x34 raasch challenge problem