STUDI DEKOMPOSISI BINTANG LINIER GRAF LOBSTER
Oleh:
Silvia Deasy Saragih 4113230025 Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
iii
STUDI DEKOMPOSISI BINTANG LINIER GRAF LOBSTER Silvia Deasy Saragih (4113230025)
ABSTRAK
Misalkan sebuah graf terhubung sederhana dengan titik dan sisi. Jika adalah graf bagian terhubung dari G yang saling lepas dengan maka dikatakan sebuah dekomposisi dari G. Dekomposisi ( dari G dikatakan dekomposisi linier (DL) atau dekomposisi Aritmatika jika | | untuk setiap dan . Jelas . Jika dan , maka Sehingga, Dekomposisi Linier merupakan sebuah Dekomposisi Monoton Kontinu (DMK) berupa barisan segitiga. Jika dan maka | | Sehingga, banyak sisi dari ( adalah barisan bilangan ganjil pertama. Akibatnya, | | Dekomposisi Bintang Linier graf Lobster akan menghasilkan suatu graf bagian baru yakni graf bintang dengan beberapa teorema yang berdasarkan diameter graf lobster.
i
Judul : Studi Dekomposisi Bintang Linier Graf Lobster
Nama Mahasiswa : Silvia Deasy Saragih
NIM : 4113230025
Program Studi : Matematika
Jurusan : Matematika
Menyetujui: Pembimbing Skripsi
Mulyono, S.Si, M.Si
NIP. 19711731 199903 1 010
Mengetahui:
FMIPA UNIMED Jurusan Matematika
Dekan, Ketua,
Prof.Drs.Motlan,M.Sc,Ph.D Dr. Edy Surya, M.Si.
NIP.195908051986011001 NIP.19671019 199203 1 003
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah mencurahkan Kasih dan berkat-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Skripsi ini berjudul “Studi Dekomposisi Bintang Linier Graf Lobster”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Negeri Medan.
Dalam kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu dan mendukung dalam penyelesaian skripsi ini, mulai dari pengajuan proposal penelitian sampai kepada penyusunan skripsi antara lain kepada: Bapak Dr. Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam , Bapak Dr. Edy Surya, M.Si., selaku ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika, Bapak Mulyono, S.Si, M.Si selaku Pembimbing Skripsi yang telah banyak membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini dan Ibu Faiz Ahyaningsih,S.Si,M.Si sebagai pembimbing akademik yang telah banyak membantu penulis dalam perkuliahan. Kepada Ibu Arnah Ritonga,S.Si,M.Si, Bapak Drs. Zul Amry,M.Si,Ph.D, dan Bapak Drs. H. Banjarnahor, M.Pd., selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan masukan dan saran dalam penyusunan skripsi ini. Saya ucapkan terima kasih kepada Kepala UPT Perpustakaan Universitas Negeri Medan yang telah memberikan izin untuk mengadakan penelitian, serta seluruh staf pengajar Jurusan Matematika FMIPA yang telah memberikan bimbingan kepada penulis semenjak mengikuti perkuliahan.
v
Serta kakak ku Kristin Juliana Saragih,S.S dan Evy Fradelina Saragih, Amkg, dan adikku Jasman Saragih yang memberikan dukungan doa dan motivasi kepada penulis. Kepada sahabat-sahabat terkasih Kristiani Aritonang, Nurainun, Melisa Siregar, Hotmian Andre Simamora, Berkat Injil sihotang, dan semua matematika nondik 2011 yang tidak bosan-bosannya menasehati, membantu dan mendukung serta memberi motivasi kepada penulis, terima kasih penulis sampaikan juga kepada teman seperjuangan Rosari Chrisdayanti hasugian, Romiana Banjarnahor, Sri Rejeki Tambunan, Roslin Meisa Pasaribu, Simson Hasudungan Panggabean dan teman-teman lainnya yang memberikan bantuan dan motivasi, serta selalu membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Terima kasih juga buat adik-adik se-kost, Mina, Kurnia Paris Nainggolan, Viktor Simanungkalit, Debora, Happy Marbun, Rema Sembiring, dan lain-lain yang banyak mendoakan penulis dalam meyelesaikan skripsi ini. Terima kasih kepada semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang selama ini memberikan dukungan, semangat, dan doa serta semua pihak yang turut membantu penyelesaian skripsi ini.
Semoga skripsi ini bermanfaat dan menambah wawasan bagi kita semua. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.
Medan, Juni 2015 Penulis
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Persetujuan i
Riwayat Hidup ii
Abstrak iii
Kata pengantar iv
Daftar Isi vi
Daftar Gambar viii
BAB I PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang 1
1.2Rumusan Masalah 3
1.3Batasan Masalah 3
1.4Tujuan Penelitian 3
1.5Manfaat Penelitian 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Graf 5
2.2 Terminologi Graf 6
2.3 Subgraf 7
2.4 Jenis-Jenis Graf 9
2.4.1 Jenis graf berdasarkan ada tidaknya gelang 9 2.4.2 Jenis graf berdasarkan jumlah simpulnya 9 2.4.3 Jenis graf berdasarkan arah pada sisi 10
2.5 Pohon/Tree 10
2.6 Jarak, Eksentrisitas, dan Diameter Graf 10 2.7 Dekomposisi Pohon (tree decomposition) 12
2.8 Dekomposisi Graf 13
2.9 Graf Khusus 16
2.9.1 Graf Carterpillar 16
2.9.2 Graf Lobster 17
2.9.4 Graf Bintang 19 BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat Dan Waktu Penelitian 20
3.2 Jenis Penelitian 20
3.3 Prosedur Penelitian 20
BAB IV PEMBAHASAN
4.1 Dekomposisi Linier Graf 21
4.2 Dekomposisi Bintang Linier Graf Lobster 22 BAB V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan 36
5.2 Saran 37
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.2.1 Graf G 6
Gambar 2.2.2 Graf H 7
Gambar 2.3.1 Graf G dengan H1 Subgrafnya dan H2 bukan 8
Gambar 2.3.2 Penghapusan titik pada sisi graf 9
Gambar 2.6.1 Graf dengan 7 sisi dan 7 titik 11
Gambar 2.7.1 Sisi dan pembagian sisi sesuai aturan 13 Gambar 2.7.1 pemisah antara dan 14
Gambar 2.8.1 Graf G dengan H Partisi 15
Gambar 2.8.2 Dekomposisi Graf G 16
Gambar 2.8.3 Dekomposisi Monoton Kontinu G1,G2,G3 dari G 16
Gambar 2.9.1 Graf Carterpillar S4,3,2,3 18
Gambar 2.9.2 Graf Lobster L dengan diameter 6 18
Gambar 2.9.3 Graf Lobster 19
Gambar 2.9.4 Graf Bintang S8 20
Gambar 4.1.1 (a) DMK dari G atau DL dengan a=1 dan d=1 22 Gambar 4.1.1 (b) DL dari G dengan a=1 dan d=2 23 Gambar 4.2.1 Dekomposisi Bintang Linier dari G 24
Gambar 4.2.2 Graf G dengan N1 dan N2 24
Gambar 4.2.3 Graf Lobster L dengan diameter dan 26 Gambar 4.2.3.1 Graf lobster diameter dan dengan
( ) titik pusat graf bintang 26 Gambar 4.2.3.2 Graf lobster diameter dan
Dengan dan 27
dan dengan terletak di lintasan P 30 Gambar 4.2.5 Graf lobster dengan diameter dan . 31 Gambar 4.2.5.1 Graf lobster dengan diameter
dan dengan 32
Gambar 4.2.5.2 Graf L dengan diameter dan
dengan dua titik yang berbeda yakni dan di 33 Gambar 4.2.6 Graf lobster dengan diameter
BAB I PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Graf adalah cabang ilmu matematika yang pertama sekali diperkenalkan oleh matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler pada tahun 1736, yaitu saat penyelesaian masalah jembatan Konigsberg. Teori graf telah mengalami perkembangan yang begitu bagus. Saat ini banyak masalah yang berkaitan dengan graf yang telah dikaji. Salah satunya adalah dekomposisi graf.
Penerapan dekomposisi graf bukan hanya dalam matematika tetapi telah banyak diterapkan pada berbagai cabang ilmu lainnya yakni biologi, fisika, dan kimia. Banyaknya permasalahan yang menggunakan penerapan dekomposisi graf seperti jaringan listrik, siklus suatu mahluk hidup dan berbagai permasalahan lainnya. (Douglas B.West,2002).
Ada berbagai macam graf yang telah ditemukan salah satunya adalah graf lobster. Jenis graf yang jarang dibahas adalah graf lobster. Istilah graf lobster digunakan untuk salah satu particular polyamond atau sekelas graf pohon. Graf lobster adalah sejenis graf pohon yang jika semua simpul berderajat 1 dihapus akan menjadi graf caterpillar. Adapun graf caterpillar adalah graf yang diperoleh dengan menambahkan sejumlah simpul luar berderajat satu pada simpul-simpul dari graf lintasan.
Misalkan sebuah graf terhubung dengan titik dan sisi. Jika
adalah bagian terhubung dari yang saling lepas, sisi
maka dengan itu diperoleh
dikatakan dekomposisi dari graf
Sebuah dekomposisi dari G dikatakan dekomposisi
monoton kontinu (DMK) jika | | , untuk setiap . Dengan kata lain bahwa jika graf G memiliki dekomposisi maka banyak sisi graf G
hanya ada 1, jika graf G memiliki dekomposisi maka banyak sisi graf G ada sebanyak 3, yakni berasal dari banyak sisi di , sehingga
diperoleh banyak sisi dari graf G dapat dinotasikan dengan Dengan
m adalah banyaknya sisi graf G.
Sebuah dekomposisi dari G dikatakan Dekomposisi
Linear (DL) atau Dekomposisi Aritmatika jika | | untuk setiap dan . Dengan aturan baris aritmatika bahwa sebagai suku pertama dan sebagai beda maka jumlah titik untuk graf G dapat
dinotasikan menjadi [ ] Dalam dekomposisi linier suatu graf
, merupakan suatu graf bagian dari graf yang pertama, konstanta adalah selisih atau beda dari graf bagian yang berurutan. Sedangkan adalah banyak sisi dari graf bagian . Sebuah dekomposisi linier dimana
setiap adalah sebuah graf bintang dikatakan Dekomposisi Bintang Linier
(DBL) (Mulaikah,2014)
Jurnal tentang dekomposisi pertama sekali dibahas oleh Jacobson,M.s.,Truszcynski,M. and Tuza, Zs., dalam jurnal yang berjudul “Decompotisions of regular bipartite graphs”(1991) yang membahas tentang dekomposisi isomorfik graf bipartit bisa menjadi pohon dan hutan dan membuktikan bahwa sebuah graf beraturan-r didekomposisikan akan menjadikan pohon dengan banyak sisi r. Setelah itu penelitian tentang dekomposisi pun terus dilanjutkan untuk membuktikan berbagai hal yang menyangkut tentang graf.
pada berbagai jenis graf khusus, yang bisa menjadi berbagai jenis graf yakni dekomposisi graf roda , merupakan -dekomposisi, graf gir merupakan -dekomposisi dan graf persahabatan merupakan dekomposisi.
Sehingga setiap graf didekomposisikan akan menghasilkan graf baru dan tidak semua graf dapat didekomposisi bintang linierkan oleh karena itu penulis tertarik ingin mendekomposisikan graf lobster secara umum yang bertujuan untuk mendapatkan dan mengetahui jenis graf lobster seperti apa yang dapat di dekomposisi bintang linierkan.
Oleh karena perbedaan jenis graf yang dihasilkan maka penulis akan menunjukkan jenis graf yang akan dihasilkan jika graf lobster didekomposisikan. Sehingga penulis akan membahas Dekomposisi Bintang Linier (BDL) pada graf lobster yang dalam tulisan ini berjudul Studi Dekomposisi Bintang Linier Graf Lobster.
1.2Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, maka rumusan masalah pada penelitian ini adalah:
1. Bagaimana menentukan Dekomposisi Bintang Linier (DBL) pada graf lobster secara umum?
2. Graf Lobster seperti apakah yang dapat di dekomposisi bintang linierkan? 1.3Batasan Masalah
Dalam tulisan ini ada beberapa batasan-batasan yang akan diteliti yakni:
1. Tulisan ini hanya membahas tentang Dekomposisi Bintang Linier (DBL).
2. Tulisan ini hanya membahas tentang graf lobster yang dibagi berdasarkan diameternya.
1.4Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan penelitian dalam penulisan ini adalah:
1. Untuk mendapatkan diameter graf Lobster yang dapat di Dekomposisi Bintang Linierkan.
2. Untuk mendapatkan graf lobster seperti apa yang memenuhi Dekomposisi Bintang Linier.
1.5Manfaat Penelitian
Penulis berharap agar tulisan ini bermanfaat untuk:
a. Bagi penulis sebagai sarana dan latihan untuk menambah pemahaman dan penguasaan tentang materi yang diambil dalam penulisan ini. Khususnya tentang Dekomposisi Bintang Linier (DBL) pada graf lobster.
BAB I PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Graf adalah cabang ilmu matematika yang pertama sekali diperkenalkan oleh matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler pada tahun 1736, yaitu saat penyelesaian masalah jembatan Konigsberg. Teori graf telah mengalami perkembangan yang begitu bagus. Saat ini banyak masalah yang berkaitan dengan graf yang telah dikaji. Salah satunya adalah dekomposisi graf.
Penerapan dekomposisi graf bukan hanya dalam matematika tetapi telah banyak diterapkan pada berbagai cabang ilmu lainnya yakni biologi, fisika, dan kimia. Banyaknya permasalahan yang menggunakan penerapan dekomposisi graf seperti jaringan listrik, siklus suatu mahluk hidup dan berbagai permasalahan lainnya. (Douglas B.West,2002).
Ada berbagai macam graf yang telah ditemukan salah satunya adalah graf lobster. Jenis graf yang jarang dibahas adalah graf lobster. Istilah graf lobster digunakan untuk salah satu particular polyamond atau sekelas graf pohon. Graf lobster adalah sejenis graf pohon yang jika semua simpul berderajat 1 dihapus akan menjadi graf caterpillar. Adapun graf caterpillar adalah graf yang diperoleh dengan menambahkan sejumlah simpul luar berderajat satu pada simpul-simpul dari graf lintasan.
Misalkan sebuah graf terhubung dengan titik dan sisi. Jika
adalah bagian terhubung dari yang saling lepas, sisi
maka dengan itu diperoleh
dikatakan dekomposisi dari graf
Sebuah dekomposisi dari G dikatakan dekomposisi
monoton kontinu (DMK) jika | | , untuk setiap . Dengan kata lain bahwa jika graf G memiliki dekomposisi maka banyak sisi graf G
hanya ada 1, jika graf G memiliki dekomposisi maka banyak sisi graf G ada sebanyak 3, yakni berasal dari banyak sisi di , sehingga
diperoleh banyak sisi dari graf G dapat dinotasikan dengan Dengan
m adalah banyaknya sisi graf G.
Sebuah dekomposisi dari G dikatakan Dekomposisi
Linear (DL) atau Dekomposisi Aritmatika jika | | untuk setiap dan . Dengan aturan baris aritmatika bahwa sebagai suku pertama dan sebagai beda maka jumlah titik untuk graf G dapat
dinotasikan menjadi [ ] Dalam dekomposisi linier suatu graf
, merupakan suatu graf bagian dari graf yang pertama, konstanta adalah selisih atau beda dari graf bagian yang berurutan. Sedangkan adalah banyak sisi dari graf bagian . Sebuah dekomposisi linier dimana
setiap adalah sebuah graf bintang dikatakan Dekomposisi Bintang Linier
(DBL) (Mulaikah,2014)
Jurnal tentang dekomposisi pertama sekali dibahas oleh Jacobson,M.s.,Truszcynski,M. and Tuza, Zs., dalam jurnal yang berjudul “Decompotisions of regular bipartite graphs”(1991) yang membahas tentang dekomposisi isomorfik graf bipartit bisa menjadi pohon dan hutan dan membuktikan bahwa sebuah graf beraturan-r didekomposisikan akan menjadikan pohon dengan banyak sisi r. Setelah itu penelitian tentang dekomposisi pun terus dilanjutkan untuk membuktikan berbagai hal yang menyangkut tentang graf.
pada berbagai jenis graf khusus, yang bisa menjadi berbagai jenis graf yakni dekomposisi graf roda , merupakan -dekomposisi, graf gir merupakan -dekomposisi dan graf persahabatan merupakan dekomposisi.
Sehingga setiap graf didekomposisikan akan menghasilkan graf baru dan tidak semua graf dapat didekomposisi bintang linierkan oleh karena itu penulis tertarik ingin mendekomposisikan graf lobster secara umum yang bertujuan untuk mendapatkan dan mengetahui jenis graf lobster seperti apa yang dapat di dekomposisi bintang linierkan.
Oleh karena perbedaan jenis graf yang dihasilkan maka penulis akan menunjukkan jenis graf yang akan dihasilkan jika graf lobster didekomposisikan. Sehingga penulis akan membahas Dekomposisi Bintang Linier (BDL) pada graf lobster yang dalam tulisan ini berjudul Studi Dekomposisi Bintang Linier Graf Lobster.
1.2Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, maka rumusan masalah pada penelitian ini adalah:
1. Bagaimana menentukan Dekomposisi Bintang Linier (DBL) pada graf lobster secara umum?
2. Graf Lobster seperti apakah yang dapat di dekomposisi bintang linierkan? 1.3Batasan Masalah
Dalam tulisan ini ada beberapa batasan-batasan yang akan diteliti yakni:
1. Tulisan ini hanya membahas tentang Dekomposisi Bintang Linier (DBL).
2. Tulisan ini hanya membahas tentang graf lobster yang dibagi berdasarkan diameternya.
1.4Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan penelitian dalam penulisan ini adalah:
1. Untuk mendapatkan diameter graf Lobster yang dapat di Dekomposisi Bintang Linierkan.
2. Untuk mendapatkan graf lobster seperti apa yang memenuhi Dekomposisi Bintang Linier.
1.5Manfaat Penelitian
Penulis berharap agar tulisan ini bermanfaat untuk:
a. Bagi penulis sebagai sarana dan latihan untuk menambah pemahaman dan penguasaan tentang materi yang diambil dalam penulisan ini. Khususnya tentang Dekomposisi Bintang Linier (DBL) pada graf lobster.
BAB V
SIMPULAN DAN SARAN
5.1Simpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab IV tersebut dapat ditarik kesimpulan seperti dibawah ini:
1. Jika graf lobster L dapat didekomposisi bintang linier (DBL) ( ) maka diameter L
2. Misalkan L graf lobster dengan diameter dan banyak sisi adalah . Dapat di DBL jika hanya jika : L adalah graf carterpillar dan terdapat sebanyak ( yang titik-titik support persimpangan langsung yang tidak berhubungan langsung yang berderajat 3, 5, 7, …, di graf L, serta ada paling banya satu sisi persekitaran titik-simpang (junction-neighbor) di graf L.
3. Graf Lobster dengan diameter dan banyak sisi adalah .
Dapat di DBL ( ) jika hanya jika: adalah graf carterpillar dan terdapat sebanyak titik-titik simpang yang tidak berhubungan langsung yang berderajat dalam graf L. serta tidak ada sisi persekitaran titik-simpang di graf lobster L.
5.2Saran
38
DAFTAR PUSTAKA
Baca,Martin & Mirka Miller. 2008. Super Edge-Antimagic Graph. USA. Brown Walker Press.
Diestel, Reinhard. 2005. Graph Theory,ed electronic. New York. Springer.
E.Ebin Raja Merly and N.Gnanadhas, (2011). Linier star Decomposition of lobster, International Journal of Mathematics Research. Volume 7. Number 6. (251-261).
Harary,Frank. 1969. Graph Theory. California. Addison-wesley publishing company.
Harris,Jhon M., Jeffry L.,dkk. 2000. Combinatorics and Graph Theory. USA. Springer.
Lipschutz,Seymour & Marc Lars Lipson, 1992. 2000 solved problems in Discrete Mathematics.USA. McGraw-Hill.
Mulaikah dan Prof.I.Ketut Budayasa,Ph.D, Dekomposisi bintang linier graf lobster, MATHunesa, Vol.3, No.3, (2014).
Munir,Rinaldi, 2001.Matematika Diskrit.ed.2.Bandung. Informatika Bandung.
Munir,Rinaldi. 2003. Matematika Diskrit ed.3. Bandung. Informatika Bandung.
N.Gnanadhas and J.Paulraj Joseph, Continous Monotonic Decomposition of Graph, International Journal of Management system, Volume 16, No.3, (2000).
Rachmawati,Syarifani. 2012. Pelabelan Total Busur Ajaib b-Busur Berurutan pada Graf Lobster dan . Depok. Universitas Indonesia.
Rahmawati, Nur dan Budi Rahajeng,S.Si,M.Si. ”Dekomposisi Graf Sikel, Graf Roda, Graf GIR dan Graf Persahabatan”, MathUnesa,Vol.3, No.3, (2014)
Siang, Jong jek, (2006), Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Andi Yogyakarta. Yogyakarta.
West,B Douglas. 2002. Introduction to Graph Theory. New Delphi.Prentice-Hal of India.
