UJI EMPIRICAL LIKELIHOOD RATIO ANTARA DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF DAN DISTRIBUSI GEOMETRIK SKRIPSI MARHAMAH SAFITRI

(1)

UJI EMPIRICAL LIKELIHOOD RATIO ANTARA DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF DAN DISTRIBUSI GEOMETRIK

SKRIPSI

MARHAMAH SAFITRI 150803021

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

(2)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

MARHAMAH SAFITRI 150803021

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2019

(3)

PERNYATAAN

SKRIPSI

Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, juli 2019

Marhamah Safitri 150803021

(4)

ii

PENGESAHAN SKRIPSI

Judul : Uji Empirical Likelihood Ratio Antara Distribusi Binomial Negatif Dan Distribusi Geometrik

Kategori : Skripsi

Nama : Marhamah Safitri

Nomor Induk Mahasiswa : 150803021

Program Studi : Sarjana Matematika

Fakultas : MIPA-Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, juli 2019

Ketua Program Studi Pembimbing

Dr. Drs. Suyanto, M.Kom Dra. Laurentina Pangaribuan, MS NIP. 195908131986011002 NIP. 195708031983032002

(5)

ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan distribusi diskrit binomial negatif dengan distribusi geometrik menggunakan uji empirical likelihood ratio. Untuk melihat perbandingan kedua distribusi dengan melalui simulasi menggunakan pemrograman bahasa R. Pendugaan parameter kedua distribusi dilakukan dengan metode maximum likehood. Hasil pendugaan parameter disubsitusikan untuk melakukan pengujian dengan uji empirical likelihood ratio. Berdasarkan hasil simulasi, didapat bahwa distribusi geometrik lebih baik dari distribusi negatif binomial.

Kata kunci: Distribusi Negatif Binomial, Distribusi Geometrik, Metode Maximum likelihood, Uji Empirical Likelihood Ratio, Pemrograman Bahasa R.

(6)

iv

EMPIRICAL LIKELIHOOD RATIO TEST BETWEEN NEGATIVE AND GEOMETRIC DISTRIBUTION

DISTRIBUTION

ABSTRACT

This study aims to compare negative binomial discrete distributions with geometric distributions using the empirical likelihood ratio test. To see a comparison of the two distributions through simulations using the R language programming. The value parameters estimation of the second distribution parameter using the method of maximum likelihood. The estimation results of the parameters are subsidized for testing using the empirical likelihood ratio test. Based on the simulation results, it is known that the geometric distribution is better than the binomial negative distribution.

Keyword: Negative Binomial Distribution, Geometric Distirbution, Maximum Likelihood Method, Empirical Likelihood Ratio Test, R Language Programming.

(7)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan penyususnan skripsi ini yang berjudul “ Uji Empirical Likelihood Ratio Antara Distribusi Binomial Negatif Dan Distribusi Geometrik ”.

Terima kasih penulis sampaikan kepada Ibu Dra. Laurentina Pangaribuan, MS. selaku pembimbing yang telah memberikan waktu, ilmu, motivasi dan arahan selama penyusunan skripsi ini. Terima kasih kepada Bapak Dr. Open Darnius, M.Sc.

dan Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku dosen pembanding 1 dan pembanding 2 yang memberikan kritik dan saran yang membangun dalam menyelesaikan skripsi ini.

Terima kasih kepada Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Medan, Bapak Dr. Kerista Sebayang, MS selaku Dekan FMIPA USU, seluruh staff dan dosen matematika FMIPA USU serta pegawai FMIPA USU. Terima kasih kepada kedua orangtua tercinta yaitu Ayahanda Rustam Latif dan Ibunda Siti Qomariah.

Terima kasih kepada “Sahabat Muslimah”. Terima kasih kepada keluarga Ukmi Al Falak dan Ukmi Ad Dakwah, teman-teman di REMADI, teman-teman matematika 2015 FMIPA USU serta teman-teman kuliah lainnya yang telah membantu penulis menyelesaikan skripsi ini. Semoga Allah SWT Yang Maha Esa akan membalasnya.

Medan, Juli 2019

Marhamah Safitri

(8)

vi

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

PENGESAHAN ii

ABSTRAK iii

ABSTRACT iv

PENGHARGAAN v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR LAMPIRAN ix

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 1.6

Manfaat Penelitian Metodologi Penelitian

3 3 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Peubah Acak 5

2.2 Distribusi Negatif Binomial 6

2.3 Distribusi Geometrik 10

2.4 Estimasi Maksimum Likelihood (MLE) 13

2.4.1 Fungsi Likelihood 13

2.4.2 Estimasi Maksimum Likelihood 14

2.5 Empirical likelihood 15

2.6 Uji Empirical Likelihood Ratio 15

BAB 3 METODE PENELITIAN

3.1 Metode penelitian ke perpustakaan 17

3.2 Metode Analisis 17

3.3 Pemecahan Masalah 17

3.4 Pengujian 17

3.5 Menganalisis dan membuat kesimpulan 18

3.6 Kerangka Penelitian 18

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pendugaan Parameter Pada Distribusi Binomial Negatif Dengan Metode Maximum Likelihood Estimator

19 4.2 Pendugaan Parameter Pada Distribusi Geometri

Dengan Metode Maximum Likelihood Estimator 20 4.3 Membandingkan Kedua Distribusi Binomial Negatif

Dan Geometri Dengan Uji Empirical Likelihood Ratio. 21

(9)

Halaman

4.4 Analisis Hasil Kesimpulan 25

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 26

5.1 Kesimpulan 26

5.2 Saran 26

DAFTAR PUSTAKA 27

LAMPIRAN 28

(10)

viii DAFTAR TABEL

Nomor

Tabel JUDUL Halaman

4.1 Parameter kedua distribusi yang disimulasikan 22 4.2 Perbandingan Distribusi dengan Uji Empirical Likelihood

Ratio

23

(11)

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor

Lampiran JUDUL Halaman

1 Simulasi dengan Pemrograman Bahasa R 28

(12)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pengumpulan data dengan menggunakan sampel bertujuan untuk menarik suatu kesimpulan umum tentang suatu peristiwa yang sedang diselidiki dengan cara menganalisa data sampel. Dengan menggunakan dasar statistik sampel dapat ditarik suatu kesimpulan (Inferens) tentang karakteristik populasi dari mana data sampel tersebut diambil. Penarikan kesimpulan tersebut dapat dilakukan melalui pendugaan (Estimate) tentang beberapa parameter distribusi populasi atau melalui pengujian (Test) suatu hipotesis yang menyatakan nilai parameter distribusi populasi.

Sudjana (1996) populasi mempunyai karakteristik tertentu yang disebut parameter. Karakteristik yang sama juga dimiliki sampel yang dipilih dari populasi tersebut. Masalah penting dalam inferensi statistik adalah merumuskan bagaimana parameter suatu populasi. Hal ini disebut juga kegiatan estimasi terhadap nilai parameter suatu populasi. Karena pada umumnya nilai parameter suatu populasi tidak diketahui sehingga penarikan kesimpulan terhadap parameter memerlukan konsep probabilitas yang baik.

Penggunaan rasio ( perbandingan ) dua fungsi densitas sebagai dasar pengujian hipotesis dapat dimodifikasi dan memberikan metode untuk pengujian hipotesis majemuk terhadap hipotesis alternatif majemuk, atau memberikan metode pengujian dari suatu hipotesis sederhana terhadap hipotesis alternatif majemuk.

Metode ini membawa kepada suatu pengujian yang disebut Uji Rasio Likelihood. Uji Rasio Likelihood belum tentu merupakan suatu uji terbaik, namun pengujian ini mempunyai sifat-sifat yang meminimumkan kesalahan uji.

Somayasa (2008) Likelihood Rasio Test (LRT) merupakan salah satu uji yang berhubungan langsung dengan Maximum Likelihood Estimator (MLE) yang merupakan metode pendugaan parameter dari gugus data yang mengikuti sebaran distribusi tertentu. Dalam hal ini MLE merupakan metode yang diterapkan untuk memaksimumkan fungsi kemungkinan (Likelihood Function) suatu distribusi sehingga dapat menghasilkan penduga parameter dengan kemungkinan maksimum.

(13)

2

C. S. Marange dan Y. Qin (2018) dalam jurnalnya menguji distribusi setengah normal dengan metode Empirical Likelihood Ratio Test (uji rasio kemungkinan maksimum empiris). Uji rasio kemungkinan empiris untuk normalitas berdasarkan kendala moment distribusi setengah normal telah dikembangkan. Secara keseluruhan, uji ELR yang diusulkan memiliki sifat kekuatan yang baik dan secara signifikan mengungguli uji yang sudah ada yang dikenal umum terhadap distribusi simetris alternatif yang diteliti. Kasus jurnal, sifat daya yang menarik dari uji ELR yang diusulkan dihasilkan dari metode EL mampu mengintegrasikan sebagian besar informasi yang tersedia dengan memanfaatkan kendala empat momen pertama dan juga melalui pemanfaatan fungsi EL yang menghasilkan manfaat daya tambahan.

Yingxi Liu dan Ahmed Taufik (2016) dalam jurnalnya menguji kendala – kendala fungsi distribusi dengan Empirical Likelihood Ratio Test (uji rasio kemungkinan empiris). Jurnal tersebut mengusulkan uji rasio kemungkinan empiris dengan kendala fungsi distribusi (ELRDF), yang berlaku ke banyak aplikasi dalam masalah deteksi non-parametrik yang robust (metode yang kuat dan resisten terhadap data pencilan). Dengan memberikan deskripsi tentang ketidakpastian menggunakan kendala fungsi distribusi, uji rasio kemungkinan empiris memberikan kinerja yang lebih baik dibandingkan dengan banyak uji good-of-fit yang populer, seperti uji Kolmogorov-Smirnov dan Cramer von Mises. Juga, optimalitas asimptotik dari uji rasio kemungkinan empiris ditetapkan.

Berdasarkan uraian junal yang membahas Uji Empirical Likelihood Ratio dalam kendala fungsi distribusi dan penerapannya dalam distribusi normal, penulis menulis judul dalam penelitian ini yaitu Uji Empirical Likelihood Ratio antara Distribusi Binomial Negatif dan Distribusi Geometrik.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang penelitian ini, permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana cara melakukan uji rasio kemungkinan empiris (Empirical likelihood Ratio Test) dengan menggunakan perbandingan dua distribusi pada program R.

(14)

3

1.3 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah pada penelitian ini adalah:

1. Distribusi yang digunakan pada penelitian ini adalah Distribusi Diskrit yaitu Distribusi Binomial Negatif dan Distribusi Geometrik.

2. Uji yang dipakai pada penelitian ini adalah uji rasio kemungkinan empiris (Empirical likelihood Ratio Test).

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian ini adalah melakukan uji rasio kemungkinan empiris (Empirical likelihood Ratio Test) dengan menggunakan perbandingan dua distribusi.

Fungsi rasio likelihood: (Owen, 2001:21).

𝑅(𝜃) = sup{𝑅(𝐹) | 𝑇(𝐹) = 𝜃, 𝑓𝜖𝐹}

𝑅(𝜃) berbatas atas pada distribusi binomial negatif atau distribusi geometrik.

1.5 Manfaat Penelitian

Penelitian ini dapat dimanfaatkan sebagai bahan pembelajaran dan pengembangan pengetahuan bagi penulis dan mahasiswa yang ingin mengetahui lebih lanjut tentang pengujian distribusi.

1.6 Metodologi penelitian

Adapun metodologi penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Metode penelitian ke perpustakaan

Mencari materi yang menyangkut tentang pengujian distribusi dari buku maupun jurnal yang dapat dijadikan sebagai landasan teori dari penelitian.

2. Metode Analisis

Menganalis buku-buku maupun jurnal yang sesuai digunakan untuk mempermudah pemecahan masalah.

3. Pada penelitian ini digunakan studi literatur tentang Uji Empirical Likelihood Ratio antara Distribusi Binomial Negatif dan Distribusi Geometrik

(15)

4

4. Melakukan pendugaan parameter pada distribusi binomial negatif dan geometrik metode maximum likelihood.

5. Membandingkan kedua distribusi dengan uji Empirical Likelihood Ratio.

6. Menganalisis dan membuat kesimpulan

(16)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Peubah Acak

Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi 𝑋 yang terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur 𝜔 𝜖 Ω ke satu dan hanya satu bilangan real 𝑋(𝜔) = 𝑥 disebut peubah acak. Ruang dari 𝑋 adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan real yang dinotasikan 𝐴 = {𝑥: 𝑥 = 𝑋(𝜔), 𝜔 𝜖 Ω}.

Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital seperti 𝑋, 𝑌 dan 𝑍. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti 𝑥, 𝑦 dan 𝑧. Setiap peubah memiliki fungsi sebaran.

Fungsi sebaran suatu peubah acak 𝑋 adalah 𝐹_𝑋: ℝ → [0,1], yang didefinisikan oleh 𝐹_𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). Peubah acak 𝑋 dikatakan diskrit jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah.

Misalkan X adalah variabel random diskrit dari ruang sampel S. Suatu fungsi f dikatakan merupakan fungsi probabilitas atau distribusi dari variabel random diskrit jika memenuhi syarat:

1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 , 𝑥 ∈ 𝑅 2. ∑^𝑛_𝑖=0𝑓(𝑥_𝑖) = 1 3. 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑓(𝑥)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskrit 𝑋 adalah adalah 𝑝_𝑋: ℝ → [0,1], yang didefinisikan oleh 𝑝_𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥).

Suatu peubah acak 𝑋 disebut kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai:

𝐹_𝑋(𝑥) = ∫ 𝑓_𝑋(𝑢)𝑑𝑢,

∞

−∞

𝑥 ∈ ℝ

Misalkan X adalah variabel random kontinu dari ruang sampel S. Suatu fungsi f dikatakan fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas variabel random kontinu X, jika memenuhi syarat:

1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk semua 𝑥 ∈ 𝑅 2. ∫_−∞^∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1

(17)

6

3. 𝑃 (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥_𝑎^𝑏

Untuk suatu fungsi 𝑓_𝑋: ℝ → [0, ∞) yang terintegralkan. Selanjutnya fungsi 𝑓_𝑋 disebut fungsi kepekatan peluang.

2.2 Distribusi Binomial Negatif

Distribusi binomial negatif berkaitan dengan suatu percobaan yang diulang beberapa kali secara bebas sehingga mendapatkan sukses yang ke−𝑘. Dimana sukses terakhir adalah akhir percobaan. Percobaan akan mengikuti distribusi binomial jika dalam setiap percobaan selalu memiliki dua kejadian yang mungkin, yakni ”Sukses”

atau ”Gagal”. Dimana dua kemungkinan tersebut selalu memiliki nilai probabilitas yang sama.

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial negatif termasuk distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam 𝑛 percobaan yang saling bebas. Percobaan akan mengikuti distribusi binomial negatif jika:

1. Percobaan terdiri atas 𝑛 percobaan yang saling independen atau saling bebas, maksudnya hasil suatu percobaan tidak akan berpengaruh terhadap hasil percobaan selanjutnya.

2. Tiap percobaan hanya terdiri dari dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal.

3. Probabilitas sukses dan gagal untuk tiap percobaan adalah tetap, yaitu 𝑝 dan probabilitas gagal adalah 1 − 𝑝.

Variabel random yang menyatakan banyaknya percobaan agar terjadi sukses ke- 𝑘 merupakan variable random binomial negatif.

Secara umum jika 𝑋 sebagai banyak percobaan sehingga didapat sukses yang ke−𝑘, 𝑝 menyatakan peluang sukses, dan 𝑞 menyatakan peluang gagal. Sehingga diperoleh pdf atau fungsi kepadatan peluang dari 𝑋 adalah

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1

𝑘 − 1) 𝑝^𝑘𝑞^𝑥−𝑘 (𝑥 = 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, . . . ) atau

𝑥 − 1

(18)

7

Fungsi 𝑓(𝑥) disebut fungsi kepadatan peluang distribusi binomial negatif dari peubah acak X diskrit, jika memenuhi kedua syarat fungsi peluang ;

1. Untuk syarat yang pertama jelas bahwa 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1 2. ∑_𝑥𝑓(𝑥)= 1

Bukti:

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= ∑ 𝑓(𝑥)

∞

𝑥=𝑘

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= ∑ (𝑥 − 1

𝑘 − 1) 𝑝^𝑘(1 − 𝑝)^𝑥−𝑘

∞

𝑥=𝑘

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= (𝑘 − 1

𝑘 − 1) 𝑝^𝑘(1 − 𝑝)^𝑘−𝑘+ (𝑘 + 1 − 1

𝑘 − 1 ) 𝑝^𝑘(1 − 𝑝)^{𝑘+1−𝑘} + ⋯

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= 𝑝^𝑘+ ( 𝑘

𝑘 − 1) 𝑝^𝑘(1 − 𝑝) + (𝑘 + 1

𝑘 − 1) 𝑝^𝑘(1 − 𝑝)²+ ⋯

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= 𝑝^𝑘+ 𝑘!

1! (𝑘 − 1)!𝑝^𝑘(1 − 𝑝) + 𝑘 + 1!

2! (𝑘 − 1)!𝑝^𝑘(1 − 𝑝)²+ ⋯

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= 𝑝^𝑘(1 + 𝑘(𝑘 − 1)!

1! (𝑘 − 1)!(1 − 𝑝) +(𝑘 + 1)𝑘(𝑘 − 1)!

2! (𝑘 − 1)! (1 − 𝑝)²+ ⋯ )

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= 𝑝^𝑘(1 + 𝑘

1!(1 − 𝑝) +(𝑘 + 1)𝑘

2! (1 − 𝑝)²+ ⋯ )

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= 𝑝^𝑘( 1

(1 − (1 − 𝑝))^𝑘)

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= 𝑝^𝑘(1 𝑝^𝑘)

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= 1

Dari pembuktian maka Peubah acak sebaran binomial negatif, ditulis sebagai 𝑋~𝑁𝐵𝐼𝑁(𝑘, 𝑝), dan pdf atau fungsi kepadatan peluangnya nya ditulis sebagai

𝑋~𝑁𝐵𝐼𝑁(𝑘, 𝑝) ↔ 𝑝(𝑋 = 𝑥) = (𝑥 − 1

𝑘 − 1) 𝑝^𝑘(1 − 𝑝)^𝑥−𝑘 (𝑥 = 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, . . . )

(19)

8

Teorema 1: Jika 𝑋~𝑁𝐵𝐼𝑁(𝑘, 𝑝) maka

𝐸(𝑋) =𝑘

𝑝 ; 𝑉𝐴𝑅(𝑋) =𝑘(1 − 𝑝)

𝑝² ;𝑀(𝑡)= ( 𝑝𝑒^𝑡 1 −(_{1 − 𝑝})_𝑒^𝑡⁾

𝑘

Bukti:

1. Pembuktian Ekspektasi Distribusi Binomial Negatif

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑝(𝑥)

∞

𝑥=𝑘

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 (𝑥 − 1)!

(𝑘 − 1)! (𝑥 − 𝑘)!𝑝^𝑘(1 − 𝑝)^𝑥−𝑘

∞

𝑥=𝑘

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥(𝑥 − 1)!

(𝑘 − 1)! (𝑥 − 𝑘)!

𝑝^𝑘+1

𝑝 (1 − 𝑝)^𝑥−𝑘

∞

𝑥=𝑘

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑘𝑥!

𝑘! (𝑥 − 𝑘)!

𝑝^𝑘+1

𝑝 (1 − 𝑝)^𝑥−𝑘

∞

𝑥=𝑘

𝐸(𝑋) =𝑘

𝑝∑ 𝑥!

𝑘! (𝑥 − 𝑘)!𝑝^𝑘+1(1 − 𝑝)^𝑥−𝑘

∞

𝑥=𝑘

𝐸(𝑋) =𝑘 𝑝

2. Pembuktian Variansi Distribusi Binomial Negatif

𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 𝐸(𝑋²) − 𝐸²(𝑋)

Perhitungan untuk 𝐸(𝑋²)

𝐸(𝑋²) = 𝐸(𝑋²) − 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑋) 𝐸(𝑋²) = 𝐸(𝑋(𝑋 + 1)) − 𝐸(𝑋)

(20)

9

𝐸(𝑋(𝑋 + 1)) = ∑(𝑥 + 1)𝑥(𝑥 − 1)!

(𝑘 − 1)! (𝑥 − 𝑘)!𝑝^𝑘(1 − 𝑝)^𝑥−𝑘

∞

𝑥=𝑘

𝐸(𝑋(𝑋 + 1)) = ∑(𝑘 + 1)𝑘(𝑥 + 1)!

(𝑘 + 1)! (𝑥 − 𝑘)!

𝑝^𝑘+2

𝑝² (1 − 𝑝)^𝑥−𝑘

∞

𝑥=𝑘

𝐸(𝑋(𝑋 + 1)) =𝑘(𝑘 + 1)

𝑝² ∑ (𝑥 + 1)!

(𝑘 + 1)! (𝑥 − 𝑘)!𝑝^𝑘+2(1 − 𝑝)^𝑥−𝑘

∞

𝑥=𝑘

𝐸(𝑋(𝑋 + 1)) =𝑘(𝑘 + 1) 𝑝²

𝐸(𝑋²) = 𝐸(𝑋(𝑋 + 1)) − 𝐸(𝑋) 𝐸(𝑋²) =𝑘(𝑘 + 1)

𝑝² −𝑘 𝑝 𝐸(𝑋²) =𝑘(𝑘 + 1) − 𝑘𝑝

𝑝²

Subsitusi 𝐸(𝑋²) untuk perhitungan 𝑉𝐴𝑅(𝑋)

𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 𝐸(𝑋²) − 𝐸²(𝑋) 𝑉𝐴𝑅(𝑋) =𝑘(𝑘 + 1) − 𝑘𝑝

𝑝² − (𝑘 𝑝)² 𝑉𝐴𝑅(𝑋) =𝑘(1 − 𝑝)

𝑝²

3. Pembuktian Pembangkit Momen Distribusi Binomial Negatif

𝑀(𝑡) = 𝐸(𝑒^𝑋𝑡) 𝑀(𝑡) = ∑ 𝑒^𝑋𝑡𝑓(𝑥)

∀𝑥

𝑀(𝑡) = ∑ 𝑒^𝑥𝑡(𝑥 − 1 𝑟 − 1)

∞

𝑥=𝑘

𝑝^𝑘(1 − 𝑝)^𝑥−𝑘

𝑀(𝑡) = 𝑒^𝑡𝑘𝑝^𝑘+ 𝑒^𝑡(𝑘+1)( 𝑘

𝑘 − 1) 𝑝^𝑘(1 − 𝑝) + 𝑒^𝑡(𝑘+2)( 𝑘

𝑘 − 1) 𝑝^𝑘(1 − 𝑝)²+ ⋯

(21)

10

𝑀(𝑡) = 𝑝^𝑘𝑒^𝑡𝑘(1 + 𝑒^𝑡 𝑘!

1! (𝑘 − 1)!(1 − 𝑝) + 𝑒^2𝑡 (𝑘 + 1)!

2! (𝑘 − 1)!(1 − 𝑝)²+ ⋯ )

𝑀(𝑡) = 𝑝^𝑘𝑒^𝑡𝑘(1 + 𝑒^𝑡 𝑘(𝑘 − 1)!

1! (𝑘 − 1)!(1 − 𝑝) + 𝑒^2𝑡(𝑘 + 1)𝑘(𝑘 − 1)!

2! (𝑘 − 1)! (1 − 𝑝)² + ⋯ )

𝑀(𝑡) = 𝑝^𝑘𝑒^𝑡𝑘(1 + 𝑒^𝑡 𝑘

1!(𝑒^𝑡(1 − 𝑝)) +(𝑘 + 1)𝑘

2! (𝑒^𝑡(1 − 𝑝))²+ ⋯ )

𝑀(𝑡) = 𝑝^𝑘𝑒^𝑡𝑘 1

(1 − (1 − 𝑝)𝑒^𝑡)^𝑘

𝑀(𝑡) = ( 𝑝𝑒^𝑡

(1 − (1 − 𝑝)𝑒^𝑡)^𝑘

2.3 Distribusi Geometrik

Distribusi geometrik adalah kasus khusus dari distribusi binomial negatif untuk 𝑘 = 1, yaitu distribusi peluang banyaknya percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan sukses pertama. Distribusi ini berpangkal pada percobaan Bernoulli dimana hanya terdapat dua kemungkinan yaitu sukses atau gagal, yang diulang berkali-kali sampai mendapatkan sukses pertama. Dimana setiap percobaan tidak akan berpengaruh pada percobaan selanjutnya.

Secara umum jika 𝑋 adalah sebagai banyak percobaan sampai mendapatkan sukses pertama, 𝑝 menyatakan peluang kejadian sukses, dan 𝑞 menyatakan peluan kejadian gagal. Maka diperoleh pdf dari 𝑋 adalah

𝑓(𝑥) = 𝑝𝑞^𝑥−1 (𝑥 = 1, 2, 3, . . . ) atau

𝑓(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)^𝑥−1 (𝑥 = 1, 2, 3, . . . )

Fungsi 𝑓(𝑥) disebut fungsi kepadatan peluang (distribusi geometrik) dari peubah acak X diskrit, jika memenuhi kedua syarat fungsi peluang ;

1. Untuk syarat yang pertama jelas bahwa 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1

(22)

11

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= ∑ 𝑝(1 − 𝑝)^𝑥−1

∞

𝑥=1

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= 𝑝(1 − 𝑝)¹⁻¹+ 𝑝(1 − 𝑝)²⁻¹+ 𝑝(1 − 𝑝)³⁻¹+ 𝑝(1 − 𝑝)⁴⁻¹+ ⋯

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= 𝑝(1 + (1 − 𝑝) + (1 − 𝑝)²+ (1 − 𝑝)³+ ⋯

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= 𝑝 1

1 − (1 − 𝑝)

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= 𝑝1 𝑝

∑ 𝑓(𝑥)

𝑥

= 1

Dari pembuktian maka peubah acak sebaran distribusi geometrik, ditulis sebagai 𝑋~𝐺𝐸𝑂(𝑝), dan pdf atau fungsi kepadatan peluangnya nya ditulis sebagai

𝑋~𝐺𝐸𝑂(𝑝) ↔ 𝑝(𝑋 = 𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)^𝑥−1 (𝑥 = 1, 2, 3, . . . )

Teorema 2: Jika 𝑋~𝐺𝐸𝑂(𝑝) maka

𝐸(𝑋) =1

𝑝 ; 𝑉𝐴𝑅(𝑋) =1 − 𝑝

𝑝² ; 𝑀(𝑡) = 𝑝𝑒^𝑡 1 −(1 − 𝑝)𝑒^𝑡 Bukti:

1. Pembuktian Ekspektasi Geometrik

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑝(𝑥)

∞

𝑥=1

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑝(1 − 𝑝)^𝑥−1

∞

𝑥=1

𝐸(𝑋) = 𝑝 + 2𝑝(1 − 𝑝) + 3𝑝(1 − 𝑝)²+ 4𝑝(1 − 𝑝)³+ 5𝑝(1 − 𝑝)⁴+ ⋯ 𝐸(𝑋) = 𝑝(1 + 2(1 − 𝑝) + 3(1 − 𝑝)²+ 4(1 − 𝑝)³+ 5(1 − 𝑝)⁴+ ⋯ )

𝐸(𝑋) = 𝑝 1

(1 − (1 − 𝑝))²

(23)

12

𝐸(𝑋) = 𝑝 1 𝑝² 𝐸(𝑋) = 1

𝑝

2. Pembuktian Variansi Geometrik

𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 𝐸(𝑋²) − 𝐸²(𝑋)

Perhitungan untuk 𝐸(𝑋²)

𝐸(𝑋²) = 𝐸(𝑋²) − 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑋) 𝐸(𝑋²) = 𝐸(𝑋(𝑋 + 1)) − 𝐸(𝑋) 𝐸(𝑋(𝑋 + 1)) = ∑ 𝑥(𝑥 + 1)𝑝(𝑥)

∞

𝑥=1

𝐸(𝑋(𝑋 + 1)) = ∑ 𝑥(𝑥 + 1)𝑝(1 − 𝑝)^𝑥−1

∞

𝑥=1

𝐸(𝑋(𝑋 + 1)) = 2𝑝 + 6𝑝(1 − 𝑝) + 12𝑝(1 − 𝑝)²+ 20𝑝(1 − 𝑝)³+ ⋯ 𝐸(𝑋(𝑋 + 1)) = 2𝑝(1 + 3(1 − 𝑝) + 6(1 − 𝑝)²+ 10(1 − 𝑝)³+ ⋯ ) 𝐸(𝑋(𝑋 + 1)) = 2𝑝( 1

(1 − (1 − 𝑝))³) 𝐸(𝑋(𝑋 + 1)) = 2𝑝(1

𝑝³) 𝐸(𝑋(𝑋 + 1)) = (2

𝑝²)

𝐸(𝑋²) = 𝐸(𝑋(𝑋 + 1)) − 𝐸(𝑋) 𝐸(𝑋²) = 2

𝑝²−1 𝑝 𝐸(𝑋²) = 2

𝑝²− 𝑝 𝑝² 𝐸(𝑋²) =2 − 𝑝

(24)

13

Subsitusi 𝐸(𝑋²) untuk perhitungan 𝑉𝐴𝑅(𝑋)

𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 𝐸(𝑋²) − 𝐸²(𝑋) 𝑉𝐴𝑅(𝑋) =2 − 𝑝

𝑝² − (1 𝑝)² 𝑉𝐴𝑅(𝑋) =2 − 𝑝 − 1

𝑝² 𝑉𝐴𝑅(𝑋) =1 − 𝑝

𝑝²

3. Pembuktian Pembangkit Momen Geometrik

𝑀(𝑡) = 𝐸(𝑒^𝑋𝑡) 𝑀(𝑡) = ∑ 𝑒^𝑋𝑡𝑓(𝑥)

∀𝑥

𝑀(𝑡) = ∑ 𝑒^𝑥𝑡

∞

𝑥=1

𝑝(1 − 𝑝)^𝑥−1

𝑀(𝑡) = 𝑒^𝑡𝑝 + 𝑒^2𝑡𝑝(1 − 𝑝) + 𝑒^3𝑡𝑝(1 − 𝑝)²+ 𝑒^4𝑡𝑝(1 − 𝑝)³+ ⋯ 𝑀(𝑡) = 𝑝𝑒^𝑡(1 + 𝑒^2𝑡(1 − 𝑝) + 𝑒^3𝑡(1 − 𝑝)²+ 𝑒^4𝑡(1 − 𝑝)³+ ⋯ )

𝑀(𝑡) = 𝑝𝑒^𝑡 1 1 − 𝑒^𝑡(1 − 𝑝)

𝑀(𝑡) = 𝑝𝑒^𝑡 1 − (1 − 𝑝)𝑒^𝑡

2.4 Estimasi Maksimum Likelihood (MLE) 2.4.1 Fungsi Likelihood

Misalkan 𝑋₁, 𝑋₂, . . . , 𝑋_𝑛 sampel acak berukuran 𝑛 (random sample of size 𝑛).

Fungsi peluang 𝑛-variatnya adalah

𝑓_𝑋_1,_𝑋_2,_,…,𝑋_𝑛,(𝑥_1,𝑥_2,… , 𝑥_𝑛) = ∏ 𝑓_𝑋_𝑖(𝑥_𝑖)

𝑛

𝑖=1

(25)

14

Misalkan fungsi peluang 𝑛-variatnya bergantung pada parameter yang tidak diketahui 𝜃. Fungsi peluang tersebut ditulis sebagai

𝑓_𝑋_1,_𝑋_2,_,…,𝑋_𝑛,(𝑥_1,𝑥_2,… , 𝑥_𝑛|𝜃₁, … , 𝜃_𝑘) Atau 𝑓_𝑋(𝑥|𝜃)

Fungsi likelihood adalah ukuran yang menyatakan sebarapa sering nilai 𝜃, diberikan bahwa 𝑥 telah terobservasi. Fungsi likelihood bukan suatu peluang. Fungsi likelihood diperoleh dengan (i) menukar peran 𝜃 dan 𝑥 dalam fungsi peluang n- variat, dan (ii) membuang suku yang tidak bergantung pada 𝜃. Fungsi kepadatan peluang bersama dari 𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛 sampel acak berukuran 𝑛 yang dihitung pada titik pengamatan (sampel) 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 adalah 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛; 𝜃) =

∏^𝑛_𝑖=1𝑓(𝑥_𝑖; 𝜃) dianggap tetap, sedangkan dianggap berubah-ubah jika 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 maka 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛; 𝜃) disebut fungsi likelihood untuk 𝜃 dan dituliskan dengan 𝐿(𝜃).

2.4.2 Estimasi Maksimum Likelihood

Misalkan (𝐿(𝜃) adalah fungsi likelihood (fungsi dari parameter 𝜃). Kita dapat menentukan nilai 𝜃 yang memaksimumkan L(𝜃). Penaksir untuk 𝜃, yaitu 𝜃̂ disebut Penaksir Likelihood Maksimum (maximum likelihood estimator, MLE). Penaksir suatu parameter adalah fungsi dari peubah acak.

Fungsi kemungkinan (likelihood) didefinisikan sebagai berikut:

𝐿(𝜃₁, … , 𝜃_𝑘) = ∏ 𝑓(𝑥₁; 𝜃)

𝑛

𝑖=1

Fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter tidak diketahui 𝜃

Misalkan (𝜃) = 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛; 𝜃), 𝜃𝜖𝛳, adalah fungsi kepadatan peluang bersama dari 𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛. Untuk suatu titik pengamatan 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 suatu nilai 𝜃 di 𝛳 dimana 𝐿(𝜃) maksimum, disebut sebagai penaksir maksimum likelihood dari 𝜃. Dengan demikian 𝜃 ̂ dari suatu nilai 𝜃̂ yang memenuhi

(26)

15

𝐿(𝜃̂) = max

𝜃𝜖𝛳 𝐿(𝜃)

Jika 𝛳 adalah suatu selang terbuka, dan jika 𝐿(𝜃) dapat diturunkan terhadap 𝜃 dan dapat diasumsikan mencapai maksimum pada 𝛳, maka penduga maksimum likelihood (MLE) untuk 𝜃 adalah suatu penyelesaian dari persamaan maksimum likelihood berikut:

𝜕

𝜕𝜃𝐿(𝜃) = 0

nilai estimasi didapatkan apabila persamaan turunan pertama membentuk persamaan yang kongkrit. Apabila persamaan yang terbentuk tidak kongkrit maka diperlukan analisis numerik lanjutan untuk penyelesaiannya.

2.5 Empirical Likelihood

Andaikan 𝑋 = (𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛)^𝑇 adalah sampel acak dari distribusi yang tidak diketahui 𝐹(∙). Diamati 𝑋_𝑖 = 𝑥_𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛 dengan 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 adalah bilangan yang diketahui 𝑛 (Debdeep Pati, 2016).

Basic idea: Asumsi 𝐹 adalah distribusi diskrit terhadap {𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛} dengan 𝑝_𝑖 = 𝐹(𝑥_𝑖), 𝑖 = 1, … , 𝑛

Dengan

𝑝_𝑖 ≥ 0, ∑ 𝑝_𝑖 = 1

𝑛

𝑖=1

Fungsi 𝑝_𝑖 ialah

𝑃{𝑋₁ = 𝑥₁, … , 𝑋_𝑛 = 𝑥_𝑛} = 𝑝₁… 𝑝_𝑛 Fungsi Likelihood

𝐿(𝑝₁, … , 𝑝_𝑛) ≡ 𝐿(𝑝₁, … , 𝑝_𝑛; 𝑋) = ∏ 𝑝_𝑖

𝑛

𝑖=1

Disebut empirical likelihood.

2.6 Uji Empirical Likelihood Ratio (ELR)

Andaikan 𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛 adalah variabel acak terdistribusi secara independen dan identik dengan nilai 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛. Untuk saat ini 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 diasumsikan

(27)

16

sebagai nilai yang jelas berbeda di 𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛. Dianggap pendekatan diskrit dari fungsi distribusi 𝑋 adalah

𝑃𝑟𝑜𝑏(𝑋_𝑖 = 𝑥_𝑖) = 𝑝_𝑖 dimana 0 < 𝑝_𝑖 < 1 dan ∑^𝑛_𝑖=1𝑝_𝑖 = 1.

Distribusi joint 𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛 merupakan fungsi likelihood (khususnya ,disebut likelihood nonparametik), yaitu:

𝐿(𝑝) = ∏ 𝑃𝑟𝑜𝑏(𝑋_𝑖 = 𝑥_𝑖) =

𝑛

𝑖=1

∏ 𝑝_𝑖

𝑛

𝑖=1

Dimana 𝑝_𝑖 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Andai 𝑝̂ penaksir dari 𝑝_𝑖 _𝑖. Diberi 𝑝̂ =_𝑖 ¹

𝑛 karena 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 dianggap sebagai realisasi umum secara acak dari distribusi yang sama.

Maka empirical likelihood dinyatakan:

𝐿(𝑝̂) = ∏ 𝑝_𝑖 ̂_𝑖

𝑛

𝑖=1

= ∏1 𝑛

𝑛

𝑖=1

Dimana 𝑝̂ untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Empirical likelihood ratio 𝑅(𝑝) didefinisikan sebagai _𝑖 rasio dari likelihood nonparametik dan empirical likelihood yaitu:

𝑅(𝑝) = 𝐿(𝑝)

𝐿(𝑝̂)_𝑖 = ∏ 𝑛𝑝_𝑖

𝑛

𝑖=1

Andaikan parameter 𝜃 = 𝑇(𝐹) dengan fungsi distribusi 𝑇 dan 𝐹 sebagai anggota distribusi. Maka fungsi rasio likelihood:

Uji hipotesis Empirical Likelihood Ratio adalah menolak 𝐻₀: 𝑇(𝐹₀) = 𝜃₀, ketika

(28)

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1 Metode penelitian ke perpustakaan

Mencari materi yang menyangkut tentang pengujian distribusi dari buku maupun jurnal yang dapat dijadikan sebagai landasan teori dari penelitian.

3.2 Metode Analisis

Menganalis buku-buku maupun jurnal yang sesuai digunakan untuk mempermudah pemecahan masalah.

3.3 Pemecahan Masalah

3.3.1 Melakukan pendugaan parameter pada distribusi binomial negatif dengan metode maximum likelihood estimator.

1. Membuat fungsi likelihood distribusi binomial negatif.

2. Membuat fungsi tersebut dalam bentuk ln.

3. Membuat turunan secara parsial terhadap parameter 𝑝 dan menyamakannya dengan nol.

4. Dari turunan parsial terhadap bisa diperoleh estimator 𝑝 .

3.3.2 Melakukan pendugaan parameter pada distribusi geometri dengan metode maximum likelihood estimator.

1. Membuat fungsi likelihood distribusi geometri.

2. Membuat fungsi tersebut dalam bentuk ln.

4. Dari turunan parsial terhadap bisa diperoleh estimator 𝑝.

3.4 Pengujian

Membandingkan kedua distribusi binomial negatif dan geometri dengan uji Empirical Likelihood Ratio.

(29)

18

3.5 Menganalisis dan membuat kesimpulan

Langkah ini merupakan langkah terakhir dari penelitan. Penarikan kesimpulan didasarkan pada studi pustaka dan pembahasan permasalahan. Simpulan yang diperoleh merupakan hasil analisis dari penelitian.

3.6 Kerangka Penelitian

Melakukan pendugaan parameter pada distribusi binomial negatif

dan geometrik

Menguji distribusi binomial negatif dan geometrik dengan uji Empirical Likelihood Ratio

Studi Literatur

Menganalisis hasil uji distribusi binomial negatif dan geometrik

Membuat kesimpulan Menyiapkan materi mengenai judul dan

merumuskan masalah

(30)

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pendugaan Parameter Pada Distribusi Binomial Negatif Dengan Metode Maximum Likelihood Estimator

1. Membuat fungsi likelihood distribusi binomial negatif.

𝑋~𝑁𝐵𝐼𝑁(𝑘, 𝑝) ↔ 𝑝(𝑋 = 𝑥) = (𝑥 − 1

𝑘 − 1) 𝑝^𝑘(1 − 𝑝)^𝑥−𝑘 Untuk (𝑥 = 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, . . . )

Fungsi Likelihood :

𝐿(𝜃) = ∏ 𝑓(𝑥_𝑖: 𝜃)

𝑛

𝑖=1

𝐿(𝜃) = ∏ (𝑥_𝑖− 1

𝑘 − 1) 𝜃^𝑘(1 − 𝜃)^𝑥^𝑖^−𝑘

𝑛

𝑖=1

𝐿(𝜃) = [∏ (𝑥_𝑖− 1 𝑘 − 1)

𝑛

𝑖=1

] 𝜃^𝑛𝑘(1 − 𝜃)^∑^𝑛^𝑖=1^𝑥^𝑖^−𝑛𝑘

Maksimum Likelihood Estimator ln 𝐿(𝜃) = ln [∏ (𝑥_𝑖− 1

𝑘 − 1)

𝑛

𝑖=1

] + 𝑛𝑘 ln 𝜃 + (∑ 𝑥_𝑖 − 𝑛𝑘

𝑛

𝑖=1

) ln (1 − 𝜃)

𝑑 ln 𝐿(𝜃)

𝑑𝜃 =𝑛𝑘

𝜃 −∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖− 𝑛𝑘 1 − 𝜃 Persamaan menjadi:

𝑛𝑘

𝜃 −∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖− 𝑛𝑘 1 − 𝜃 = 0

(31)

20

Penyelesaian:

𝑛𝑘( 1 − 𝜃) − 𝜃 ∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖− 𝑛𝑘

𝜃( 1 − 𝜃) = 0

𝑛𝑘 − 𝑛𝑘𝜃 − 𝜃 ∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖 + 𝜃𝑛𝑘

𝜃( 1 − 𝜃) = 0

𝑛𝑘 − 𝜃 ∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖 𝜃( 1 − 𝜃) = 0 𝑛𝑘

𝜃( 1 − 𝜃)= ∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖 ( 1 − 𝜃) 𝜃( 1 − 𝜃) ∑ 𝑥_𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑛𝑘(1 − 𝜃)

𝜃 = 𝑛𝑘(1 − 𝜃) ( 1 − 𝜃) ∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖 𝜃 = 𝑛𝑘

∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖

4. Dari turunan parsial terhadap bisa diperoleh estimator 𝑝 Maka estimator untuk parameter 𝑝 adalah

𝜃 = 𝑛𝑘

4.2 Pendugaan Parameter Pada Distribusi Geometri Dengan Metode Maximum Likelihood Estimator

1. Membuat fungsi likelihood distribusi geometri.

𝑋~𝐺𝐸𝑂(𝑝) ↔ 𝑝(𝑋 = 𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)^𝑥−1 Untuk (𝑥 = 1, 2, 3, . . . )

Fungsi Likelihood : 𝐿(𝜃) = ∏ 𝑓(𝑥_𝑖: 𝜃)

𝑛

𝑖=1 𝑛

(32)

21

𝐿(𝜃)= 𝜃^𝑛(1 − 𝜃)^∑^𝑛^𝑖=1^𝑥^𝑖^−𝑛

Maksimum Likelihood Estimator

ln 𝐿(𝜃) = 𝑛 ln 𝜃 + (∑ 𝑥_𝑖 − 𝑛

𝑛

𝑖=1

) ln(1 − 𝜃)

𝑑 ln 𝐿(𝜃)

𝑑𝜃 =𝑛

𝜃−∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖 − 𝑛 1 − 𝜃

Persamaan menjadi:

𝑛

𝜃−∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖− 𝑛 1 − 𝜃 = 0 Penyelesaian:

𝑛( 1 − 𝜃) − 𝜃 ∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖− 𝑛

𝜃( 1 − 𝜃) = 0

𝑛 − 𝑛𝜃 − 𝜃 ∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖+ 𝜃𝑛 𝜃( 1 − 𝜃) = 0 𝑛 − 𝜃 ∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖

𝜃( 1 − 𝜃) = 0 𝑛

𝜃( 1 − 𝜃)= ∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖 ( 1 − 𝜃) 𝜃( 1 − 𝜃) ∑ 𝑥_𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑛(1 − 𝜃)

𝜃 = 𝑛(1 − 𝜃) ( 1 − 𝜃) ∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖

𝜃 = 𝑛

(33)

22

4. Dari turunan parsial terhadap diperoleh estimator 𝑝 Maka estimator untuk parameter 𝑝 adalah

𝜃 = ^𝑛

4.3 Membandingkan Kedua Distribusi Binomial Negatif Dan Geometri Dengan Uji Empirical Likelihood Ratio.

Melakukan uji rasio kemungkinan empiris (Empirical likelihood Ratio Test) dengan menggunakan perbandingan dua distribusi, untuk parameter 𝜃 = 𝑇(𝐹) dengan fungsi distribusi 𝑇 dan 𝐹 sebagai anggota distribusi. Maka fungsi rasio likelihood:

Uji hipotesis Empirical Likelihood Ratio:

𝐻₀ ∶ 𝑇 merupakan distribusi binomial negatif lebih baik dari distribusi geometrik.

𝐻₁ ∶ 𝑇 merupakan distribusi binomial negatif tidak lebih baik dari distribusi geometrik atau distribusi geometrik lebih baik dari distribusi binomial negatif.

Jika 𝑅(𝐹) dengan distribusi binomial negatif lebih besar dari distribusi geometrik maka 𝑅(𝜃) berbatas atas di distribusi binomial negatif sehingga terima 𝐻₀ dan begitu juga sebaliknya.

Uji empirical likelihood

𝑅(𝑝) = 𝐿(𝑝)

𝐿(𝑝̂)_𝑖 = ∏ 𝑛𝑝_𝑖

𝑛

𝑖=1