611.23.052 Asuransi Jiwa
Bab 3: Bunga dan Anuitas
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 1
Bunga Bunga
Bunga
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () 611.23.052 Asuransi Jiwa Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2 / 22
Bunga Bunga
Macam-macam Bunga
1. Bunga Tunggal (Bunga Tidak Mendapat Bunga)
Misalkan P menyatakan pokok, yaitu besarnya pinjaman atau modal pertama. Pinjaman tersebut dikenai bunga tunggal sebesar i %, maka
P 1 = P + iP = P(1 + i ) P 2 = P + 2iP = P(1 + 2i ) .. .
P n = P + niP = P(1 + ni )
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 3
Bunga Bunga
2. Bunga Majemuk (Bunga Berbunga)
Misalkan P menyatakan pokok, yaitu besarnya pinjaman atau modal pertama. Pinjaman tersebut dikenai bunga tunggal sebesar i %, maka
P 1 = P + iP = P(1 + i )
P 2 = P 1 + iP 1 = P 1 (1 + i ) = P(1 + i ) 2 .. .
P n = P(1 + i ) n
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () 611.23.052 Asuransi Jiwa Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 4 / 22
Bunga Bunga
P n menyatakan jumlah akhir pembayaran, sedangkan P merupakan jumlah awal atau nilai tunai atau nilai sekarang (present value), dan
P = P n (1 + i ) −n
Bentuk (1 + i ) −1 dikenal dengan istilah faktor diskonto (bunga di depan) dan disimbolkan dengan notasi v , yaitu v = (1 + i ) −1 , sehingga
P = P n · v n
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 5
Bunga Bunga
Contoh 1:
Rp 1000, 00 dibungakan selama 3 tahun dengan tingkat bunga 7%
setahun. Berapakah besar seluruh uang pada akhir tahun ketiga?
Solusi:
Bunga Tunggal
P 3 = 1000(1 + 3i )
= 1000(1 + 0.21) = 1210 Bunga Majemuk
P 3 = 1000(1 + i ) 3
= 1000(1 + 0.07) 3
= 1225.04
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () 611.23.052 Asuransi Jiwa Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 6 / 22
Bunga Bunga
Contoh 1:
Rp 1000, 00 dibungakan selama 3 tahun dengan tingkat bunga 7%
setahun. Berapakah besar seluruh uang pada akhir tahun ketiga?
Solusi:
Bunga Tunggal
P 3 = 1000(1 + 3i )
= 1000(1 + 0.21) = 1210 Bunga Majemuk
P 3 = 1000(1 + i ) 3
= 1000(1 + 0.07) 3
= 1225.04
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 6
Bunga Bunga
Contoh 2:
Seorang ayah mempunyai seorang anak berumur 8 tahun. Si ayah ingin mendepositokan uangnya di bank dan akan memberikannya pada si anak sebagai sebagai biayanya di perguruan tinggi waktu si anak tepat berusia 18 tahun. Bila bank memberi bunga majemuk 12% setahun dan si ayah ingin menyerahkan Rp 10 juta pada si anak 10 tahun kemudian, berapakah dia harus mendepositokan uangnya?
Solusi:
P 10 = 10 juta, n = 10, i = 0.12, maka P = P 10 · v −10
= 10000000(1 + 0.12) −10
= 10000000(0.32197324)
= 3219732.4
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () 611.23.052 Asuransi Jiwa Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 7 / 22
Bunga Bunga
Contoh 2:
Seorang ayah mempunyai seorang anak berumur 8 tahun. Si ayah ingin mendepositokan uangnya di bank dan akan memberikannya pada si anak sebagai sebagai biayanya di perguruan tinggi waktu si anak tepat berusia 18 tahun. Bila bank memberi bunga majemuk 12% setahun dan si ayah ingin menyerahkan Rp 10 juta pada si anak 10 tahun kemudian, berapakah dia harus mendepositokan uangnya?
Solusi:
P 10 = 10 juta, n = 10, i = 0.12, maka P = P 10 · v −10
= 10000000(1 + 0.12) −10
= 10000000(0.32197324)
= 3219732.4
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 7
Anuitas Anuitas Tentu
Anuitas Tentu
Serangkaian pembayaran berkala yang dilakukan selama jangka waktu tertentu
Pembayaran dilakukan tanpa syarat, jadi harus dilakukan secara berkala selama jangka waktu yang telah ditetapkan
Besarnya pembayaran berkala tak perlu sama, tapi pada materi ini akan kita anggap sama
Anuitas tentu dibagi menjadi dua, yaitu
1
Anuitas Akhir: pembayaran dilakukan di akhir tahun
2
Anuitas Awal: pembayaran dilakukan di awal tahun
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () 611.23.052 Asuransi Jiwa Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 8 / 22
Anuitas Anuitas Tentu
Anuitas Akhir
Pandang suatu anuitas tentu dengan n pembayaran sebesar P tiap akhir tahun.
Maka total nilai akhirnya adalah
s nq = NA = P(1 + i ) n−1 + P(1 + i ) n−2 + . . . + P(1 + i ) + P
= P((1 + i ) n−1 + (1 + i ) n−2 + . . . + (1 + i ) + 1)
= P (1 + i ) n − 1
i = P v −n − 1 i
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 9
Anuitas Anuitas Tentu
Sedangkan nilai tunainya adalah:
a nq = NT = P · v + P · v 2 + . . . + P · v n
= P(v + v 2 + . . . + v n )
= P v (1 − v n ) 1 − v
= P 1 − v n i
Ingat!
v = 1+i 1 ⇔ i = 1−v v
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () 611.23.052 Asuransi Jiwa Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 10 / 22
Anuitas Anuitas Tentu
Contoh 3:
Hitunglah nilai tunai dan nilai akhir dari suatu rangkaian pembayaran sebesar Rp 150 tiap akhir tahun selama 20 tahun bila tingkat bunga (majemuk) 5% setahun.
Solusi:
Diketahui: n = 20, i = 0.05, v = (1 + 0.05) −1 = 1.05 −1 Jadi, a 20q = NT = P 1 − v n
i
= 150 1 − 1.05 −20 0.05
= 150 1 − 0.376889 0.05
= 1869.33 dan
s 20q = NA = P v −n − 1 i
= 150 1.05 20 − 1 0.05
= 4959.89
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 11
Anuitas Anuitas Tentu
Contoh 3:
Hitunglah nilai tunai dan nilai akhir dari suatu rangkaian pembayaran sebesar Rp 150 tiap akhir tahun selama 20 tahun bila tingkat bunga (majemuk) 5% setahun.
Solusi:
Diketahui: n = 20, i = 0.05, v = (1 + 0.05) −1 = 1.05 −1 Jadi, a 20q = NT = P 1 − v n
i
= 150 1 − 1.05 −20 0.05
= 150 1 − 0.376889 0.05
= 1869.33 dan
s 20q = NA = P v −n − 1 i
= 150 1.05 20 − 1 0.05
= 4959.89
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () 611.23.052 Asuransi Jiwa Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 11 / 22
Anuitas Anuitas Tentu
Hubungan s nq dengan a nq
Berdasarkan pengertian sebelumnya
s nq = P v −n − 1 i
a nq = P 1 − v n i
maka
a nq v −n = s nq
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 12
Anuitas Anuitas Tentu
Anuitas Awal
Pandang suatu anuitas tentu dengan n pembayaran sebesar P tiap awal tahun.
Anuitas yang seperti ini disebut anuitas awal dan ditulis dengan simbol ¨ a nq .
¨
a nq = P + P · v + P · v 2 + . . . + P · v n−1
= P(1 + v + v 2 + . . . + v n−1 )
= P 1 − v n 1 − v
= P 1 − v n iv
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () 611.23.052 Asuransi Jiwa Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 13 / 22
Anuitas Anuitas Tentu
Hubungan ¨ a nq dan a nq
Berdasarkan pengertian sebelumnya,
a nq = P 1 − v n i
¨
a nq = P 1 − v n iv
maka
a nq = v · ¨ a nq
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 14
Anuitas Anuitas Tentu
Contoh 4:
Suatu polis asuransi memberikan pilihan sebagai berikut: Bila si Ali meninggal, Ny. Ali dapat memilih menerima uang tunai sebesar Rp 1 juta atau menerima pembayaran tahunan selama 10 tahun, pembayaran dilakukan tiap permulaan tahun. Tingkat bunga diperhitungkan 6%
setahun. Hitung besarnya pembayaran tahunan tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui ¨ a 10q = 1 dan v = (1.06) −1 1 = ¨ a 10q 1 = P 1 − v n
iv
P = 1
1−v
niv
= 1
1−1.06
−100.06·(1.06)
−1= 1
7.8017 = 0.12817732 Jadi, pembayaran tiap tahunnya adalah Rp 128177.32
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () 611.23.052 Asuransi Jiwa Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 15 / 22
Anuitas Anuitas Tentu
Contoh 4:
Suatu polis asuransi memberikan pilihan sebagai berikut: Bila si Ali meninggal, Ny. Ali dapat memilih menerima uang tunai sebesar Rp 1 juta atau menerima pembayaran tahunan selama 10 tahun, pembayaran dilakukan tiap permulaan tahun. Tingkat bunga diperhitungkan 6%
setahun. Hitung besarnya pembayaran tahunan tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui ¨ a 10q = 1 dan v = (1.06) −1 1 = ¨ a 10q 1 = P 1 − v n
iv
P = 1
1−v
niv
= 1
1−1.06
−100.06·(1.06)
−1= 1
7.8017 = 0.12817732 Jadi, pembayaran tiap tahunnya adalah Rp 128177.32
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 15
Anuitas Anuitas Tentu
Anuitas Tertunda
Pandang suatu rangkaian pembayaran sebesar P tiap tahun, pembayaran pertama dilakukan 5 tahun dari sekarang, selama 20 tahun. Jika tingkat bunga i %, maka
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () 611.23.052 Asuransi Jiwa Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 16 / 22
Anuitas Anuitas Tentu
1
Pembayaran dianggap dilakukan pada setiap awal tahun (dimulai pada awal tahun ke-5)
Mula-mula hitung nilai tunai pada permulaan tahun ke-5
¨
a 20q = P
1−v
niv
Tarik ke awal tahun pertama
v 5 · ¨ a 20q = v 5 · P 1 − v n iv
2
Pembayaran dianggap dilakukan pada setiap akhir tahun (dimulai pada akhir tahun ke-4)
Mula-mula hitung nilai tunai pada permulaan tahun ke-4 a 20q = P
1−v
ni
Tarik ke awal tahun pertama
v 4 · a 20q = v 4 · P 1 − v n i
Jadi, v 5 · ¨ a 20q = v 4 · a 20q .
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 17
Anuitas Latihan
Latihan
1. Seseorang akan menerima 10 kali pembayaran tahunan sebesar Rp 5 juta, pembayaran pertama dilakukan sekarang. Berapakah nilai tunai dan nilai akhir pembayaran bila:
a. tingkat bunga 5% setahun?
b. tingkat bunga 8% setahun?
2. Seorang ayah menaruh uang di bank untuk membiayai sekolah
anaknya selama 12 tahun. Jika si anak menerima Rp 8 juta tiap akhir tahun, pembayaran pertama dilakukan pada akhir tahun ke-6 dari sekarang dan seluruh uang dan bunganya habis dibayarkan pada waktu pembayaran yang ke-12 dilakukan. Berapa banyakkah si ayah menaruh uangnya di bank bila bank memberi bunga 12% setahun?
3. Sebuah rumah dibeli dengan uang muka Rp 100 juta dan cicilan tiap akhir bulan sebesar Rp 5 juta selama 10 tahun. Bila bunga uang sebesar 3%, berapakah harga rumah tersebut bila dibeli tunai?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () 611.23.052 Asuransi Jiwa Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 18 / 22
Anuitas Latihan
4. Hitunglah nilai tunai dan nilai akhir suatu anuitas selama 10 tahun sebesar Rp 100 setahun, pembayaran ditunda selama 5 tahun.
Tingkat bunganya 8% setahun.
5. Seseorang menabung uang Rp 1000 tiap permulaan tahun selama 10 tahun dengan bunga 5% setahun. Berapa jumlah uang seluruhnya pada akhir tahun ke-15?
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 19
Anuitas Latihan
6. Seseorang membeli rumah seharga Rp 300 juta sudah termasuk uang muka sebesar Rp 100 juta. Dia berjanji membayar sisanya dengan cicilan yang sama tiap awal bulan selama 15 tahun. Berapa besar cicilan bulanan bila tingkat bunganya 4% setahun?
7. Suatu perusahaan membeli sebuah mesin seharga Rp 10 juta. Mesin tersebut duharapkan dapat dipakai selama 10 tahun dan akan diganti dengan mesin yang sama 10 tahun kemudian dengan harga yang sama pula. Suatu dana untuk pembelian mesin baru diadakan dengan menyetor uang tiap akhir tahun selama 10 tahun dengan bunga 2.5%.
Berapa besar setoran tiap tahun?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () 611.23.052 Asuransi Jiwa Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 20 / 22
Anuitas Latihan
8. Daripada membayar sewa Rp 125000 pada permulaan tiap bulan selama 8 tahun, si Ali memutuskan membeli rumah. Bila bunga uang 5% setahun, berapakah harga rumah (nilai tunai) yang dapat dia beli dengan uang sewa di atas?
9. Anggap P = 1, buktikan a. a nq = a n−1q + v n b. s nq = s n−1q + v −(n−1)
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 21
