GRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS
PONTRYAGIN
L.F.D. Bali, Tulus, Mardiningsih
Abstrak. Dalam teori grup topologi kompak lokal, grup yang memiliki subgrup si- klik yang padat menjadi hal yang sangat mendasar. Van Dantzig memperkenalkan grup dengan struktur tersebut sebagai grup monotetik. Dualitas Pontryagin meru- pakan homomorfisma kontinu antara grup topologi G dan grup lingkaran T, yakni Hom(G, T), dan himpunan semua homomorfisma tersebut membentuk grup dual, disimbolkan bG, dengan
G = {φ | φ : G → T, φ kontinu }.b
Penelitian ini mengkaji struktur grup dual bilamana G adalah grup monotetik.
Akan diperlihatkan G dan grup dualnya memiliki orde yang sama dan keduanya isomorfik.
1. PENDAHULUAN
Konsep siklisitas dalam Teori grup berkembang dengan menggunakan Teori bilangan sebagai dasar dalam membangun struktur aljabarnya. Dalam Dis- quisitiones Arithmeticae tahun 1801, beberapa struktur grup diperkenalkan menurut konteks bilangan secara teoritis, dan berdampak besar pada penge- nalan teori grup abel berhingga. Gauss menunjukkan bahwa himpunan bi- langan bulat tak kosong modulo bilangan prima p, masing-masingnya adalah
Received 24-10-2013, Accepted 25-11-2013.
2010 Mathematics Subject Classification: 37M20
Key words and Phrases: dualitas pontryagin, grup dual pontryagin, grup lingkaran, monotetik, siklik.
591
perpangkatan dari setiap unsur yang disebut sebagai pembangkit grup siklik Zp.
Dalam[1], grup G dikatakan grup siklik jika terdapat a ∈ G dengan G = {an | n ∈ Z}. Unsur a disebut juga sebagai unsur pembangkit dan n disebut orde G dengan n adalah bilangan bulat terkecil sehingga an = e, yang merupakan unsur identitas. Oleh terminologi umum, suatu grup siklik yang dibangun suatu unsur, andaikan g dan berorde m, maka struktur umumnya dapat ditulis sebagai berikut
hgi = {e, g1, g2, ..., gm−1}
Terminologi siklik juga dapat ditemukan pada grup topologi. Dalam teori ruang topologi yang dijelaskan pada[2], bila ruang topologi tersebut mengandung semua subhimpunan yang mungkin dibentuk, maka disebut ruang topologi diskrit. Ruang topologi diskrit yang berstruktur grup dise- but sebagai grup topologi diskrit. Penutup dari sebuah subhimpunan, mi- salkan A dalam ruang topologi adalah irisan dari semua subhimpunan yang mengandung A. Subhimpunan A dikatakan padat (dense) jika penutup A adalah ruang topologi tersebut.
Definisi 1 Suatu grup topologi G dikatakan grup monotetik (monothetic) jika terdapat subgrup siklik H yang padat di G, atau penutup dari H adalah G.
Suatu elemen x ∈ G disebut pembangkit G jika x membangkitkan subgrup siklik dari G. Grup yang memiliki subgrup siklik yang padat mem- punyai peranan yang sangat penting dalam teori grup topologi diskrit[3].
Grup lingkaran adalah grup bilangan kompleks oleh representasi vektor po- lar dengan panjang vektor satu. Grup lingkaran dengan operasi perkalian vektor disimbolkan oleh T dan dapat ditulis T = {z | |z| = 1, z ∈ C}. Grup lingkaran isomorfik dengan grup operasi penjumlahan R/Z. Oleh struktur topologinya, Armacost[4] menjelaskan T adalah grup monotetik, dan setiap subgrup sejatinya akan isomorfik dengan grup siklik berhingga Zn.
Definisi 2 Andaikan G adalah grup topologi yang kompak lokal, maka du- alitas Pontryagin ditunjukkan dengan
Hom(G, T)
Bila φ adalah homomorfisma kontinu pada grup G, maka himpunan semua homomorfisma kontinu adalah bG = {φ | φ : G → T, φ kontinu}. Penelitian ini menekankan bilamana G adalah grup monotetik.
2. LANDASAN TEORI
Istilah dan teori yang akan dijelaskan dalam sub bagian secara umum akan mengacu pada[5] dan[2]. Secara umum, ruang topologi adalah himpunan semua subhimpunan atau subhimpunan dari suatu himpunan pokok dengan syarat-syarat tertentu.
Definisi 3 Andaikan sebuah himpunan tak kosong X, koleksi τ dari sub- himpunan X disebut topologi pada X bila memenuhi sifat berikut
(i) ∅ ∈ τ dan X ∈ τ
(ii) Untuk setiap U, V ∈ τ , berlaku U ∩ V ∈ τ
(iii) Jika {Vi| i ∈ I} adalah koleksi elemen di τ , maka ∪i∈IVi ∈ τ
Jika τ adalah topologi di X, maka pasangan berurut (X, τ ) disebut sebagai ruang topologi, dengan elemen dari τ disebut sebagai subhimpunan buka.
Bila τ = {∅, X} adalah topologi terkecil yang mungkin dibentuk, maka τ disebut topologi indiskrit. Dan jika τ = P(X) adalah topologi dari semua subhimpunan X, maka τ disebut sebagai topologi diskrit.
Lingkungan (Neighborhood) dari suatu titik x, disimbolkan Nx dalam himpunan tak kosong adalah subhimpunan buka yang mengandung titik tersebut. Ruang topologi disebut juga sebagai ruang Hausdorff jika memenuhi aksioma terpisah Hausdorff (Hausdorff Separated Axiom). Yaitu setiap titik memiliki lingkungan yang terpisah atau saling asing.
Dalam ruang topologi (X, τ ), suatu titik, misalkan x disebut sebagai titik penutup (closure point) pada subhimpunan A di X jika untuk setiap lingkungan Nx oleh x mengandung paling sedikit satu titik dari A, atau bila Nx∩ A 6= ∅ untuk setiap lingkungan Nx oleh x. Himpunan dari semua titik penutup di A adalah penutup (closure) A, dan disimbolkan dengan A.
Himpunan A disebut padat jika A = A. Jelaslah bahwa untuk setiap sub- himpunan A di X, berlaku A ⊆ A. Sebagai akibatnya, A adalah himpunan tutup terkecil yang memuat A. Ini termuat dalam teorema pada[2].
Teorema 1 Untuk setiap subhimpunan A pada ruang topologi (X, τ ), A adalah himpunan tutup terkecil yang memuat A.
Bukti. Pertama, akan diperlihatkan bahwa A adalah tertutup. Andaikan sebuah titik x ∈ X dengan x /∈ A maka terdapat Nx sehingga Nx∩ A = ∅.
Jika terdapat x1 ∈ Nx maka terdapat pula Nx1 ⊆ Nx dengan Nx1 ∩ A = ∅ sehingga x1∈ A atau x/ 1 ∈ Ac. Maka, Nx ⊆ Ac yaitu Ac adalah buka, maka A adalah tutup. Selanjutnya, jika B subhimpunan tutup dengan A ⊆ B,
maka untuk setiap x ∈ Bc terdapat Nx ⊆ Bc, sehingga Nx∩ B = ∅ yang tentunya Nx ∩ A = ∅. Ini menunjukkan tidak ada titik penutup di Bc sehingga A ⊆ B.
Dari teorema 1 di atas, muncul suatu corollary yang menegaskan teo- rema tersebut.
Corollary 1 A tertutup jika dan hanya jika A = A.
Bukti. Telah diketahui bahwa A adalah tertutup dari pembuktian teorema 1. Jadi, jika A = A maka A tertutup. Sebaliknya, andaikan A tertutup.
Pada kejadian ini, A adalah himpunan tutup yang tentu mengandung A itu sendiri, maka A ⊂ A. Di sisi lain, untuk sebarang subhimpunan A yaitu A ⊂ A, jika x ∈ A, maka setiap Nx mengandung sebuah titik dari A, yaitu x, sehingga jika A tutup, maka A = A.
Fungsi pada dua ruang topologi (X, τ ) dan(Y, τ1) ditulis sebagai f : (X, τ ) → (Y, τ1) atau disingkat f : X → Y atau cukup dengan f .
Definisi 4 Andaikan suatu fungsi f : (X, τ ) → (Y, τ1) antara dua ruang topologi, f disebut kontinu pada a ∈ X jika untuk setiap lingkungan Nf (a) oleh f (a) terdapat lingkungan f−1(Nf (a)) oleh a.
Jika f kontinu di semua titik di X, maka f disebut fungsi kontinu.
Pada ruang topologi dengan subhimpunan buka sebagai unsurnya, fungsi kontinu pada dua ruang topologi akan mengakibatkan hasil pemetaannya akan terbuka. Sama halnya pada himpunan tutup di ruang topologi.
Teorema 2 Andaikan suatu fungsi f : (X, τ ) → (Y, τ1) antara dua ruang topologi, f disebut kontinu jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan buka O ∈ Y , f−1(O) adalah subhimpunan buka di X.
Bukti. Pertama andaikan f kontinu dan O subhimpunan buka di Y . Un- tuk setiap a ∈ f−1(O), O adalah lingkungan f (a) sehingga f−1(O) adalah lingkungan a. Karena f−1(O) adalah lingkungan untuk setiap titiknya, f−1(O) adalah subhimpunan buka di X. Sebaliknya, andaikan subhimpunan buka O di Y , f−1(O) adalah subhimpunan buka di X. Andaikan a ∈ X dan lingkungan Nf (a) oleh f (a). Nf (a) mengandung O yang berisi f (a), jadi f−1(Nf (a)) mengandung f−1(O) yang berisi a, sehingga f−1(Nf (a)) adalah lingkungan a dan f kontinu di a. Karena a sebarang di X, f adalah fungsi kontinu.
Hal yang sama berlaku untuk subhimpunan tertutup pada ruang to- pologi. Ini sangat penting bagi ruang topologi Hausdorff diskrit yang akan
dibicarakan pada penelitian ini.
Teorema 3 Andaikan suatu fungsi f : (X, τ ) → (Y, τ1) antara dua ruang topologi, f disebut kontinu jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan tutup F ∈ Y , f−1(F ) adalah subhimpunan tutup di X.
Bukti. Untuk membuktikan teorema ini, akan digunakan pembuktian pada teorema 2. Mengingat bila F tutup di Y , maka Fc adalah buka di Y . Dan tentunya oleh teorema 2, f−1(F )c adalah buka oleh kontinuitas, sehingga f−1(F ) adalah subhimpunan tertutup.
Homomorfisma memperlihatkan sifat dari bayangan pemetaan sehingga dapat disimpulkan sifat dari grup asalnya. Oleh sifat mempertahankan ope- rasi ini, perlu diperhatikan bahwa operasi biner pada masing-masing grup dapat berbeda pada domain dan bayangannya. Berikut definisi homomor- fisma oleh[1]
Definisi 5 Suatu homomorfisma φ dari grup G menuju G0 adalah pemetaan yang mempertahankan operasi, yaitu φ(ab) = φ(a)φ(b) untuk setiap a, b ∈ G.
Bila terdapat dua grup hG, ∗i dan hG0, ◦i, maka homomorfisma φ ditun- jukkan oleh φ(a ∗ b) = φ(a) ◦ φ(b). Jika φ adalah pemetaan bijeksi, maka φ disebut isomorfisma grup dan kedua grup disebut isomorfik, yaitu G ∼= G0. Bijeksi yang dimaksud adalah pemetaan satu-satu dan pada, yaitu φ satu- satu sehingga jika a 6= b maka φ(a) 6= φ(b), dan pemetaan pada jika untuk setiap φ(a) ∈ G0terdapat φ−1(a) ∈ G. Homomorfisma kontinu adalah fungsi kontinu yang mempertahankan operasi.
Grup topologi adalah himpunan yang memiliki dua buah struktur, yaitu grup dan ruang topologi. Kedua struktur ini terhubung oleh sifat- sifat aljabar pada grup yang mempengaruhi sifat pada ruang topologi, dan sebaliknya. Berikut adalah definisi grup topologi berdasarkan[6].
Definisi 6 Suatu grup topologi, misalkan G dengan operasi *, adalah ruang topologi yang juga merupakan grup. dan memenuhi :
(i) φ : (x, y) 7→ x ∗ y, dari φ : G × G → G, φ kontinu (ii) φ : x 7→ x−1 dari φ : G → G, φ kontinu.
Himpunan semua homomorfisma dari sebarang grup topologi pada grup lingkaran disebut sebagai grup dual Pontryagin, dan juga merupakan grup topologi. Grup dual Pontryagin oleh homomorfisma grup monotetik M dan grup lingkaran T disimbolkan dengan cM , yaitu
M = {φ : M 7→ T}c
Himpunan semua homomorfisma pada grup dual Pontryagin dari se- barang grup abelian, memiliki struktur yang abelian. Karena grup monotetik adalah abelian, hal yang sama tentu berlaku. Andaikan φ1 dan φ2 adalah homomorfisma pada grup dual Pontryagin dan suatu unsur g pada sebarang grup abelian, maka operasi biner * dapat dinyatakan pada (φ1 ∗ φ2)(g) = φ1(g) ∗ φ2(g). Invers dari homomorfisma φ adalah homomorfisma yang memetakan g pada φ(g)−1, atau dapat ditulis φ−1(g) = φ(g−1). Dan identi- tas grup dual Pontryagin adalah homomorfisma yang dipetakan pada unsur identitas T yaitu φe(g) = 1. Hal ini diperjelas oleh[6] dalam sebuah teorema.
Teorema 4 Himpunan seluruh homomorfisma kontinu dari grup abelian adalah abelian, dengan identitas adalah fungsi pada 1 dan inversnya adalah fungsi pada invers pemetaannya.
Jelas bahwa unsur yang berbeda pada suatu grup abelian oleh homomor- fisma akan memiliki bayangan berbeda dengan sifat abelian pula, seba- gai akibat kontinuitas homomorfisma. Perhatikan unsur identitas pada T yaitu 1, sehingga (φ ∗ φe)(g) = φ(g) ∗ φe(g) = φ(g), dan (φ ∗ φ−1)(g) = φ(g) ∗ φ−1(g) = φ(g) ∗ φ(g)−1 = 1. Secara umum, hal diatas akan berlaku pada cM karena monotetik adalah abelian. Tetapi, hal yang akan ditekankan dan diperlihatkan adalah sifat yang diperoleh sebagai akibat dari spesifikasi grup abelian menjadi grup monotetik.
3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini akan membahas struktur grup topologi, yang dalam hal ini membicarakan grup monotetik, dan akibat dari homomorfisma kontinu.
Berikut adalah langkah-langkah penelitian yang akan dikerjakan.
1. Menjamin keberadaan bayangan pemetaan grup monotetik pada grup lingkaran oleh homomorfisma kontinu.
2. Membangun struktur grup dual Pontryagin dengan berdasarkan pada struktur grup monotetik.
4. PEMBAHASAN
Pada bab ini, pembahasan akan dimulai dari subbab yang akan men- jamin keberadaan bayangan grup monotetik pada grup lingkaran oleh fungsi kontinu.
Bayangan Grup monotetik pada Grup Lingkaran
Setiap grup topologi Hausdorff yang diskrit akan selalu tertutup. Grup monotetik adalah grup topologi dengan memenuhi aksioma Hausdorff yang diskrit sehingga akan bersifat tertutup. Melalui fungsi kontinu[5], menjamin bahwa bayangan dari himpunan tutup adalah tertutup. Untuk M yang merupakan grup monotetik diskrit yang tertutup, akan diperlihatkan bahwa φ(M ) juga tertutup seperti pada lemma berikut ini.
Lemma 1 Andaikan φ adalah fungsi kontinu dan M adalah grup monotetik.
Jika M tertutup, maka φ(M ) juga tertutup.
Bukti. Andaikan sebuah titik dengan z /∈ M . Karena M adalah grup topo- logi diskrit, maka terdapat lingkungan Nz sehingga Nz∩ M = ∅. Menurut definisi 4, bahwa jika φ kontinu, maka terdapat φ(Nz) yang merupakan lingkungan dari φ(z). Untuk semua z sebarang oleh syarat z /∈ M , maka dapat disimpulkan bahwa ∪z /∈φ(M )Nz = φ(M )c adalah buka. Jadi, φ(M ) adalah tertutup.
Setiap unsur pada M akan dibawa oleh fungsi kontinu pada T. Dan setiap subgrup di M juga akan dipetakan menjadi subgrup di T. Seba- gai akibat dari lemma 1 yang menjelaskan bayangan grup monotetik akan tertutup, maka bayangan subgrup monotetik juga akan tertutup.
Corollary 2 Andaikan M grup monotetik dan subgrup H ⊆ M , jika H subgrup monotetik tertutup, maka φ(H) juga tertutup, dengan φ kontinu.
Bukti. Bila H adalah subgrup siklik di M , maka corollary 1 menyatakan H adalah tertutup karena H padat di M . Berdasarkan teorema 3 dan lemma 1 di atas, fungsi kontinu akan membawa himpunan tertutup menjadi tertutup. Andaikan sebuah titik di M yakni z /∈ H, atau z ∈ Hc, maka terdapat lingkungan Nz ⊆ M tetapi Nz∩ H = ∅. Sehingga untuk φ(z) ∈ T, terdapat Nφ(z)⊂ T. Karena Nφ(z)adalah buka, dan z adalah sebarang titik di Hc, maka φ(H)c adalah gabungan dari semua lingkungan buka, yang juga merupakan subhimpunan buka di T. Karena φ(H)c buka, maka φ(H) tertutup.
Andaikan M adalah grup monotetik dengan pembangkit m. Oleh ho- momorfisma kontinu φ, bayangan dari m adalah pembangkit, yaitu φ(m) adalah pembangkit dari φ(M ).
Lemma 2 Jika M adalah grup monotetik dengan pembangkit m, maka φ(M ) dibangkitkan oleh φ(m), dengan φ kontinu.
Bukti. Karena φ kontinu, setiap unsur yang berbeda dalam grup akan dipetakan menjadi unsur yang berbeda pula. Karena unsur pembangkit yang diperhatikan adalah tunggal, maka bayangan unsur pembangkit adalah tunggal. Perhatikan bahwa H adalah subgrup siklik di M , dengan pem- bangkit m yaitu hmi = H, sehingga oleh teorema 1 penutup H yakni H adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat H yang berakibat H = hmi. Karena H padat di M , atau H = M , maka lemma 1 menegaskan φ(H) adalah tertutup, dengan φ(H) = hφ(m)i. Oleh karena φ(H) padat di φ(M ), maka φ(m) membangkitkan φ(M ).
Teorema 5 Andaikan M adalah grup monotetik topologi diskrit, φ(M ) adalah monotetik jika dan hanya jika φ adalah fungsi kontinu.
Bukti. Jika φ kontinu, maka φ(M ) monotetik. Jelas bahwa lemma 1 menunjukkan bahwa φ(M ) adalah grup topologi tertutup, dan corollary 2 menyatakan bahwa subgrup siklik H dipetakan pada subgrup siklik φ(H), serta lemma 2 menjelaskan bahwa φ(m) adalah pembangkit bila m juga pembangkit. Oleh karena φ kontinu, maka φ(M ) adalah monotetik. Seba- liknya, teorema 3 menyatakan bahwa himpunan tutup akan dibawa men- jadi himpunan tutup oleh fungsi kontinu pada dua ruang topologi. Karena φ(M ) adalah monotetik yang tertutup, maka φ(M )c ∈ T adalah buka.
Sama halnya bila M tertutup, maka Mc terbuka, dan dihubungkan oleh φ : Mc → φ(M )c. Karena φ(M )c terbuka dan mengandung lingkungan pada setiap titik didalamnya, maka dapat ditulis φ(M )c = ∪Nφ(z), z 6∈ M . Untuk sebarang z 6∈ M , maka φ−1(∪Nφ(z)) adalah Mc yang terbuka, sesuai dengan teorema 3 dan 4, maka φ kontinu.
Struktur Grup Dual Pontryagin
Jika M adalah grup monotetik dengan subgrup siklik H, maka H adalah subgrup tertutup yang dibangun oleh suatu unsur, andaikan m, dan orde dari H adalah w, sehingga mw adalah identitas di H. Pertama-tama, suatu unsur m di H akan dipetakan pada z ∈ T.
φ(m) = z ∈ T
Karena mw adalah identitas di H, oleh homomorfisma kontinu yang trivial, φ(mw) = 1, dengan 1 adalah identitas di T. Lemma 2 menyatakan bahwa fungsi kontinu dari unsur pembangkit akan menjadi pembangkit pula oleh bayangan H, sehingga
m 7→ φ(m) φ(m)w = 1 ∈ φ(H)
zw = 1
Perhatikan bahwa banyaknya homomorfisma ditentukan oleh banyak- nya z ∈ φ(H) yang memenuhi zw = 1. Sebelumnya telah dijelaskan bahwa T isomorfik dengan grup penjumlahan R/Z yang ditunjukkan oleh himpunan bilangan riil [0, 1). Karena setiap unsur z = eiα ∈ T direpresentasikan oleh setiap unsur α ∈ [0, 2π), α dapat dikonversikan menjadi bilangan riil pada [0, 1) oleh fungsi kontinu f yaitu f : [0, 1) → [0, 2π).
f : [0, 1) → [0, 2π) f (a) = α = a2π
dengan a ∈ [0, 1) dan α ∈ [0, 2π). Sehingga untuk z = eia2π, dan w sebarang orde H dapat dibentuk wk ∈ [0, 1) dengan 0 ≤ k ≤ w. Sehingga z = eik2πw yang berakibat zw= e(ik2πw)w = ei2πk, oleh identitas euler yang menyatakan eiπ = −1, maka eiπ(2k) = 1. Dengan kata lain, untuk semua z ∈ φ(H) ⊂ T, merepresentasikan banyaknya homomorfisma antara H dan φ(H ) ⊂ T.
Sehingga, grup dual H dapat dinyatakan oleh
H = {φ | φ : m 7→ z, hmi = H, ∀z ∈ φ(H) ⊂ T, φ homomorfisma kontinu}b Selain itu, diperoleh bahwa banyaknya unsur H sama dengan banyaknya unsur di bH, atau dapat dinotasikan ||H|| = || bH||. Karena H padat di grup monotetik M , tentu berlaku pula ||M || = || cM ||.
Teorema 6 Jika M adalah grup monotetik, maka cM juga grup monotetik.
Bukti. Sebelumnya, akan dijelaskan bahwa cM akan memenuhi definisi 6 tentang grup topologi. Andaikan homomorfisma kontinu φa, φb ∈ cM de- ngan m pembangkit M . Andaikan φadan φb adalah homomorfisma kontinu pada cM yang membawa unsur pembangkit m ∈ M pada a dan b di T.
Pasangan berurut (φa, φb) yang terdapat di cM × cM dapat dipetakan oleh homomorfisma kontinu, misalkan ψ pada cM oleh ψ : (φa, φb) 7→ (φaφb)(m).
ψ : cM × cM → cM
ψ : (φa, φb) 7→ (φaφb)(m) (φaφb)(m) = φa(m)φb(m)
Karena a ∈ T memiliki invers a−1 ∈ T, maka fungsi kontinu ψ juga mem- bawa φa pada inversnya, yakni fungsi yang dipetakan pada a−1. Dapat ditulis sebagai berikut, ψ : φa 7→ φa−1 . Sehingga cM adalah grup topologi.
Selanjutnya, cM disebut monotetik jika memiliki subgrup siklik bH yang pa- dat di cM . Ini dapat dibuktikan dengan memperlihatkan unsur pembangkit M . Bila m adalah unsur pembangkit di M dan φ(m) adalah unsur pem-c bangkit di φ(M ), maka m dan φ(m) juga merupakan unsur pembangkit di H dan φ(H). Sehingga terdapat homomorfisma φm ∈ cM yang membawa m pada φ(m). Operasi pada φm akan bergantung pada φm(m). Jika φm(m) adalah unsur pembangkit di φ(M ), dapat ditulis
φmφm = φm(m)φm(m) = (φm(m))2 φmφmφm = φm(m)φm(m)φm(m) = (φm(m))3 ...
φmφm· · · φm = φm(m)φm(m) · · · φm(m) = (φm(m))w
w−tuple
Bila w adalah orde di M dan φ(M ), maka φm(m)w = 1 ∈ φ(M ) yang merupakan identitas di φ(M ). Karena menurut teorema 4 bahwa homomor- fisma yang dipetakan pada identitas adalah homomorfisma identitas, maka φmw = φe. Jadi φm yang memetakan m ∈ M pada φ(m) ∈ φ(M ) adalah unsur pembangkit di cM .
Perhatikan bahwa grup monotetik memiliki banyak unsur yang sama dengan grup dualnya, oleh homomorfisma, akan muncul sifat memperta- hankan operasi. Selanjutnya diperlihatkan bijeksi antara grup monotetik M dan cM sehingga keduanya isomorfik.
Teorema 7 Jika M adalah grup monotetik, maka M ∼= cM
Bukti. Dalam memperlihatkan kedua grup isomorfik, harus ada suatu fungsi isomorfisma yang menghubungkan keduanya, misalkan sebuah fungsi kontinu ϕ. Andaikan banyak unsur di M dan cM adalah w. Operasi pada M adalah ∗ yakni untuk ma, mb ∈ M , 0 ≤ a, b ≤ w dengan ma∗ mb ∈ M . Fungsi ϕ akan didefinisikan sebagai ϕ(ma∗ mb) = (φaφb)(m). Jika mb = e sebagai unsur identitas, maka dihasilkan
ϕ : M → cM
ϕ(ma∗ e) = (φaφe)(m) ϕ(ma) = (φa)(m)
Sehingga untuk ma6= mbdiperoleh (φa)(m) 6= (φa)(m), yakni ϕ adalah fungsi satu-satu. Selanjutnya, untuk setiap φa(m), terdapat ϕ−1= ma, yang menunjukkan ϕ adalah fungsi pada. Karena, ϕ merupakan fungsi satu-satu dan pada, maka sifat bijektif telah dipenuhi. Berikutnya, untuk ma∗mb∈ M berlaku
ϕ(ma∗ mb) = (φaφb)(m)
= φa(m)φb(m)
= ϕ(ma)ϕ(mb)
Sehingga ϕ adalah homomorfisma yang mempertahankan operasi. Oleh karena ϕ memenuhi sifat bijektif dan mempertahankan operasi, maka ϕ adalah isomorfisma, atau M ∼= cM .
5. KESIMPULAN
Andaikan M adalah grup monotetik, dan cM adalah grup dual Pontryagin oleh homomorfisma M pada grup lingkaran T, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
1. Oleh homomorfisma kontinu φ, bayangan grup monotetik pada grup lingkaran juga merupakan grup monotetik. Bila m membangkitkan M , maka φ(m) membangkitkan φ(M ) ⊆ T. Dan jika H ⊆ M adalah subgrup siklik tertutup, maka φ(H) ⊆ φ(M ) juga tertutup.
2. Banyaknya homomorfisma kontinu φ ∈ cM ditentukan oleh pemetaan unsur pembangkit m. Telah diperoleh bahwa subgrup siklik H iso- morfik dengan bH, maka berlaku juga M ∼= cM .
Daftar Pustaka
[1] Gallian, J. A., Contemporary Abstract Algebra 7th, Belmont:
Brook/Cole, (2010).
[2] Aliprantis, C. D. & Burkinshaw, O., Principles of Real Analysis 2nd, London: Academic Press, Inc , (1990).
[3] Falcone, G., Plaumann, P., Strambach, K., Monothetic Algebraic Groups, J. Aust. Math. Soc. , Vol. 82, pp. 315-324, (2007).
[4] Armacost, D. L., The Structure of Locally Compact Abelian Groups, New York: Marcel Dekker, Inc., (1981).
[5] Mendelson, B., Introduction to Topology 3rd, Boston: Allyn and Bacon, Inc., (1975).
[6] Hewitt, E. & Ross, K. A., Abstract Harmonic Analysis 2nd, New York:
Springer-Verlag, (1979).
L.F.D. Bali: Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, University of Sumatera Utara, Medan 20155, Indonesia
E-mail: lukasfagolo@gmail.com
Tulus: Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, University of Sumatera Utara, Medan 20155, Indonesia
E-mail: tulus@usu.ac.id
Mardiningsih: Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, University of Sumatera Utara, Medan 20155, Indonesia
E-mail: mardiningsih.math@gmail.com
