OBJEK KAJIAN FILSAFAT MATEMATIKA, TIGA PAHAM BESAR, RASIONALISME PLATO

(1)

OBJEK KAJIAN FILSAFAT

MATEMATIKA, TIGA PAHAM

BESAR, RASIONALISME

(2)

Filsafat Matematika adalah suatu cabang matematika yang memusatkan pengkajiannya pada dua pertanyaan pokok : 1. Memusatkan kajian terhadap arti dari kalimat matematika 2. Memusatkan kajian bertolak dari pertanyaan apakah objek

abstrak matematika itu ada.

Terkait dengan yang pertama, akan muncul pertanyaan2:

Sebenarnya apa arti kalimat-kalimat matematika “3 merupakan bilangan prima”, “2+2=4” atau “Terdapat tak hingga bilangan prima”

(3)

semantik=mempelajari makna kata

Kalimat “Kapuas merupakan nama gunung di Jawa” secara semantik adalah salah, tetapi “Semeru merupakan nama gunung di Jawa” secara semantik benar.

Lalu secara semantik, bagaimana dengan kalimat

matematika “3 merupakan bilangan prima”, “2+2=4” atau

“Terdapat tak hingga bilangan prima”

Alasan para filosof terkait dengan hal ini adalah:

1. Tentang kebenaran yang tidak dapat serta merta dijelaskan 2. Jawaban yang berbeda akan membawa implikasi filosofis

(4)

Misalnya tentang kalimat “3 merupakan bilangan prima”, apakah 3? 3 itu apa?

Antirealis mengatakan bahwa bilangan itu tidak ada, bagaimana kita menilai secara semantik?

Realis mengatakan bahwa bilangan itu ada.

Dalam kelompok realis sendiri ada yang menyebut

bilangan sebagai objek mental(something like ideas in

people’s head) tetapi adapula yang menganggap bilangan ada di luar pikiran ( numbers exist outside of people’s

head), seperti pada dunia nyata.

(5)

Jadi menurut platonis ojek abstrak itu ada tetapi bukan sesuatu pada dunia nyata atau dalam pikiran manusia.

Karena kenyataannya bilangan (dan objek matematika yang lain) tidak ada pada ruang dan waktu manapun.

(6)

Mathematical Platonism

Platonisme pada matematika, memandang bahwa

a. Terdapat objek abstrak yang secara keseluruhan non spatial-temporal, non physical, dan non mental

b. Terdapat kebenaran kalimat secara matematik yang melengkapi gambaran suatu objek

Diantara Platonist kontemporer, akhirnya tersepakati bahwa yang dimaksud objek abstrak adalah objek yang nonspatialtemporal.

(7)

Versi Platonisme nontradisional

Dikembangkan pada tahun 1980-an dan 1990-an oleh: 1. Penelope Maddy

2. Mark Balaguer dan Edward Zaita

3. Michael Resnik dan Stewart Shapiro

Konsen atas bagaimana orang mendapatkan pengetahuan dari objek abstrak

(8)

Tiga Paham Besar dalam

Filsafat Matematika

(9)

Realisme memandang bahwa entitas matematika ada terbebas dari pikiran.

Logisisme memandang bahwa matematika merupakan bagian dari logika.

Empirisme memandang bahwa matematika harus dikembangkan secara empiris.

(10)

Paham logisisme dipelopori oleh filosof Inggris

Bertrand Arthur William Russel

Russel (1930) menulis buku “The Principles of Mathematics” yang berpegang pada pendapat bahwa matematika semata-mata terdiri atas deduksi-deduksi dengan prinsip-prinsip logika dari prinsip-prinsip logika.

Menurut Russel matematika dan logika merupakan bidang

yang sama karena seluruh konsep dan dalil matematika dapat diturunkan secara logika.

Logika dan matematika berkembang pada zaman modern. Logika telah menjadi lebih bersifat matematis dan matematika menjadi lebih logis.

(11)

Bertrand Russell

“

Do not fear to be eccentric in opinion, for every opinion now accepted was once eccentric.

”

(12)

Pada tahun 1910-1913 Russel bekerja sama dengan Alfred North Whitehead menulis “karya besar” berjudul Principia Mathematica untuk membuktikan bahwa logika merupakan masa muda matematika dan matematika merupakan masa tua logika.

Pembuktian diawali dengan pangkal-pangkal pendapat dari logika dan kemudian dengan deduksi-deduksi sampailah pada hasil-hasil yang nyata-nyata termasuk dalam bidang matematika.

(13)

Aliran logisisme adalah aliran yang berpandangan bahwa matematika murni

merupakan bagian dari logika. Pengagas utama dari pandangan ini adalah

Leibniz, Frege (1983), Russel (1919), Whitehead dan Carnap (1931).

Ada dua hal pokok dalam aliran ini, yaitu

(1). Semua konsep dalam matematika pada akhirnya dapat

diturunkan dari konsep-konsep logika, penyajian dari penurunan tersebut meliputi konsep-konsep teori bilangan maupun

beberapa sistim yang terdapat pada teori Russsel.

(14)

Jadi secara singkat dapat dikatakan bahwa hakekat dari aliran ini adalah bahwa jika semua matematika dapat diekspresikan dalam bentuk-bentuk logika secara murni dan dibuktikan dari prinsip-prinsip logika itu sendiri, maka kepastian dari pengetahuan matematika dapat direduksi menjadi logika.

Ternyata tujuan ini tidak dapat tercapai karena memang matematika tidak

hanya merupakan logika. Sebagai contoh aksioma ketakhinggan dapat

(15)

Manfaat dari aliran logisisme diantaranya adalah pembuktian induksi

matematika, penggunaan implikasi dan pembuktian matematika baik dengan

cara bukti langsung maupun bukti tidak langsung yang sangat bermanfaat

dalam perkembangan matematika. Aliran logicisme merupakan dasar untuk

pembentukan pola pikir deduktif yang merupakan ciri atau karakteristik dari

(16)

Paham formalisme dipelopori oleh matematikawan

Jerman, David Hilbert

Menurut paham formalisme, sifat alami dari matematika adalah sistem lambang yang formal. Matematika terkait dengan sifat-sifat struktural dari simbol-simbol dan proses pengolahan terhadap lambang-lambang tersebut.

Simbol-simbol dianggap mewakili berbagai sasaran yang menjadi objek matematika.

Bilangan-bilangan dipandang sebagai sifat-sifatstruktural yang paling sederhana dari benda-benda

(17)

DAVID

(18)

(19)

Jadi secara singkat dapat dikatakan bahwa hakekat dari aliran ini adalah bahwa jika semua matematika dapat diekspresikan dalam bentuk-bentuk logika secara murni dan dibuktikan dari prinsip-prinsip logika itu sendiri, maka kepastian dari pengetahuan matematika dapat direduksi menjadi logika.

Ternyata tujuan ini tidak dapat tercapai karena memang matematika tidak

hanya merupakan logika. Sebagai contoh aksioma ketakhinggan dapat

(20)

Paham intuitionisme dipelopori oleh matematikawan

Belanda, Luizen Egbertus Jan Brouwer

Brouwer berpendapat bahwa matematika adalah bagian yang sama dengan bagian yang eksak dari pemikiran manusia.

Ketepatan dalil-dalil matematika terletak dalam akal

manusia (human intellect) dan bukan pada simbol-simbol di atas kertas sebagaimana diyakini oleh paham formalisme. Dalam pemikiran para intuitionist, matematika berlandaskan pada suatu ilham dasar (basic intuition) mengenai

kemungkinan untuk membangun sebuah seri bilangan yang tidak terbatas. Ilham ini pada hakekatnya merupakan suatu aktivitas berpikir yang tak tergantung pada pegalaman,

(21)

(22)

(23)

Rasionalisme Plato dan Aristoteles 23



_SOCRATES



_PLATO



_ARISTOTELES



_{PERBANDINGAN FILSAFAT}

PLATO DAN ARISTOTELES

SOCRATES (71th)

PLATO (80th)

ARISTOTELES(62 thn)

322 SM 399

(24)

SOCRATES



_{Socrates dilahirkan di Athena, Yunani}

tahun 470 SM.



_{Setiap hari Socrates terus berpikir untuk}

mencari kebenaran.



_{Socrates selalu bertanya tanpa}

memberikan jawaban karena ia ingin

orang lain berpikir dan memahami

jawaban pertanyaan tersebut.



_{Menurut Plato dan Aristoteles, Socrates}

adalah orang pertama yang

memperkenalkan cara berpikir induktif

dan membuat defnisi universal.



_{Cara berpikir tersebut kemudian dikenal}

(25)

SOCRATES



Ia juga orang pertama di dunia yang

mengemukakan bahwa di dalam diri

manusia terdapat jiwa/rohani.



“Socrates menyadari bahwa jiwa jauh

lebih penting daripada tubuh fsik dan

jiwa tidak akan mati”



sebagai

bapak

psikologi rasional

.



Socrates adalah ahli flsafat Yunani yang

diakui sebagai guru moral terbesar di

dunia hingga saat ini.



Ia adalah salah satu dari ketiga orang

(26)

 _Socrates_{juga menemukan bahwa Tuhan hanya}

satu dan memiliki kekuasaan terhadap segala sesuatu.

 Ia menemukan hal ini melalui pemikirannya sendiri, bukan dari Al-quran dan Injil.

 _{Dengan penemuannya ini, ia sangat ingin}

mendidik moral masyarakat Athena menjadi lebih baik.

 _{Namun, penemuannya ini malah dianggap}

sebagai ajaran sesat yang hanya akan

meracuni pikiran dan jiwa anak-anak muda. Ia dianggap melanggar ajaran keyakinan

masyarakat Yunani yang pada saat itu menyembah banyak dewa.

 _{Pada tahun 399 SM, saat}_Socrates_{berusia 71}

tahun melaksanakan hukuman mati dengan minum racun.

(27)

 _Plato_{adalah murid}_Socrates_{, yang datang dari}

keluarga terpandang dan terpelajar.

 _Karena_Socrates_{tidak meninggalkan tulisan}

dan Plato adalah murid yang paling

memahami pemikiran Socrates, maka Plato

merasa bahwa dirinya adalah juru bicara yang paling sah dari Socrates.

 _{Walaupun demikian tetap dapat dibedakan}

pemikiran asli Socrates dengan Plato.

 _Kesaksian_Aristoteles_{dalam Metaphysics}

menyebutkan, “Socrates tidak memandang defnisi-defnisi universal sebagai eksistensi terpisah. Plato-lah yang membuat pemisahan tersebut dan jenis entitas ini disebutnya

sebagai ‘Idea-Idea’ (Forms).

(28)

 _Forms_{yang diungkapkan}_Plato_dalam

dialog-dialognya didominasi oleh

pengertian-pengertian etis, misalnya kebaikan, keindahan, keadilan atau keberanian.

 _{Ketika hendak menjelaskan pengertian “}_Form_”

sebagai substansi obyektif yang berdiri sendiri,

Plato mengambil contohnya dengan pengertian-pengertian etis.

 _Plato_{mengatakan, “Keindahan (}_beauty_{) tidak}

dimanifestasikan sebagai sebuah muka atau sebagai tangan atau benda-benda jasmani lainnya, tidak juga sebagai wacana atau ilmu pengetahuan, tidak juga sebagai pengada

yang terdapat pada makhluk hidup atau bumi atau langit atau dalam apapun lainnya; tetapi sebagai “existing itself by itself with itself”

(keberadaan diri oleh dan dengan dirinya sendiri), selalu unik dalam ‘form’.

(29)

 _{Dengan melalui}_Forms_{yang obyektif, tetap, dan}

universal, maka Plato telah memberikan landasan ontologis dan epistemologis akan keuniversalan nilai-nilai moral yang

diperjuangkan Socrates sepanjang hidupnya.

 Melalui ajaran itu, Plato mencoba

membuktikan bahwa “Kebaikan”, “Keadilan”, “Keberanian” dan lainnya real dan obyektif.

 _Menurut_Plato_{, kebenaran ada pada dunia ide}

(the Forms). Bentuk yang paling sempurna hanya ada pada ide, konsep yang terbentuk dari hal

nyata, tidak pernah sempurna.

 Plato dikenal sebagai seorang dualist, yang memisahkan antara dunia ide dan materi.

(30)

 _Plato_{mengembangkan pendekatan yang}

sifatnya rasional-deduktif sebagaimana mudah dijumpai dalam matematika. Problem flsafati yang digarap oleh Plato adalah keterlemparan jiwa manusia ke dalam penjara dunia inderawi, yaitu tubuh. Itu persoalan ada ("being") dan

mengada (menjadi, "becoming").

 _Menurut_Plato_{, bentuk pengetahuan yang}

berfungsi sebagai pedoman yang paling andal di sepanjang jalan ini adalah matematika,

sedangkan bentuk pengetahuan yang terandal di dalam matematika adalah geometri.

 _{Sumbangan flsafat}_Plato_{bagi psikologi/sains}

adalah penekanan pada rasionalitas dan

objektivitas dari pengetahuan/ilmu yang dapat dikatakan sebagai peletakan dasar

pengetahuan alam (sains) yang sampai sekarang masih dianut.

(31)

 _{Lahir pada tahun 384 SM di Stageira, Yunani}

Utara.

 _{Meninggal di Kalkis pada tahun 322 SM.}

 _{Belajar selama 20 tahun dalam Akademia}_Plato_.

 _{Ayahnya adalah seorang dokter, dan atas}

bimbingan ayahnya Aristoteles sejak kecil telah banyak menaruh perhatian kepada ilmu-ilmu alam. Pengalaman ini berpengaruh terhadap pandangan ilmiah dan flosofsnya di kemudian hari.

 _Menurut_Plato_{, realitas tertinggi adalah apa}

yang kita pikirkan dengan akal kita, sedang menurut Aristoteles realitas tertinggi adalah apa yang kita lihat dengan indera-mata kita.

(32)



_Aristoteles

_{tidak menyangkal bahwa}

manusia memiliki akal yang sifatnya

bawaan

, dan bukan sekedar akal yang

masuk dalam kesadarannya oleh

pendengaran dan penglihatannya.



_{Namun justru akal itulah yang}

merupakan ciri khas yang

membedakan manusia dari

makhluk-makhluk lain. Akal dan kesadaran

manusia kosong sampai ia mengalami

sesuatu. Karena itu, menurut

Aristoteles

, pada manusia tidak ada

idea-bawaan.

(33)

 _Aristoteles_{adalah seorang ahli biologis, seorang}

yang sangat empiris, percaya pada hal-hal natural dan riil.

 _{Tidak seperti}_Plato_{yang senang bergerak di}

bidang-bidang ideal, Aristoteles adalah seorang yang down to earth.

 _Bagi_Aristoteles_{, psikologi adalah ilmu tentang}

jiwa (soul). Jiwa menjadi bagian vital dari individu, menggerakkan, mengarahkan perkembangan organisma, dan

mengaktualisasikan organisma menjadi eksistensinya yang sekarang.

 _{Dalam hal ini}_Aristoteles_{berbeda pandangan}

dengan gurunya yang memisahkan idea (yang dalam konsepsi Aristoteles dapat disamakan dengan soul) dan materi.

 _Bagi_Aristoteles_,_soul_{dan materi tidak dapat}

(34)

 _Aristoteles_{menegaskan bahwa ada dua cara}

untuk mendapatkan kesimpulan demi

memperoleh pengetahuan dan kebenaran baru, yaitu metode rasional-deduktif dan metode

empiris-induktif.

 _{Dalam metode rasional-deduktif dari premis}

dua pernyataan yang benar, dibuat konklusi yang berupa pernyataan ketiga yang

mengandung unsur-unsur dalam kedua premis itu. Inilah silogisme, yang merupakan fondasi penting dalam logika, yaitu cabang flsafat yang secara khusus menguji keabsahan cara berfkir.

 _{Metode empiris-induktif,}

pengamatan-pengamatan indrawi yang sifatnya partikular dipakai sebagai basis untuk berabstraksi

menyusun pernyataan yang berlaku universal.

(35)

 Pemikiran Aristoteles merupakan harta karun

umat manusia yang berbudaya. Pengaruhnya terasa sampai kini. Hal tersebut karena

kekuatan sintesis dan konsistensi argumentasi flsafatinya dan cara kerjanya yang berpangkal pada pengamatan dan pengumpulan data.

 Berhasil menggabungkan (melakukan

sintesis) metode empiris-induktif dan rasional-deduktif tersebut di atas.

 Aristoteles menempatkan flsafat dalam suatu

skema yang utuh untuk mempelajari realitas. Studi tentang logika atau pengetahuan tentang penalaran, berperan sebagai "alat" untuk

sampai kepada pengetahuan yang lebih

mendalam, untuk selanjutnya diolah dalam teori yang dibawa kepada praktek.

 Aristoteles mengawali serta mendorong,

kelahiran banyak ilmu empiris seperti botani,

(36)

PERBANDINGAN FILSAFAT PLATO DAN ARISTOTELES



_{Perlu diketahui bahwa}

_Plato

_dapat

dikatakan sebagai flsuf pertama yang

secara jelas mengemukakan

epistemologi dalam flsafat, meskipun ia

belum menggunakan secara resmi

istilah epistemologi ini.



_{Filsuf Yunani berikutnya yang berbicara}

tentang epistemologi adalah

Aristoteles

.



_Plato

_dan

_Aristoteles

_{adalah guru dan}

murid yang merupakan dua tokoh besar

dalam sejarah, yang telah berhasil

membentuk dan meletakkan dasar yang

paling kokoh bagi pembangunan

(37)

Rasionalisme Plato dan Aristoteles 37 

Perbedaan yang paling mendasar antara

flsafat

Plato

dan

Aristoteles

sebenarnya

terletak pada pandangan mereka tentang

ada dan kebenaran ada.



Apabila

Plato

mengatakan bahwa ada yang

sebenarnya berada di dunia ide, maka

Aristoteles

tidak mengenal ada yang

berada di dunia ide itu.



Bagi

Aristoteles

tidak ada dunia lain selain

dunia indrawi ini. Oleh sebab itu ada yang

sebenarnya harus ditemukan pada

kebenaran ada itu sendiri. Sehingga flsafat

Plato

disebut flsafat idealisme dan flsafat

(38)

Tabel Perbandingan Epistemologi Plato dan Aristoteles.

TOPIK PEMIKIRAN PLATO ARISTOTELES

Pandangan tentang

dunia Ada 2 dunia, yaitu dunia ide dan dunia materi Hanya 1 dunia, yaitu dunia nyata yang sedang dijalani Kenyataan yang

sejati Ide-ide yang berasal dari dunia ide Segala sesuatu di alam yang dapat ditangkap indra Pandangan tentang

manusia Terdiri dari badan & jiwa. Jiwa abadi; badan fana (tidak abadi).

Jiwa terpenjara badan.

Badan dan jiwa sebagai satu kesatuan tak terpisahkan. Asal pengetahuan Dunia ide. Namun

tertanam dalam jiwa yang ada dalam diri manusia.

Kehidupan sehari-hari dan alam dunia nyata.

Cara mendapatkan

pengetahuan Mengeluarkan dari dalam diri (Anamnesis) dengan metoda bidan.

Observasi dan abstraksi, diolah dengan logika. Aliran filsafat Idealis Realis dan analitis Metode mencari

kebenaran Apriori, yaitu dari universal ke partikular Aposteriori, yaitu dari partikular ke universal Realitas tertinggi Apa yang kita dipikirkan

(39)



Perbedaan epistemologi

Plato

dan

Aristoteles

ini memiliki pengaruh

besar terhadap para flsuf modern.



Idealisme

Plato

mempengaruhi

flsuf-flsuf Rasionalis seperti Spinoza,

Leibniz, dan Whitehead.



Sedangkan pandangan

Aristoteles

tentang asal dan cara memperoleh

pengetahuan mempengaruhi

flsuf-flsuf Empiris seperti Locke, Hume,

dan Berkeley.

(40)

RASIONALISME PLATO

DAN ARISTOTELES

(41)



_{Mat & filsafat dilahirkan di Yunani kuno.}

Sebelum Yunani, Mat. berisi teknik

kalkulasi & sistem numerasi, yg berhub.

dgn agama atau hal-hal praktis.



_{Suatu legenda yg berisi ttg ramalan}

Apollo menyatakan bhw suatu bencana

akan berakhir jika altar tertentu

diduakalikan ukurannya, dgn bentuk

yang tetap.



_{Isu `praktis' ttg mencegah bencana}

(42)



_{Dua permasalahan yg serupa, yaitu:}

(1) membagi sudut menjadi tiga

bagian yang sama

(2) menentukan panjang sisi persegi

yang luasnya sama dengan suatu

lingkaran tertentu.

Permasalahan ini menjadi pemikiran

para ahli mat. selama berabad-abad.

Akhirnya, lebih dari 2000 th kemudian

para ahli mat. tdk menemukan

solusi-nya shg permasalahan tsb dianggap

mustahil utk diselesaikan

.

(43)

1 . The world of Being

Plato termotivasi oleh kesenjangan antara ide yg dpt kita mengerti dgn dunia fisik di sekitar kita.

Sebagai contoh, meski kita memp. gambaran mental ttg keadilan (justice) yg jelas, namun

segala hal yang kita lihat dan kita dengar ternyata tak ada yg memenuhi keadilan sempurna.

 keindahan (beauty)

 alim (pious)

 baik (virtuous)

Segala sesuatu yg ada di dunia memp.kekurangan.

Kita punya pemahaman ttg harapan yg sempurna, namun kita tdk pernah

menemukannya. Mengapa ?

(44)



Jwbn Plato: ada realitas ttg Forms yg berisi

hal-hal yg sempurna seperti “Keindahan”,

“Keadilan”, & “Kealiman”.



Plato menyebut dunia fisik sbg The world of

Becoming, krn objek fisik tunduk pd

perubahan & kecurangan.



Objek-objek tsb mendptkan sesuatu yg lebih

baik & juga yg lebih buruk.



Apa yang indah dapat menjadi buruk.



Apa yg baik dpt menjadi jahat.



Sebaliknya, Form 'Keindahan’ bersifat kekal &

tidak berubah keindahannya & akan selalu

tetap sama.

(45)



Dalam buku The Meno dijelaskan bahwa

Plato diminta Socrates utk mengajarkan

seorang budak menemukan suatu teorema:

persegi yg sisinya merup diagonal persegi

tertentu memp. luas 2x luas persegi semula.



Socrates menekankan bahwa baik Plato

maupun siapapun orangnya tidak boleh

menunjukkan teorema tsb. kepada budak.



Dgn menanyakan secara hati-hati &

menunjuk aspek dari suatu diagram yg

digambar, ternyata Socrates mendapati

budak tsb menemukan sendiri teorema itu.

(46)



_Plato

_{menggunakan eksperimen tsb utk}

mendukung suatu doktrin bhw ketika eksperimen

menggunakan geometri atau

the world of Being

pd

umumnya, maka apa yang disebut 'belajar' adalah

mengingat-ingat secara nyata dari kehidupan

(47)

2. Pandangan

Plato

ttg Matematika

 _{Mat. atau paling tidak geometri, merup suatu contoh}

langsung kesenjangan antara dunia materi di sekitar kita dgn dunia pikiran yg tenang, ideal, sempurna.

 _{Dari sebelum zaman}_Plato_{sampai hari ini kita telah}

memiliki definisi-definisi ttg garis lurus, lingkaran, dsb.

 Tetapi dunia fisik memuat grs lurus tanpa lebar yg tdk sempurna, tdk ada lingkaran yg sempurna, atau tidak ada yang sempurna yang dapat kita lihat.

 Barangkali grs lurus & lingkaran sempurna dsb., menjadi bagian dari ruang fisik yg kita tempati, tetapi meskipun demikian, kita tidak akan

menemukannya dalam dunia fisik manapun.

(48)

Utk mendptkan kejelasan, Plato percaya bhw proposisi geometri scr obyektif adl benar atau

salah, serta bebas dari pikiran, bahasa, dan juga bebas dari para ahli matematika.

Plato percaya bahwa objek geometris bukanlah obyek fisik, dan bahwa obyek geometri bersifat tidak berubah dan kekal.

 Dalam hal ini, paling tidak objek geometris adalah seperti Forms dan berada dalam the world of Being.

 Ia akan menolak pernyataan bahwa objek geometris ada dalam ruang fisik.

(49)

THE GOOD

FORMS _BEING

Objek

Matematis

Objek Fisik

BECOMING

Refleksi

(50)

_{Perhatikan, teorema ttg grs singgung lingk. yang}

memotong lingk. pd sebuah titik.

_{Meskipun jika seseorang secara hati-hati}

menggambar suatu lingk. & grs singgungnya,

menggunakan peralatan yg mahal atau pensil yg sangat tajam (atau printer yg canggih), seseorang masih melihat bhw garis singgung tsb memotong lingk. di suatu daerah kecil, bukan pada suatu titik.

50 Rasionalisme Plato dan Aristoteles

(51)

51 Rasionalisme Plato dan Aristoteles



Jika seseorang menggunakan sebatang

kapur atau sebuah tongkat dalam pasir

utk latihan, titik potongnya akan lebih

besar.

(52)



Pandangan

Plato

tersebut meninggalkan

suatu permasalahan tentang penjelasan

mengapa geometri diterapkan pada dunia

fsik, meskipun secara pendekatan saja



Pada masa

Plato

diberikan suatu kisah

yang terperinci, tetapi spekulatif tentang

bagaimana dunia fsik dibangun secara

geometris dari lima benda ruang yang

disebut

Platonic solids

, yaitu



bidang empat (

pyramid/tetrahedron

),



bidang delapan (

octahedron

)



bidang enam/kubus (

hexahedron

)



bidang duapuluh (

icosahedron

)



bidang duabelas (

dodecahedron

)

(53)



Scr tdk langsung pandangan

Plato

juga

memperhatikan aritmetika & aljabar,

seperti karyanya tentang geometri.



Ia adalah seorang realis yg terus terang

pd kedua nilai kebenaran & ontologi.



Ia menyatakan bhw proposisi dr

aritmeti-ka & aljabar adl benar atau

salah, tdk ter-gantung dari ahli mat,

dunia fsik, & bahkan juga dari pikiran.



Ia juga menyatakan bhw proposisi

aritme-tika adalah ttg objek abstrak yg

disebut `bilangan'

(54)

3. Pengaruh mat terhadap perkemb.

Filsafat

Plato



_{Beberapa sarjana terbaru sudah}

memfo-kuskan perhatiannya pada

pengaruh per-kembangan mat thdp

filsafat Plato.



_{Dengan cara dramatis, terdapat}

cahaya yg dapat mengungkap

beberapa perbedaan yg tajam antara

Plato & gurunya Socrates.

(55)

4. Aristoteles

, Musuh yang

Berjasa

Kebanyakan dari apa yang dikatakan

Aristoteles

tentang matematika

merupakan polemik melawan

pandangan

Plato

.

Filsafat matematika

Aristoteles

berkaitan dengan

penolakannya

terhadap world of Being yang

terpisah. Filsafat matematika

Plato berkaitan dengan Forms sebagai wujud yang kekal dalam realitas dari

(56)

PEMIKIRAN ARISTOTELES

 _{Menerima keberadaan}_Forms_{, tetapi ia}

menganggap bahwa Forms tidak terpisah dari objek individu yang termasuk dalam Forms.

Contoh:

Beauty merupakan sesuatu yang indah secara umum. Jika seseorang berencana

menghancurkan semua benda yang indah, maka ia akan menghancurkan Beauty itu sendiri.

Hal yang sama juga digunakan untuk keadilan (Justice), Kejujuran (Virtue), Manusia, dan

Forms yang lain.

 _{Benda-benda dalam dunia fsik mempunyai}

(57)

Aristoteles menganggap bahwa objek

matematika itu ada dalam objek yang jelas dan tidak terpisah dari objek yang dapat dimengerti.



_{Menurut geometri, objek matematika}

nampak seperti objek fsik, misalnya

permukaan, garis, dan titik.



_{Ahli geometri tidak menganggap}

permukaan sebagai permukaan dari

objek fsik.

Objek

(58)



_{Dalam pemikiran, seseorang dapat}

memisahkan permukaan, garis, dan titik

dari objek fsik yang memuatnya.



_{Pemisahan tersebut bersifat psikologis,}

atau mungkin bersifat logis.



_{Pemisahan ini memperhatikan bagaimana}

kita berpikir tentang objek fsik.

Bagi

Aristoteles

, kekeliruan

Plato

adalah menyimpulkan bahwa objek

geometris bersifat metafsis yang

terpisah dari contoh-contoh benda

fsik hanya karena para ahli

matematika mengatur untuk

mengabaikan aspek fsik tertentu.

Objek

(59)

Abstraksi Geometri



_{Misalkan, sebuah bola kuningan.}



_{Jika kita mengabaikan kuningan secara}

selektif dan hanya memfokuskan pada bentuk

bola, maka kita akan memperoleh bola saja.

permukaan salah satu sisi kubus pejal  sebuah bidang

salah satu sisi bidang  sebuah ruas garis



_{Jadi objek geometri banyak yang menyerupai}

Forms

.



Dalam sebuah pemikiran, objek geometri

adalah bentuk dari objek fsik. Tetapi, tentu

objek geometri merupakan

Forms

dari

Aristoteles

dan bukan merupakan

Forms

dari

Plato

.



Objek matematika diperoleh dari proses

(60)



_{Bilangan asli diperoleh melalui abstraksi}

dari kumpulan objek fsik.



Kita mulai dengan suatu kelompok yang

terdiri lima domba dan dengan

mengabaikan perbedaan antara domba.



Kita hanya memfokuskan pada

kenyataan bahwa domba tersebut

merupakan objek

yang berbeda dan

bilangan 5 menunjukkan suatu jenis

kelompok.



_{Sehingga bilangan ada sebagai}

_Forms

dari

Aristoteles

, dalam kelompok objek

yang merupakan bilangan.

Abstraksi

(61)

Objek

geometri

itu merupakan fksi

(khayalan) yang berguna.

Misalkan,

Ahli geometri menyatakan

jika A adalah segitiga samakaki



ia memberikan atribut pada A berupa

sifat-sifat yang menyebabkan A

(62)

Perhitungan aritmetika diperoleh dengan

memper-lakukan suatu obyek tertentu di

suatu kumpulan 'sebagai yang tak

terpisahkan' atau 'suatu unit'.

 Contoh kumpulan lima domba.

 kita anggap setiap domba sebagai sesuatu yang tak dapat dibagi, tetapi menurut

penjagal setiap domba pasti dapat dibagi.

 Oleh karena itu asumsi ahli matematika salah.

Ide ahli matematika tersebut mengabaikan sebarang sifat dari kumpulan domba yang

muncul dan keterbagian setiap domba secara individu.

 Kita menganggap bahwa setiap domba tidak

dapat dibagi dan oleh karena itu kita

(63)

Aristoteles & Plato

 Aristoteles setuju dengan pendapat Plato

bahwa bilangan selalu merupakan banyaknya sesuatu benda, tetapi menurut Aristoteles,

bilangan adalah banyaknya kumpulan objek.

 Bilangannya Aristoteles adalah bilangan fsiknya Plato.

 Sesuai dengan kedua interpretasi flsafat

matematika Aristoteles, penerapan matematika kepada dunia fsik adalah langsung.

 _{Ahli matematika mempelajari sifat-sifat nyata}

dari objek fsik nyata. Tidak perlu membuat

(64)

Aristoteles & Plato

 Tidak seperti Plato, kedua interpretasi

Aristoteles bermakna bagi bahasa dinamik yang khusus berlaku dalam geometri. Karena geometri memperhatikan objek fsik atau

abstraksi langsung dari objek fsik, yang

membahas tentang pengkuadratan, penerapan dan penjumlahan dan sejenisnya.

 Perhatikan prinsip Euclid, yaitu antara melalui

sebarang dua titik dapat digambar sebuah garis lurus.

 Bagi Plato, hal ini merupakan suatu

pernyataan yang disembunyikan tentang keberadaan garis.

 Aristoteles dapat memperlakukan prinsip tersebut secara harfah sebagai suatu

(65)



_{Lingkaran dan garis ideal tidak akan}

ada `dalam' objek yang kita lihat.

Aristoteles &

Plato

_

_Aristoteles

_{berpendapat bahwa}

geometri dapat diterapkan pada dunia

materi dalam hal objek yang

merupakan aproksimasi dari objek

sempurna,

Plato

juga merespon

demikian.



Seseorang mungkin memikirkan

tentang objek geometri (dan

aritmetika) yang sempurna sebagai

bagian dari ruang fsik, tetapi hal ini

(66)

Rasionalisme Plato dan Aristoteles 66 Aristoteles menjelaskan secara empiris keterkaitan yang erat antara materi pelajaran matematika dan dunia fsik.

 _Aristoteles_{berpendapat bahwa bilangan}

rasional itu bukan bilangan, tetapi bilangan rasional tersebut berhubungan dengan

bilangan asli sebagai ratio.

 Barangkali analisis rasional dan analisis real

dapat muncul dari pemahaman Aristoteles

tentang geometri.

 Dengan mengikuti pendapat Euclid, seseorang

dapat mengembangkan teori ratio ruas garis dan juga menguasai kembali bilangan real melalui ruas garis, dengan mengambil

sebarang ruas garis sebagai satuan.

 Bagaimana Aristotelian memahami analisis

kompleks, atau analisis fungsional, atau

topologi himpunan titik, atau teori himpunan aksiomatik? Tentu saja, itu tidak adil untuk

(67)



_SOCRATES



_PLATO



_ARISTOTELES



_{PERBANDINGAN FILSAFAT}

PLATO DAN ARISTOTELES

SOCRATES (71th)

PLATO (80th)

ARISTOTELES(62 thn)

322 SM 399

(68)

SOCRATES



_{Socrates dilahirkan di Athena, Yunani}

tahun 470 SM.



_{Setiap hari Socrates terus berpikir untuk}

mencari kebenaran.



_{Socrates selalu bertanya tanpa}

memberikan jawaban karena ia ingin

orang lain berpikir dan memahami

jawaban pertanyaan tersebut.



_{Menurut Plato dan Aristoteles, Socrates}

adalah orang pertama yang

memperkenalkan cara berpikir induktif

dan membuat defnisi universal.



_{Cara berpikir tersebut kemudian dikenal}

(69)

SOCRATES



Ia juga orang pertama di dunia yang

mengemukakan bahwa di dalam diri

manusia terdapat jiwa/rohani.



“Socrates menyadari bahwa jiwa jauh

lebih penting daripada tubuh fsik dan

jiwa tidak akan mati”



sebagai

bapak

psikologi rasional

.



Socrates adalah ahli flsafat Yunani yang

diakui sebagai guru moral terbesar di

dunia hingga saat ini.



Ia adalah salah satu dari ketiga orang

(70)

 _Socrates_{juga menemukan bahwa Tuhan hanya}

satu dan memiliki kekuasaan terhadap segala sesuatu.

 Ia menemukan hal ini melalui pemikirannya sendiri, bukan dari Al-quran dan Injil.

 _{Dengan penemuannya ini, ia sangat ingin}

mendidik moral masyarakat Athena menjadi lebih baik.

 _{Namun, penemuannya ini malah dianggap}

sebagai ajaran sesat yang hanya akan

meracuni pikiran dan jiwa anak-anak muda. Ia dianggap melanggar ajaran keyakinan

masyarakat Yunani yang pada saat itu menyembah banyak dewa.

 _{Pada tahun 399 SM, saat}_Socrates_{berusia 71}

tahun melaksanakan hukuman mati dengan minum racun.

(71)

PLATO

 _Plato_{adalah murid}_Socrates_{, yang datang dari}

keluarga terpandang dan terpelajar.

 _Karena_Socrates_{tidak meninggalkan tulisan}

dan Plato adalah murid yang paling

memahami pemikiran Socrates, maka Plato

merasa bahwa dirinya adalah juru bicara yang paling sah dari Socrates.

 _{Walaupun demikian tetap dapat dibedakan}

pemikiran asli Socrates dengan Plato.

 _Kesaksian_Aristoteles_{dalam Metaphysics}

menyebutkan, “Socrates tidak memandang defnisi-defnisi universal sebagai eksistensi terpisah. Plato-lah yang membuat pemisahan tersebut dan jenis entitas ini disebutnya

sebagai ‘Idea-Idea’ (Forms).

(72)

PLATO

 _Forms_{yang diungkapkan}_Plato_dalam

dialog-dialognya didominasi oleh

pengertian-pengertian etis, misalnya kebaikan, keindahan, keadilan atau keberanian.

 _{Ketika hendak menjelaskan pengertian “}_Form_”

sebagai substansi obyektif yang berdiri sendiri,

Plato mengambil contohnya dengan pengertian-pengertian etis.

 _Plato_{mengatakan, “Keindahan (}_beauty_{) tidak}

dimanifestasikan sebagai sebuah muka atau sebagai tangan atau benda-benda jasmani lainnya, tidak juga sebagai wacana atau ilmu pengetahuan, tidak juga sebagai pengada

yang terdapat pada makhluk hidup atau bumi atau langit atau dalam apapun lainnya; tetapi sebagai “existing itself by itself with itself”

(keberadaan diri oleh dan dengan dirinya sendiri), selalu unik dalam ‘form’.

(73)

 _{Dengan melalui}_Forms_{yang obyektif, tetap, dan}

universal, maka Plato telah memberikan landasan ontologis dan epistemologis akan keuniversalan nilai-nilai moral yang

diperjuangkan Socrates sepanjang hidupnya.

 Melalui ajaran itu, Plato mencoba

membuktikan bahwa “Kebaikan”, “Keadilan”, “Keberanian” dan lainnya real dan obyektif.

 _Menurut_Plato_{, kebenaran ada pada dunia ide}

(the Forms). Bentuk yang paling sempurna hanya ada pada ide, konsep yang terbentuk dari hal

nyata, tidak pernah sempurna.

 Plato dikenal sebagai seorang dualist, yang memisahkan antara dunia ide dan materi.

(74)

 _Plato_{mengembangkan pendekatan yang}

sifatnya rasional-deduktif sebagaimana mudah dijumpai dalam matematika. Problem flsafati yang digarap oleh Plato adalah keterlemparan jiwa manusia ke dalam penjara dunia inderawi, yaitu tubuh. Itu persoalan ada ("being") dan

mengada (menjadi, "becoming").

 _Menurut_Plato_{, bentuk pengetahuan yang}

berfungsi sebagai pedoman yang paling andal di sepanjang jalan ini adalah matematika,

sedangkan bentuk pengetahuan yang terandal di dalam matematika adalah geometri.

 _{Sumbangan flsafat}_Plato_{bagi psikologi/sains}

adalah penekanan pada rasionalitas dan

objektivitas dari pengetahuan/ilmu yang dapat dikatakan sebagai peletakan dasar

pengetahuan alam (sains) yang sampai sekarang masih dianut.

(75)

 _{Lahir pada tahun 384 SM di Stageira, Yunani}

Utara.

 _{Meninggal di Kalkis pada tahun 322 SM.}

 _{Belajar selama 20 tahun dalam Akademia}_Plato_.

 _{Ayahnya adalah seorang dokter, dan atas}

bimbingan ayahnya Aristoteles sejak kecil telah banyak menaruh perhatian kepada ilmu-ilmu alam. Pengalaman ini berpengaruh terhadap pandangan ilmiah dan flosofsnya di kemudian hari.

 _Menurut_Plato_{, realitas tertinggi adalah apa}

yang kita pikirkan dengan akal kita, sedang menurut Aristoteles realitas tertinggi adalah apa yang kita lihat dengan indera-mata kita.

(76)



_Aristoteles

_{tidak menyangkal bahwa}

manusia memiliki akal yang sifatnya

bawaan

, dan bukan sekedar akal yang

masuk dalam kesadarannya oleh

pendengaran dan penglihatannya.



_{Namun justru akal itulah yang}

merupakan ciri khas yang

membedakan manusia dari

makhluk-makhluk lain. Akal dan kesadaran

manusia kosong sampai ia mengalami

sesuatu. Karena itu, menurut

Aristoteles

, pada manusia tidak ada

idea-bawaan.

(77)

 _Aristoteles_{adalah seorang ahli biologis, seorang}

yang sangat empiris, percaya pada hal-hal natural dan riil.

 _{Tidak seperti}_Plato_{yang senang bergerak di}

bidang-bidang ideal, Aristoteles adalah seorang yang down to earth.

 _Bagi_Aristoteles_{, psikologi adalah ilmu tentang}

jiwa (soul). Jiwa menjadi bagian vital dari individu, menggerakkan, mengarahkan perkembangan organisma, dan

mengaktualisasikan organisma menjadi eksistensinya yang sekarang.

 _{Dalam hal ini}_Aristoteles_{berbeda pandangan}

dengan gurunya yang memisahkan idea (yang dalam konsepsi Aristoteles dapat disamakan dengan soul) dan materi.

 _Bagi_Aristoteles_,_soul_{dan materi tidak dapat}

(78)

 _Aristoteles_{menegaskan bahwa ada dua cara}

untuk mendapatkan kesimpulan demi

memperoleh pengetahuan dan kebenaran baru, yaitu metode rasional-deduktif dan metode

empiris-induktif.

 _{Dalam metode rasional-deduktif dari premis}

dua pernyataan yang benar, dibuat konklusi yang berupa pernyataan ketiga yang

mengandung unsur-unsur dalam kedua premis itu. Inilah silogisme, yang merupakan fondasi penting dalam logika, yaitu cabang flsafat yang secara khusus menguji keabsahan cara berfkir.

 _{Metode empiris-induktif,}

pengamatan-pengamatan indrawi yang sifatnya partikular dipakai sebagai basis untuk berabstraksi

menyusun pernyataan yang berlaku universal.

(79)

 Pemikiran Aristoteles merupakan harta karun

umat manusia yang berbudaya. Pengaruhnya terasa sampai kini. Hal tersebut karena

kekuatan sintesis dan konsistensi argumentasi flsafatinya dan cara kerjanya yang berpangkal pada pengamatan dan pengumpulan data.

 Berhasil menggabungkan (melakukan

sintesis) metode empiris-induktif dan rasional-deduktif tersebut di atas.

 Aristoteles menempatkan flsafat dalam suatu

skema yang utuh untuk mempelajari realitas. Studi tentang logika atau pengetahuan tentang penalaran, berperan sebagai "alat" untuk

sampai kepada pengetahuan yang lebih

mendalam, untuk selanjutnya diolah dalam teori yang dibawa kepada praktek.

 Aristoteles mengawali serta mendorong,

kelahiran banyak ilmu empiris seperti botani,

(80)

PERBANDINGAN FILSAFAT PLATO DAN ARISTOTELES



_{Perlu diketahui bahwa}

_Plato

_dapat

dikatakan sebagai flsuf pertama yang

secara jelas mengemukakan

epistemologi dalam flsafat, meskipun ia

belum menggunakan secara resmi

istilah epistemologi ini.



_{Filsuf Yunani berikutnya yang berbicara}

tentang epistemologi adalah

Aristoteles

.



_Plato

_dan

_Aristoteles

_{adalah guru dan}

murid yang merupakan dua tokoh besar

dalam sejarah, yang telah berhasil

membentuk dan meletakkan dasar yang

paling kokoh bagi pembangunan

(81)

Rasionalisme Plato dan Aristoteles 81 

Perbedaan yang paling mendasar antara

flsafat

Plato

dan

Aristoteles

sebenarnya

terletak pada pandangan mereka tentang

ada dan kebenaran ada.



Apabila

Plato

mengatakan bahwa ada yang

sebenarnya berada di dunia ide, maka

Aristoteles

tidak mengenal ada yang

berada di dunia ide itu.



Bagi

Aristoteles

tidak ada dunia lain selain

dunia indrawi ini. Oleh sebab itu ada yang

sebenarnya harus ditemukan pada

kebenaran ada itu sendiri. Sehingga flsafat

Plato

disebut flsafat idealisme dan flsafat

(82)

Tabel Perbandingan Epistemologi Plato dan Aristoteles.

TOPIK PEMIKIRAN PLATO ARISTOTELES

Pandangan tentang

dunia Ada 2 dunia, yaitu dunia ide dan dunia materi Hanya 1 dunia, yaitu dunia nyata yang sedang dijalani Kenyataan yang

sejati Ide-ide yang berasal dari dunia ide Segala sesuatu di alam yang dapat ditangkap indra Pandangan tentang

manusia Terdiri dari badan & jiwa. Jiwa abadi; badan fana (tidak abadi).

Jiwa terpenjara badan.

Badan dan jiwa sebagai satu kesatuan tak terpisahkan. Asal pengetahuan Dunia ide. Namun

tertanam dalam jiwa yang ada dalam diri manusia.

Kehidupan sehari-hari dan alam dunia nyata.

Cara mendapatkan

pengetahuan Mengeluarkan dari dalam diri (Anamnesis) dengan metoda bidan.

Observasi dan abstraksi, diolah dengan logika. Aliran filsafat Idealis Realis dan analitis Metode mencari

kebenaran Apriori, yaitu dari universal ke partikular Aposteriori, yaitu dari partikular ke universal Realitas tertinggi Apa yang kita dipikirkan

(83)



Perbedaan epistemologi

Plato

dan

Aristoteles

ini memiliki pengaruh

besar terhadap para flsuf modern.



Idealisme

Plato

mempengaruhi

flsuf-flsuf Rasionalis seperti Spinoza,

Leibniz, dan Whitehead.



Sedangkan pandangan

Aristoteles

tentang asal dan cara memperoleh

pengetahuan mempengaruhi

flsuf-flsuf Empiris seperti Locke, Hume,

dan Berkeley.

(84)

(85)

(86)

(87)

Platonism

Platonism is the form of realism that suggests that mathematical entities are abstract, have no

spatiotemporal or causal properties, and are eternal and unchanging. This is often claimed to be the view most people have of numbers.

The term Platonism is used because such a view is seen to parallel Plato's belief in a "World of Ideas" (typified by Plato's cave): the everyday world can only imperfectly approximate of an unchanging, ultimate reality. Both Plato's cave and Platonism have meaningful, not just a superficial

connections, because Plato's ideas were preceded and probably influenced by the hugely popular Pythagoreans of ancient Greece, who believed that the world was, quite literally, generated by numbers.

The major problem of mathematical platonism is this: precisely where and how do the mathematical entities exist, and how do we know about them? Is there a world, completely separate from our physical one, which is

(88)

In philosophy, empiricism is a theory of knowledge which asserts that knowledge arises from experience. Empiricism is one of several competing views about how we know "things," part of the branch of philosophy called epistemology, or "the Theory of Knowledge". Empiricism emphasizes the role of experience and evidence, especially sensory perception, in the formation of ideas, while discounting the notion of innate ideas (except in so far as these might be inferred from empirical reasoning, as in the case of genetic predisposition).

(89)

(90)

Empiricism is a form of realism that denies that mathematics can be known a priori at all.

It says that we discover mathematical facts by empirical research, just like facts in any of the other sciences. It is not one of the classical three positions advocated in the early 20th century, but primarily arose in the middle of the century.

(91)

Contemporary mathematical empiricism, formulated by Quine and Putnam, is primarily supported by the indispensability argument: mathematics is indispensable to all empirical sciences, and if we want to believe in the reality of the phenomena described by the sciences, we ought also believe in the reality of those entities required for this description.

(92)

Logicism

Logicism is the thesis that mathematics is reducible to logic, and hence nothing but a part of logic (Carnap 1931/1883, 41). Logicists hold that mathematics can be known a priori, but suggest that our knowledge of mathematics is just part of our knowledge of logic in general, and is thus analytic, not requiring any special faculty of mathematical intuition. In this view, logic is the proper foundation of mathematics, and all mathematical statements are necessary logical truths.

Rudolf Carnap (1931) presents the logicist thesis in two parts:

1.The concepts of mathematics can be derived from logical concepts through explicit definitions.

(93)

Gottlob Frege was the founder of logicism.

In his seminal Die Grundgesetze der Arithmetik (Basic Laws of Arithmetic) he built up arithmetic from a acceptable as part of logic.

(94)

(95)

Formalism

Formalism holds that mathematical statements may be thought of as statements about the consequences of certain string manipulation rules.

For example, in the "game" of Euclidean geometry (which is seen as consisting of some strings called "axioms", and some "rules of inference" to generate new strings from given ones), one can prove that the Pythagorean theorem holds (that is, you can generate the string corresponding to the Pythagorean theorem).

(96)

(97)

Since any such axiom system would contain the fnitary arithmetic as a subsystem, Gödel's theorem implied that it would be

impossible

(98)

Intuitionism

In mathematics, intuitionism is a program of methodological reform whose motto is that "there are no non-experienced mathematical truths" (L.E.J. Brouwer).

(99)

Fictionalism

Fictionalism in mathematics was brought to fame in 1980 when Hartry Field published Science Without Numbers, which rejected and in fact reversed Quine's indispensability argument.

Where Quine suggested that mathematics was indispensable for our best scientifc theories, and therefore should be accepted as a body of truths talking about independently existing entities, Field suggested that mathematics was dispensable, and therefore should be considered as a body of falsehoods not talking about anything real.

(100)

(101)

Two sets are said to have the same cardinality or cardinal number if there exists a bijection (a one-to-one correspondence) between them. Intuitively, for two sets S and T to have the same cardinalty means that it is possible to "pair of" elements of S with elements of T in such a fashion that every element of S is paired of with exactly one element of T and vice versa. Hence, the set {banana, apple, pear} has the same cardinality as {yellow, red, green}.

(102)

Continuum hypothesis

In mathematics, the continuum hypothesis (abbreviated CH) is a hypothesis, advanced by Georg Cantor in 1877, about the possible sizes of infinite sets. It states:

There is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and that of the real numbers.

Establishing the truth or falsehood of the continuum hypothesis is the first of Hilbert's twenty-three problems presented in the year 1900. The contributions of Kurt Gödel in 1940 and Paul Cohen in 1963 show that the hypothesis can neither be disproved nor be proved using the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory, the standard foundation of modern mathematics, provided set theory is consistent.

(103)

Cantor gave two proofs that the cardinality of the set of integers is strictly smaller than that of the set of real numbers; the second of these is his diagonal argument. His proofs, however, give no indication of the extent to which the cardinality of the natural numbers is less than that of the real numbers. Cantor proposed the continuum hypothesis as a possible solution to this question.

(104)

Impossibility of proof and disproof in ZFC

Cantor believed the continuum hypothesis to be true and tried for many years to prove it, in vain. It became the first on David Hilbert's list of important open questions that was presented at the International Congress of Mathematicians in the year 1900 in Paris. Axiomatic set theory was at that point not yet formulated.

(105)

(106)

(107)

(108)

(109)

(110)

(111)