Kuliah 6 Kontrol Digital Bab 13 buku-ajar

Kestabilan

Kuliah 6

Kontrol Digital

Materi

• Pendahuluan

• Ketabilan Sistem Digital dlm Bidang-z • Pemodelan & Kestabilan

• Selang Pencuplikan utk Kestabilan • Transformasi Bilinear

Pendahuluan {1}

• Perbedaan menyolok di antara

– sistem kontrol umpan-balik analog

– sistem kontrol umpan-balik digital (lih gbr)

adalah efek laju pencuplikan pd tanggapan transien

• Perubahan laju pencuplikan dpt mengubah

– Watak tanggapan: overdamped  underdampd

Pendahuluan {3}

• Kestabilan sistem digital dpt ditinjau dr 2 cara-pandang:

– bidang-z _ koordinat polar

– bidang-s _ koordinat rectangular

• Kriteria Routh-Hurwitz dpt diterapkan hanya pd analisis & desain dlm bidang-s • Transformasi antara bidang-z & bidang-s

Kestabilan dlm Bidang-z {1}

• Dlm bidang-s, wilayah kestabilan = sisi kiri sumbu imajiner

• Jk fungsi transfer G(s) dpt diubah mjd G(z), wilayah kestabilan dlm bid-z dpt dijabarkan dr definisi z = eTs _{& s = α + jω :}

• Tiap wilayah bidang-s dpt dipetakan mjd wilayah yg sesuai dlm bidang-z:

Kestabilan dlm Bidang-z {3}

• Titik2 _{dgn α > 0 dlm bidang-s}  _titik2 _{dgn e}αT _{> 1}

dlm bidang-z (wilayah C)

– sisi kanan sumbu imajiner _ wilayah di luar lingkaran satuan

• Titik2 _{dgn α = 0 dlm bidang-s}  _titik2 _{dgn e}αT _{= 1}

dlm bidang-z (wilayah B)

– titik2 _{pd sumbu imajiner}  _titik2 _{pd lingkaran satuan} • Titik2 _{dgn α < 0 dlm bidang-s}  _titik2 _{dgn e}αT _{< 1}

dlm bidang-z (wilayah A)

Kestabilan dlm Bidang-z {4}

• Oleh karena itu, sistem kontrol digital disbt

– Stabil jk semua pole kalang-tertutup T(z) brada di dalam lingkaran satuan

– Tdk stabil jk ada pole di luar lingkaran satuan dan/atau ada pole dgn multiplisitas > 1 pada lingkaran satuan

– _{Marginally stable jk ada pole bermultiplisitas 1} pd lingkaran satuan & semua pole lainnya di

Pemodelan & Kestabilan {1}

• Rudal dpt dikontrol scr aerodinamik oleh torka yg dihasilkan dr defleksi permukaan2

kontrol

Pemodelan & Kestabilan {2}

• Model sederhana dr sistem kontrol rudal:

• Komputer melakukan fungsi pengontrol: – Menggunakan informasi pelacakan

– Menghasilkan perintah masukan utk rudal

Pemodelan & Kestabilan {3}

• Tentukan fungsi transfer kalang-tertutup

T(z) & tentukan kestabilan pada K = 20 &

K = 100 dgn T = 0,1 detik

Pemodelan & Kestabilan {4}

• Fungsi transfer umpan-maju G(s):

• Transformasi-z dr fungsi transfer G(s):

• Suku z{…} dikenakan ekspansi pecahan

Pemodelan & Kestabilan {7}

• Pemindahan sampler ke seb kanan simpul penjumlahan  sistem umpan-balik satuan

• Fungsi transfer kalang-tertutup:

Pemodelan & Kestabilan {8}

• Kestabilan sistem ditentukan akar2 _polinom

penyebut T(z) atau pers karakteristik:

– Utk K = 20, akar2 _{adl 0,12 ± j0,78}  _sistem

stabil krn semua pole di dalam lingkaran satuan – Utk K = 100, akar2 _{adl –0,58 & –4,9}  _sistem

tdk stabil krn ada pole di luar lingkaran satuan

Selang Pencuplikan {1}

• Tentukan rentang T yg membuat sistem mjd stabil & tidak stabil:

• Krn H(s) = 1 maka FT kalang-tertutup:

) ( 1

) ( )

(

z G

z G z

T

Selang Pencuplikan {2}

• Utk menentukan G(z), ekspansikan G(s):

• Dgn demikian,

Selang Pencuplikan {3}

• Akar pers karakteristik atau pole dr T(z):

– Menurun terus dr +1 ke –1 utk 0 < T < 0,2 

pole di dalam lingkaran satuan  sistem stabil – Menurun terus dr –1 ke –10 utk 0,2 < T < ∞ 

pole di luar lngkaran satuan  sistem tdk stabil

• Scr frekuensi, f = 1 / T, sistem akan stabil slm frekuensi pencuplikan 1/0,2 = 5 Hz atau lebih besar

Transformasi Bilinear {1}

• Transf ini memungkinkan utk menerapkan teknik2 _{analisis & desain bidang-s pd sistem}

digital

• Transf yg tepat:

– Transf ini menghasilkan fungsi2 _{transedental yg}

diurus melalui transformasi-z yg agak ruwet

• Transf yg sederhana _ transform bilinear

– Menghasilkan argumen linear ketika disulihkan

z T

s e

Transformasi Bilinear {2}

• Bentuk umum:

• Utk stp penerapan tertentu, perlu dijabarkan nilai2 _{a, b, c & d yg berbeda-beda.}

• Contoh: pilihan nilai2 _{a, b, c & d tertentu} – akan memetakan titik2 _{pd lingkaran satuan mjd}

titik2 _{pd sumbu imajiner}

– akan memetakan titik2 _{di luar (dalam) lingkarn}

satuan mjd titik2 _{di sisi kanan (kiri) sumbu-jω} a cz

b dz

s d

cs

b as

z

− + −

= ⇔

Transformasi Bilinear {3}

• Transf bilinear yg memenuhi contoh tsb:

Kestabilan dlm Bidang-s {1}

• Diberikan T(z) = N(z)/D(z) dgn D(z) = z3 _–

z2 _{– 0,2z + 0,1; gunakan kriteria}

Kestabilan dlm Bidang-s {2}

• Tabel Routh:

– 1 akar di sisi kanan & 2 akar di sisi kiri sumbu imajiner