Matematika Lanjut (1) Matematika Lanjut (1) Matematika Lanjut (1)

DIKTAT BAHAN KULIAH

MATEMATIKA LANJUT

SIP 612162 BOBOT 3(3-0)

SEMESTER II

OLEH

YOHANNES

NIP. 195204071986031001

JURUSAN TEKNIK SIPIL

i

KATA PENGANTAR

Matematika Lanjut adalah lanjutan dari mata kuliah Matematika. Mata kuliah Ini juga

masih merupakan ilmu dasar dalam bidang keteknik-sipilan. Banyak permasalahan teknik sipil

yang lebih rumit dapat diatasi dengan pendekatan matematika lanjut ini. Oleh karena itu

penguasaan bidang ilmu ini juga sangat penting bagi mahasiswa teknik sipil.

Diktat ini disusun sesuai dengan kurikulum 2012 bagi mahasiswa S1 Teknik Sipil

Fakultas Teknik Universitas Lampung untuk memudahkan pemahaman dalam perkuliahan,

walaupun tidak menutup kemungkinan dipergunakan juga oleh para alumni atau teknisi yang

berkepentingan dengan masalah matematika. Diktat ini berisi penjelasan singkat mengenai

konsep matematika lanjut disertai tuntunan praktis dalam contoh-contoh perhitungan.

Rumus-rumus yang ditampilkan tidak diuraikan penjabarannya secara rinci namun hanya dibahas

penggunaannya saja. Oleh karena itu, jika ingin mempelajari Matematika Lanjut lebih

mendalam, dianjurkan mempelajari buku teks lainnya.

Terima kasih penulis sampaikan kepada para rekan dosen dan mahasiswa yang

memberi saran dan kritik demi penyempurnaan buku ini. Semoga diktat ini bermanfaat.

Bandarlampung, 16 September 2012

Penulis,

ii

DAFTAR ISI

Halaman

JUDUL

Kata Pengantar

………

i

Bab I Integral Tak Tentu

1.1.

Pengertian Integral

………

1

1.2.

Integral Parsial

………

4

1.3.

Integral Fungsi Rasional

………

4

1.4.

Integral Fungsi Trigonometri

………

6

1.5.

Integral dengan Substitusi Trigonometri ………

7

1.6.

Integral dengan Substitusi Khusus ………

9

Tugas Mandiri Bab I

………

12

BAB II Integral Tertentu

2.1

Pengertian Integral Tertentu ………

14

2.2

Perhitungan Luas

………

15

2.3

Volume Benda Putar

………

16

a. Metode Cakram

………

16

b. Metode Kulit

………

18

2.4

Panjang Busur Kurva Datar

………

19

2.5

Luas Permukaan Benda Putar

………

20

Tugas Mandiri Bab II

………

22

BAB III Integral Lipat

3.1

Integral Lipat Dua

………

24

3.2

Luas Daerah Tertutup

………

26

3.3

Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Kutub ………

27

3.4

Integral Lipat Dua Pada Ruang 3D ………

28

3.5

Integral Lipat Tiga

………

29

Tugas Mandiri Bab III

………

30

1

BAB I

INTEGRAL TAK TENTU

1.1 Pengertian Integral

Anti-derivatif

Jika F(x) adalah fungsi dengan turunannya F’(x) = f(x) pada interval tertentu dari sumbu x, maka

anti-derivatif atau disebut sebagai integral tak tentu dari f(x) diberikan oleh persamaan:

∫ f(x) dx = F(x) + C

dengan C adalah konstanta sembarang yang disebut juga konstanta integral.

Jadi anti-derivatif atau anti-diferensial adalah proses menemukan anti-turunan dari suatu fungsi. Integral

tak tentu dari suatu fungsi bersifat tidak unik.

Rumus dasar integral

Karena integral adalah operasi kebalikan dari diferensial, maka rumus integral dapat diperoleh dari rumus

diferensial.

Berikut adalah rumus dasar integral dimana x, u dan v merupakan fungsi, a adalah bilangan konstanta

dan C adalah konstanta integrasi

a. Rumus Dasar Integral

1. Fungsi Aljabar

1. ∫ dx = x + C

2. ∫ (u + v) dx = ∫ u dx + ∫ v dx

3. ∫ au dx = a ∫ u dx, a konstan

4. ∫ xa dx =

1 a

1

+ x a+1

+ C, a ≠ – 1

5. ∫

x 1

dx = ln | x | + C

6. ∫ ax dx =

a ln

x a

+ C, a > 0 dan a ≠ 1

7. ∫ ex dx = ex + C

Contoh: Hitunglah integral berikut

1.

∫

3 dx Jawab :

∫

dx = 3x + C

2.

∫

(x2 + 5x – 2) dx Jawab :

∫

(x2 + 5x – 2) dx =

∫

x2 dx +

∫

5x dx –

∫

2 dx =

3 1

x3 +

2 5

x2 – 2x + C 3.

∫

3(4x + 5) dx Jawab :

∫

3(4x + 5) dx = 3

∫

(4x + 5) dx = 3(2x2 + 5x + C = 6x2 + 15 x + C 4.

∫

x3 dx Jawab :

∫

x3 dx =

1 3

1

+ x 3+1

+ C =

4 1

x4 + C

5.

∫

x 1

dx Jawab :

∫

x 1

dx = ln |x| + C

6.

∫

6x dx Jawab :

∫

6x dx =

6 ln

x 6

+ C

2

8.

∫

(1 – x) xdx Jawab :

∫

(1 – x) x dx =

∫

( x– x xdx =

∫

(x1/2 – x3/2) dx = 2/3 x3/2 – 2/5 x5/2 + C = 2/3 x x – 2/5 x2 x+ C 9. ∫ (x3 + 2)2 3x2 dx Jawab : misal u = x3 + 2, maka du = 3x2 dx

∫ (x3 + 2)2 3x2 dx = ∫ u2 du =

3 1_u3

+ C =

3 1_{( x}3

+ 2)3 + C

10. ∫

3 ) 2 3 x (

dx 2 x 8

+ Jawab : misal u = x

3

+ 2, maka du = 3x2 dx atau x2 dx = 1/3 du

∫

3 ) 2 3 x (

dx 2 x 8

+ = ∫

3 u

du 3 / 1 8

=

3 8 _∫

3 u du

=

3 8 ₍

2 1

− ) u-2 + C

= –

2 u 3

4

+ C =

2 ) 2 3 x ( 3

4

+

− + C

2. Fungsi Trigonometri

1. ∫ sin x dx = – cos x + C

2. ∫ cos x dx = sin x + C

3. ∫ tan x dx = – ln cos x + C

4. ∫ cot x dx = ln sin x + C

5. ∫ sec x dx = ln sec x + tan x + C

6. ∫ csc x dx = ln csc x – cot x + C

7. ∫ sec2x dx = tan x + C 8. ∫ csc2x dx = – cot x + C 9. ∫ sec x tan x dx = sec x + C

10. ∫ csc x cot x dx = – csc x + C

Contoh: Hitunglah integral berikut

1.

∫

sin x dx Jawab :

∫

sin x dx = – cos x + C

2.

∫

cos x dx Jawab :

∫

cos x dx = sin x + C

3.

∫

sin 2x dx Jawab : misal 2x = u maka turunannya 2 dx = du atau dx = ½ du

Jadi

∫

sin 2x dx =

∫

sin u ½ du = ½

∫

sin u du = – ½ cos u + C = – ½ cos 2x + C

4. Buktikan bahwa

∫

tan x dx = – ln cos x + C

Jawab :

∫

tan x dx =

∫

x cos

x sin

dx misal: cos x = u, turunannya – sin x dx = du

Jadi

∫

x cos

x sin

dx =

∫

–

u du

= – ln | u | + C = – ln | cos x | + C (Terbukti)

5. Buktikan bahwa

∫

sec x dx = ln sec x + tan x + C

Jawab :

∫

sec x dx =

∫

x cos

1

dx =

∫

x cos

1

x cos

x cos

x sin 1

x sin 1

+

+ _{dx =}

_∫

x 2 cos

x sin 1+

x sin 1

x cos

+ dx

Misal u =

x cos

x sin 1+

maka

du =

x 2 cos

) x sin )( x sin 1 ( x cos x

cos − + −

dx =

x 2 cos

x 2 sin x sin x 2

cos + +

dx =

x 2 cos

x sin 1+

3

Jadi ∫ sec x dx =

∫

x 2 cos

x sin 1+

x sin 1

x cos

+ dx =

∫

du u

1

=

∫

u 1

du = ln | u | + C

= ln |

x cos

x sin 1+

| + C = ln |

x cos

x sin x cos

1

+ | + C = ln | sec x + tan x | + C (terbukti)

6. Buktikan bahwa

∫

sec2x dx = tan x + C

Jawab : misal u = tan x =

x cos

x sin

maka du =

x 2 cos

x 2 sin x 2 cos +

dx =

x 2 cos

1

dx = sec2x dx Jadi

∫

sec2x dx = ∫ du = u + C = tan x + C (Terbukti)

7. Buktikan bahwa

∫

sec x tan x dx = sec x + C

Jawab :

∫

sec x tan x dx =

∫

x cos

x sin x cos

1

dx =

∫

x 2 cos

x sin

dx

Misal u = cos x maka du = – sin x dx atau sinx dx = – du

Jadi

∫

sec x tan x dx =

∫

x 2 cos

x sin

dx = –

∫

2 u

1

du =

u 1

+ C

=

x cos

1

+ C = sec x + C (terbukti)

8. Fungsi Dalam Bentuk Pecahan atau Akar

1. ∫

2 x 2 a

dx

−

= arc sin

a x

+ C

2. ∫

2 x 2 a

du

+ =

a

1

arc tan

a x

+ C

3. ∫

2 a 2 x x

dx

− =

a

1

arc sec

a x

+ C

4. ∫

2 a 2 x

dx

− = x a C

a x ln a 2

1

+ + −

5. ∫

2 x 2 a

dx

− = x a C

a x ln a 2

1

+ − +

6. ∫

2 a 2 x

dx

+

= ln (x + x2+a2 ) + C

7. ∫

2 a 2 x

dx

−

= ln x + x2−a2  + C

8. ∫ a2−x2 dx =

2

1_{x a}2_−x2 ₊ 2 1 _a2

arcsin

a x

+ C

9. ∫ x2+a2 dx =

2

1 _{x x}2_+a2 ₊ 2 1 _a2

ln | x + x2+a2 | + C

10. ∫ x2−a2 dx =

2

1_{x x}2_−a2 _– 2 1_a2

4

Contoh: Buktikan hasil integral berikut

1. ∫

2 x 2 a

dx

−

= arc sin

a x

+ C

Jawab : misal x = a sin u maka dx = a cos udu

sin u =

a x

maka u = arc sin

a x

2 x 2

a − = a2−a2sin2u = a2(1−sin2u)= a2cos2u = a cos u

∫

2 x 2 a

dx

−

= ∫

u cos a

du u cos a

= ∫ du = u + C = arc sin

a x

+ C (terbukti)

1.2 Integral Parsial

Jika u dan v merupakan fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, maka

d(uv) = u dv + v du

u dv = d(uv) – v du

∫ u dv = uv – ∫ v du adalah rumus integral parsial

Contoh: Hitung integral berikut

1. ∫ x ln x dx Jawab :

misal u = ln x maka du =

x 1

dx dan dv = x dx maka v = x2

2 1

∫ u dv = uv – ∫ v du

∫ x ln x dx = ln x. x2 2

1 _{– ∫ dx} x 1 . 2 x 2

1 _{= x}2 2

1 _{ln x – ∫xdx}

2

1 _{= x}2 2

1 _{ln x – x}2

4

1 _{+ C}

2. ∫ x sin x dx Jawab :

misal u = x maka du = dx dan dv = sin x dx maka v = – cos x

∫ x sin x dx = x (– cos x) – ∫ – cos x dx = – x cos x + sin x + C

1.3 Integral Fungsi Rasional

Fungsi polinomial dalam x adalah fungsi dengan bentuk

n a x 1 n a ... ... 2

n x 2 a 1 n x 1 a n x 0

a + − + − + + ₋ +

dengan semua a kontanta dan a0≠ 0, dan n bilangan asli termasuk nol.

Fungsi H disebut fungsi rasional jika H(x) =

) x ( Q

) x ( P

dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomial.

Jika derajat P(x) lebih rendah daripada derajat Q(x), maka H(x) disebut rasional sejati.

Jika derajat P(x) lebih tinggi daripada derajat Q(x), maka H(x) disebut rasional tidak sejati.

a. Rasional Sejati

Untuk mengintegrasikan fungsi rasional sejati, maka bentuk

) x ( Q

) x ( P

harus diubah menjadi jumlah dari

bagian yang lebih sederhana. Penyebut diubah dengan menguraikan/memfaktorisasi Q(x) dalam

5

KASUS 1: Hasil pemfaktoran Q(x) semuanya dapat dibuat linier dan tak berulang, atau

Q(x) = (x – a1) (x – a2) ………. ... (x – an) maka dibuat menjadi

KASUS 2: Faktor Q(x) semua linier tapi ada yang berulang

Q(x) = (ax + b) (ax + b) ………. ... (ax + b)n maka dibuat menjadi

KASUS 3: Faktor Q(x) ada yang linier dan kuadratis, dimana faktor kuadratis tidak berulang. Setiap

faktor kuadratis ax2+bx+c pada penyebut yang tidak dapat diringkas, dibentuk menjadi

c

+ _{dengan A dan B konstanta yang harus ditentukan.}

Contoh : Hitung integral fungsi berikut

1. ∫

Jawab: Ubahlah fungsi tersebut menjadi pecahan terpisah:

x

Carilah nilai konstanta A, B, dan C dengan pemecahan berikut

x – 1 = A (x – 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x – 2)

= Ax2 – Ax – 2A + Bx2 + Bx + Cx2 – 2Cx

= (A + B + C) x2 + (– A + B – 2C) x – 2A = 0x2 + x – 1 Selesaikan persamaan berikut

a. A + B + C = 0

Jawab : Ubahlah menjadi pecahan terpisah.

catatan: Untuk penyebut dengan faktor berpangkat n dibuat n pecahan dengan pangkat n, n -1,

6

b. Rasional Tidak Sejati

Untuk menyelesaikan integral fungsi rasional tidak sejati, pembilang dibagi penyebut sehingga

membentuk rasional sejati, lalu dintegrasikan sesuai petunjuk di atas. Untuk mengubah fungsi

rasional tidak sejati menjadi fungsi rasional sejati dapat dilihat pada contoh berikut

Contoh:

1.4 Integral Fungsi Trigonometri

Untuk mengerjakan integral fungsi trigonometris, terkadang harus mengubah fungsi tersebut dengan

menggunakan persamaan-persamaan trigonometri.

Contoh: Hitung integral berikut

7

= sin x – ∫ 2sin2x cos x dx + ∫ sin4x cos x dx + C misal u = sin x maka du = cos x dx

– ∫ 2sin2x cos x dx = – 2 ∫ u2 du = –

3 2_u3

+ C = –

3 2 _sin3

x + C

∫ sin4x cos x dx = ∫ u4 du =

5 1 _u5

+ C =

5 1 _sin5

x + C

Jadi ∫ cos5x dx = sin x –

3 2 _sin3

x +

5 1 _sin5

x + C

3. ∫ sin2x cos3x dx = ∫ sin2x cos2x cos x dx = ∫ sin2x (1 – sin2x) cos x dx = ∫ (sin2x – sin4x) cos x dx misal u = sin x maka du = cos x dx

∫ (sin2x – sin4x) cos x dx = ∫ (u2 – u4) du =

3 1 _u3

–

5 1_u5

=

3 1_sin3

x –

5 1 _sin5

x + C

1.5 Integral Dengan Substitusi Trigonometri

Fungsi yang mengandung salah satu dari bentuk a2−b2x2 , a2+b2x2 , atau b2x2−a2 dan tidak memiliki faktor irasional lainnya dapat ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri menggunakan

variabel baru sebagai berikut:

BENTUK SUBSTITUSI DIPEROLEH

1. a2−b2x2 x =

b a

sin u a 1−sin2u = a cos u

2. a2+b2x2 x =

b a

tan u a 1+tan2u = a sec u

3. b2x2−a2 x =

b

a _{sec u a sec}2_{u−1 = a tan u}

Contoh: Hitung integral berikut

1. ∫

x 2 x 4 9−

dx Jawab:

Soal ini mempunyai bentuk a2−b2x2 maka gunakan substitusi x =

b a

sin u

atau x = 2 3

sin u dan dx = 2 3

cos u du

sehingga 9−4x2 = 9−9sin2u= 9cos2u= 3 cos u

∫

x 2 x 4 9−

dx = ∫

u sin 2 3

u cos 3

( 2 3

cos u du) = 3 ∫

u sin

u 2 cos

du = 3 ∫

u sin

u 2 sin 1−

du

= 3 ∫ (

u sin

1

– sin u) du = 3 ∫ csc u du – 3 ∫ sin u du

= 3 lncsc u – cot u + 3 cos u + C

karena x =

2 3

sin u maka sin u =

3 x 2

(lihat gambar di samping)

didapat csc u = x 2

3

, cot u = x 2

x 4

9− 2

, cos u =

3 x 4

9− 2 u

2 x 4 9−

8

Catatan : karena – ln 5 adalah konstan maka digabung dengan C

9

1.6 Integral Dengan Substitusi Khusus

Jika fungsi mempunyai bentuk sebagai berikut:

11

E. Substitusi x = 2 arc tan u akan mengganti setiap fungsi rasional dalam sin x dan cos x menjadi

fungsi rasional dalam u karena

sin x =

Setelah diintegrasi, gunakan u = tan

2 x

untuk kembali ke variabel aslinya.

12

TUGAS MANDIRI BAB I

Tugas Subbab 1.1

Hitung integral berikut

1. ∫

4 2 3 x

dx 2 x

+

4. ∫

3 x

3 ) 2 2 x ( +

dx

2. ∫3x 1−2x2dx 5. ∫ (x-2 + x-1)2 dx

3. ∫

x 2 ) x 1 ( +

dx 6. ∫ (x – 3)5 dx

Tugas: Buktikan hasil integral berikut

1. ∫ cot x dx = ln sin x + C

2. ∫ csc x dx = ln csc x – cot x + C

3. ∫ csc2x dx = – cot x + C 4. ∫ csc x cot x dx = – csc x + C

Tugas: Buktikan hasil integral di atas no. 2 – 10

Tugas Subbab 1.2

Hitung integral berikut dengan menggunakan metode integral parsial

1. ∫ x cos x dx 4. ∫ x sin2 x dx

2. ∫ x 1+xdx 5. ∫ (x + a) sinax dx

3. ∫ x2 sin x dx

Tugas Subbab 1.3

1. ∫

+ − −

+

1 x 2 x 3 x

dx ) 5 x 3 (

4. ∫

+ +

+ + +

) 3 2 x ( ) 1 2 x (

dx ) 3 x 2 x 3 x (

2. ∫

− − − −

2 x 3 x

dx ) 1 x 3 x 4 x (

5. ∫

−_x)3 1 (

dx 4 x

3. ∫

+ +

2 ) 1 2 x (

dx ) 3 2 x 2 (

Tugas Subbab 1.4

1. ∫tan4xdx 3. ∫sin43xcos23xdx 5. ∫sin3xcos5xdx

13

Tugas Subbab 1.5

1. ∫

−x2 1

dx

3. ∫

−_x6 1

dx 2 x

5. ∫

− +

2 x x 4

dx ) 2 x (

2. ∫

−1 2 x x

dx

4. ∫

− +

2 x 1

dx ) 3 x (

6. ∫

+1 2 x

dx

Tugas Subbab 1.6

1. ∫x 1+xdx 6. ∫

+cos2x) 1

( x cos

dx x sin

11. ∫

+ x) 1 ( x

dx

2. ∫

+x2)5/2 1

( dx

7. ∫

−x)3 dx 1

( 4 x

12. ∫

+ + +1 4 x 1 x

dx

3. ∫

+ − −

+

1 x 2 x 3 x

dx ) 5 x 3 (

8. ∫

+ +

+ + +

) 3 2 x ( ) 1 2 x (

dx ) 3 x 2 x 3 x (

13. dx

x cos 1

x cos x sin

∫

−

4. ∫

− − − −

2 x 3 x

dx ) 1 x 3 x 4 x (

9. ∫

−x 1 x

dx

14. ∫

+x 1

dx 2 x

5. ∫

+ + _dx

2 ) 1 2 x (

3 2 x 2

14

BAB II

INTEGRAL TERTENTU

2.1 Pengertian Integral Tertentu

Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval tertutup [a, b] maka integral tertentu f(x) dari a ke b dinyatakan

f , dimana f(x) disebut integran, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas.

Jika fungsi f(x) kontinyu pada interval tertutup [a, b], maka f(x) dapat diintegralkan pada [a, b].

Jika f(x) dan g(x) kontinyu pada interval integrasi a ≤ x ≤ b, dan k = konstanta, maka berlaku :

Contoh soal

15

3. Hitung ∫

− +

4 3

dx 2

x Jawab : Fungsi f(x) = x + 2 dapat ditulis f(x) =

  

− < +

−

− ≥ +

2 x jika ) 2 x (

2 x jika 2 x

∫

− +

4 3

dx 2

x = −∫

−− +

2 3

dx ) 2 x

( + ∫

− +

4 2

dx ) 2 x

( = 2

3 x 2 2 x 2

1 −

−

  

_{− − +} 4

2 x 2 2 x 2 1

−

  

 _{+ = 1/2 + 18 = 37/2}

2.2 Perhitungan Luas

Aplikasi integral untuk perhitungan luas dinyatakan dalam persamaan berikut:

Luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan y = g(x) dalam

interval [a, b] sepanjang sumbu X dinyatakan sbb.:

∫ −

=b

a

dx )} x ( g ) x ( f { A

Luas daerah yang dibatasi oleh fungsi x = f(y) dan x = g(y) dalam

interval [c, d] sepanjang sumbu Y dinyatakan sbb.:

∫ −

=d

c

dy )} y ( g ) y ( f { A

Contoh soal:

1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = x3 – x dan y = 0 Jawab:

Fungsi y = x3 – x dan y = 0 berpotongan di titik x = 1, x = 0, dan x = – 1. Terdapat 2 luasan yang simetris.

Luas = – 21∫ − −

0

dx } 0 ) x 3 x

{( = – 2 1

0 2 x 2 1 4 x 4 1

  

 ₋

= – 2 (1/4 – 1/2) = – 2. (– 1/4) = 1/2 satuan luas

2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x = y2 + 1 dan x = 5 Jawab:

Kurva x = y2 + 1 dan x = 5 berpotongan di (5, 2) dan (5, – 2).

Luas = d∫ −

c

dy )} y ( g ) y ( f

{ = 22∫ − +

0

dy )} 1 2 y ( 5 {

= 2 2

0 3 y 3 1 y 4 _



 _{− = 2 (8 – 8/3) = 32/3}

y = x3 - x

– 1

1 0 _X

Y Luas 1

Luas 2

x = y2 + 1

0 1 2

– 2

x = 5 X Y

Luas

y = f (x) y = g (x)

X Y

Luas

a b

x = f (y)

x = g (y) X Y

Luas d

16

2.3 Volume Benda Putar

Pengertian Benda Putar

Benda putar terbentuk oleh perputaran suatu luasan bidang terhadap sebuah garis sebidang yang

disebut sumbu putar. Sumbu putar dapat menyinggung keliling luasan bidang, atau tidak memotong

luasan tersebut sama sekali. Penentuan volume benda putar dapat dihitung dengan dua metode, yaitu

metode cakram (disc) dan metode kulit (shell).

a. Metode Cakram

Dalam metode cakram dikenal dua keadaan yaitu: (1). Sumbu putar merupakan batas luasan bidang, dan

(2) Sumbu putar bukan merupakan batas luasan bidang.

Sumbu putar merupakan batas luasan bidang

Rumus volume benda putar:

a. yang dibatasi kurva y = f(x) dan sumbu X, dengan sumbu

putar sumbu X

V = π b∫

[

]

a

dx 2 ) x ( f

b. yang dibatasi kurva x = g(y) dan sumbu Y, dengan sumbu

putar sumbu Y

V = π d∫

[

]

c

dy 2 ) y ( g

Sumbu putar bukan merupakan batas luasan bidang

Rumus volume benda putar:

a. yang dibatasi kurva y = f1 (x) dan y = f2 (x), dengan

sumbu putar sumbu X

V = π ∫

[

]

[

]

   



 ₋

b a

dx 2 ) x ( 1 f 2 ) x ( 2 f

b. yang dibatasi kurva x = g1 (y) dan x = g2 (y), dengan

sumbu putar sumbu Y

V = π ∫

[

]

[

]

   



 ₋

d c

dy 2 ) y ( 1 g 2 ) y ( 2 g y = f(x)

X b a

Y

Volume benda putar

x = g (y)

X d

c Y

Volume ben- da putar

X Volume benda putar

y = f2 (x)

b a

Y

y = f1 (x)

x = g2 (y)

X d

c Y

17

Contoh :

1. Hitung volume yang terbentuk karena perputaran terhadap sumbu X dari daerah yang dibatasi oleh

parabola y = x2 + 1 dan garis y = x + 3 Jawab:

Perpotongan parabola y = x2 + 1 dan garis y = x + 3 diberikan oleh: x2 + 1 = x + 3 → x2 – x – 2 = 0 atau (x – 2) (x + 1) = 0. Jadi x = – 1 dan x = 2.

Jadi volume benda putar tsb:

V = π ∫

[

]

[

]

2. Tentukan volume benda putar yang terbentuk oleh perputaran terhadap garis x = – 4 dari daerah

yang dibatasi oleh dua parabola x = y – y2 dan x = y2 – 3

Titik potong kurva x = y – y2 dan x = y2 – 3 adalah: y2 – 3 = y – y2 → 2 y2 – y – 3 = 0

(y + 1) (y – 3/2) = 0. Jadi titik potong Q untuk y = – 1,

x = – 2, dan P untuk y = 3/2, x = – 3/4

Volume benda putar antara kedua kurva pada sumbu putar x =

18

b. Metode Kulit

Jika suatu bidang yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b dan

sumbu X diputar terhadap sumbu Y, maka akan membentuk

benda dengan volume:

V = πb∫

a

dx ) x ( f x 2

Jika suatu bidang yang dibatasi oleh x = g(x), y = c, y = d dan

sumbu Y diputar terhadap sumbu X, maka akan membentuk

benda dengan volume:

V = π d∫

c

dy ) y ( g y 2

Contoh:

1. Suatu daerah yang dibatasi parabola y = x2, sumbu x, dan garis x = 2 diputar terhadap sumbu Y sebagai sumbu putar. Tentukan volume benda akibat putaran tersebut.

Jawab:

V = π b∫

a

dx ) x ( f x

2 = π 2∫

0 dx 2 x x

2

= π 2∫

0 dx 3 x

2 = 2

0 4 x 4 1

2π_ _ = π_ 24_ 4 1

2 = 8π

2. Suatu daerah dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 1 dan x = 2 diputar terhadap garis y = – 2 sebagai sumbu putar. Tentukan volume benda yang terbentuk karena perputaran itu.

Jawab:

Kurva y = x2 diubah menjadi x = ± y namun karena daerah yang

dimaksud terdapat dalam kuadran I maka digunakan x = y.

Batasnya c = 1 dan d = 4. Diputar terhadap y = –2 maka y → y + 2

dan g(y) → 2 – g(y) = 2 – y sehingga

V = π d∫

c

dy ) y ( g y

2 = π 4∫ + −

1

dy ) y 2 ( ) 2 y ( 2

= π 4∫ − + − +

1

dy ) 4 2 / 1 y 2 y 2 2 / 3 y (

2 = 4

1 y 4 2 / 3 y 3 4 2 y 2 / 5 y 5 2

2π_− + − + _ = π

5 37 2

y = x2 Y

X 0

Daerah

1 2

y = x2 Y

X 0

y = – 2 (2, 4)

Daerah

y = 1

4

a

b

y = f(x) Y

X Daerah

c d

x = g(y) Y

19

3. Hitung volume torus yang terbentuk oleh perputaran lingkaran x2 + y2 = 4 terhadap garis x = 3 sebagai sumbu putar.

Jawab:

Hitung volume benda yang terjadi akibat perputaran tersebut.

Jawab:

Kedua kurva itu berpotongan di P(1, 2) dan Q (–3, 6)

a. Menggunakan metode kulit

V = ∫

b. Menggunakan metode cakram

V = ∫

Teorema. Jika fungsi f dan turunannya f’ kontinu dalam interval tutup [a,

b] maka panjang busur dari kurva y = f(x) mulai dari titik (a, f(a)) sampai

20

Teorema. Jika fungsi g dan turunannya g’ kontinu dalam interval tutup [c,

d] maka panjang busur dari kurva x = g(y) mulai dari titik (c, g(c)) sampai

titik (d, g(d) adalah: S = ∫ _

Jika A dan B adalah dua titik pada kurva didefinisikan oleh persamaan

parameter x = f(t) dan y = g(t) dan jika persyaratan kontinu memenuhi,

maka panjang busur AB adalah: S = ∫ 

Contoh soal:

1. Hitung panjang busur kurva y = x2/3 dari titik (1, 1) sampai titik (8, 4)

2.5 Luas Permukaan Benda Putar

21

Jika fungsi tersebut dalam bentuk parameter x = f(t) dan y = g(t) maka luas perputaran karena fungsi

tersebut

1. Hitung luas permukaan bola berjari-jari r.

Jawab

Kalau busur AB diputar terhadap sumbu X maka luas permukaan

putar adalah permukaan bola. x = r cos θ dan y = r sin θ dan

2. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran y2 = 12 x dari x = 0 sampai x

22

TUGAS MANDIRI BAB II

Tugas Subbab 2.1

1. 2∫ +

0

dx 5 2 x

x 3. ∫

− −

2

1x2 9

dx

5. ∫ − + +

−

4

2

2 _{2y 8)dy}

y (

2. ∫

+ −

−

10 6 x 2

dx

4. 4∫ −

0

2_)dx

x x 4

(

Tugas Subbab 2.2

1. y = x3, y = 0, x = 1, dan x = 3 6. 2y2 = x + 4 dan x = y2

2. y = 2 – x2 dan y = – x 7. x = 4y – y3 dan x = 0

3. y = x2 dan y = x 8. y2 = 2x – 2 dan y = x – 5

4. y + x2 = 6 dan y + 2x – 3 = 0 9. y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x

5. y – x = 6, y – x3 = 0, dan 2y + x = 0 10. y = x2 dan y = – x2 + 4x

Tugas Subbab 2.3

1. Hitung volume benda putar yang terbentuk karena perputaran luasan 4x2 + 9y2 = 36 terhadap sumbu

X. Gunakan metode cakram. Jawab: 16π

2. Hitung volume benda putar yang terbentuk karena perputaran luasan yang dibatasi x = 9 – y2 dan

x – y – 7 = 0 terhadap sumbu X = 4. Gunakan metode kulit. Jawab: π

5 153

3. Hitung volume benda putar yang terbentuk karena perputaran luasan y2 = x4 (1 – x2) terhadap sumbu X. Jawab: 4π/35

4. Hitung volume benda putar yang terbentuk karena perputaran luasan yang dibatasi x2 – y2 = 16, y = 0, x = 8 terhadap sumbu Y. Jawab: 128 π 3

5. Hitung volume benda putar yang terbentuk karena perputaran luasan yang dibatasi y = x2, y = 4x – x2 terhadap garis Y = 6. Jawab: 64 π / 3

Tugas Subbab 2.4

2. Hitung panjang busur kurva x = t2, y = t3 dari t = 0 sampai t = 4. Jawab: 8/27(37 37−1)

3. Hitung panjang busur kurva 24 xy = x4 + 48 dari x = 2 sampai x = 4. Jawab : 17/6 4. Hitung panjang busur kurva x = 2 cos α + cos 2α + 1

y = 2 sin α + sin 2α Jawab : 16

5. Hitung panjang busur kurva x = a cos3α di kuadran 1

23

Tugas Subbab 2.5

1. Hitung luas permukaan benda yang terbentuk jika busur sikloida dengan persamaan x = a(θ – sin θ)

dan y = a(1 – cos θ) diputar terhadap sumbu X. Jawab 64/3 π a2.

2. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran elips 1

4 2 y 16

2 x _{+ =}

.

Jawab _

  

  

π + π

9 3 4 1 8

3. Hitung luas permukaan benda yang terbentuk jika kardioda dengan persamaan x = 2 cos θ – cos 2θ

dan y = 2 sin θ – sin 2θ diputar terhadap sumbu X. Jawab 128π/5.

4. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran y = mx dari x = 0 sampai x = 3

terhadap sumbu X. Jawab 9mπ 1+m2

5. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran y = x3

3

1 _{dari x = 0 sampai x =}

3 terhadap sumbu Y. Jawab

[

9 82 ln(9 82

]

2 1

+ + π

6. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran x = a (θ – sin θ), y = a (1 –

cos θ) terhadap sumbu X. Jawab

3 2 a 64π

7. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran kurva

24

BAB III

INTEGRAL LIPAT

3.1 Integral Lipat Dua

Terdapat suatu daerah tertutup S yang dibatasi oleh kurva K1 dan K2

seperti pada gambar. Daerah S tersebut dapat dibagi dalam n

bagian garis sejajar sumbu X dan n bagian garis sejajar sumbu Y

sehingga terdapat banyak segiempat kecil dengan panjang sisi ∆xi

dan ∆yi dimana

∆xi = xi – xi-1 dan ∆yj = yj – yj-1

Jika terdapat fungsi z = f(x, y) yang kontinu di semua titik di dalam

daerah tertutup S maka untuk per sub bagian segiempat diperoleh

perkalian f(xi, yj) ∆xi∆yj di titik (xi, yj) pada segiempat tersebut.

Untuk seluruh daerah S diperoleh hasil penjumlahan sebagai berikut: ∑

=

m 1 j

∑

=

n 1 i

f(xi, yj) ∆xi∆yj

Untuk n →∞ dan m →∞ diperoleh

∞ →∞ →

mn

lim ∑

=

m 1 j

∑

=

n 1 i

f(xi, yj) ∆xi∆yj =

∫∫

f(x,y) dx dy

disebut "integral lipat dua dari fungsi f(x, y) pada daerah tertutup S"

Cara menghitung integral lipat dua

a.

Untuk

∫∫

f(x,y) dx dy =

∫

[

∫

f(x,y) dx] dy artinya diintegralkan dulu terhadap x lalu terhadap y

b.

Untuk

∫∫

f(x,y) dy dx =

∫

[

∫

f(x,y) dy] dx artinya diintegralkan dulu terhadap y lalu terhadap x

Cara menentukan batas integral

a. Untuk kurva seperti gambar berikut

Batas integral untuk sumbu X

sebelah kiri x1 = f1 (y) dan sebelah kanan x2 = f2 (y)

Batas integral untuk sumbu Y

sebelah bawah y1 = c dan sebelah atas y2 = d d f2(y)

Bentuk integralnya ∫∫ f(x,y) dx dy = ∫ ∫ f(x,y) dx dy

S c f1(y)

Y

c d

S

X

segi empat

K1

K2

Y

c d

S

X x2 = f2 (y)

x1 = f1 (y)

s

s sysx

25

b. Untuk kurva seperti gambar berikut

Batas integral untuk sumbu X

sebelah kiri x1 = a dan sebelah kanan x2 = b

Batas integral untuk sumbu Y

sebelah atas y2 = f2 (x) dan sebelah bawah y1 = f1 (x)

b f2(x)

Bentuk integralnya ∫∫ f(x,y) dy dx = ∫ ∫f(x,y) dy dx

S a f1(x)

Contoh

2 y2 2 y2 2 y2 2

1. Hitung ∫ ∫ (2x + 3y) dx dy Jawab: ∫ ∫ (2x + 3y) dx dy = ∫ [ x2 + 3yx ] dy = ∫ (y4 + 3y3 – y2 – 3y2) dy

1 y 1 y 1 y 1

=

2 1 3 3 4 4 4 3 5 5

1_{y y y}

  

 _{+ − =}

5 487 3 4 4 3 5 1 3 32 5

32 _{12 ) ( )}

( + − − + − =

2. Hitung ∫∫ x dx dy pada daerah yang dibatasi parabola x = 6y – y2 dan x = y2 – 2y Jawab:

Titik potong kedua parabola adalah

6y – y2 = y2 – 2y → 2y2 – 8y = 0 → 2y(y – 4) = 0 untuk y = 0 maka x = 0 dan untuk y = 4 maka x = 8

Jadi titik potongnya di (0, 0) dan (8, 4)

Batas integral untuk X,

seb. kiri x = y2 – 2y dan seb. kanan x = 6y – y2 Batas integral untuk Y,

seb. bawah y = 0 dan seb. atas y = 4

Jadi ∫∫ x dx dy =4∫

0

∫

−

−

2 y y 6

y 2 2 y

x dx dy = ∫ −

−

4 0

2 y y 6

y 2 2 y ] 2 x 2

1 _{dy =} 4_∫

0 2

1 _{6y– y}2

)2 – (y2 – 2y)2 dy

= 4∫

0 2 y 32 2

1 _{– 8y}3

)dy =

2 1_[

3 32_y3

– 2y4]

4 0

=

3 256

3. Hitung ∫∫ (x + y) dy dx pada daerah yang dibatasi parabola y = 6x – x2 dan garis lurus y = x Jawab:

Titik potong parabola dan garis tersebut:

6x – x2 = x → x2 – 5x = 0 → x(x – 5) = 0 → x = 0 dan x = 5 Jadi titik potongnya di (0, 0) dan (5, 5) . Lihat gambar.

Batas integral untuk X : kiri x = 0 dan kanan x = 5

Batas integral untuk Y : atas y = 6x – x2 dan bawah y = x

∫∫ +

S

dx dy ) y x

( = ∫ −∫ +

2

x x 6

x 5 0

dx dy ) y x

( = 5∫ + −

0

x x 6

x 2 2

1_{y ] dx}

xy [

2 Y

a b

S

X y2 = f2 (x)

y1 = f1 (x)

x = 6y – y2

x = y2 – 2y

-1 3 5 8 9

1 2 3 4 5

y = 6x – x2

0 3 5 6

9

5

y = x

26

= 5∫ − + − + − +

0

2 2 1 2 4 3 2 2 1 3

2 _{x (36x 12x x ) (x x )}dx}

x 6 {

= ∫ − + =

5

0 4

625 2

2 45 3 4 2

1_{x 7x x )dx}

(

3.2 Luas Daerah Tertutup

Terdapat suatu daerah tertutup S yang dibatasi oleh kurva K1 dan K2

seperti pada gambar. Daerah S tersebut dapat dibagi dalam n

bagian garis sejajar sumbu X dan n bagian garis sejajar sumbu Y

sehingga terdapat banyak segiempat kecil dengan panjang sisi ∆xi

dan ∆yi dimana

∆xi = xi – xi-1 dan ∆yj = yj – yj-1

Luas segiempat kecil tersebut = ∆xi∆yj

Luas pendekatan seluruh daerah S didapat dari hasil penjumlahan: ∑

= ∆ ∆

∑

=

n 1

i j

y i x m

1 j

Untuk n →∞ dan m →∞ diperoleh ∑

= ∆ ∆

∑

= ∞ →∞ →

n 1

i j

y i x m

1 j m

n

lim = ∫∫

S dy dx

Ternyata luas suatu daerah tertutup adalah harga integral lipat dua dimana f(x, y) = 1

Jadi luas daerah tertutup S adalah L = ∫∫

S dy dx

Contoh:

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 2 – x2 dan garis y = x Jawab:

Titik potong parabola dan garis tersebut:

2 – x2 = x → x2 + x – 2 = 0 → (x + 2)(x – 1) = 0 → x = 1 dan x = – 2 Jadi titik potongnya di (1, 1) dan (– 2, – 2) . Lihat gambar.

Batas integral untuk X : kiri x = – 2 dan kanan x = 1

Batas integral untuk Y : atas y = 2 – x2 dan bawah y = x

∫∫

S dx

dy = ∫ −∫

−

2 x 2

x dx dy 1

2

= ∫

−

−

1 2

dx 2 x 2

x ] y [

= ∫

− − −

1 2

dx ) x 2 x 2

( =

6

27 _{satuan luas}

Y

c d

S

X

segi empat

K1

K2

y = 2 – x2

(1,1)

(-2, -2) y = x

(0, 0) (0,2)

27

3.3 Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Kutub

Misal S daerah tertutup pada bidang datar yang dibatasi kurva K.

Daerah subbagian ∆Sk dibatasi lingkaran dengan jari-jari ri dan

Jika terdapat fungsi F(r, θ) dalam S maka terbentuk:

F(r, θ) [ ri ∆ri∆θj + ₂1∆ri

Luasan yang dicari, PQSRP, simetris terhadap sumbu X

Jadi luas daerah PQSRP:

28

3.4 Integral Lipat Dua Pada Ruang 3D

a. Volume Benda

Andaikan fungsi f(x, y) kontinu dan berharga tunggal untuk x dan y

dalam S maka S = f(x, y) menyatakan suatu luasan. Luasan ini

dipotong oleh silinder sejajar sumbu-Z dengan alas S dan atas S'.

Ditarik garis-garis sejajar sumbu-Y dengan jarak

∆

x dan juga ditarik

garis-garis sejajar sumbu-X dengan jarak

∆

y. Melalui garis-garis

tersebut dibuat bidang-bidang datar yang masing-masing sejajar

bidang YOZ dan XOZ. Terjadilah prisma-prisma tegak kecil, misalnya

ABCD.PQRT yang mempunyai volume = f(x,y)

∆

x

∆

y

Jumlah seluruh volume prisma kecil tersebut =

∑

∑

f(x,y)

∆

x

∆

y yang merupakan pendekatan

volume silinder. Jika diambil

∆

x

→

0 dan

∆

y

→

0 maka didapat:

0 y 0

xlim

→ ∆ →

∆

∑

∑

f(x,y)

∆

x

∆

y =

∫∫

f(x,y) dx dy

Jadi volume benda berbentuk silinder : V =

∫∫

S

f(x,y) dx dy

Contoh:

Hitung volume benda yang dibatasi silinder x2 + y2 = 4, bidang y + z = 4 dan bidang z = 0

Jawab:

Volume yang akan dihitung terletak di bawah permukaan z = 4 – y dan di atas bidang XOY sedangkan di kiri kanan dibatasi silinder

x

2

+ y

2

= 4

V = ∫

−

− −

∫

−

2 y 4

2 y 4

dy dx z 2

2

= ∫

−

− −

−

∫

−

2 y 4

2 y 4

dy dx ) y 4 ( 2

2

= ∫

− −

∫

−

2 y 4

0

dy dx ) y 4 ( 2

2 2

V = dy

2 y 4

0 x ) y 4 ( 2

2 2

− −

∫

−

= 2(4 y) 4 y2dy 2

2 ∫ − −

−

Misal: y = 2 sin A, maka

=

4−y2 = 4−4sin2A= 2 cos A dan dy = 2 cos A dA Batas y = – 2 menjadi A = –

2

π _{dan y = 2 menjadi A =}

2

π_{. Sehingga volume menjadi}

V = 2(4 2sinA)2cosA2cosAdA 2

2 ∫ −

π

π −

= 2(4 2sinA)cos2AdA 2

8 ∫ −

π

π −

Y

S

A B

S'

C D P _Q

R T

X Z

Y

29

3.5 Integral Lipat Tiga

Integral lipat 3 ∫∫∫

f dari suatu fungsi 3 variabel bebas terhadap daerah tertutup R,

bervolume V, dimana fungsi bernilai tunggal dan kontinu, merupakan pengembangan dari integral tunggal

dan lipat dua.

Jika f(x, y, z) = 1, maka integral menjadi ∫∫∫

R

dVadalah volume daerah R

Dalam sistem koordinat kartesian, integral lipat tiga menjadi:

30

TUGAS MANDIRI BAB III

Tugas Subbab 3.1

1. Hitung ∫∫

S

x_dxdy

ye pada daerah yang dibatasi sumbu x, sumbu y, x = 1 dan garis y = x

2. Hitung ∫∫

S

2_dydx

xy pada daerah yang dibatasi parabola y = x2, garis lurus y = x, x = 1 dan x = 2

3. Hitung a. ∫

+ ∫ 2x

x 2

3 1

dx dy ) y x (

1

e. π∫ ∫

y sin

0 0

dy dx

b. π∫ ∫

π

3

2 y

0 y

x _dxdy

cos f. ∫ ∫ +

−_x2 1

0

2 2 1

0

dx dy ) y x (

c. ∫ ∫ − −

−_x2 1

0

2 2 1

0

dx dy y x

1 g. ∫ 1∫

y 2 1

0

dy dx x sin

d. π∫ − ∫ θ θ

cos 1

0 0

d dr

r h. ∫ ∫

π ₂

2 x

0 x

y 1

dx dy sin

Tugas Subbab 3.2

Hitung luas daerah yang dibatasi kurva-kurva di bawah ini menggunakan integral lipat dua

1. y = 4x – x2 dan y = x 3. y2 = 4x dan x = 12 + 2y – y2 5. y2 = 9 + x dan y2 = 9 – 3x 2. y2 = 4x dan 2x – y = 4 4. y2 = 2x dan x2 + y2 = 4x

Tugas Subbab 3.3

Hitung luas dengan integral lipat dua untuk soal berikut:

1. Luas daerah di dalam lingkaran x = 3 cos θ dan di luar lingkaran r = cos θ

2. Luas daerah di dalam kardioda r = 1 + cos θ dan di luar parabola r (1 + cos θ) = 1

3. Luas daerah yang dibatasi oleh lemniskat r2 = a2 cos 2θ Tugas Subbab 3.4

1. Hitung volume benda di depan bidang YOZ dan dibatasi oleh y2 + z2 = 4 dan y2 + z2 + 2x = 16 2. Hitung volume benda di bawah 4z = 16 – 4x2 – y2 di atas z = 0 dan di dalam silinder x2 + y2 = 2x 3. Hitung volume benda di kuadran satu terletak di dalam y2 + z2 = 9 dan di luar y2 = 3x

Tugas Subbab 3.5

1. Hitunglah ∫∫∫

R

dV ) x (

f dengan f(x) = x2 + y2 + z2 dan R adalah daerah yang dibatasi oleh x + y + z = 10, x = 0, y = 0, dan z = 0

2. Hitunglah volume dari R yang dibatasi oleh silinder z = 4 – x2 dan bidang-bidang x = 0, y = 0, y = 6, dan z = 0

3. Hitung integral lipat tiga dari f(x, y, z) = z terhadap daerah R yang terletak di kuadran pertama