ANALISIS DAN PEMODELAN ALIRAN AIR
TANAH MENGGUNAKAN FINITE
DIFFERENCE METHOD BERBASIS
BAHASA PEMROGRAMAN PYTHON
Febby K. Hartono, Viska Noviantri, dan Fredy Purnomo
Matematika dan Teknik Informatika School of Computer Science
Bina Nusantara University
Kebon Jeruk Raya No. 27, Jakarta, Indonesia febby.kh@gmail.com
ABSTRACT
In daily life, groundwater is one of main resources to fulfill the needs of clean water. Other
than that, groundwater also had economical value. The groundwater with good quality will
be taken by industry and they will make mineral bottle water with that. The purpose of this
study is to design a program that can do calculation for groundwater flow models using
finite difference method, example calculate the hydraulic head. The groundwater flow
models derived from Darcy’s Law and continuity equation. The program development will
help many areas that needed the calculation such as for industrial and agricultural and also
students who want to do research about this material again. From the study that been done,
the result was close enough to the dummy data.
(FKH)
Keywords: Groundwater Flow, Finite Difference Method, Darcy’s Law, Hydraulic Head.
ABSTRAK
Dalam kehidupan sehari-hari air tanah digunakan sebagai salah satu sumber untuk
memenuhi kebutuhan air bersih. Selain itu air tanah juga memiliki nilai ekonomis, air tanah
yang baik kualitasnya diambil dan dijadikan untuk air minum dalam kemasan. Tujuan
penelitian ini adalah untuk merancang sebuah program yang dapat melakukan perhitungan
untuk aliran air tanah dengan menggunakan metode finite difference, contohnya untuk
menghitung hydraulic head. Persamaan aliran air tanah ini didapatkan dengan
menggabungkan persamaan dari Darcy’s Law dan persamaan kontinuitas. Pembuatan
program yang dapat melakukan perhitungan untuk aliran air tanah dapat membantu
pihak-pihak yang membutuhkan dan peneliti berikutnya untuk mendapatkan informasi mengenai
keberadaan air tanah. Melalui penelitian yang telah dilakukan maka didapatkan hasil yang
cukup sesuai dengan data sekunder yang ada.
(FKH)
Kata Kunci: Aliran Air Tanah, Metode Finite Difference, Darcy’s Law, Hydraulic Head.
PENDAHULUAN
Air adalah sumber kehidupan yang sangat penting bagi seluruh makhluk hidup, tidak hanya manusia, melainkan juga tumbuhan dan hewan. Bagi manusia, air digunakan untuk memenuhi kebutuhan cairan tubuh, selain itu air juga dibutuhkan untuk melakukan kegiatan sehari-hari seperti memasak, mandi, dan mencuci pakaian. Dalam bidang industri dan pertanian, air dapat berguna sebagai sumber energi dan juga dapat digunakan untuk irigasi. Air tanah merupakan salah satu sumber air bersih yang dapat digunakan oleh manusia untuk memenuhi kebutuhannya.
Selain sebagai sumber air bersih, air tanah juga digunakan untuk memenuhi kebutuhan bisnis, sehingga air tanah memiliki nilai ekonomis yang tinggi. Contohnya, air tanah dengan kualitas yang baik akan diambil untuk dijual sebagai air minum dalam kemasan. Karena memiliki nilai ekonomis ini, pembuatan sumur bor dan pengambilan air tanah terkadang dilakukan secara berlebihan dan sembarangan oleh pihak-pihak yang tidak mengerti mengenai letak sumber air dan aliran air tanah, mereka tidak memperhatikan akibat dari tindakannya kepada lingkungan. Pemodelan aliran air tanah butuhkan agar pihak-pihak yang tidak mengerti akan hal tersebut menjadi tahu dan tidak lagi sembarangan dalam membuat sumur untuk mengambil air tanah tersebut. Dengan pemodelan ini akan dapat diketahui pada titik mana terdapat air yang banyak.
Sebelumnya, Magnus. U Igboekwe (2011) dalam jurnalnya menulis mengenai persamaan aliran air tanah menggunakan metode finite difference. Dalam jurnal ini dijelaskan mengenai dasar dari persamaan aliran air tanah dan metode finite difference. Akhter, Ahmad, dan Khan (2006) dalam jurnalnya menulis mengenai pemodelan aliran air tanah menggunakan metode finite difference dalam Microsoft Excel. Kamkar Rouhani (2008) dalam jurnalnya menjelaskan persamaan aliran air bawah tanah, namun belum ada pembahasan lebih jelas mengenai bagaimana cara perhitungan lebih lanjutnya.
Pemodelan matematika untuk aliran air tanah diperoleh dengan menggabungkan persamaan dari Darcy’s Law dengan persamaan kontinuitas. Kemudian perhitungan untuk pemodelan ini akan diselesaikan dengan menggunakan metode finite difference (metode beda hingga). Ada dua batasan yang akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini, yaitu Dirichlet boundary dan Neumann
boundary.
METODE PENELITIAN
Metode penelitian dalam penelitian ini dibagi menjadi beberapa bagian, yaitu dimulai dengan studi literatur, mengidentifikasi masalah yang ada, membuat pemodelan matematika, membuat solusi matematika dari pemodelan tersebut, membuat perangkat lunak, melakukan simulasi, dan melakukan analisis terhadap hasil simulasi, apabila hasil sudah valid maka proses selesai, apabila tidak maka akan dicek kembali formulasinya.
Metode perancangan program yang akan digunakan untuk merancang perangkat lunak adalah
extreme programming. Extreme programming dipilih karena pengembangan akan dilakukan sesuai
dengan kebutuhan setelah perencanaan awal telah selesai terlebih dahulu.
Dapat dilihat pada Gambar 1 bahwa pada perancangan use case diagram dalam penelitian ini memiliki satu actor, yaitu user. User dapat memilih jenis batas untuk setiap sisi, memasukkan nilai batas di setiap sisi dan jumlah dimensi yang diinginkan, menampilkan hasil kalkulasi, memilih jenis tampilan hasil kalkulasi, memilih jenis warna untuk grafik, menyimpan hasil kalkulasi dan membandingkan hasil kalkulasi.
HASIL DAN BAHASAN
Solusi Persamaan Aliran Air Tanah
Persamaan aliran air tanah didapatkan dengan menggabungkan persamaan kontinuitas dimana perubahan penyimpanan berasal dari selisih aliran air yang masuk dan yang keluar, dapat dilihat pada persamaan berikut:
(1) Untuk sebagian kecil dari akuifer, maka persamaan kontinuitas dapat dinyatakan:
(2) Dengan menggabungan persamaan Darcy dan persamaan kontinuitas, maka akan dihasilkan persamaan umum untuk aliran air tanah.
(3) Dimana adalah specific storage (nilai ini dapatkan dengan membagi koefisien penyimpanan dengan ketebalan akuifer ), adalah Darcy flux, adalah hydraulic head, adalah waktu, dan adalah sumber lainnya. Substitusikan pada Darcy’s law agar persamaan dapat dihubungkan dengan persamaan aliran air tahan. Kemudian persamaan akan menjadi:
(4) (5) Bagi persamaan (5) dengan dan misalkan sebagai , sehingga persamaan akan menjadi:
(6) Pada penelitian ini akan dibahas mengenai model aliran air steady state saja. Model steady
state berlaku untuk lapisan yang homogen. Untuk model aliran air steady state biasanya digunakan
persamaan Laplace seperti pada persamaan (7). Sehingga persamaan untuk aliran air tanah dengan keadaan steady state dan berada pada bidang dua dimensi dapat dilihat pada persamaan (8).
(7) (8)
Skema Metode Finite Difference
Solusi untuk persamaan aliran air tanah dengan model aliran steady state dapat diselesaikan dengan menggunakan metode finite difference. Akan digunakan metode five stencil point untuk mendapatkan nilai tiap titik pada grid atau pada matriks. Pada metode ini, untuk mendapatkan nilai pada titik , maka akan dibutuhkan nilai dari empat titik lain yang berada disekitar titik , yaitu
Gambar 2 Skema Five Stencil Point
Dengan menggunakan aproksimasi central difference orde dua, dan mengasumsikan bahwa maka persamaan yang akan digunakan untuk menjadi dasar perhitungan adalah
(9) Untuk menyelesaikan perhitungan ini akan dilakukan proses pembuatan aplikasi yang menggunakan bahasa pemrograman Python. Skema yang dibuat akan mengalami sedikit perubahan untuk menyesuaikan dengan aplikasi dalam Python. Perbedaan ini dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1 Perbedaan Skema Asli dan Skema Dalam Python
Skema Asli Skema dalam Python
Untuk nilai-niai batas yang akan digunakan untuk perhitungan, dapat dilihat pada Gambar 3. Gambar 4 menunjukkan matriks untuk skema asli dan Gambar 5 menunjukkan matriks untuk skema dalam Python. Ada dua jenis nilai batas yang dapat dimasukkan ke dalam persamaan untuk setiap sisi, yaitu syarat batas Dirichlet dan syarat batas Neumann.
North West East
South
Gambar 3 Syarat Batas Untuk Setiap Sisi
? ? ?
2 ? ? ?
1 ? ? ?
0
0 1 2
0
1 ? ? ?
2 ? ? ?
? ? ?
0 1 2
Gambar 5 Bentuk Matriks Untuk Python
Untuk titik-titik lain yang berada di dalam dan tidak berada di pinggir dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (9) untuk perhitungan menggunakan aplikasi yang berbasis bahasa pemrograman Python. Untuk titik yang berada pada dan , akan dihitung dengan menggunakan skema persamaan khusus, berdasarkan syarat nilai batas yang dimasukkan. Untuk titik-titik yang berada diantara dua syarat batas, dengan menggunakan Python nilainya dihitung dengan menggunakan skema persamaan ini:
(10) (11) (12) (13)
Untuk sisi dengan syarat batas Dirichlet, maka nilai untuk batas-batasnya adalah
• Untuk syarat batas di sebelah utara, dengan dan , maka bentuk skema persamaannya adalah (14)
• Untuk syarat batas di sebelah timur, dengan dan , maka bentuk skema persamaannya adalah (15)
• Untuk syarat batas di sebelah selatan, dengan dan , maka bentuk skema persamaannya adalah (16)
• Untuk syarat batas di sebelah barat, dengan dan , maka bentuk skema persamaannya adalah (17)
Untuk sisi dengan syarat batas Neumann, maka nilai untuk batas-batasnya adalah
• Untuk syarat batas di sebelah utara, dengan dan , maka bentuk skema
persamaannya adalah (18)
• Untuk syarat batas di sebelah timur, dengan dan , maka bentuk skema
persamaannya adalah (19)
• Untuk syarat batas di sebelah selatan, dengan dan , maka bentuk skema
persamaannya adalah (20)
• Untuk syarat batas di sebelah barat, dengan dan , maka bentuk skema
persamaannya adalah (21)
Persamaan (14) sampai dengan persamaan (21) kemudian akan dibuat kombinasi perhitungannya sesuai dengan kemungkinan kombinasi jenis batasan yang mungkin dipilih.
Penyusunan Program
Aplikasi perhitungan ini dibuat dengan menggunakan bahasa pemrograman Python. User
interface dirancang dan disusun dengan menggunakan QtDesigner. Penyusunan program ini dilakukan
dengan metode extreme programming, dimana program akan dibuat sesuai dengan kebutuhan awal yang dibutuhkan, kemudian akan dilakukan pembaruan dan penambahan apabila dibutuhkan.
Tampilan user interface yang dibuat berdasarkan delapan aturan emas yang dibuat oleh Ben Sheniderman. Berikut ini merupakan analisa terhadap delapan aturan emas tersebut.
User interface dibuat dengan konsisten dengan penggunaan jenis huruf dan penempatan yang
sama, agar user merasa tetap berada pada halaman yang sama. Perubahan bentuk halaman pada bagian “Boundary Side” dengan menambahkan slider untuk melakukan input dan juga pada bagian “Boundary” dengan merubah kotak dibawah jenis boundary yang telah dipilih menjadi spin box. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 6 dan Gambar 7.
Gambar 6 Tampilan Halaman Untuk Memilih Jenis Batas
Gambar 7 Tampilan Halaman Untuk Memasukkan Nilai Batas
Program ini dapat digunakan oleh setiap jenis pengguna, ketika user akan masuk ke dalam perhitungan maka muncul halaman yang menunjukkan bagaimana cara menggunakan program ini dan juga ada penjelasan singkat mengenai aliran air tanah. Cara penggunaan program dapat dilihat pada Gambar 8 dan penjelasan singkat dapat dilihat pada Gambar 9.
Gambar 9 Penjelasan Singkat Mengenai Aliran Air Tanah
Program ini juga memberikan umpan balik yang cukup informatif dengan memberikan pemberitahuan apabila ada jenis batas yang belum dipilih. Pesan yang dimunculkan dapat dilihat pada Gambar 10.
Gambar 10 Umpan Balik Pada Halaman “Choose Boundary”
Pada akhir program akan muncul pilihan bagi user untuk melakukan perhitungan kembali atau keluar dari program. Hal ini dapat dilihat pada tampilan yang muncul di akhir pada Gambar 11.
Gambar 11 Keadaan Akhir
Program dibuat sehingga user hanya dapat memasukkan angka pada halaman Input Boundary,
user tidak dapat memasukkan inputan selain angka. Selain itu, disediakan spin box untuk melakukan
perubahan angka. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 12.
Gambar 12 Kotak Spin Box Untuk Memasukkan Perubahan Angka
User dapat melakukan perubahan jenis dan nilai batasan dengan berpindah ke halaman yang
diinginkan dengan menekan tombol “Back” yang tersedia pada halaman yang ada. Contoh tombol “Back” dapat dilihat pada Gambar 13.
Gambar 13 Tombol “Back” Pada Halaman Input
Untuk mengurangi beban ingatan jangka pendek, maka user dapat melihat jenis batas dan juga nilai yang telah dimasukkan sebelumnya pada setiap halaman. Contohnya dapat dilihat pada Gambar 14.
Gambar 14 Tampilan Nilai yang Telah Dimasukkan Pada Halaman Result
Validasi Program
Pada data simulasi ini, perhitungan dilakukan untuk suatu permasalahan dimana syarat batas pada setiap sisinya adalah syarat batas Dirichlet. Nilai dari syarat batas dapat dilihat pada Gambar 15. Dimensi dari perhitungan adalah 5 (lima). Sehingga akan dibuat matriks dengan ukuran panjang dan lebar sama, yaitu 5 (lima). Perhitungan ini dilakukan oleh program yang telah dibuat.
North
West East South
Gambar 15 Ilustrasi Syarat Batas Untuk Data Simulasi 1
Hasil perhitungan akan dihitung dengan menggunakan metode numerik dan akan masuk ke dalam matriks tersebut. Nilai-nilai yang berada pada matriks menunjukkan jumlah air yang berada pada suatu lapisan tanah. Hasil pada data sekunder pada jurnal dapat dilihat pada Tabel 2 dan hasil data perhitungan menggunakan program dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 2 Matriks Hasil Pada Jurnal 0 1 2 3 4 0 87.50 100.00 100.00 100.00 75.00 1 75.00 78.55 76.10 69.64 50.00 2 75.00 63.09 56.20 52.44 50.00 3 75.00 42.72 33.18 33.91 50.00 4 37.50 0.00 0.00 0.00 25.00
Tabel 3 Matriks Hasil Pada Program
0 1 2 3 4 0 87.50 100.00 100.00 100.00 75.00 1 75.00 78.57 76.12 69.64 50.00 2 75.00 63.17 56.25 52.46 50.00 3 75.00 42.86 33.25 33.93 50.00 4 37.50 0.00 0.00 0.00 25.00
Kemudian kedua grafik tersebut dapat dibandingkan. Perbandingan data dapat dilihat pada Gambar 16. Karena perbedaan nilai yang kecil, maka nilai error dibandingkan dan dapat dilihat pada Gambar 17. Pada Gambar 17 dapat dilihat bahwa nilai error terkecilnya adalah dan error terbesarnya adalah . sedangkan nilai error rata-ratanya adalah Sehingga dapat dikatakan bahwa hasil perhitungan sudah mendekati nilai yang diinginkan karena nilai error yang kecil.
Gambar 16 Perbandingan Nilai Data Jurnal dan Data Perhitungan
Melalui hasil perhitungan yang telah dilakukan oleh program, maka dihasilkan grafik yang dapat dilihat pada Gambar 18. Dari grafik ini dapat dilihat bahwa lapisan yang mendekati ke bagian utara dan bagian barat memiliki jumlah air yang banyak.
Gambar 18 Grafik Hasil Perhitungan
Pada data simulasi ini, perhitungan dilakukan untuk suatu permasalahan dimana syarat batas pada setiap sisinya adalah gabungan syarat batas Dirichlet dan syarat batas Neumann. Nilai dari syarat batas dapat dilihat pada Gambar 19. Dimensi dari perhitungan adalah 5 (lima). Sehingga akan dibuat matriks dengan ukuran panjang dan lebar sama, yaitu 5 (lima). Perhitungan ini dilakukan oleh program yang telah dibuat.
North
West East
South
Gambar 19 Ilustrasi Syarat Batas Untuk Data Simulasi 2
Hasil perhitungan akan dihitung dengan menggunakan metode numerik dan akan masuk ke dalam matriks tersebut. Nilai-nilai yang berada pada matriks menunjukkan jumlah air yang berada pada suatu lapisan tanah. Hasil pada data sekunder pada jurnal dapat dilihat pada Tabel 4 dan hasil data perhitungan menggunakan program dapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 4 Matriks Hasil Pada Jurnal Iterasi Pertama
0 1 2 3 4 0 100.0 57.97 25.31 9.98 7.848 1 200.0 65.94 21.64 7.305 5.715 2 200.0 63.75 20.63 7.578 6.25 3 200.0 55.0 18.75 9.688 7.844 4 110.0 20.0 20.0 20.0 10.0
Tabel 5 Hasil Pada Program Iterasi Pertama 0 1 2 3 4 0 100.0 25 6.25 1.5625 2.78125 1 200.0 56.25 15.625 4.296875 4.84375 2 200.0 64.0625 19.92188 6.054688 6.238281 3 200.0 71.01563 27.73438 13.44727 12.7832 4 110.0 20.0 20.0 20.0 10.0
Kemudian kedua grafik tersebut dapat dibandingkan. Perbandingan data dapat dilihat pada Gambar 20. Pada Gambar 21 dapat dilihat bahwa bentuk grafik untuk kedua nilai sudah hampir sama, oleh karena itu data sudah cukup akurat.
Gambar 20 Perbandingan Data
Melalui hasil perhitungan yang telah dilakukan oleh program, maka dihasilkan grafik yang dapat dilihat pada Gambar 21. Dari grafik ini dapat dilihat bahwa pada lapisan yang lebih dekat kea rah barat memiliki jumlah air yang lebih banyak.
Gambar 21 Grafik Hasil Perhitungan Program
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Persamaan aliran air tanah didapatkan dengan menggabungkan persamaan dari Darcy’s Law dan persamaan kontinuitas. Salah satu kegunaan dari persamaan ini adalah dapat digunakan untuk menentukan ketinggian air pada suatu bidang. Persamaan aliran air tanah yang dibuat bersifat steady
state, dimana daerah yang diperhatikan berada dalam satu lapisan tanah dan bersifat isotropik (tidak
ada aliran air yang keluar dari dalam area lingkupan).
Pemodelan aliran air tanah diselesaikan secara numerik dengan metode finite difference yang dapat digunakan untuk membantu proses kalkulasi. Proses kalkuasi dilakukan oleh program yang dibuat dengan menggunakan bahasa pemrograman Python, karena perhitungan secara manual akan memakan waktu yang sangat banyak dan akan merepotkan.
Berdasarkan dari data sekunder yang diperoleh dari jurnal yang dibuat oleh Ambar K. Mitra dan hasil perhitungan yang telah dilakukan, dapat diketahui bahwa aliran air tanah dengan keadaan
steady state dan semua sisinya memiliki syarat batas Dirichlet, hasilnya sudah mendekati dengan data
sekunder dengan nilai error yang didapatkan berada di antara sampai dengan . Nilai error rata-ratanya adalah . Dengan nilai error tersebut maka program sudah dapat diterima.
Saran
Saran yang dapat diberikan untuk penelitian selanjutnya adalah sebagai berikut:
1. Untuk penelitian berikutnya, diharapkan peneliti dapat menjelaskan mengenai aliran air tanah dalam keadaan transient atau unsteady.
2. Untuk penelitian berikutnya, diharapkan peneliti dapat membuat persamaan aliran air tanah dalam beberapa lapisan tanah yang berbeda.
3. Untuk penelitian berikutnya, diharapkan simulasi yang dibuat akan lebih baik lagi, dimana bentuk tampilan lebih interaktif dan menunjukkan tiap lapisan tanah.
REFERENSI
[1] Abolghasem Kamkar-Rouhani. (2007). 2D Modelling Of Groundwater Flow Using Finite
Element Method In An Object-Oriented Approach. IMWA Symposium 2007: Water in Mining
Environments, R. Cidu & F. Frau (Eds), 27th - 31st May 2007.
[2] Abolghasem Kamkar-Rouhani. (2008). A Finite Difference Groundwater Modelling and
Comparison of the Results with Those Obtained Using Finite element modelling approach.
IMWA Symposium 2008.
[3] Ambar K. Mitra. Finite Difference Method for the Solution of Laplace Equation. Department of Aerospace Engineering. Iowa State University.
[4] Causon, D. M. & Mingham, C. G.. (2010). Introductory Finite Difference Methods for PDEs. Ventus Publishing ApS.
[5] G. Halik & Jojok W. S. (2008). Pendugaan Potensi Air Tanah Dengan Metode Geolistrik
Konfigurasi Schlumberger Di Kampus Tegal Boto Universitas Jember. Media Teknik Sipil, Juli
2008, 109-114.
[6] Magnus. U. Igboekwe, N. J. Achi. (2011). Finite Difference Method of Modelling Groundwater
Flow. Journal of Water Resource and Protection, 3, 192-198.
[7] Mahmud, Mahadzer. (1996). Spreadsheet Solution to Laplace’s Equation: Seepage and Flow
Net. Jurnal Teknologi (Universiti Teknologi Malaysia), 25, 53-67.
[8] Pressman, R. S. (2011). Software Engineering: a practitioner's approach. New York: McGraww-Hill Higher Education.
[9] Shneiderman, B., & Plaisant, C. (2010). Designing the User Interface: Strategies for Effective
Human-Computer Interaction. New York: Addison-Wesley.
[10] Sianipar, R.H. & Wadi, Hamzan. (2015). Pemrograman Python (Teori dan Implementasi). Bandung: Informatika.
[11] Wang, Herbert F. & Wang, Mary P. Anderson. (1995). Introduction to Groundwater Modelling
(Finite Difference and Finite Element Methods). Academic Press.
[12] Whitten, J. L., & Bentley, L. D. (2007). Systems Analysis & Design Methods (7th ed.). New York: McGraw-Hill.
RIWAYAT PENULIS
Febby Kurniadi Hartono lahir di kota Jakarta pada 11 Februari 1993. Penulis menamatkan pendidikan S1 di Universitas Bina Nusantara dalam bidang Teknik Informatika dan Matematik pada 2015.
