SIMULASI TINGGI HIDRAULIK PADA ALIRAN AIR DALAM TANAH DUA DIMENSI MENGGUNAKAN METODE ELEMEN HINGGA
BAYU CAHAYA NUGRAHA
ABSTRAK
Penelitiani ini merepresentasikan simulasi tinggi hidraulik aliran air tanah untuk sistem satu dimensi dan dua dimensi. Tinggi hidraulik adalah perbedaan dari elevasi muka air tanah. Model matematika aliran air tanah steady-state digunakan untuk memprediksi tinggi hidraulik. Solusi numerik dihitung dengan menggunakan metode elemen hingga. Hasil simulasi tinggi hidraulik untuk sistem satu dimensi divalidasi dengan solusi eksak. Hasil dari pengujian sistem menunjukkan error yang paling kecil pada metode elemen hinga satu dimensi adalah 4.2%, dengan jumlah elemennya 199 elemen. Hasil simulasi sistem dua dimensi memperlihatkan distribusi tinggi hidraulik yang dapat menunjukkan arah aliran air tanah dan kuantitas air dalam tanah.
Kata Kunci : aliran air tanah, tinggi hidraulik , metode elemen hingga, model aliran air tanah, simulas
1. PENDAHULUAN
Air dalam tanah mengalir melalui pori-pori yang berada pada tanah. Kemampuan tanah untuk meresap air disebut daya resapan (permeabilitas). Permasalahan resapan air dalam tanah cukup penting dalam bidang geoteknik. Misalnya permasalahan pada pembuatan tanggul atau bendungan untuk menahan air, juga penggalian pondasi pada permukaan air tanah.
Alian air dalam tanah mengalir dikarenakan adanya perbedaan tinggi hidraulk, dimana tinggi hidraulik adalah perbedaan dari elevasi muka air tanah. Simulasi aliran air bawah tanah dilakukan untuk mengetahui arah aliran air di dalam tanah. Selain itu, simulasi ini digunakan untuk memprediksikan letak berkumpulnya air yang berada dalam air tanah.
Pada penelitan yang sudah dilakukan oleh peneliti lain dengan menggunakan metode beda hingga, terdapat kekurangan dalam penggunaan metode beda hingga yaitu pada diskritisasi ruang. Pada metode beda hingga hanya menggunakan diskritisasi ruang segiempat saja [12]. Penelitian aliran air bawah tanah juga dapat dilakukan dengan menggunakan metode volume hingga. Metode volume hingga dapat menghitung tinggi hidraulik untuk grid tanah yang tak beraturan [13]. Tetapi untuk menghitung tinggi hidraulik pada grid yang tak beraturan sangat sulit. Sehingga pada penelitian ini akan menggunakan metode elemen hingga. kelebihan dari metode elemen hingga pada diskritisasi ruang. Diskritisasi ruang pada metode elemen hingga bisa berbentuksegitiga, segiempat, dst. Metode elemen hingga juga dapat membagi peta tanah ke dalam bentuk elemen-elemen. Elemen-elemen tersebut dapat memprediksikan tinggi hidraulik.
TINJAUAN PUSTAKA
Air yang mengalir masuk pasti akan mengalir keluar juga, dalam hal ini hukum kekekalan massa bisa digunakan untuk membentuk sebuah model aliran air tanah [3]. Dengan aliran masuk sama dengan aliran keluar. Aliran air masuk adalah densitas air dikalikan dengan kecepatai air
, , x y z
v
.
Sedangkan untuk aliran air keluar dengan menggunakan deret Taylor orde satu maka akan menghasilkan
(
)
x xv
v
x
.x x
h
v
k
x
.Sehingga untuk model aliran air tanah steady-state adalah
0
xh
k
x
x
Sedang kan untuk dua dimensi adalah
0
x yh
h
k
k
x
x
y
y
Dimanatinggi hidraulik (meter)
konduktivitas hidraulik setiap elemen (meter/detik) METODE ELEMEN HINGGA
Metode elemen hingga adalah prosedur numerik yang dapat menyelesaikan masalah teknik untuk mencari solusi pada persamaan diferensial biasa maupun persamaan diferensial parsial. Metode ini mempunyai dua subdivisi utama yaitu : membentuk elemen disktrit yang akan digabungkan untuk membentuk suatu mesh, dan menggunakan gabungan elemen-elemen tersebut untuk mencari solusi aproksimasi dalam masalah aliran air dalam tanah [10].
Metode Elemen Hingga Satu Dimensi
Bentuk dari metode elemen hingga satu dimensi berbentuk lurus dengan panjangnya adalah . Untuk membetuk suatu elemen membutuhkan dua titik. Garis di antara titik tersebut akan membentuk garis linier. Maka persamaan linier tersebut dapat dituliskan sebagai berikut
h
a bx
hi Xi Xj h x i j hjGambar 41 elemen linier satu dimensi
Gambar 1 menunjukkan bagaimana cara mencari tinggi hidraulik pada setiap titik satu dimensi dengan mencari nilai dan nilai , dengan mengetahui nilai dan nilai maka dapat dihasilkan
j i i j
X
x
x
X
h
h
h
L
L
yang bisa disederhanakan menjadi
i
N
i jN
jh
h
h
Metode Elemen Hingga Dua Dimensi
Hampir sama dengan metode elemen satu dimensi, hanya saja pada elemen dua dimensi berbentu bangun datar segitiga dimana elemen liner pada dua dimensi menjadi
1 2 3
i j k X Y h
Gambar 42 Elemen linier dua dimensi
Pada Gambar 2 menunjukkan elemen linier dua dimensi disetiap titiknya mempunyai solusi tinggi hidraulik. Dengan mencari nilai tinggi hidraulik tersebut maka akan menghasilkan
i i j j k k
h
N
h
N h
N
h
, dimana
1
2
i i i iN
a
b x c y
A
,1
2
j j j jN
a
b x c y
A
,
1
2
k k k kN
a
b x c y
A
. WEIGHTED RESIDUALDalam weighted residual akan mengintegralkan suatu weighting function dikalikan dengan fungsi residual dimana funsi residual adalah nilai hampiran dari model aliran air tanah
0W x R x dx
.dddweighting function dipilih dengan menggunakan metode Galerkin, dimana weighting function W x
akan sama dengan shape function Ni, maka akan menghasilkan persamaan berikut ( ) 2 2
0
s r X e e s x Xd h
N
k
dx
dx
Persamaan tersebut diturunkan yang menjadi
s e e r X e e e e i s x X
dN
dh
R
k
dx
dx
dx
e e i i SF
N qds
Fungsi yang paling kanan pada turunan pertama adalah aliran air yang masuk atau keluar
e i F . e i F
bernilai positif jika aliran masuk kedalam titik, dan
e i
F
bernilai negatif jika aliran keluar titik.
e s
R akan
diturunkan menjadi matriks stiffness untuk setiap elemen, lalu matriks stiffness akan digabung yang akan menjadi matriks stiffness untuk sistem global.
Tabel 21 Skenario satu dimensi 0.03 0.03 0.03 1 2 3 198 199 200 0.03 5 -5 d 0.04 0.04 0.04 1 2 3 148 149 150 0.04 c 5 -5 1 5 0.06 0.06 0.7 2 3 98 99 100 0.7 b -5 0.12 0.12 0.12 1 2 3 48 49 50 5 0.12 a -5 0.6 Konduktivitas hidraulik 6
Gambar 43 Diskritisasi untuk satu dimensi a) skenario pertama, b)skenario kedua, c)skenario ketiga, d)skenario keempat
Gambar 3 merepresentasikan skenario pada satu dimensi dimana untuk setiap skenario akan dibagi menjadi 5 lapisan tanah dengan konduktivitas yang berbeda. air yang masuk adalah 5 liter pada titik awal, dan -5 liter pada titik akhir. Untuk tinggi hidraulik batas awal adalah 20 cm dan batas akhir 5 cm.
sedankan untuk dua dimensi akan diujikan
Tabel 22 Skenario dua dimensi Skenario Elemen Titik
1 117 79
2 304 183
3 374 218
4 528 295
konduktivitas pada dua dimensi menggunakan lapisan antara kerikil sampai dengan pasir, maka dari itu konduktivitas skenario pengujian dua dimensi dibagi menjadi tiga konduktivitas yaitu 0.1 m/s, 0.01 m/s, dan 0.001 m/s. Untuk aliran air yang masuk ke dalam setiap titik pada titik batas, akan dimasukan 1 liter dan untuk titik batas kanan akan mengeluarkan air -1 liter. Untuk tinggi hidraulik awal akan dimasukan 2.0 pada sisi kiri, 1.85 pada bagian permukaan, 1.55 pada bagian bawah, dan 1.10 pada sisi kiri
Skenario Panjang Elemen Titik
1 0.12 49 50
2 0.06 99 100
3 0.04 149 150
h = 2.00 F = 1 h = 1.55 F = 1 h = 1.85 F = 1 h = 1.85 F = 1 h = 1.10 F = -1 0.001 0.01 0.1 Konduktivitas hidraulik h = 2.00 F = 1 h = 1.55 F = 1 h = 1.85 F = 1 h = 1.85 F = 1 h = 1.10 F = -1 0.1 0.01 0.001 Konduktivitas hidraulik h = 2.00 F = 1 h = 1.55 F = 1 h = 1.85 F = 1 h = 1.85 F = 1 h = 1.10 F = -1 0.1 0.01 0.001 Konduktivitas hidraulik ` h = 2.00 F = 1 h = 1.55 F = 1 h = 1.85 F = 1 h = 1.85 F = 1 h = 1.10 F = -1 0.001 0.01 0.1 Konduktivitas hidraulik a c b d
Gambar 44 Diskritisasi peta tanah dua dimensi a) skenario pertama b) skenario kedua c) Skenario ketiga d) Skenario keempat
Hasil perbandingan solusi eksak yang didapat dari penurunan model aliran air tanah dan solusi numerik yang didapat dari perhitungan metode elemen hingga maka akan menghasilkan
a b
a
c d
Gambar 45 Prediksi Tinggi Hidraulik satu dimensi a) skenario pertama b) skenario kedua c) skenario ketiga d) skenario keempat
Gambar 4 menunjukkan bahwa terjadi perubahan posisi pada setiap lapisan tanah, dikarenakan adanya perbedaan konduktivitas hidraulik pada setiap lapisan. Sedangkan pada solusi numerik tidak terjadi perubahan posisi pada setiap lapisan tanah, dikarenakan adanya error pada perhitungan sistem yang dibangun. Dari keempat skenario, maka dapat dihasilkan akurasi sebagai berikut :
Tabel 23 Akurasi Skenario Akurasi Error
1 95.42% 4.58%
2 95.72% 4.28%
3 95.78% 4.22%
4 95.80% 4.20%
Tabel 3 hanya menunjukkan error rata-rata dari setiap skenario untuk error setiap titik dapat dilihat pada Gambar 6 berikut
Dilihat pada Gambar 6 error akan semakin besar pada setiap lapisan tanah. pada lapisan tanah terakhir terjadi penurunan error, dikarenakan pada lapisan tanah terakhir terjadi penurunan tinggi hidraulik cukup besar sehingga error yang dihasilkan akan menurun.
Untuk hasil pengujian dua dimensi akan direpresentasiakan pada Gambar 7
a
c
b
d
Gambar 47Prediksi Tinggi Hidraulik dua dimensi a) skenario pertama b) skenario kedua c) skenario ketiga d) skneario keempat
Air akan mengalir di tinggi hidraulik yang bernilai tinggi ke tinggi hidraulik bernilai rendah, maka pada Gambar 4.5 air akan mengalir dari titik yang berwarna merah ke titik yang berwarna biru. Kuantitas air dalam tanah dapat diprediksikan akan lebih banyak pada titik biru, dikarenakan semua air yang masuk akan mengarah ke titik hidraulik dengan nilai rendah. Yang membedakan dari setiap skenario dua dimensi adalah jumlah titik dan jumlah elemennya, maka solusi tinggi hidraulik untuk setiap skenario jumlahnya akan berbeda, dan solusi akan lebih spesifik. Pada skenario keempat akan menghasilkan solusi tinggi hidraulik yang lebih spesifik dikarenakan titik pada skenario keempat terdapat 259 titik, maka solusi tinggi hidraulik yang dihasilkan adalah 259 solusi.
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pengujian dan analisis yang dilakukan pada BAB IV maka didapat kesimpulan :
a. Model matematika tinggi hidraulik dibentuk dari hukum kekekalan massa. Model tersebut diturunkan untuk mencari solusi eksak dan numerik.
b. Perhitungan solusi eksak dilakukan dengan menggunakan turunan persamaan differensial parsial dari model aliran air tanah. Solusi eksak yang dihasilkan mengalami perubahan posisi pada lapisan tanah yang berbeda dikarenakan nilai dari konduktivitas hidraulik tanah tersebut berbeda-beda.
c. Error yang didapat dengan membandingkan solusi numerik dan solusi eksak (Tabel 4). Error akan semakin besar jika konduktivitas hidrauliknya berubah. Berbeda dengan konduktivitas akhir, akan terjadi sebaliknya, error yang dihasilkan pada konduktivitas akhir akan semakin kecil.
d. Semakin banyak jumlah titik yang dipakai pada metode elemen hingga dua dimensi akan semakin kompleks hasil yang didapat. Jika pada skenario keempat terdapat 259 titik, maka solusi yang akan dihasilkan adalah 259 solusi.
e. Dengan diketahui tinggi hidraulik pada dua dimensi, maka arah aliran air pada peta tanah dapat diketahui dan prediksi dari kuantitas air pada peta tanah dapat diketahui.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Adiwijaya, “Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor”. Graha Ilmu, 2014 [2] Burdem, R. L., & Faires, J. D. (2011). Numerical Analysis.
[2] Indah Emilia Wijayanti, A. S. (2012). Aljabar Linier Elementer. [3] Istok, J. (1989). Groundwater Modeling by the Finite Element Method. [4] Joko Soebagyo, S. (t.thn.). Pengantar salah mutlak dan salah relatif.
[5] Kurnia, M. (2012). Pengembangan Model Aliran Air Tanah Dua DImensi Didorong oleh Perbedaan Massa Jenis Di Akuifer Pantai. Pengembangan model.
[6] MUNIR, R. (2010). Metode Numerik. Bandung: Informatika.
[7] Purcell, E. J., & Varberg, D. (t.thn.). Kalkulus dan Geometri Analitis. 1994.
[8] Putranto, T. T. (2011). Aplikasi Pemodelan Aliran Air Tanah Dalam Konsep Pengolahan Air Tanah berbasis cekungan.
[9] S, M. H., S, D., P, W. W., & S, B. (2008). Pemodelan Rembesan Air Dalam Tanah. [10] Segerlin, L. J. (1984). Applied Finite Element Analysis.
[12] Waspodo, R. S. (t.thn.). PERMODELAN ALiRAN AIRTANAH PADA AKUIFER TERTEKAN . [13] Muyinda, N., G. Kakuba and J.M. Mango (2014). FINITE VOLUME METHOD OF
