5-1. Alexandria *
Masa setelah Perang Peloponnesia merupakan salah satu dari perpecahan politik di antara negara-negara Yunani. Dua tahun setelah jatuhnya negara-negara Yunani, ambisius Alexander Agung Philip menggantikan ayahnya dan memulai karirnya yang tak tertandingi, menaklukan dan memperluas bagian-bagian dunia beradab Macedonian dalam pertumbuhan daerah asal. Di belakangnya, di mana pun ia memimpin pasukan yang menang, ia diciptakan, di tempat-tempat yang dipilih dengan baik, string kota-kota baru. Itu dengan cara ini, ketika Alexander telah memasuki Mesir, bahwa kota Iskandariyah didirikan pada 332 SM.
Dikatakan bahwa pilihan situs, gambar rencana tanah, dan proses untuk Alexandria kolonisasi diarahkan oleh Alexander sendiri, dan bahwa sebenarnya pembangunan kota ditugaskan untuk Dinocrates arsitek terkemuka. Sejak awal berdirinya, Alexandria menunjukkan setiap tanda memenuhi masa depan yang luar biasa. Dalam waktu yang sangat singkat, terutama karena lokasi sangat strategis di persimpangan alami banyak rute perdagangan penting, itu tumbuh dalam kekayaan dan menjadi paling megah dan pusat dunia.
Setelah Alexander Agung meninggal pada 323 SM. Kerajaannya dibagi menjadi beberapa pemimpin militer, pada akhirnya mengakibatkan munculnya tiga kerajaan, di bawah aturan yang terpisah, tetapi tetap dipersatukan oleh ikatan dari peradaban Helenistik yang mengikuti penaklukan Alexander. Mesir jatuh ke banyak Ptolemeus. Itu tidak sampai sekitar 306 SM bahwa Ptolemeus sebenarnya memulai pemerintahannya. Dia memilih Aleksandria sebagai modal dan untuk menarik orang-orang terpelajar ke kotanya, segera mulai mendirikan Universitas terkenal Alexandria. Ini adalah lembaga pertama dari jenisnya dan dalam lingkup dan susunan yang sangat mirip dengan universitas-universitas di hari ini. Laporan mengatakan bahwa hal itu sangat diberkahi dan bahwa rencana menarik dan rumit yang terdapat ruang kuliah, laboratorium, taman, museum, fasilitas perpustakaan, dan tempat tinggal. Inti dari lembaga perpustakaan besar, yang untuk waktu yang lama adalah yang terbesar yang dipelajari untuk tempat penyimpanan karya-karya.
5-2 Euclid
Sedikit mengecewakan yang diketahui tentang kehidupan dan kepribadian dari Euclid kecuali bahwa ia adalah seorang profesor matematika di Universitas Alexandria dan tampaknya pendiri termasyhur dan berumur panjang di bidang Matematika Sekolah Aleksandria. Bahkan tanggal dan tempat kelahirannya tidak diketahui, tetapi tampaknya bahwa ia menerima pelatihan matematika di sekolah di Athena Platonis.
5-3 Elemen Euclid
Meskipun Euclid adalah penulis setidaknya sepuluh karya, dan teks cukup lengkap dari lima yang telah turun kepada kita, reputasinya terutama didasarkan pada Elements. Tidak ada salinan Element Euclid sebenarnya berasal dari penulis diwaktu yang telah ditentukan. Edisi modern Unsur didasarkan pada revisi yang disiapkan oleh Teori dari Alexandria hampir 700 tahun setelah karya asli telah ditulis. Tidak sampai awal abad kesembilan belas salinan yang lebih tua, hanya menunjukkan perbedaan kecil dari kajian teori, ditemukan di Perpustakaan Vatikan. Peneliti kutipan dan komentar oleh para penulis awal menunjukkan bahwa definisi, aksioma, dan dalil-dalil risalah asli berbeda beberapa dari revisi berikutnya tetapi bahwa masalah dan bukti-bukti mereka tetap pada dasarnya pada tulisan Euclid .
5-4 Isi dari Element
Karya ini terdiri dari 13 buku dengan total 465 dalil. Sekolah di Amerika dan padat teks geometri mengandung banyak bahan yang ditemukan di Buku I, III, IV, VI, XI, dan XII.
Buku I dimulai, tentu saja, dengan pendahuluan yang perlu definisi, postulat, dan aksioma; kita akan kembali kebagian berikutnya. 48 dalil dalam Buku I jatuh ke dalam tiga kelompok. 26 pertama kesepakatan terutama dengan sifat-sifat segitiga dan mencakup tiga teorema kesetaraan. Proposisi I 27 melalui I 32 menetapkan teori kesejajaran dan membuktikan bahwa jumlah sudut-sudut sebuah segitiga adalah sama dengan dua sudut siku-siku. Dalil yang tersisa dari buku berurusan dengan Jajargenjang, segitiga, dan bujur sangkar, dengan acuan khusus kepada hubungan daerah. Proposisi I 47 adalah teorema Pythagoras, dengan bukti universal dikreditkan ke Euclid sendiri, dan dalil terakhir, I 48,
adalah kebalikan dari teorema Pythagoras. Materi buku ini dikembangkan sejak awal oleh Pythagorean.
Buku II berkaitan dengan transformasi daerah dan aljabar geometrik dari sekolah Pythagorean. Kami telah mempertimbangkan beberapa dalil dalam buku ini dalam Bab 3. Dalam bab ini bahwa kita menemukan geometris setara sejumlah aljabar identitas. Pada akhir buku ini dua dalil yang menetapkan generalisasi dari Teorema Pythagoras yang sekarang kita sebut sebagai "hukum cosinus."
Buku III berisi teorema tentang lingkaran, tali, tangen, dan terkait pengukuran sudut yang kita temukan dalam teks-teks geometri SMA. Sejak kecil geometri seperti lingkaran Pythagoras ditemukan dalam pekerjaan, materi buku ini mungkin disediakan oleh orang yang berbeda pendapat awal dan para peneliti yang terkenal pada tiga masalah yang dibahas dalam Bab IV.
Dalam Buku IV ditemukan diskusi tentang Pythagoras konstruksi, dengan penggaris dan kompas, poligon teratur tiga, empat, lima, enam, dan lima belas sisi (lihat Soal Studi 5.3). Dengan berturut-turut sudut, atau busur, perpotongan, kita mungkin dengan alat Euclidean membangun poligon biasa memiliki 2n, 32n,52nor 15(2n) sisi.
Tidak sampai hampir abad kesembilan belas itu diketahui bahwa poligon reguler lainnya dapat dibangun dengan alat terbatas ini. Pada 1796, ahli matematika terkemuka Jerman Carl Friedrich Gauss mengembangkan teori yang menunjukkan bahwa poligon beraturan memiliki sebuah bilangan prima dari sisi bisa dibangun dengan alat-alat Euclid jika dan hanya jika nomor dalam bentuk f (n) = 22n+1. Untuk n = 0, 1, 2, 3, 4 kita menemukan f (n) = 3, 5, 17, 257, 65.537, semua bilangan prima. Dengan demikian, tidak diketahui oleh orang Yunani, poligon reguler dari 17, 257, dan 65.537 belah pihak dapat dibangun dengan sejajar dan terbatas. Karena tidak ada nilai n lain, daripada yang tercantum di atas, adalah diketahui bahwa f (n) adalah bilangan prima.
Buku V adalah eksposisi mengagumkan dari dalil teori Eudoxus. Itu teori ini, berlaku untuk tidak sebanding serta seimbang besaran, yang menyelesaikan "skandal logis" yang diciptakan oleh Pythagoras penemuan bilangan irasional. Eudoxian mendefinisikan dalil, atau kesetaraan dari dua rasio, adalah luar biasa, dan perlu mengulanginya di sini. Besaran yang dikatakan berada dalam rasio yang
sama, orang pertama, kedua, ketiga, keempat, ketika, jika ada apa pun yang diambil banyak perkalian pertama dan ketiga, dan setiap perkalian apa pun dari kedua dan keempat, perkalian sama melebihi, yang sama dengan, atau yang kurang dari yang terakhir diambil perkalian urutan yang sesuai. Dengan kata lain, jika A, B, C, D adalah setiap empat tidak ada besaran, A dan B menjadi dari jenis yang sama (baik segmen garis, atau sudut, atau wilayah, atau volume) dan C dan D menjadi dari jenis yang sama, maka rasio dari A ke B adalah sama dengan dari C ke D ketika, untuk sembarang bilangan bulat positif m dan n, mC><nD, menurut mA><nB. Teori Eudoxian masalah yang disediakan yayasan, kemudian dikembangkan oleh Dedekind dan Weierstrass, untuk sistem bilangan real analisis matematis.
Buku VI menerapkan teori Eudoxian dalil tentang geometri. Di sini kita menemukan teorema fundamental pada segitiga yang sama, konstruksi memberikan ketiga, keempat, dan berarti sesuai urutan; pemecahan geometris persamaan kuadrat yang kita anggap dalam Bab III; dalil bahwa garis-bagi internal sudut segitiga membagi seberang ke segmen sebanding dengan dua sisi lainnya, sebuah generalisasi dari Teorema Pythagoras di mana, bukan bujur sangkar, tiga sama dan juga tokoh-tokoh dijelaskan diambil pada tiga sisi segitiga siku-siku; dan banyak teorema lain. Mungkin ada ada teorema dalam buku ini yang tidak diketahui sampai awal Pythagorean, tetapi Eudoxian membuktikan banyak dari mereka yang bersalah karena mereka didasarkan pada teori yang tidak lengkap urutannya.
Buku VII, VIII, dan IX. berisi total 102 dalil, berurusan dengan teori bilangan dasar. Buku VII dimulai dengan proses, yang disebut sebagai algoritma Euklidean, untuk menemukan pembagi integral biasa terbesar dari dua atau lebih bilangan bulat dan menggunakan tes untuk dua bilangan bulat yang relatif prima (lihat Soal Studi 5.1). Kami juga menemukan sebuah eksposisi dari numerik, atau Pythagoras, teori proporsi, Banyak nomor dasar yang bersifat membangun dalam Buku ini.
Buku X membahas irrationals, yaitu, dengan segmen garis yang tidak dapat dibandingkan dengan beberapa segmen garis yang diberikan. Banyak sarjana menganggap buku ini sebagai buku yang paling luar biasa di Elements.
Sebagian besar pokok buku ini dianggap sebagai akibat Theaetetus, tapi kelengkapan yang luar biasa, rumit dikelompokkan, dan selesaikan biasanya dikreditkan ke Euclid. Ini mudah percaya bahwa seseorang menyadari bahwa hasil dari buku ini tiba dipenalaran abstrak tanpa dibantu oleh notasi aljabar. Pembukaan dalil (X 1) adalah dasar dari metode kelelahan kemudian dipekerjakan di Buku XII, yaitu bahwa, jika dari setiap besarnya dikurangkan ada bagian yang tidak kurang dari setengah, dari sisa bagian lain tidak kurang daripada setengah, dan seterusnya, panjang lebar di sana akan tetap menjadi besarnya kurang daripada yang diberikan besarnya dari jenis yang sama. Dalam buku ini kita juga menemukan rumus Pythagoras menghasilkan semua primitif tiga kali lipat, merumuskan bahwa Babilonia kuno mungkin mengenal lebih dari seribu tahun sebelumnya (lihat Bagian 2-6).
Tiga buku yang tersisa, XI, XII, dan XIII, menyibukkan diri dengan ilmu ukur ruang, yang meliputi sebagian besar bahan, dengan pengecualian bahwa pada bola, umumnya ditemukan dalam teks-teks sekolah tinggi. Definisi, teorema tentang garis dan pesawat di angkasa, dan teorema tentang parallelepipeds ditemukan dalam Buku XI. Metode ini memainkan peranan penting dalam perawatan dalam Buku jilid XII, dan akan dipertimbangkan kembali.
Sangat mudah untuk merumuskan bukti sehingga metode tidak langsung dihindari. Dalam beberapa detail pada Bab XI. Dalam buku XIII menkonstruksi pengembangkan untuk menuliskan polihedra biasa dalam sebuah bola.
Pernyataan yang sering bahwa Elemen Euclid benar-benar dimaksudkan untuk melayani hanya sebagai berlarut-larut dari lima polyhedra reguler tampaknya merupakan evaluasi miring. Penilaian yang lebih baik akan tampak bahwa hal itu dimaksudkan, untuk waktu, untuk melayani sebagai teks awal matematika secara umum. Euclid juga menulis teks pada matematika yang lebih tinggi.
