PROTOKOL PERJANJIAN KUNCI BERDASARKAN MASALAH TRIPEL DEKOMPOSISI ATAS MONOID NON-KOMUTATIF MATRIKS

PROTOKOL PERJANJIAN KUNCI BERDASARKAN

MASALAH TRIPEL DEKOMPOSISI ATAS MONOID

NON-KOMUTATIF MATRIKS

SKRIPSI

Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Mencapai Derajat Sarjana S-1 Program Studi Matematika

Diajukan oleh: Helvi Alviani

12610002

Kepada

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA

YOGYAKARTA

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini ku persembahkan untuk bapak dan mamah tercinta

yang telah membesarkan, mendo’akan dan selalu memberikanku

semangat. Berkat do’a dan kerja keras kalian tugas ini dapat

terselesaikan.

Kepada kedua adikku, Reva dan Galuh yang senantiasa menjadi

motivasiku untuk dapat menyelesaikan tugas akhir ini.

Kepada keluarga besar matematika 12 dan kampusku tercinta

vi MOTTO

“Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan, sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan”.

(Q. S. Al-Insyiraah: 5-6) “Dan bahwa manusia hanya memperoleh apa yang telah diusahakannya, dan sesungguhnya usahanya itu kelak akan diperlihatkan (kepadanya), kemudian akan diberi balasan kepadanya dengan balasan yang paling sempurna”.

(Q.S. An-Najm 39-41) “Kembalilah kepada kedua orang tuamu, lalu buat keduanya tertawa sebagaimana engkau telah membuatnya menangis”.

vii KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat, taufik dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul “Protokol Perjanjian Kunci Berdasarkan Masalah Tripel Dekomposisi

atas Monoid Non-Komutatif Matriks” ini dengan semaksimal mungkin. Shalawat

dan salam senantiasa tercurah kepada baginda Muhammad SAW, teladan bagi seluruh umat manusia.

Penulis menyadari bahwa proses penulisan skripsi ini tidak terlepas dari dukungan, motivasi, dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Ibu Dr. Maizer Said Nahdi, M.Si selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga.

2. Bapak Dr. M. Wakhid Musthofa, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga.

3. Ibu Dr. Khurul Wardati, M.Si dan Bapak M. Zaki Riyanto, M.Sc selaku pembimbing skripsi yang telah berkenan memberikan bimbingan serta arahan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. 4. Bapak Muchammad Abrori, M.Kom selaku dosen pembimbing akademik

viii

5. Bapak/Ibu Dosen dan Staf Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta atas ilmu, bimbingan dan pelayanan selama perkuliahan dan penyusunan skripsi ini selesai.

6. Bapak dan Mamahku serta kedua adikku tercinta yang selalu memberikan semangat, dukungan dan do’a yang tiada henti.

7. Wahyudhi Santoso Prawoto yang selalu memberikan motivasi dan masukan dalam penyusunan skripsi ini.

8. Teman-teman matematika angkatan 2012 atas kebersamaan yang tak mudah dilupakan dan semua pihak yang turut membantu hingga selesainya skripsi ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, terima kasih.

Penulis menyadari masih banyak kesalahan dan kekurangan dalam penulisan skripsi ini, untuk itu diharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Namun demikian, penulis tetap berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan dapat membantu memberi suatu informasi yang baru bagi semua orang yang membacanya.

Yogyakarta, 14 Juni 2016 Penulis,

Helvi Alviani NIM.12610002

ix DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

SURAT PERNYATAAN KEASLIAN ... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ... v

MOTTO ... vi

KATA PENGANTAR ... vii

DAFTAR ISI ... ix

DAFTAR GAMBAR ... xii

DAFTAR TABEL ... xiii

DAFTAR LAMPIRAN ... xiv

DAFTAR LAMBANG ... xv ABSTRAK ... xvi ABSTRACT ... xvii BAB I PENDAHULUAN... 1 1.1. Latar Belakang ... 1 1.2. Batasan Masalah ... 5 1.3. Rumusan Masalah ... 5 1.4. Tujuan Penelitian ... 5 1.5. Manfaat Penelitian ... 6 1.6. Tinjauan Pustaka ... 6 1.7. Metode Penelitian ... 9 1.8. Sistematika Penulisan ... 11

x

BAB II LANDASAN TEORI ... 12

2.1. Kriptografi... 12 2.1.1. Definsi Kriptografi ... 12 2.1.2. Sejarah Kriptografi ... 13 2.1.3. Tujuan Kriptografi ... 15 2.1.4. Algoritma Kriptografi ... 16 2.1.5. Sistem Kriptografi ... 17

2.2. Dasar Struktur Aljabar ... 19

2.2.1. Teori Bilangan ... 19

2.2.2. Monoid ... 30

2.2.3. Grup ... 34

2.2.4. Ring ... 44

2.2.5. Lapangan ... 47

2.2.6. Monoid Matriks atas Ring ... 47

2.2.7. Grup Matriks atas lapangan Hingga ... 55

BAB III PEMBAHASAN ... 59

3.1. Protokol Perjanjian Kunci ... 59

3.2. Protokol Perjanjian Kunci dan Masalah Tripel Dekomposisi ... 62

3.3. Perhitungan Protokol Kunci Masalah Tripel Dekomposisi ... 65

3.4. Cipher Hill ... 107

3.5. Cipher Hill atas Grup Permutasi ... 110

3.6. Cipher Hill atas 𝑮𝑳𝒏(ℤ𝒑) ... 114

3.7. Affine Cipher ... 117

xi

BAB IV IMPLEMNTASI DAN UJI COBA PROGRAM ... 122

4.1. Sarana Implementasi ... 122

4.2. Implementasi Algoritma Protokol Perjanjian Kunci atas Monoid Matriks ... 123

4.3. Uji Coba Program ... 124

4.3.1. Program Perhitungan Protokol Perjanjian Kunci atas Monoid Matriks ... 125

4.3.2. Program Perhitungan Cipher Hill atas 𝑮𝑳_𝒏(ℤ_𝒑) ... 150

4.3.3. Program Perhitungan Affine Cipher atas 𝑴_𝒏(ℤ_𝒎) ... 152

BAB V PENUTUP ... 156

5.1. Kesimpulan ... 156

5.2. Saran ... 159

DAFTAR PUSTAKA ... 160

xii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1. Alur Penelitian ... 10

Gambar 1.2. Alur Sistematika Penelitian ...11

Gambar 2.1. Al-Kindi ... 13

Gambar 2.2. Skema Sistem Kriptografi Simetris ... 19

Gambar 4.1. Tampilan Utama Maple 18 ... 123

Gambar 4.2. Program Perhitungan Perjanjian Kunci atas 𝑆₈ ... 127

Gambar 4.3. Program Perhitungan Perjanjian Kunci atas 𝐺𝐿₃(ℤ₂₅₇)... 133

Gambar 4.4. Program Perhitungan Perjanjian Kunci 𝐾1 atas 𝑀3(ℤ256) ... 140

Gambar 4.5. Program Perhitungan Perjanjian Kunci 𝐾₂ atas 𝑀₃(ℤ₂₅₆) ... 147

Gambar 4.6. Program Perhitungan Cipher Hill atas 𝐺𝐿₃(ℤ₂₅₇) ... 151

xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 1.1. Tinjauan Pustaka ... 8

Tabel 2.1. Perhitungan dengan algoritma Euclide yang diperluas ... 29

Tabel 3.1. Skema Algoritma Protokol Perjanjian Kunci Diffie-Hellman ... 60

Tabel 3.2. Contoh Protokol Perjanjian Kunci Diffie-Hellman ... 61

Tabel 3.3. Skema Algoritma Perjanjian Kunci Masalah Tripel Dekomposisi ... 64

Tabel 3.4. Korespondensi Karakter dengan Bilangan ... 109

Tabel 3.5. Proses Enkripsi Affine cipher ... 118

Tabel 3.6. Proses Dekripsi Affine cipher ... 118

Tabel 4.1. Spesifikasi perangkat Keras ... 122

Tabel 4.2. Spesifikasi Perangkat Lunak ... 123

xiv

DAFTAR LAMPIRAN

xv

DAFTAR LAMBANG ℤ : Himpunan semua bilangan bulat.

ℤ_≥0 : Himpunan semua bilangan bulat yang dimulai dari nol.

𝐴 ⊆ 𝑋 : 𝐴 himpunan bagian (subset) atau sama dengan 𝑋. gcd(𝑎, 𝑏) : Pembagi persekutuan terbesar dari 𝑎 dan 𝑏. (𝑀, . ) : Monoid atas operasi penjumlahan.

(𝐺, +) : Grup atas operasi penjumlahan. (𝐺, . ) : Grup atas operasi perkalian.

(𝑅, +, . ) : Ring dengan dua operasi biner penjumlahan dan perkalian. ℤ_𝑚 : Himpunan bilangan bulat modulo 𝑚.

ℤ_𝑝 : Himpunan bilangan bulat modulo prima 𝑝.

ℤ𝑝∗ : Grup perkalian modulo prima 𝑝.

𝐶𝑀(𝑥) : Centralizer dari 𝑥 pada 𝑀.

𝐴 ∖ 𝐵 : Selisih himpunan 𝐴 dan 𝐵.

𝑀_𝑛(𝑅) : Matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 atas ring 𝑅.

𝑀_𝑛(ℤ_𝑚) : Monoid matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 atas ring ℤ_𝑚.

𝐺𝐿𝑛(𝐹) : Grup matriks invertibel berukuran 𝑛 × 𝑛 atas lapangan 𝐹.

xvi

PROTOKOL PERJANJIAN KUNCI BERDASARKAN MASALAH TRIPEL DEKOMPOSISI ATAS MONOID NON-KOMUTATIF MATRIKS

Oleh: Helvi Alviani Abstrak

Jalur komunikasi yang dilakukan melalui internet sangat rentan terhadap ancaman penyadapan. Ancaman tersebut dapat dihindari dengan merubah terlebih dahulu pesan rahasia yang dikirim dengan proses enkripsi dan dekripsi. Kedua proses tersebut dapat dijalankan apabila kedua pihak yang berkomunikasi menyepakati kunci rahasia yang sama. Namun, terdapat suatu permasalahan ketika kedua pihak yang saling berkomunikasi tidak dapat menyepakati kunci rahasia bersama melalui jalur komunikasi yang aman. Salah satu solusi utuk mengatasi permasalahan distribusi kunci tersebut adalah dengan protokol perjanjian kunci.

Protokol perjanjian kunci pertama kali dikenalkan oleh Diffie-Hellman, yang menitikberatkan pada masalah logaritma diskrit atas grup siklik. Struktur aljabar yang digunakan oleh Diffie Hellman bersifat komutatif. Protokol perjanjian kunci kemudian dikembangkan pada struktur aljabar non-komutatif, yang tingkat keamanannya diletakkan pada masalah matematis yang ada pada struktur aljabar non-komutatif. Contohnya adalah protokol perjanjian kunci menggunakan monoid non-komutatif matriks. Adapun monoid yang digunakan adalah grup permutasi 𝑆_𝑛, grup matriks invertibel 𝑛 × 𝑛 atas lapangan bilangan prima (𝐺𝐿𝑛(ℤ𝑝)) dan monoid

matriks 𝑛 × 𝑛 atas ring berhingga 𝑀𝑛(ℤ𝑚). Keamanan protokol perjanjian kunci

ini terletak pada masalah tripel dekomposisi.

Masalah tripel dekomposisi merupakan masalah faktorisasi dimana kedua belah pihak harus menyepakati monoid non-komutatif matriks dan dua himpunan subset dari monoid yang selanjutnya akan digunakan dalam pembuatan kunci rahasia. Kedua himpunan subset dari monoid tersebut harus memenuhi sifat invertibel dan komutatif. Kunci rahasia yang diperoleh kemudian diaplikasikan pada suatu sistem kriptografi simetris yaitu sistem kriptografi cipher Hill dan

affine cipher.

Kata Kunci : kriptografi, monoid non-komutatif, protokol perjanjian kunci, masalah tripel dekomposisi

xvii

KEY AGREEMENT PROTOCOL BASED ON THE TRIPLE

DECOMPOSITION PROBLEM OVER NON-COMMUTATIVE MONOID MATRIX

By: Helvi Alviani Abstract

The channel of communication such as internet are particularly vulnerable to the threat of eavesdropping. In other to avoid the bug, a secret message sent is first converted through the encryption and decryption process. Both processes can be run when both communicating parties agree on the same secret key. However, there is a problem when both parties that communicate each other can not agree on a shared secret key through a secure channel. One of solutions to overcome the problems of key distribution is the key agreement protocol.

The first key agreement protocol was introduced by Diffie-Hellman, which focuses on the discrete logarithm problem of a cyclic group. Algebraic structure that was used by Diffie Hellman has a commutative properties. Then the key agreement protocol was developed over non-commutative structure, that is based on the security level of mathematical problems that exist in the non-commutative algebraic structure. An example is the key agreement protocols using non-commutative monoid matrix. The example of monoid that used is a permutation group 𝑆_𝑛, general linear group 𝐺𝐿_𝑛(ℤ_𝑝) and monoid matrix over a finite ring 𝑀_𝑛(ℤ_𝑚). The security of this key agreement protocol is based on the triple decomposition problem.

Triple decomposition problem is a problem of factoring in which both sides have to agree on non-commutative monoid matrix and two sets subsets of monoid which would be used in the generate of the secret key. Two sets of subsets of the monoid must satisfy invertible and commutative properties. The secret key that is obtained is then applied to a system of symmetric cryptography is a cipher Hill and affine cipher cryptographic system.

Keyword: cryptography, key agreement protocol, non-commutative monoid, triple decomposition problem

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang

Manusia dituntut untuk bisa berkomunikasi dengan sesama dalam menjalankan kehidupan sehari-hari. Selain menjadi makhluk individu, manusia juga merupakan makhluk sosial yang sangat membutuhkan interaksi dengan orang lain. Sebagaimana dijelaskan dalam Al-Quran surat Al-Hujarat ayat 13, yaitu:

Artinya: “Hai manusia, sesungguhnya Kami menciptakan kamu dari seorang laki-laki dan seorang perempuan dan menjadikan kamu berbangsa-bangsa dan bersuku-suku supaya kamu saling kenal-mengenal. Sesungguhnya orang yang paling mulia di antara kamu di sisi Allah ialah orang yang paling takwa di antara kamu. Sesungguhnya Allah Maha Mengetahui lagi Maha Mengenal”.

Komunikasi membantu manusia untuk dapat berbagi informasi satu sama lain. Seiring dengan berkembangnya teknologi, proses komunikasi yang terjadi antar manusia semakin bervariasi. Salah satu contohnya adalah komunikasi dengan menggunakan jalur internet. Namun, jalur internet tidak terlalu aman karena merupakan jalur komuniksi umum yang dapat digunakan oleh setiap orang, sehingga rawan terhadap penyadapan.

Keamanan dalam melakukan proses komunikasi, terlebih yang bersifat rahasia menjadi faktor utama yang harus dipenuhi. Hal ini dikarenakan,

2

komunikasi secara rahasia hanya mengijinkan pihak-pihak tertentu untuk dapat mengakses informasi. Apabila jalur komunikasi yang dipilih merupakan jalur yang tidak aman, maka ada kemungkinan pihak lain dapat mengakses informasi rahasia tersebut. Sehingga, dibutuhkan keamanan yang tinggi agar informasi rahasia tidak jatuh kepada pihak lain yang berkepentingan untuk mengetahuinya.

Kriptografi memberikan solusi untuk menyelesaikan permasalahan pada keamanan informasi. Konsep kriptografi sempat digunakan pada peradaban Islam sekitar tahun 9 M oleh seorang ilmuwan bernama Abu Yusuf Ya’qub ibn ‘ Ishaq As-Shabbah Al Kindi atau dikenal dengan Al-Kindi. Al-Kindi menulis kitab tentang seni memecahkan kode yang berjudul Risalah fi istikhraj al-Mu’amma (Manuskrip untuk memecahkan pesan-pesan kriptografi). Kriptografi sendiri berasal dari bahasa Yunani, terdiri dari dua kata, yaitu cryptos dan graphein.

Cryptos berarti rahasia dan graphein berarti tulisan. Sehingga secara bahasa,

kriptografi adalah tulisan rahasia. Sedangkan menurut istilah, kriptografi merupakan suatu ilmu yang mempelajari teknik-teknik matematika yang berhubungan dengan aspek keamanan informasi, seperti kerahasiaan data, keabsahan data, integritas data, dan serta autentikasi data (Menezes, Oorcshot, dan Vanstone, 1996). Kriptografi bertujuan agar informasi rahasia tidak dapat dibaca oleh pihak yang tidak berhak mengetahuinya. Sehingga informasi rahasia yang dikirim melalu jalur komunikasi yang tidak aman dapat dipertanggung jawabkan oleh pihak pengirim.

Algoritma kriptografi modern terdiri dari tiga fungsi dasar, yaitu enkripsi, dekripsi, dan key. Enkripsi merupakan suatu proses penyandian yang melakukan

3

perubahan suatu pesan, dari yang dapat dimengerti, disebut dengan plainteks, menjadi suatu kode yang sulit dimengerti, disebut dengan cipherteks. Sedangkan proses kebalikannya, untuk mengubah cipherteks menjadi plainteks disebut dekripsi (Riyanto, 2007). Proses enkripsi dan dekripsi bertujuan untuk menjaga pesan agar tidak mudah dipecahkan oleh pihak ketiga. Syarat untuk menjalankan kedua proses tersebut, yaitu dibutuhkan suatu kunci rahasia yang hanya diketahui oleh pihak yang melakukan komunikasi.

Suatu sistem kriptografi yang mengharuskan kedua belah pihak menggunakan kunci rahasia yang sama adalah sistem kriptografi simetris. Permasalahan yang kemudian muncul adalah kedua belah pihak harus menyepakati kunci yang sama, sedangkan jalur komunikasi yang digunakan oleh keduanya bukan jalur komunikasi yang aman. Solusi dari permasalahan tersebut, salah satunya adalah dengan menggunakan protokol perjanjian kunci. Tujuan dari protokol ini adalah untuk membantu kedua belah pihak membuat dan menyepakati kunci rahasia yang sama tanpa diketahui oleh pihak ketiga.

Protokol perjanjian kunci pertama kali diperkenalkan oleh Whitfield Difiie dan Martin Hellman (1976). Struktur aljabar yang digunakan oleh keduanya merupakan struktur aljabar komutatif, yaitu grup siklik. Keamanan dari protokol Diffie-Hellman ini terletak pada masalah logaritma diskrit atas grup siklik berhingga. Namun, adanya ancaman dari komputer kuantum di masa depan memungkinkan masalah logaritma diskrit dapat terpecahkan. Sehingga, beberapa peneliti mulai mengembangkan protokol perjanjian kunci berdasarkan struktur

4

aljabar non-komutatif yang tingkat keamanannya diharapkan lebih tinggi dan sulit dipecahkan.

Berdasarkan Jurnal Yesem Kurt Peker (2014), beberapa peneliti yang telah mengembangkan protokol perjanjian kunci pada struktur aljabar non-komutatif, diantaranya adalah I. Anshel, M. Anshel, B. Fisher dan D. Goldfeld (2001) yang mengembangkan protokol perjanjian kunci menggunakan grup non-komutatif yang tingkat keamanannya diletakkan pada masalah konjugasi. Peneliti selanjutnya, yaitu J. Cha, K. Ko, S. Lee, J. Han dan J. Cheon (2001) mengembangkan protokol perjanjian kunci baru menggunakan grup non-komutatif, yaitu grup Braid. M. Yagisawa (2012) mengembangkan protokol perjanjian kunci menggunakan persamaan kuadrat multivariat atas ring non-komutatif. Yesem Kurt Peker (2014) mengembangkan protokol perjanjian kunci menggunakan permasalahan tripel dekomposisi atas grup Braid.

Penelitian ini akan mengkaji dan mengembangkan protokol perjanjian kunci yang telah dikembangkan oleh Yesem Kurt Peker (2014), yaitu mengatasi masalah keamanan informasi dengan pembuatan kunci rahasia yang didasarkan pada masalah tripel dekomposisi atas suatu monoid non-komutatif. Yesem Kurt Peker (2014) menggunakan monoid non-komutatif yaitu grup braid yang merupakan grup tak berhingga. Adapaun monoid non-komutatif yang digunakan dalam penelitian ini adalah monoid berhingga diantaranya adalah grup permutasi, grup matriks invertibel atas lapangan bilangan bulat modulo 𝑝 dengan 𝑝 adalah bilangan prima, dan monoid matriks atas ring berhingga.

5

1.2. Batasan Masalah

Pembatasan masalah dalam suatu penelitian sangat diperlukan, guna memfokuskan pada pembahasan objek yang dituju. Berdasarkan pada latar belakang masalah, penelitian ini akan difokuskan untuk membahas prosedur dalam protokol perjanjian kunci atas monoid non-komutatif matriks dengan tingkat keamanan yang diletakkan pada masalah tripel dekomposisi.

1.3. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, maka dirumusukan permasalahan-permasalahan sebagai berikut:

1. Bagaimana konsep matematis yang melandasi prosedur perjanjian kunci pada sistem kriptografi simetris?

2. Bagaimana langkah-langkah dan perhitungan untuk memperoleh kunci rahasia menggunakan protokol perjanjian kunci dengan masalah tripel dekomposisi atas monoid non-komutatif matriks?

3. Bagaimana proses enkripsi dan dekripsi menggunakan sistem kriptografi simetris atas monoid non-komutatif matriks?

4. Bagaimana implementasi perhitungan protokol perjanjian kunci dan proses enkripsi serta dekripsi dengan menggunakan program MAPLE?

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan penulis dalam penyusunan tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1. Mengkaji konsep matematis yang melandasi protokol perjanjian kunci pada

6

2. Mengkaji langkah-langkah dan perhitungan untuk memperoleh kunci rahasia menggunakan protokol perjanjian kunci atas monoid non-komutatif matriks.

3. Mengkaji proses enkripsi dan dekripsi menggunakan sistem kriptografi simetris atas monoid non-komutatif matriks.

4. Mengkaji proses perhitungan protokol perjanjian kunci dan proses enkripsi serta dekripsi dengan menggunakan program MAPLE.

1.5. Manfaat Penelitian

Beberapa manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Memberikan solusi dalam memperoleh kunci rahasia yang akan digunakan dalam pengiriman pesan.

2. Memberikan kemudahan dalam perhitungan protokol perjanjian kunci dan proses enkripsi serta dekripsi dengan menggunakan program MAPLE. 3. Sebagai dasar bagi peneliti selanjutnya dalam mengembangkan protokol

perjanjian kunci. 1.6. Tinjauan Pustaka

Referensi utama dalam penyusunan tugas akhir ini adalah jurnal dari Yesem Kurt Peker (2014) yang berjudul A New Key Agreement Scheme Based on the

Tripel Decomposition Problem. Jurnal tersebut menjelaskan mengenai protokol

perjanjian kunci dengan tingkat keamanan yang diletakkan pada masalah tripel dekomposisi. Adapun masalah tripel dekomposisi sendiri didefinisikan pada suatu monoid non-komutatif. Contoh monoid non-komutatif yang digunakan adalah grup braid. Persamaan penelitian yang ditulis oleh Yesem Kurt Peker dengan

7

penelitian yang dilakukan penulis terletak pada masalah keamanan yang digunakan dalam pembuatan kunci rahasia, yaitu masalah tripel dekomposisi. Perbedaannya terletak pada contoh monoid yang digunakan dalam protokol perjanjian kunci. Penulis menggunakan grup permutasi, grup matriks invertibel atas lapangan bilangan bulat modulo prima 𝐺𝐿𝑛(ℤ𝑝), dan monoid matriks atas ring

berhingga 𝑀𝑛(ℤ𝑚) sebagai contoh monoid non-komutatif.

Peneliti lain yang telah meneliti terkait protokol perjanjian kunci diantaranya adalah Agustin Rahayuningsih dan Fadhil Andika Rahman (2015) mahasiswa Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga. Agustin Rahayuningsih (2015) melakukan penelitian terkait protokol perjanjian kunci dalam tugas akhirnya yang berjudul Protokol Perjanjian Kunci

Berdasarkan Masalah Konjugasi Pada Matriks Atas Lapangan Hingga. Penelitian

ini membahas mengenai protokol perjanjian kunci menggunakan grup matriks atas lapangan hingga 𝐺𝐹(𝑝𝑚) dengan tingkat keamanan yang diletakkan pada masalah konjugasi. Sedangkan Fadhil Andika Rahman (2015) meneliti terkait protokol pertukaran kunci dalam tugas akhirnya yang berjudul Protokol Pertukaran Kunci Berdasarkan Masalah Dekomposisi Simetris Atas Ring Non-Komutatif End (ℤ_𝑝× ℤ_𝑝2). Penelitian ini menjelaskan mengenai protokol pertukaran kunci atas ring non-komutatif dengan tingkat keamanan yang diletakkan pada masalah dekomposisi simetris. Contoh ring yang digunakan adalah ring endomorfisma (ℤ_𝑝× ℤ_𝑝2) dengan 𝑝 adalah bilangan prima. Perbedaan penelitian yang ditulis oleh Agustin Rahayuningsih dan Fadhil Andika Rahman dengan penelitian yang dilakukan penulis terletak pada masalah keamanan dan struktur aljabar yang

8

digunakan dalam pembuatan kunci rahasia. Penulis menggunakan masalah tripel dekompoisi atas monoid non-komutatif dalam pembuatan kunci rahasia.

Perbedaaan dan persamaan penelitian yang dilakukan penulis dengan penelitian sebelumnya dapat dilihat pada tabel berikut.

Tabel 1.1. Tinjauan Pustaka

No Nama Peneliti Judul Penelitian Persamaan Perbedaan

1. Yesem Kurt Peker (2014)

A New Key

Agreement Scheme Based on the Tripel Decomposition Problem Masalah keamanan yang digunakan, yaitu masalah tripel dekomposisi Struktur aljabar yang digunakan, yaitu grup braid 2. Agustin Rahayuningsih (2015) Protokol Perjanjian Kunci Berdasarkan Masalah Konjugasi Pada Matriks atas

Lapangan Higga Metode yang digunakan untuk memperoleh kunci rahasia, yaitu protokol perjanjian kunci Masalah keamanan dan struktur aljabar yang digunakan, yaitu masalah konjugasi pada matriks atas lapangan hingga 3. Fadhil Andika Rahman (2015) Protokol Pertukaran Kunci Berdasarkan Masalah Dekomposisi Simetris atas Ring Non-komutatif End (ℤ_𝑝× ℤ_𝑝2) Metode yang digunakan untuk memperoleh kunci rahasia, yaitu protokol perjanjian kunci Masalah keamanan dan struktur aljabar yang digunakan, yaitu masalah dekomposisi simetris atas ring non-komutatif

9 4. Helvi Alviani (2016) Protokol Perjanjian Kunci Berdasarkan Masalah Tripel Dekomposisi atas Monoid Non-Komutatif Matriks Masalah keamanan yang digunakan, yaitu masalah tripel dekomposisi Struktur aljabar yang digunakan, yaitu monoid non-komutatif matriks

Penyusunan tugas akhir ini juga membutuhkan beberapa materi mengenai kriptografi dan struktur aljabar yang didapat dari beberapa literatur, yaitu Menezes, Oorschot dan Vanstone (1996), D. S. Malik (2007), dan Kenneth H. Rosen (2011).

1.7. Metode Penelitian

Metode yang digunakan pada penyusunan tugas akhir ini adalah metode studi literatur. Pengumpulan data diperoleh dengan cara membahas dan menjabarkan materi-materi dan teorema-teorema yang terdapat dalam sumber buku, jurnal, catatan kuliah, dan internet. Secara umum data yang dikaji dalam masalah komunikasi pada penulisan tugas akhir ini, terdiri dari dua bagian yaitu kriptografi dan struktur aljabar.

Pembahasan kriptografi diawali pada sistem kriptografi simetris yaitu cipher Hill dan affine cipher. Permasalahan dari sistem kriptografi simetris tersebut yaitu masalah distribusi kunci rahasia antara dua pihak yang berkomunikasi. Solusi untuk menyelesaikan permasalahan tersebut adalah protokol perjanjian kunci. Sedangkan pada struktur aljabar, data penelitian di awali dengan membahas materi teori bilangan yang kemudian mendukung materi monoid dan ring. Struktur

10

monoid kemudian membentuk grup yaitu grup permutasi dan struktur ring kemudian membentuk lapangan. Monoid dan ring membentuk struktur baru yaitu monoid matriks atas ring. Grup dan lapangan juga membentuk struktur baru yaitu grup matriks atas lapangan. Berdasarkan penjelasan tersebut, maka langkah terakhir penulis dalam melakukan penelitian ini adalah menyelesaikan masalah distribusi kunci dengan protokol perjanjian kunci yang tingkat keamanannya diletakkan pada masalah tripel dekomposisi atas monoid matriks non-komutatif. Langkah-langkah penulis dalam menyusun tugas akhir ini dapat dijelaskan pada diagram berikut:

Gambar 1.1. Alur Penelitian

Grup Matriks Atas Lapangan Struktur Aljabar Teori Bilangan Grup Ring Lapangan Grup Permutasi Monoid Matriks Atas Ring Cipher Hill

Masalah Distribusi Kunci

Protokol Perjanjian Kunci Kriptografi

Sistem Kriptografi Simetris

Protokol Perjanjian Kunci Berdasarkan Masalah Tripel Dekomposisi Atas Monoid Non-Komutatif Matriks

Monoid Affine

11

1.8. Sistematika Penulisan

Penyusunan tugas akhir ini dibagi ke dalam lima bab yang disusun secara runtun dan sistematis dengan rincian masing-masing bab dijelaskan secara umum oleh penulis, yaitu BAB I sebagai pendahuluan, BAB II sebagai dasar teori, BAB III sebagai pembahasan, BAB IV sebagai uji coba program, dan BAB V sebagai penutup. Alur sistematika penelitian dari penulis dapat dijelaskan secara umum dalam bagan dibawah ini.

Gambar 1.2. Alur Sistematika Penulisan

BAB I: Bab ini membahas mengenai latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan tugas akhir, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan serta sistematika penelitian.

BAB II: Bab ini membahas mengenai landasan teori yang terdiri dari kriptografi secara umum dan dasar struktur aljabar.

BAB III: Bab ini membahas mengenai protokol perjanjian kunci dan contoh proses perhitungan protokol serta penggunaan kunci rahasia pada sistem kriptografi simetris.

BAB IV: Bab ini membahas mengenai implementasi dan uji coba pada progam MAPLE.

BAB V: Bab ini menyampaikan kesimpulan umum yang merupakan jawaban dari rumusan masalah yang terdapat pada bab I, dan saran dari penulis mengenai penelitian yang dilakukan.

156 BAB V PENUTUP 5.1. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan mengenai protokol perjanjian kunci masalah tripel dekomposisi atas monoid matriks non-komutatif, maka dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut:

1. Pada prosedur perhitungan protokol perjanjian kunci atas monoid matriks non-komutatif diperlukan beberapa konsep matematis yaitu kriptografi dan dasar struktur aljabar seperti teori bilangan, monoid, grup, ring dan lapangan. 2. Keamanan dari protokol perjanjian kunci ini diletakkan pada masalah tripel

dekomposisi yaitu Diberikan suatu monoid non-komutatif 𝐺, dan 𝑋, 𝑌, 𝐴

adalah subset dari 𝐺 dimana elemen-elemen dari 𝑋 𝑑𝑎𝑛 𝑌 invertibel dan

komutatif. Selanjutnya diberikan 𝑢 ∈ 𝐺. Masalah tripel dekomposisi

didefinisikan sebagai masalah dalam menemukan 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑎 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ∈ 𝑌

sedemikian hingga𝑢 = 𝑥𝑎𝑦 ∈ 𝐺. Adapun algroitma dalam pembuatan kunci

rahasia bersama adalah, pertama Alice dan Bob menyepakati monoid 𝐺 dan

himpunan subset dari 𝐺 yaitu 𝐴 = {𝐴₁, 𝐴₂, 𝐴₃, 𝑋₁, 𝑋₂} dan 𝐵 = {𝐵₁, 𝐵₂, 𝐵₃, 𝑌₁, 𝑌₂} yang memenuhi syarat invertibel dan komutatif.

Kemudian Alice dan Bob memilih himpunan subset yang akan digunakan. Misalkan Alice memilih himpunan 𝐴 dan Bob memilih himpunan 𝐵. Alice memilih secara rahasia 𝑎₁ ∈ A₁, 𝑎₂ ∈ A₂, 𝑎₃ ∈ A₃ , 𝑥₁ ∈ X₁, 𝑥₂ ∈ X₂ dan Bob juga memilih secara rahasia 𝑏₁ ∈ B₁, 𝑏₂ ∈ B₂, 𝑏₃ ∈ B₃ , 𝑦₁ ∈ Y₁, 𝑦₂ ∈ Y₂.

157

𝑣 = 𝑥₁−1𝑎₂𝑥₂, 𝑤 = 𝑥₂−1𝑎₃ dan Bob juga menghitung kunci publiknya yaitu 𝑝 = 𝑏₁𝑦₁, 𝑞 = 𝑦₁−1_𝑏

2𝑦2, 𝑟 = 𝑦2−1𝑏3. Alice mengirimkan kunci publik

(𝑢, 𝑣, 𝑤) kepada Bob dan Bob juga mengirimkan kunci publik (𝑝, 𝑞, 𝑟) kepada Alice. Langkah selanjutnya, yaitu Alice menghitung kunci rahasianya

𝐾_𝐴 = 𝑎₁𝑝𝑎₂𝑞𝑎₃𝑟 dan Bob juga menghitung kunci rahasianya 𝐾_𝐵 = 𝑢𝑏₁𝑣𝑏₂𝑤𝑏₃. Sehingga diperoleh 𝐾_𝐴 = 𝐾_𝐵.

3. Sistem kriptografi yang digunakan dalam penelitian ini adalah sitem kriptografi cipher Hill atas 𝑆_𝑛, cipher Hill atas 𝐺𝐿_𝑛(ℤ_𝑝) dan sistem kriptografi affine cipher atas 𝑀_𝑛(ℤ_𝑚). Adapun alur dari proses enkripsi dan dekripsi dari masing-masing sistem adalah sebagai berikut:

a. Cipher Hill atas 𝑆𝑛

Proses enkripsi dan dekripsi pada cipher Hill atas 𝑆_𝑛 dimulai dengan Alice dan Bob menyepakati suatu bilangan 𝑛 dan kunci rahasia bersama yaitu 𝒦 = 𝑆𝑛 = {𝜋 = (1,2, … . . , 𝑛) → (1,2, … . . , 𝑛)|𝜋: 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑘𝑡𝑖𝑓}. Selanjutnya

plainteks yang akan dikirimkan dipartisi sebanyak 𝑛 bagian dan dirubah kedalam bentuk biner sesuai dengan tabel ASCII. Kemudian Alice melakukan proses enkripsi yaitu:

𝑒_𝜋(𝑥₁, 𝑥₂, … . . , 𝑥_𝑛) = (𝑥_𝜋(1), 𝑥_𝜋(2), … . . , 𝑥_𝜋(𝑛)).

dan mengirimkan cipherteks kepada Bob dan Bob melakukan proses dekripsi untuk memperoleh plainteks yaitu:

158

b. Cipher Hill atas 𝐺𝐿_𝑛(ℤ_𝑝)

Proses enkripsi dan dekripsi pada cipher Hill atas 𝐺𝐿_𝑛(ℤ_𝑝) dimulai dengan Alice dan Bob menyepakati suatu bilangan prima 𝑝 dan bilangan bulat 𝑛 serta kunci rahasia bersama yaitu 𝒦 = {𝐾 ∈ 𝐺𝐿𝑛(ℤ𝑝)| det(𝐾) ≠ 0}.

Selanjutnya plainteks yang akan dikirimkan dirubah kedalam bentuk angka sesuai dengan tabel ASCII dan dikonstruksi dalam bentuk matriks berukuran

𝑛 × 1. Kemudian Alice melakukan proses enkripsi yaitu 𝑒𝑘(𝑥) = 𝑥𝐾(𝑚𝑜𝑑 𝑝) dan mengirimkan cipherteks kepada Bob dan Bob

melakukan proses dekripsi untuk memperoleh plainteks yaitu 𝑑_𝑘(𝑦) = 𝑦𝐾−1 _{(𝑚𝑜𝑑 𝑝).}

c. Affine Cipher atas 𝑀_𝑛(ℤ𝑚)

Proses enkripsi dan dekripsi pada Affine cipher atas 𝑀𝑛(ℤ𝑚) dimulai

dengan Alice dan Bob menyepakati suatu bilangan bulat 𝑛 dan 𝑚 serta kunci rahasia bersama yaitu 𝒦 = {(𝐾₁, 𝐾₂) ∈ 𝑀_𝑛(ℤ_𝑚)| gcd(det (𝐾₁), 𝑚) = 1}. Selanjutnya, plainteks yang akan dikirimkan dirubah kedalam bentuk angka sesuai dengan tabel ASCII dan dikonstruksi dalam bentuk matriks berukuran

𝑛 × 𝑛. Kemudian Alice melakukan proses enkripsi yaitu 𝑒_𝐾(𝑋) = (𝐾1𝑋 + 𝐾2) 𝑚𝑜𝑑 𝑚 dan mengirimkan cipherteks kepada Bob dan

Bob melakukan proses dekripsi untuk memperoleh plainteks yaitu 𝑑_𝑘(𝑌) = 𝐴−1_{(𝑌 − 𝐵) 𝑚𝑜𝑑 𝑚.}

4. Dalam melakukan perhitungan pembuatan kunci dan proses ekripsi dan dekripsi digunakan program MAPLE 18 yang bertujuan untuk mempermudah dan mempercepat proses perhitungan. Adapun perintah yang digunakan

159

merupakan perintah sederhana yang terdapat pada program MAPLE 18 seperti yang sudah dijelaskan pada BAB IV.

5.2. Saran

Berdasarkan penelitian yang telah penulis lakukan maka dapat disampaikan beberapa saran sebagai berikut:

1. Protokol perjanjian kunci dengan masalah tripel dekomposisi merupakan salah satu contoh dari metode perjanjian kunci, diharapkan ada penelitian selanjutnya tentang metode perjanjian kunci dengan masalah keamanan yang lebih tinggi dan lebih efektif.

2. Masalah tripel dekomposisi pada penelitian ini hanya dibatasi pada monoid non-komutatif matriks, diharapkan kepada peneliti selanjutnya yang ingin meneliti lebih jauh mengenai masalah ini untuk menggunakan struktur aljabar yang lebih kompleks.

3. Program yang digunakan penulis merupakan program yang sederhana yang telah tersedia pada MAPLE 18, sehingga diharapkan kepada peneliti selanjutnya yang ingin meneliti lebih dalam mengenai masalah ini untuk membuat program dengan bahasa pemrograman sendiri.

160

DAFTAR PUSTAKA

Brown, William C., 1993, Matrices over Commutative Rings, Mercel Dekker, Inc., USA.

Buchmann, Johannes A., 2000, Introduction to Cryptography, Springer-Verlag New York, Inc., USA.

Dummit, David S., Foote, Richard M., 2004, Abstarct algebra, Jhon Wiley and Sons, Inc., USA.

Fraleigh, John B., 2003, A First Course in Abstract Algebra, Seventh Edition, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., USA.

Menezes, Oorschot, and Vanstone, 1996, Handbook of Applied Cryptography, CRC Press, Inc., USA.

Myasnikov, Shpilrain, and Ushakov, 2008, Grup Based Cryptography, Birkhäuser Verlag, Berlin.

Paar, Christof and Pelzl, Jan, 2009, Understanding Cryptography, Springer-Verlag New York, Inc., USA.

Rahayuningsih, Agustin, 2015, Protokol Perjanjian Kunci Berdasarkan Masalah

Konjugasi Pada Matriks Atas Lapangan Hingga, Skripsi. Yogyakarta:

Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga. Rahman, Fadhil A, 2015, Protokol Pertukaran Kunci Berdasarkan Masalah

Dekomposisi Simetris Atas Ring Non-Komutatif End (ℤ_𝑝× ℤ_𝑝2), Skripsi.

Yogyakarta: Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga.

Riyanto, M. Zaki, 2007, Pengamanan Pesan Rahasia Menggunakan Algoritma

Kriptografi Elgamal atas Grup Pergandaan ℤ_𝑝∗, Skripsi. Yogyakarta:

Jurusan Matematika Fakultas Ilmu Alam dan Matematika UGM.

Riyanto, M. Zaki, 2011, Protokol Perjanjian Kunci Berdasarkan Masalah

161

matematika dan pendidikan matematika 2011. Universitas Negeri Yogyakarta.

Rosen, Kenneth H., 2011, Elementary Number Theory and Its Application, Sixth Edition., Pearson Education, Inc., USA.

Schneier, Bruce, 1996, Applied Cryptography, Second Edition: Protocol,

Algorithms and Source Code in C, Jhon Wiley and Sons, Inc.

Shor, Peter W., 1997, Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and

Discrete Logarithms on a Quantum Computer, Society for Industrial and

Applied Mathematics Philadelphia, PA, USA.

Stinson, D.R., 1995, Cryptography Theory and Practice, CRC Press, Inc., Florida. Malik, D.S, Moderson, Jhon N, and Sen, M.K., 2007, An Introduction to Abstract

Algebra, Creighton University, USA.

Peker, Y.K., 2014, A New Key Agreement Scheme Based on The Tripel

Decomposition Problem, International Journal of Network Security,vol. 16,

162 LAMPIRAN Lampiran 1. Tabel ASCII

163

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

Nama lengkap : Helvi Alviani

Tempat tanggal lahir : Ciamis, 22 Desember 1993

Alamat : Dsn. Sukarenah RT/RW 003/007, Desa/Kec. Padaherang, Kab. Pangandaran, Jawa Barat.

Hp : 0858 7822 5142

Fakultas/ jurusan : Sains dan Teknologi Alamat email : alvianihelvi@gmail.com

Riwayat pendidikan : TK Pertiwi 1998-2000 SD Negeri 1 Padaherang 2000- 2006 SMP Negeri 1 Padaherang 2006-2009

SMA Negeri 1 Banjarsari 2009- 2012 UIN Sunan Kalijaga 2012 -2016